2020年重庆一中高2020级高三上数学期末考试定稿试卷
重庆市第一中学2020届高三上学期10月考试数学(文)试卷
数学试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）1. 设集合{}220M x x x =-++≥，{}1N x x =<，则M N =U ( )A ．{}1x x < B ．{}11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤< 2. 已知复数z 满足1z i =+（其中i 为虚数单位），则zz=( ) A．22i - B．22+ C ．3. 已知向量(1,1)a =r ，(1,1)b =-r，则2a b +=r r ( )A ．10 B．5 D4. 已知数列{}n a 是等差数列且0n a >，设其前n 项和为n S . 若2195a a a +=，则9S =( )A ．36B ．27C ．18D ．9 5. 已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S . 若4233,2 S S a ==，则1a =( )A ．14 B ．12C ．1D ．4 7. 已知函数11,2()2log (0,1),2a x x f x x a a x ⎧+≤⎪=⎨⎪>≠>⎩且在R 上单调递增，则实数a 的取值范围ODCP Q是( )A ．(1,+)∞B ．()2,+∞ C ．)2,⎡+∞⎣ D. (1,2⎤⎦8. 函数2()cos ()x x e e xf x x--=的部分图象大致是( )9. 已知错误!未找到引用源。
2021届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学(文)试题(原卷版)参照模板
2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数学(文科)试题卷一、选择题1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A. {1} B. {12}， C. {0123}，，， D. {10123}-，，，， 2.复数341iz i-=-(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设3434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，243b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c的大小顺序是( )A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<4.设a 为实数，直线1:10l ax y +-=，()2:120l x a y a +--=，则“12a =”是“12l l ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是( )A.89B.910C.1011D.11126.一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为( )3mA. 6π+B. 5π+C. 62π+D. 52π+7.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，则AB AD ⋅=( ) A. 3B. 6C. 9D. 128.已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 在,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的值域为( )A. 2,2⎡-⎣B. (2,2-C. 2⎡⎤-⎣⎦D. (2⎤-⎦9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>离心率为2，其焦点到渐近线的距离为3()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为( )A. 2B. 4C. 6D. 810.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( ) A. aB. bC. cD. d11.在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若2a =，且()()cos sin 2sin 22A B C C ππ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则c 的取值范围为( )A. 2⎫⎪⎪⎝⎭B. 2,23⎛⎫⎪⎝⎭C. ⎝⎭D. 23⎛⎝⎭12.定义在R 上且周期为4的函数()f x 满足：当[)1,3x ∈-时，()1,102ln 2,03xx f x x x ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<<⎩，若在区间[]0,4上函数()()1g x f x ax =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1ln 310,,143+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B. 1ln 310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C. 1ln 310,,243+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D. 1ln 310,,233+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭二、填空题13.等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()2ln 2f x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2--处的切线斜率为______.15.设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M ，函数y =x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点不落在N 内的概率为______.16.已知一个圆锥，其母线与底面的夹角的余弦值为13.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.(1)求证：数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T (单位：吨)的频率分布直方图，如图一.(1)求a 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月；(2)已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：℃)的关系可用回归直线0.42ˆTt =+模拟.2019年当地月平均气温t 统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T 月的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =.点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，SA 平面BEF .(1)求实数λ的值；(2)求四棱锥F EBCD -的体积.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过圆22:4230Q x y x y +--+=的圆心Q ，且右焦点与抛物线23y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQBSAQB =∠，求直线l 的方程.21.已知函数()ln f x x m x =-，m R ∈，()f x '是()f x 的导函数. (1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若0m >，120x x <<，若存在0x ，使得()()()12012f x f x f x x x --'=，试比较12x x +与02x 的大小.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为212222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为：()23cos24ρθ-=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程;(2)若点M 在曲线2C 上运动，求点M 到曲线1C 距离的最小值及对应的点M 的坐标. 23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>. (1)当1ab =时，证明：()2f x ≥；(2)若()f x 的值域为[)2,+∞，且()35f =，解不等式()4f x ≥.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2020年秋高三(上)期末测试卷数学答案(重庆一诊)
重庆市2021高三一诊考试微博关注：橙子辅导正式考试试卷及答案发布于微博：橙子辅导请私信博主获取答案及解析以下仅为考试复习资料章，是紧迫的时代命题。
今天的中国正处于历史发展的关键时期，复杂的世界大变局、快速变革的科技创新、新知识新思想对人类的召唤，都是新的机遇和挑战。
新一代的中国青年既是有格局、有才华、善学习，深具创新精神的“后浪”；也是能吃苦、敢担当，传承历史的“前浪”。
我们正值高二年级，也正值青春美好时期，我们是新一代的中国青年，相信新一代的中国青年们定能以更昂扬的精神、更坚定的信念面对现实和未来，而这正是百年传承的五四精神在今天的意义。
角度三青年的姿态决定未来与希望。
今天的中国青年，比以往任何时候都更能够在放眼世界中认识自己的使命。
2020年注定是不寻常的一年，而中国青年成为了这不寻常年份里最闪耀的新星，他们的担当、勇气、智慧赢得了举国上下的信赖和赞誉。
冲锋在抗疫最前沿——在4.2万多名援鄂医务人员中，有1.2万多人是“90后”，其中相当一部分还是“95后”甚至“00后”；他们是科研人员——夜以继日加速实验、合作攻关，在疫苗、药品、治疗方法、病毒溯源等各个方面寻找突破口；他们是社区工作人员——高负荷运转默默承担最基础、繁琐的工作……在这场没有硝烟的战斗中，青年人冲锋在科研攻关、基础建设、能源交通、物资保障、志愿服务的各条战线上，奋力前行、彰显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷。
在摆脱贫困走向富裕的征途中，青年也正在“打头阵”。
2019年6月，广西百色市乐业县第一书记黄文秀为扶贫事业献出了年仅30岁的宝贵生命，她的事迹被广为传颂。
实际上，在20万驻村第一书记、上百万正在开展脱贫工作的同志中，青年是主力军。
他们在异常艰苦的条件下带领人民群众创造财富，一起努力奔向小康、奔向幸福；在不断的探索、开拓创新中因地制宜地寻找脱贫致富的道路。
角度四我们赞美青春，也常常会听到鞭策之声。
从“莫让青春染暮气”到“精致的利己主义”，从“娱乐的自我消费”到“空心病”“焦虑症”……每一代年轻人的成长都或多或少地伴随着质疑、批评。
20-20学年重庆一中高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年重庆一中高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x∈R|x2<3x}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=()A. {x|−1<x<0}B. {x|−1<x<3}C. {x|0<x<2}D. {x|0<x<3}2.已知i是虚数单位，复数z=1−3i在复平面内对应的点位于()1+iA. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3，则a，b，c的大小为()3.已知a=21.1,b=30.6,c=log12A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c4.已知直线l1：mx+y−1=0，直线l2：(m−2)x+my−1=0，则“l1⊥l2”是“m=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 5040B. 4850C. 2450D. 25506.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 13+2πB. 23+2πC. 13+πD. 23+π7. 在正三角形ABC 中，AB =3，D 是BC 上一点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 152B. 92C. 9D. 68. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π6B. π3C. −π6D. −π39. 已知斜率为k =1的直线与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)交于A 、B 两点，若A 、B 的中点为M(1,3)，则双曲线的渐近线方程为( )A. x ±√3y =0B. √3x ±y =0C. x ±2y =0D. 2x ±y =010. 一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c.如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( )A. aB. bC. cD. d11. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若，则的取值范围为( )A. (√2,√3)B. (1,√2)C. (√2,√6)D. (1,√6)12. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,2]C. (−1,1]D. (−1,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等比数列{a n }中，a 1a 4a 7=8，则a 4=______．14. 已知f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=e x +x 2，则曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为______ ． 15. 矩形区域 ABCD 中，AB 长为 2 千米，BC 长为 1 千米，在 A 点和 C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为______． 16. 已知圆锥的顶点为P ，母线PA 与底面所成的角为30°，底面圆心O 到PA 的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }满足a n+1=2a n +n −1，且a 1=1．(1)求证：{a n +n}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ．18. 空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位：μg/m 3)为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2017年8月18日某省x个监测点数据统计如下空气污染指数[0,50](50,100](100,150](150,200](单位：μg/m3)监测点个数1540y10(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图．(2)在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？19.已知：如图，在四棱锥P−ABCD中，△BCD为等边三角形，BD=2√3，PA=√2，AB=AD=PB=PD，∠BAD=120°．(Ⅰ)若点E为PC的中点，求证：BE//平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P−ABCD的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(0,2)，离心率是√63．(1)求椭圆C的方程．(2)直线l过点N(2,0)且交椭圆C于A、B两点，若∠AOB=90°(其中O为坐标原点)，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=ax2−x−2lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)的一个极值点为x=1，求函数f(x)的极值；(2)讨论f(x)的单调性．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 设函数f(x)=|x +1a |+|x −a|(a >0)．(Ⅰ)证明：f(x)≥2；(Ⅱ)若f(3)<5，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了并集及其运算，先得出集合A ，再求并集即可． 解：集合A ={x ∈R|x 2<3x}={x|0<x <3}， 又B ={x|−1<x <2}， 则A ∪B ={x|−1<x <3}， 故选B ．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵z =1−3i 1+i=(1−3i)(1+i)(1+i)(1−i)=2−i ，∴z 在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限． 故选A ．3.答案：D解析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：a =21.1>2，0<b =30.6=√335<√255=2，c =log 123<0， ∴a >b >c ． 故选：D ．4.答案：B解析：解：直线l1：mx+y−1=0，直线l2：(m−2)x+my−1=0，若“l1⊥l2”，则m(m−2)+m=0，解得m=0或m=1，故“l1⊥l2”是“m=1”的必要不充分条件，故选：B．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．根据框图的流程判断算法的功能是求S=0+2+4+⋯+98，由此计算输出S的值.解：由程序框图分析可知：第一次循环：S=0+0，i=2；第二次循环：S=0+2，i=4；第三次循环：S=0+2+4，i=6；…；当i=100时循环结束，=2450，此时S=0+2+4+⋯+98=49×(2+98)2故输出的结果为2450，故选C．6.答案：C解析：本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：12×π×12×2=π 三棱锥的底面面积为：12×2×1=1，高为1，故体积为：13， 故组合体的体积V =13+π， 故选C ．7.答案：A解析：解：如图所示，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=3×3×(−12)=−92．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32−92×13=152．故选：A ．利用向量的运算法则和数量积运算即可得出． 熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．8.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．由函数图象的顶点求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值． 解：由函数的图象顶点坐标可得A =2，再根据 ，求得ω=2．再根据五点法作图可得，可得φ=π3，故选B ．9.答案：B解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1两式相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2−(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=1，∴斜率为k=1的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，A、B的中点为M(1,3)，∴k⋅k OM=b2a2=1×31，∴y=±bax=±√3x．故选：B．利用点差法，可得k⋅k OM=b2a2=1×31，即可求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程，考查点差法，得出k⋅k OM=b2a2=1×31是关键．10.答案：A解析：本题考查了合情推理，属于基础题．分析题意，进行推理即可．解：由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c;乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d;丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c;丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的3号门中有d 是正确的；丙同学说的2号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的;则可判断在1，2，3，4四扇门中，分别存有b，c，d，a，所以4号门里是a ．故选A．11.答案：A解析：本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．利用正弦定理可得a2=2bc，由余弦定理，配方化简，结合锐角三角形求出结论．解：因为sin2A=2sinBsinC，由正弦定理可知a2=2bc，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−2bc−2bccosA，即(b+c)2=2a2+a2cosA，因为三角形ABC是锐角三角形，所以0<cosA<1，所以，即．故选A．12.答案：A解析：主要考查了函数的零点与方程的跟的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键．解：由题意可知：函数f(x)的图象如下：由关于x的方程f2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解，可知方程a=f(x)与f(x)=0恰有三个不同的实数解，由于f(x)=0只有一个解x=1，所以方程a=f(x)恰有两个不同的实数解，即函数y=a与函数y=f(x)的图象恰有两个不同的交点．由图象易知：实数a的取值范围为(0,1]．故选A．13.答案：2解析：解：由等比数列{a n}的性质可得：∵a1a4a7=8，则a43=8，解得a4=2．故答案为：2．由等比数列{a n}的性质可得：a1a4a7=8，则a43=8，解得a4．本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：1e−2解析：解：设x>0，则−x<0，f(−x)=e−x+x2，由f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，即f(x)=−e−x−x2，x>0．导数为f′(x)=e−x−2x，则曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1e−2．故答案为：1e−2．设x>0，则−x<0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x>0的解析式，求得导数，代入x=1，计算即可得到所求切线的斜率．本题考查函数的奇偶性的定义的运用：求解析式，考查导数的运用：求切线的斜率，求得解析式和导数是解题的关键，属于中档题．15.答案：1−π4解析：解：∵如图，扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE的面积为S1=14×π×12=π4，同理可得，扇形CBF的在，面积S2=π4，又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2，∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P=2−π22=1−π4，故答案为：1−π4．根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为π2，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2−π2，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．本题着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．16.答案：64π3解析：解：依题意得，圆锥底面半径r =1sin30∘=2，高ℎ=1sin60∘=2√33． 设圆锥外接球半径为R ，则R 2=r 2+(R −ℎ)2， 即R 2=22+(R −2√33)2，解得：R =4√33． ∴外接球的表面积为S =4πR 2=64π3．故答案为：64π3．根据轴截面可求得圆锥底面半径和高，根据勾股定理构造出关于外接球半径R 的方程，解出R 后代入球的表面积公式可求得结果．本题考查圆锥的外接球表面积求解问题，属于基础题．17.答案：(1)证明：∵a n+1=2a n +n −1，∴a n+1+(n+1)a n +n=2a n +n−1+(n+1)a n +n=2，∴数列{a n +n}为等比数列； (2)解：∵a 1+1=2，∴数列{a n +n}是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n +n =2n ，即a n =−n +2n ，∴S n =−(1+2+⋯+n)+(21+22+⋯+2n ) =−n(n +1)2+2(1−2n )1−2=2n+1−n(n+1)2−2．解析：本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． (1)利用a n+1=2a n +n −1化简a n+1+(n+1)a n +n即得结论；(2)通过a 1=1可知数列{a n +n}是首项、公比均为2的等比数列，进而可求出数列{a n }的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论．18.答案：解：(1)∵0.003×50=15x ，∴x=100，∵15+40+y+10=100，∴y=35，即40100×50=0.008，35100×50=0.007，10100×50=0.002，频率分布直方图如图所示：(2)在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点，空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a，b，c，d，空气污染指数为150～200的1个监测点记为E，∴从中任取2个的基本事件分别为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(c,d)，(c,E)，(d,E)共10种，其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)共6种，∴事件A“两个都为良”发生的概率是P(A)=35．解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．(1)根据频率分布直方图，利用频率=频数样本容量，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；(2)利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．19.答案：(Ⅰ)证明：取CD的中点为M，连接EM，BM．∵△BCD为等边三角形，∴BM⊥CD．∵∠BAD=120°，AD=AB，∴∠ADB=30°，∴AD⊥CD，∴BM//AD．又∵BM⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BM//平面PAD．∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM//PD．又∵EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EM//平面PAD．∵EM∩BM=M，EM⊂平面BEM，BM⊂平面BEM，∴平面BEM//平面PAD．又∵BE⊂平面BEM，∴BE//平面PAD；(Ⅱ)解：连接AC交BD于O，连接PO．∵CB=CD，AB=AD，∴AO⊥BD，O为BD的中点．又∵∠BAD=120°，BD=2√3，△PBD≌△ABD，∴AO=PO=1．又∵PA=√2，∴PA2=PO2+OA2，则PO⊥OA．又∵PO⊥BD，BD∩AO=O，AO⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴PO⊥平面ABD，即四棱锥P−ABCD的高为PO=1，∴四棱锥P−ABCD的体积V=13×(√34×(2√3)2+12×2√3×1)×1=4√33．解析：本题考查面面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(Ⅰ)取CD的中点为M，连结EM，BM.证明BM//AD.得到BM//平面PAD.再由E为PC的中点，M 为CD的中点，得EM//PD.进一步得到EM//平面PAD.利用面面平行的判定可得平面BEM//平面PAD.从而得到BE//平面PAD；(Ⅱ)连结AC交BD于O，连结PO.证明PO⊥OA.结合PO⊥BD，得到PO⊥平面ABD，即四棱锥P−ABCD的高为PO=1，代入棱锥体积公式求四棱锥P−ABCD的体积．20.答案：解：(1)将M(0,2)代入方程可得b2=4，离心率e2=c2a2=a2−b2a2=23，∴a2=12，∴C的方程为：x212+y24=1．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l方程为y=k(x−2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)， ∵∠AOB =90°，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 由{x 212+y 24=1y =k(x −2)， 可得(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−12=0， ∴x 1+x 2=12k 21+3k2，x 1⋅x 2=12k 2−121+3k 2，y 1⋅y 2=k 2(x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2−2(x 1+x 2)+4]=−8k 21+3k 2，∵x 1x 2+y 1y 2=0， ∴12k 2−121+3k 2+−8k 21+3k 2=0，∴4k 2−12=0， ∴k =±√3．∴直线l 的方程为y =√3x −2√3或y =−√x +2√3．解析：(1)利用已知条件求出a ，b ，c ，然后求解椭圆的离心率即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 方程为y =k(x −2)，利用直线的垂直，向量的数量积为0，联立直线椭圆方程组，结合韦达定理，求出直线的斜率，即可得到直线方程．本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)由已知，∵x =1是函数f(x)的一个极值点， ∴f′(1)=2a −1−2=0， ∴a =32，，，∴0<x <1时，f′(x)<0；x >1时，f′(x)>0， ∴f(x)的单调减区间为(0,1]，单调增区间为[1,∞)， ∴f(x)的极小值为f(1)=32−1=12，没有极大值;，当a ≤0时，f′(x)<0对x >0恒成立，f(x)是减函数， 当a >0，由f′(x)=0得x 1=1−√1+16a4a，x 2=1+√1+16a4a，显然x 1<0，x 2>0，且当0<x <x 2时，f′(x)<0，f(x)是减函数； x >x 2时，f′(x)>0，f(x)是增函数，综上，a ≤0时，f(x)的单调减区间为(0,+∞)，没有增区间， a >0时，f(x)的单调减区间为(0,1+√1+16a4a)，单调增区间为．解析：本题考查利用导数研究函数的极值与单调性，属于中档题． (1)由f′(1)=0，求得a 的值，代入函数方程分析单调性即可; (2)求出导数，然后分类讨论求解即可．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|． 所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：(Ⅰ)证明：∵a>0，f(x)=|x+1a |+|x−a|≥|(x+1a)−(x−a)|=|a+1a|=a+1a≥2√a⋅1a=2，故不等式f(x)≥2成立．(Ⅱ)∵f(3)=|3+1a|+|3−a|<5，∴当a>3时，不等式即a+1a <5，即a2−5a+1<0，解得3<a<5+√212．当0<a≤3时，不等式即6−a+1a <5，即a2−a−1>0，求得1+√52<a≤3．综上可得，a的取值范围(1+√52,5+√212).解析：(Ⅰ)由a>0，f(x)=|x+1a|+|x−a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立．(Ⅱ)由f(3)=|3+1a|+|3−a|<5，分当a>3时和当0<a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届重庆一中高三年级上学期期末考试数学(文)答案
……………………………………5分
（2）设点 ，则
点 到曲线Байду номын сангаас的距离
= （其中 ）
= ，…………………………………………………………………7分
当 时， ，此时 即 ,所以 ， ，故 ……………………………………………………………………………10分
又 ,
, , 平面 ,……………………9分
所以 =
…………12分
20.解：(1)因为抛物线的焦点为 ,所以 ,…………………………1分
因为 在椭圆 上,所以 ,由 ,得 , ,所以椭圆 的方程为 ………………………………………………………5分
(2)由 得: ,即 ,可得 ,……………………………………6分
（2）由回归直线方程 知, 对应的月平均气温刚好为
,………………………………………………7分
再根据图二可得,该居民2019年 月和 月的用水量刚好为 ,且该居民2019年有 个月每月用水量超过 ,有 个月每月用水量低于 ,…………………………………8分
因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有 个月(记为 )每月用水量超过 ,有 个月(记为 )每月用水量低于 ,从中抽取 个,有 , 共 种结果,……………10分
所以数列{ }是首项为2,公比为2的等比数列.…………………………6分
（2）由(Ⅰ)知 所以 ……………………………7分
所以
……………………………9分
………………………………………………………11分
…………………………………………………………12分
18.（1）由图一可知, ……3分
该居民月平均用水量 约为 ……6分
2019-2020学年重庆一中高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年重庆一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|560}A x x x =-+>，{|10}B x x =-<，则(A B =I ) A ．(,1)-∞ B ．(2,1)-C ．(3,1)--D ．(3,)+∞2．（5分）复数21ii-在复平面内对应的点为( ) A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)3．（5分）已知向量(1,)a m =r，(3,2)b =-r ，且()a b b +⊥r r r ，则m 等于( ) A ．8-B ．6-C ．6D ．84．（5分）圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则(a = )A ．43-B ．34-C D ．25．（5分）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．（5分）已知3x ln =，4log 2y =，12z e -=，则( ) A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<7．（5分）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织布9匹3丈．问：前半个月（按15天计）共织多少布？”已知1匹4=丈，1丈10=尺，可估算出前半个月一共织的布约有( ) A ．195尺B ．133尺C ．130尺D ．135尺8．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m α⊥，n β⊥，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则函数()f x的单调递增区间为()A．7[,]() 1212k k k Zππππ++∈B．[,]()63k k k Zππππ-+∈C．5[,]()1212k k k Zππππ-+∈D．[,]()36k k k Zππππ-+∈10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．202021-B．202022-C．202121-D．202122-11．（5分）已知双曲线2222(0,0)x ya ba b->>的左、右焦点分别是1F，2F，过2F的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若112||||PF F F=，且22||2||QF PF=，则该双曲线的离心率为( )A．53B．73C51+D31+12．（5分）已知()f x是定义在R上的奇函数，当[2x∈-，0]时，2()2f x x x=+，且当0x…时，满足()3(2)f x f x=+，若对任意[x x∈，)+∞，都有7()144f x„，则x的取值范围是( )A．17[,)4+∞B．23[,)4+∞C．11[,)2+∞D．15[,)2+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件10210x yx yx--⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则2xz y=-+的最小值为．14．（5分）在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮．已知某同学投篮一次命中的概率是23，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是．15．（5分）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 ． 16．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12()3n n n S a n N =-∈，2020S = ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在ABC ∆中，D 是BC 的边上的点，35cos ,cos 55BAD ADC ∠=∠=-．（1）求sin B 的值；（2）若22BD DC ==，求AC 的长．18．（12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？ （2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，PB AC ⊥，222PA PB AB CD ====，3AC =．（1）证明：AC ⊥平面PBD ；（2）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角E AB D --的余弦值．20．（12分）已知点(,0)A m -，(,0)B m 是坐标轴上两点，动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3m-（其中m 为常数，且3)m >．记P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过点A 斜率为(0)k k >的直线与曲线C 交于点M ，点N 在曲线C 上，且AM AN ⊥，若3||||AM AN =，求k 的取值范围． 21．（12分）已知函数2()f x x x xlnx =+-．（1）设()()h x f x '=，（其中()f x '是()f x 的导数），求()h x 的最小值； （2）设()()x a g x e x af x -=+-，若()g x 有零点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (01sin x r r y r αα⎧=+⎪>⎨=+⎪⎩，α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足3MON π∠=，求MON ∆面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >且222a b +=． ()I 若是2214|21||1|x x a b +---…恒成立，求x 的取值范围； （Ⅱ）证明：5511()()4a b a b ++…．2019-2020学年重庆一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|560}A x x x =-+>，{|10}B x x =-<，则(A B =I ) A ．(,1)-∞B ．(2,1)-C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【解答】解：根据题意，2{|560}{|3A x x x x x =-+>=>或2}x <， {|10}{|1}B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞I ； 故选：A ． 2．（5分）复数21ii-在复平面内对应的点为( ) A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)【解答】解：复数2222(1)222211(1)(1)12i i i i i ii i i i i ++-+====-+--+-．∴复数21ii-在复平面内对应的点为(1,1)-． 故选：B ．3．（5分）已知向量(1,)a m =r，(3,2)b =-r ，且()a b b +⊥r r r ，则m 等于( ) A ．8-B ．6-C ．6D ．8【解答】解：Q (1,)a m =r，(3,2)b =-r ，∴(4,2)a b m +=-rr，又()a b b +⊥rr r ，34(2)(2)0m ∴⨯+-⨯-=，解得8m =．故选：D ．4．（5分）圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则(a = )A ．43-B ．34-C D ．2【解答】解：由题意可得圆的圆心坐标为：(2,3)，所以圆心到直线的距离2d==，解得34a=-，故选：B．5．（5分）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有( )A．12种B．24种C．36种D．48种【解答】解：先把甲乙捆绑在一起看做一个元素，再和戊全排，形成3个空，然后插入丙、丁，故排法有22222324A A A=g g种，故选：B．6．（5分）已知3x ln=，4log2y=，12z e-=，则()A．x y z<<B．z x y<<C．z y x<<D．y z x<<【解答】解：1x>Q，12y=，1(2z=，1)．y z x∴<<．故选：D．7．（5分）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织布9匹3丈．问：前半个月（按15天计）共织多少布？”已知1匹4=丈，1丈10=尺，可估算出前半个月一共织的布约有()A．195尺B．133尺C．130尺D．135尺【解答】解：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项15a=，记公差为d，则3030295303902S d⨯=⨯+=，所以1629d=，所以1515141616155********.922929S⨯=⨯+⨯=+⨯≈故选：B．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若mα⊥，nβ⊥，则“m n⊥”是“αβ⊥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为m α⊥，n β⊥， 则“m n ⊥” ⇔ “αβ⊥”，即“m n ⊥”是“αβ⊥”的充要条件， 故选：C ．9．（5分）将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为( ) A ．7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ 【解答】解：将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移14个周期后，即向右平移12424ππ=g 个单位，所得图象对应的函数为()sin(2)sin(2)236f x x x πππ=-+=-，令222262k x k πππππ--+剟，求得63k x k ππππ-+剟，故函数()f x 的增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈，故选：B ．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．202021-B ．202022-C ．202121-D ．202122-【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知， 该程序运行后输出的结果为202023202020212(12)22222212S -=+++⋯+==--．故选：D ．11．（5分）已知双曲线2222(0,0)x y a b a b->>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112||||PF F F =，且22||2||QF PF =，则该双曲线的离心率为( )A ．53B ．73C D 【解答】解：由题意，112||||2PF F F c ==，而12||||2PF PF a -=， 则2||22PF c a =-，22||2||44QF PF c a ==-， 故1||42QF c a =-，2121cos cos PF F QF F ∠=-∠Q ，∴根据余弦定理，有222222(22)(2)(2)(44)(2)(42)2(22)22(44)2c a c c c a c c a c a c c a c-+--+--=---， 即22222216()44(2)(22)(2)(2)2c a c c a c a c c -+---+-=-．整理，得223850c ac a -+=， 23850e e ∴-+=，解得53e =，或1e =（舍去）．故选：A ．12．（5分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[2x ∈-，0]时，2()2f x x x =+，且当0x …时，满足()3(2)f x f x =+，若对任意0[x x ∈，)+∞，都有7()144f x „，则0x 的取值范围是( )A ．17[,)4+∞B ．23[,)4+∞ C ．11[,)2+∞D ．15[,)2+∞【解答】解：任取[0x ∈，2]，则[2x -∈-，0]，2()()2()f x x x -=-+-，()f x 是奇函数，故2()2(02)f x x x x =-+剟， 此时()max f x f =（1）1=；当0x …时，1(2)()3f x f x +=， 任取[4x ∈，6]，则4[0x -∈，2]，211111()(2)(4)(4)[(4)2(4)]33399f x f x f x f x x x =-=-=-=--+-g ， 此时1()(5)9max f x f ==； 同理当[6x ∈，8]时，21()[(6)2(6)]27f x x x =--+-， 此时1()(7)27max f x f ==；而171914427>>， 故存在0[5x ∈，6]，使得07()144f x =， 此时21()[(4)2(4)]9f x x x =--+-，令217[(4)2(4)]9144x x --+-=，解得234x =． 则0x 的取值范围是23[4，)+∞， 故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x ，y 满足约束条件102100x y x y x --⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则2x z y =-+ 的最小值为 1- ． 【解答】解：画出约束条件102100x y x y x --⎧⎪-+⎨⎪⎩„……表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数12z x y =-+过点A 时取得最小值，由010x x y =⎧⎨--=⎩，解得(0,)A -，代入计算0(1)1z =+-=-，所以12z x y =-+的最小值为1-．故答案为：1-．14．（5分）在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮．已知某同学投篮一次命中的概率是23，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是 827． 【解答】解：某同学投篮一次命中的概率是23，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．该同学恰好投3次就通过测试是指该同学前两次投篮投中一次，且第三次投中， 则该同学恰好投3次就通过测试的概率是：2232128()()()33327P C ==． 故答案为：827． 15．（5分）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 30 ． 【解答】解：当21(1)x +选择1时，6(1)x +展开式选择2x 的项为226C x ；当21(1)x +选择21x 时，6(1)x +展开式选择为446C x ， 所以621(1)(1)x x++展开式246630C C +=； 故答案为：30．16．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12()3n n n S a n N =-∈，2020S = 202011(1)43- ． 【解答】解：当1n =时有11123a a =-得113a =，当2n …时，111123n n n S a ---=-①， 又123n n nS a =-②， ②-①得1111233n n n n na a a --=-+-， 整理得123n n n a a -+=； 于是2n =得21223a a +=，4n =得43423a a +=， 6n =得65623a a +=，⋯， 20182017201823a a +=， 20202019202023a a +=；1010202024620162018202022020122222211192(1())(1)133333334319S =+++⋯+++=⨯-=--．故答案为：202011(1)43-三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在ABC ∆中，D 是BC的边上的点，3cos ,cos 5BAD ADC ∠=∠=．（1）求sin B 的值；（2）若22BD DC ==，求AC 的长． 【解答】（本小题满分12分）解：（1）Q cos cos()cos ADB ADC ADC π∠=-∠=-∠=，(0,)ADB π∠∈，∴sin ADB ∠=2'⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ Q 3cos ,(0,)5BAD BAD π∠=∠∈，∴4sin 5BAD ∠=．4'⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯sin sin[()]sin()B BAD ADB BAD ADB π∴=-∠+∠=∠+∠43sin cos cos sin 55BAD ADB BAD ADB =∠∠+∠∠=+=．6'⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin sin AD BDB BAD =∠，245=，∴AD 9'⋯⋯⋯⋯⋯ 在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos 51218AC AD DC AD DC ADC =+-∠=++=g g ，∴AC =12'⋯⋯⋯18．（12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？ （2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好， （2）乙频率分布直方图如右图所示，（3）甲乙不低于14（0分）的成绩共5个，则ξ的取值为0，1，223253(0)10C PC ξ===；1123256(1)10C C P C ξ===；22251(2)10C P C ξ===所以ξ的分布列为：ξ 0 1 2P310610 110数学期望361()0120.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯=．19．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，PB AC ⊥，222PA PB AB CD ====，3AC =．（1）证明：AC ⊥平面PBD ；（2）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角E AB D --的余弦值．【解答】解：（1）证明：等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，OAB OCD ∆∆∽，∴2OA ABOC CD==， 又3AC =，2OA OB ∴==，1OC OD ==，于是222OA OB AB +=，则OA AB ⊥，即AC BD ⊥， 又PB AC ⊥且BD PB B =I ，AC ∴⊥平面PBD ；（2）连结PO ，由（1）知AC ⊥平面PBD ，AC PO ∴⊥，∴222PO PA OA =-=， 222PO BO PB +=，即PO BO ⊥，且BO AC O =I ，故PO ⊥平面ABCD ， 如图建立O xyz -直角坐标系，平面ABD 的法向量(0,0,1)m =r，//OE Q 平面PAD ，OE ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PAD PA =， //OE PA ∴，而O 为AC 的三等分点，E ∴是PC 三等分点，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，(1C -，0，0)，(0D ，1-，0)，(0O ，0，0)(0P ，0，2)，由1112(1,0,2)(,0,)3333CE CP ===u u u r u u u r ，22(,0,)33E -，在ABE ∆中，(2,2,0)AB =-u u u r ，82(,0,)33AE =-u u u r ，设(,,)n x y z =r为平面ABE 的法向量，由00AB n AE n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r rg ，220502x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得(1,1,4)n =r ， 设求二面角E AB D --的平面角为θ，则22cos ||||111618n m n m θ====++r rg r r ．20．（12分）已知点(A，B 是坐标轴上两点，动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3m-（其中m 为常数，且3)m >．记P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过点A 斜率为(0)k k >的直线与曲线C 交于点M ，点N 在曲线C 上，且AM AN ⊥，若3||||AM AN =，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）设点(,)P x y，可得PA k =，PB k =，223PA PBy k k x m m==--，整理得2233my x m =-+，即2233x my m +=， 得2213x y m +=，因直线PA 与PB 的斜率存在，故0y ≠，221(0)3x y y m +=≠为所求轨迹方程； 因为3m >，曲线C 表示去掉左右顶点，焦点在x 轴上的椭圆；（2）AM的方程为(y k x =+，联立2213(x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得22222(3)230mk x x m k m +++-=，解得x =或x =，||AM =， AN 的方程为(y k x '=+，同理可得||AN =，把1k k '=-代入得||3AN k==+， 因为3||||AM AN =，所，因0k >，=，23933k m k mk +=+整理得23933k k m k -=-， 而3m >，则239333k k k ->-，即23313k kk ->-，2333303k k k k --+>-，即3233(1)03k k k k +-+<-，即有223(1)3(1)03k k k k +-+<-，即23(1)(3)(3)0k k k +--<，由210k +>，得3(3)(3)0k k --<，即2(3)(0k k k --++<，即20k ，得(3)(0k k -<，解得3k <．21．（12分）已知函数2()f x x x xlnx =+-．（1）设()()h x f x '=，（其中()f x '是()f x 的导数），求()h x 的最小值； （2）设()()x a g x e x af x -=+-，若()g x 有零点，求a 的取值范围．【解答】解：（1）1()21()21f x x lnx x x nx x '=+-+=-g ，()2h x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，因为121()2x h x x x-'=-=， 易得102x <<时，()0h x '<，()h x 单减；12x >时，()0h x '>，()h x 单增， 故11()()11222min h x h ln ln ==-=+，（2）①故当0a „时，由（1）知()()120h x f x ln '==>…，故2()f x x x xlnx =+--单增， 当1x …时，()f x f …（1）20=>；当01x <<时，0xlnx <，20x x +>，故()0f x >； 而0x a e x -+>，故0a „时，()()0x a g x e x af x -=+->，此时()0g x =无解；221()()()()()x a x a g x e x a x x xlnx e a x x xlnx x a e ϕ-=+-+-=-+-+=g ，因20x x xlnx +-->，101e<<， 故ϕ（a ）是a 的减函数；②当01a <<时，ϕ（a ）ϕ>（1）1212x x e x x xlnx x e x xlnx --=--++=-+， 令12()x p x e x xlnx -=-+，显然p （1）10()21x p x e x lnx -'==--++，p '（1）0=，1111()2(1)12220x p x e x x x x x -''=-+-+-+=+-=厖?，函数()p x '单调递增又p '（1）0=，故01x <<时，()0p x '<，()p x 单减；1x >时，()0p x '>，()p x 单增， 故()min p x p =（1）0=，ϕ（a ）ϕ>（1）()0p x =…，此时()0g x =无解； ③当1a =时，()()g x p x =，此时g （1）p =（1）0=，即()0g x =有零点； ④当1a >时，()g x ϕ=（a ）ϕ<（1）()p x =，令1x =有g （1）p <（1）0=， 下证存在0x 使得0()0g x >，2()()(1)x a x a g x e x a x x xlnx e x xa x lnx --=+-+--=+-++， [1(1)]()01(1)0x a lnx x a lnx x e a x lnx g x e a x lnx ----=+-+->⇔+-+->， 令()1(1)0x a lnx h x e a x lnx --=+-+->， 令2a x e =，则22222232()1(1)1(12)aaaa e a lne a a eaa h e e a e lne e a e a ---=+-+-=+-+-，2232232212(12)aaeaa eaa e ae a a e ae a a --=+--+=-+-+，而2120a a -+>，只需2320ae aa e ae --…， 则23222232322200325a aaea aa a eaa a a e ae e ae lne lnae e a lna a e lna a ----⇔⇔⇔⇔-+⇔+厖厖?，记p （a ）25a e lna a =---，21()25a p a e a'=--单增，p （a ）p '>（1）2250e =->， 故p （a ）单增，p （a ）p >（1）250e =->，故存在20a x e =，使得0()0g x >，由前g （1）0<，故()0g x =在2(1,)a e 有解．综上所述，当1a …时，()0g x =有零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (01sin x r r y r αα⎧=+⎪>⎨=+⎪⎩，α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足3MON π∠=，求MON ∆面积的最大值．【解答】解：（1）直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，∴2r ==，∴曲线C 的普通方程为22((1)4x y -+-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， ∴4sin()3πρθ=+．（2）由（1）不妨设1(M ρ，)θ，21(,)(3N πρθρ-，20)ρ>，12121sin 4sin()4sin()23333MON S ππππρρρθθ∆===+-+g1sin()(sin )32πθθθθθ=+=+21cos2cos )3(2)2θθθθθ-==+112cos2)22θθ=+)6πθ=-MON ∴∆面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >且222a b +=． ()I 若是2214|21||1|x x a b+---…恒成立，求x 的取值范围； （Ⅱ）证明：5511()()4a b a b++…．【解答】解：（Ⅰ）a Q ，(0,)b ∈+∞，且222a b +=，∴22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b+=++=+++19(522+=…， 则9|21||1|2x x ---„， 当12x „时，不等式化为91212x x -+-„，解得9122x -剟， 当112x <<，不等式化为92112x x -+-„，解得112x <<， 当1x …时，不等式化为92112x x --+„，解得912x剟， 综上所述x 的取值范围为9[2-，9]2；（2）证明：5511()()a b a b++5544a b a b b a=+++5522222()2a b a b a b b a=+-++2242a b -+…22224224a b a b =-+=，当且仅当1a b ==时，取得等号． 另解：由柯西不等式可得555522222211()()][()()]a b a ba b ++=++ 55222222()4aba b=+=，当且仅当a b =时，取得等号．。
2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学(文)
秘密★启用前 【考试时间：1月19 日］2A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D .第四象限3.（原创）设a3234 4 3-,b - , c log 2—，则a,b,c 的大小顺序是(432A. ba cB .c ab C . bc aD . a c b4.( 原 创 ) 设a 为 实 数，直线l 1 : ax y 1 0112:xa 1 y 2a0则 “是“ hI 2 ”的（）2C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（ A.10 10116. 一个几何体的三视图如右图所示（单位:11 12m ，则该几何体的体积为（）m 3 A. 6B . 5C. 6 2D. 5 27.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB 3, BD 2,则AB AD =()A. 3 B . 6 C9 D . 122020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数学（文科）试题卷 2020.1注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60分）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。
1 •已知集合 A {1,2,3}，B {x|（x 1）（x 2） 0,x Z}，则 AU B （）1,2C .0,1,2,3 D . 1,0,1,2,33 4i2.复数z（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）1 iA. 1B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )i!沁間其焦点到渐近线的距离为.3，过点P 2,1的直线m 与双曲线E 交于A,B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（）A. 2B. 4 C. 6 D. 810.元旦晚会一次猜奖游戏中， 1、2、3、4四个盒子里摆放了 a b 、c 、d 四件奖品（每个盒里仅放一件）.甲同学说：1号盒里是b , 3号盒里是c ；乙同学说：2号盒里是b , 3号盒 里是d ；丙同学说：4号盒里是b , 2号盒里是c ； 丁同学说：4号盒里是a , 3号盒里是c . 如果他们每人都猜对了一半，那么 4号盒里是（ ）A.aB .b CcD. d11. （原创）在锐角三角形ABC 中， 内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b c .若a 2，且cos -Asin B C2 si n2C ，则c 的取值范围为（)2A.2.5B .2 C.2翻 2/3 D. 2 2 3,2,2—535 , 33 ,312 . 定义 在R 上 且周期为4 的函数fx 满 足 :当x 1,3 时，f x1 x2,1 x，若在区间 0,4上函数g xf x ax 1恰有三个不同的零ln x 2,0 x 3点，则实数a 的取值范围是（ ）A.0=Uln 3 」,1 B-0,3Uln 3 1,33C.1ln 3 11ln3 1U3,2D.U3 ,2第U 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
重庆市第一中学2020届高三数学上学期10月考试试题文2020010803100
重庆市第一中学2020届高三数学上学期10月考试试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）1. 设集合{}220M x x x =-++≥，{}1N x x =<，则M N =U ( )A ．{}1x x < B ．{}11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤< 2. 已知复数z 满足1z i =+（其中i 为虚数单位），则zz=( ) A．22- B．22+ C ．3. 已知向量(1,1)a =r ，(1,1)b =-r，则2a b +=r r ( )A ．10 B．5 D4. 已知数列{}n a 是等差数列且0n a >，设其前n 项和为n S . 若2195a a a +=，则9S = ( )A ．36B ．27C ．18D ．9 5. 已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S . 若4233,2 S S a ==，则1a =( ) A ．14 B ．12C ．1D ．4 7. 已知函数11,2()2log (0,1),2a x x f x x a a x ⎧+≤⎪=⎨⎪>≠>⎩且在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,+)∞ B．)+∞ C．)+∞D. (8. 函数2()cos ()x x e e xf x x --=的部分图象大致是( )ODCP Q9. 已知错误!未找到引用源。
重庆市第一中学2020届高三上学期期末考试 数学(理)-含答案
秘密★启用前 【考试时间：1 月 19 日】2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数 学（理科）试 题 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，则A ．B ．C ．D ．2．复数在复平面内对应的点为A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1) 3．已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ，=，且()a b b +⊥r r r，则A ．6- B.6C.8D. 8-4．圆x 2+y 2-4x -6y +9=0的圆心到直线ax +y +1=0 的距离为2，则A.43-B.34- D.25. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有A ．12 种B ．24 种C ．36 种D ．48 种 6．已知x =ln3，y =log 42，12z e-=，则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x << 7．（原创）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈．问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有 A ．195尺 B ．133尺 C ．130尺 D ．135尺8．设m ,n 是两条不同的直线，a ,b 是两个不同的平面，且m ^a ,n ^b ，则“m ^n ”是“a ^b ”的A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．将函数的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为f (x )，则函数f (x )的单调递增区间为A. C.10A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>P ,Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且|QF 2|=2|A ．53 B ．7312. （原创）已知f (x )是定义在R 满足，若对任意A. B. 二、填空题（每题5分，满分2013．若x ,y 满足约束条件，则的最小值为_______________．14. 在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮. 已知某同学投篮一次命中的概率是23，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响. 那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是 .15．1+1x 2æèçöø÷1+x ()6展开式中2x 的系数为 . 16.（原创）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3N )n n nS a n =-∈，S 2020= . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在中，D 是BC边上的点，.（1）求sin B 的值； （2）若，求AC 的长.18．（本小题满分12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？ （2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.绩9676445914334622173298768758651545021532151413121110 9⼄甲19．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，，.（1）证明：平面PBD；（2）点E是棱PC上一点，且OE//平面PAD，求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）动点P满足直线PA与PB的斜率之积为（其中m为常数，且）. 记P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过点A斜率为k的直线与曲线C交于点M，点N在曲线C上，且，若，求k的取值范围.21．（原创）（本小题满分12分）已知函数.（1）设，（其中f'(x)是f(x)的导数），求h(x)的最小值；（2）设，若g(x)有零点，求a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C为参数). 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取两点M,N与原点O构成，且满足，求面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0,0,a b >>且222a b +=. （1）若对任意正数a ,b 恒成立，求x 的取值范围；（2）证明:。
2020届重庆市高三上学期期末测试卷理科数学( 一诊康德卷)(解析版)
2019年秋高三(上)期末测试卷理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足13iz z +=，则||z =( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由已知得113z i=-，根据复数的除法法则，求出z 的实部和虚部，即可求解. 【详解】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||10z =. 故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.2.已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为( ) A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，根据集合B 的元素特征，即可求解【详解】{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---，{}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.【点睛】本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题. 3.函数2log ()2x f x -=的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】运用对数的运算法则将函数()f x 化简为1()||f x x =，即可求解. 【详解】22log l g 1o )21(2xxf x x-===，()f x 为偶函数， 图像关于y 轴对称，当10,()x f x x>=. 故选:D.【点睛】本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题. 4.已知a R ∈，则“12a <”是“12a >”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式12a >，求出12a >的充要条件，与12a <对比，即可求解.【详解】12112002a a a a ->⇔<⇔<<， “12a <”是“12a >”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.5.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),的频率，可判断①；求出[200500),的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③. 【详解】由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++⨯=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+⨯=，①正确；[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++⨯=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45， 故中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，③正确.故选:D.【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题6.某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有( ) A. 36种 B. 54种 C. 58种 D. 72种【答案】B 【解析】 【分析】先考虑乙有13C 种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有13C 种可能，其他3名同学名次有33A 种，根据乘法原理，即可求解.【详解】根据题意5人的名次排列情况可能有11333354C C A =.故选:B.【点睛】本题考查排列组合混合应用问题，限制条件元素优先考虑，属于基础题7.已知平面非零向量,a r b r 满足：(4)(2)a b a b +⊥-r r r r，a r 在b r 方向上的投影为1||2b -r ，则a r 与b r 夹角的余弦值为( )A. B. 23-C. 13-D. 16-【答案】D 【解析】 【分析】设两向量夹角为θ，a r 在b r方向上的投影为1||cos ||2a b θ=-r r ，从而有21||2a b b ⋅=-r r r ，再由(4)(2)a b a b +⊥-r r r r，得出||a r 3b =r ，根据向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设两向量夹角为θ，则有1||cos ||2a b θ=-r r 21||2a b b ⇒⋅=-rr r ，(4)(2)a b a b +⋅-r r rr 22||28a a b b =+⋅-r r r r 22||9a b =-r r 0=||a ⇒r 3b =r ，所以cos ||||a ba b θ⋅=⋅rr r r21||2||||b a b -=⋅r r r 16=-. 故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积以及向量数量积的几何意义，考查向量的夹角，属于中档题. 8.已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是( )A. 221a b >+B. 122a b +>C. 24a b >D.1ab b>+ 【答案】D 【解析】 【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立； 令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D.【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9.孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n 而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为( )A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D 【解析】 【分析】根据循环体的结构特征从初始值25n =运行，直至满足22,35n n --均为整数，输出n . 【详解】22,35n n --为整数，则n 除以3,5的余数均为2， 25n >，32n =.故选:D.【点睛】本题考查循环结构输出的结果，关键要理解程序框图，属于基础题.10.已知AB 是圆22:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线20(0)x y a a +-=>上运动，若PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为4，则实数a 的值为( ) A. 2 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】将,PO OA PB PO PA OB +=+=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r 代入PA PB ⋅u u u r u u u r，结合,OA OB u u u r u u u r 是相反向量且模长为1，可得2||1PA PB PO ⋅=-u u u r u u u u u u r r ，由已知条件得出，||OP uuu r5O 到直线的距离为，即可求解.【详解】()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2||PO OA OB =+⋅u u u r u u u r u u u r 2||1PO =-u u u r ， 由题得||OP uuu r5即点O=5a⇒=.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性关系以及向量的数量积，解题的关键要把最值转化为点到直线的距离，属于中档题.11.已知双曲线2222:1x yCa b-=(0,0)a b>>的左焦点为(,0)F c-，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点(2,0)P c，则双曲线C的离心率为( )A.B.C. D. 2【答案】D【解析】【分析】设线段AB的中点坐标为()00,M x y，根据11,1,MF MPk k==-求出线段AB的中点M坐标，用点差法求出,a c关系，即可求解【详解】设线段AB的中点坐标为()00,x y，则有112yx cyx c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩,2cx⇒=32y c=，设1122(,),(,)A x yB x y，代入双曲线方程有，2222112222221,1x y x ya b a b-=-=两式相减得，1212121222()()()()1x x x x y y y ya b-+-+-=可得002210x ya b-⋅=，即2213,a b=223b a=，2,c a∴=2e=.故选:D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.12.关于函数()sin 2|sin |f x x x =⋅有下述四个结论：①()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称②()f x 的最大值为34③()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增④()f x 是周期函数且最小正周期为π 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】可证明()()f x f x π-=-，故①正确；由于()()f x f x π+=，π是()f x 的一个周期，设0x π≤≤，则2()2sin cos f x x x =()221cos cos x x =-，换元令cos [1,1]t x =∈-，设()3()2g t t t =-，求导，求单调区间，极值，得()g t ，故②不正确；由②得，()f x 在区间,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有单调性，故③不正确；由②得，π是()f x 的一个周期，用反证法证明最小正周期为π，故④正确. 【详解】①()sin(2)|sin |f x x x π-=-⋅()f x =-，所以成立.②因为()sin 2|sin |()f x x x f x π+=⋅-=，所以π是()f x 的一个周期，不妨设0x π≤≤，则2()2sin cos f x x x =()221cos cos x x =-，令cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()32t t =-，则有2()26g t t '=-，令20,()26g t t t ='==-，()0,g t t '><<()0,1133g t t t '<-≤<-<≤，则()g t 递增区间是⎛ ⎝⎭递减区间是[1-，，()g t ∴的极大值为g =⎝⎭(1)0g -=，所以最大值不为34. ③当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调. ④()sin 2|sin |()f x x x f x π+=⋅-=， 故该函数为周期函数，若T π<，则()sin(22)|sin()|f x T x T x T +=+⋅+()f x ≠， 故该函数最小正周期为π. 故选:D.【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键用换元法，将问题转化为用导数的方法研究函数的性质，考查用反证法证明命题，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为12，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为________. 【答案】34【解析】 【分析】甲队胜包含两种情况，第四场胜；或第四场负，第五场胜，分别求出概率相加，即可求解 【详解】甲得冠军则有：甲第四场胜，概率为12； 或第四场负，第五场胜，概率为111=224⋅， 甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为113+=244.故答案为:34.【点睛】本题考查互斥事件与相互独立同时发生概率，属于基础题.14.已知7270127(1)mx a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若435a =，则实数m =________.【答案】±1 【解析】 【分析】根据7(1)mx -展开式的通项公式，求出4x 系数，由条件得出关于m 的关系式，即可得出结论.【详解】4447()a C m =-435m =35=1m ⇒=±.故答案为:±1. 【点睛】 本题考查二项展开式项的系数，熟练掌握展开式的通项是解题关键，属于基础题.15.已知,6παβ+=tan 2tan αβ=，则sin()αβ-=________.【答案】16【解析】 【分析】tan 2tan αβ=化切为弦得到sin cos 2cos sin αβαβ=，由已知1sin()2αβ+=展开，可求得cos sin αβ的值，进而求出结论.【详解】tan 2tan αβ=sin cos 2cos sin αβαβ⇒=. 又sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+3cos sin αβ=12=1cos sin 6αβ⇒=， 则sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-cos sin αβ=16=. 故答案为:16. 【点睛】本题考查三角函数求值，考查两角和差的正弦公式应用，化切为弦是解题的关键，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足1cos(1)3n n a a n n π+=++，则数列{}n a 的前40项和为________. 【答案】1260 【解析】 【分析】21222121cos(21)6+36cos 2636n n n n n a a n n a a a n n n n ππ+--+=-=++=--++-=，22113n n a a +-+=，相邻两个奇数项之和为3，2221cos(22)6+3n n a a n n π++=++2+122cos(21)6366+3+12n+3n n n a a n n n a n π+==++++-=，222123n n a a n +=++，分组并项求和，可得结果.【详解】研究奇数项有：133,a a +=573a a +=……， 相邻两个奇数项之和为3；研究偶数项有：2415,a a +=6839a a +=， 相邻两个偶数项之和构成等差数列； 所以前40项的和为10931015102412602⨯⨯+⨯+⨯=. 故答案为:1260.【点睛】本题考查数列分组并项求和，解题的关键是从递推公式找到数列项的特征，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.已知函数21()cos sin 2f x x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 为BC 边上一点，3BM MC =，若()1f A =，2,b =3c =，求AM .【答案】(1)最小正周期为π；增区间为,63k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z (2【解析】 【分析】(1)用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简()f x sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可求出周期，利用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求出函数递增区间；(2)()1f A =求出3A π=，以,AC AB u u u r u u u r 为基底，将AM u u u u r表示为1344AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，转化为求向量的模长，即可得出结论.【详解】解：(1)1cos 21()222x f x x -=+- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭T π⇒=.令222262k x k πππππ-+<-<+()63k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，所以增区间为,63k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z ；(2)()sin 26f A A π⎛⎫=-⎪⎝⎭1=， 50,,266662A A A ππππππ<<-<-<-= 3A π∴=，3,3,33BM MC BM MC AM AB AC AM ==-=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r，1344AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r 22216916AM AB AB AC AC ⎡⎤⇒=+⋅+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 6316=，所以||AM =u u u u r . 【点睛】本题考查三角函数化简，以及三角函数的性质，考查用向量的方法求边长，属于中档题. 18.某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A ，B ，C 三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为0.75.(1)若引种树苗A ，B ，C 各一棵，求至少自然成活2棵的概率；(2)已知引种一棵树苗B 需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B 中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B 及经人工栽培技术处理后成活的树苗B 在后期(成活后至长成可出售的小树)的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B 的总花费为X 元，求随机变量X 的分布列及数学期望. 【答案】(1)0.8625(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)分别求出两颗成活一颗不成活的概率和三颗均成活的概率，相加即可求解；(2)X 的可能取值为：100，150，300，350.分别求出(100)P X =，(150)P X =，(300)P X =，(350)P X =，写出分布列，按照期望公式，即可求解.【详解】解：(1)设事件D 为：引种三种树苗，至少自然成活2棵；则()0.80.750.2520.20.750.750.80.750.75P D =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.8625=； (2)X 的可能取值为：100，150，300，350. 则有：(100)(10.75)0.20.05P X ==-⨯=，(150)(10.75)0.80.20.04P X ==-⨯⨯=，9 (300)0.75P X ==，(350)(10.75)0.80.80.16P X ==-⨯⨯=，所以其分布列如下()1000.051500.043000.753500.16292E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率，以及互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.(1)证明：数列{}23n a n --是等比数列； (2)设2n n b n a =-，证明：1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；(2)由(1)求出n a ，进而求出323nn b =⨯-，根据()111232321n nn b =≤⨯-(1n =取等号)，要证1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立，转化为证等比数列12{}32n ⨯前n 项和小于或等于23，即可证明结论. 【详解】解：(1)当2n ≥时，由221122(1)n n n n S a n S a n --⎧=+⎨=+-⎩1221n n a a n -⇒=-+ []12322(1)3n n a n a n -⇒--=---，令1n =1121S a ⇒=+11a ⇒=-， 则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，12322(1)3n n a n a n ---=---故{}23n a n --为等比数列；(2)由(1)得1236232n nn a n ---=-⋅=-⨯，2332n n a n =+-⨯，323n n b =⨯-，()111232321n n n b =≤⨯-111(132n n -=⨯=时，取等号)， 所以原式01111322n -⎡⎤≤⨯+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦111211312n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⨯- 2121323n⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立. 【点睛】本题考查数列前n 项和与通项的关系，考查用定义证明数列是等比数列，考查证明数列和的不等号，将通项放缩是解题的关键点也是难点，属于中档题.20.已知圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，过圆O 上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹记为曲线Γ，设过原点O 且异于两坐标轴的直线与曲线Γ交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一个交点为M ，直线AC 与圆O 的另一个交点为N ，设直线AB ，AC 的斜率分别为1,k 2k . (1)求12k k ⋅的值；(2)判断||||||||AB AC AM AN +是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由. 【答案】(1)14-(2)是定值，定值为54【解析】 【分析】(1)设线段PQ 中点为(,)D x y ，则(,2)P x y ，将点P 代入圆方程，求出曲线Γ方程2214xy +=，设()0000,,0B x y x y ≠，则()00,C x y --，求出12k k ⋅，结合B 点在椭圆上，即可得出结论；(2)设(,),(,),(,),(,)B B C C M M N N B x y C x y M x y N x y ，||||||||||||||||C B M N y y AB AC AM AN y y +=+，分别设直线AB ，AC 为12,x m y =+22x m y =+，且121214m m k k ==-，将直线,AB AC 方程分别与圆、椭圆联立，求出,,,B C M N y y y y ，即可求出结果.【详解】解：(1)设线段PQ 中点为(,)D x y ，则(,2)P x y ，代入圆方程即得D 点轨迹方程为2214x y +=，设()00,B x y ，则()00,C x y --，且220014x y +=，则00120022y y k k x x -=⋅---2204y x =- 2020144x x -=-14=-；(2)分别设直线AB ，AC 为12,x m y =+22x m y =+， 且121214m m k k ==-， 122244x m y x y =+⎧⎨+=⎩()2211440m y m y ⇒++=12144B m y m ⇒=-+， 12224x m y x y =+⎧⎨+=⎩()2211140m y m y ⇒++=12141M m y m ⇒=-+， 同理可得：21222144,44C m m y m m =-=++1211616N m y m =+， 所以||||||||B M y AB AM y =21211,4m m +=+||||||||C N y AC AN y =()21211644m m +=+，所以()2121520||||||||44m AB AC AM AN m ++=+54=. 【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，合理应用两点间的距离公式是解题的关键，属于中档题. 21.已知函数()(2),()ln x f x e x g x x x =-=-.(1)求函数()()y f x g x =+的最小值；(2)设函数()()()h x f x ag x =-(0)a ≠，讨论函数()h x 的零点个数.【答案】(1)1e -(2)当e a <-时，()h x 有0个零点；当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，()h x 有2个零点. 【解析】 【分析】(1)令()()()x f x g x ϕ=+求导，令()0x ϕ'=，求出x 的值，进而求出单调区间，极小值，求出最小值；(2)求()g x '，求出单调区间和极值，得出()0>g x ，()0h x =等价转化为e (2)()ln x x a s x x x-==-，转化为求直线y a =与函数()s x 的图像交点个数，通过求导数的方法，研究函数()s x 的单调区间，极值和图像变化趋势，即可求解.【详解】解：(1)令()()()x f x g x ϕ=+11()e (1)1(1)e x x x x x x xϕ⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0,1x x ϕ'==，()0,1,()0,01x x x x ϕϕ''>><<<， 所以()x ϕ的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)， 所以1x =时，()x ϕ取得极小值，也是最小值， 所以min ()(1)1e x ϕϕ==-； (2)11()1x g x x x-'=-=，令()0,1g x x '==， ()0,01,()0,1g x x g x x ''<<<>>()g x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，所以()g x 的极小值为(1)g ，也是最小值，()(1)10g x g ≥=>.所以()0h x =e (2)()ln x x a s x x x-⇔==-，因为22(1)ln 1()(ln )x e x x x x s x x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭'=-， 令2()ln 1k x x x x =--+2(1)(2)()x x k x x+-'⇒=， 令()0,2k x x '==，()0,02,()0,2k x x k x x ''<<<>> ()k x 的递减区间是(0,2)，递增区间是(2,)+∞，所以()k x 的极小值为(2)k ，也是最小值， 所以()(2)2ln 20k x k ≥=->，所以()s x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，又因为0,x +→()0,s x →,x →+∞()s x →+∞，且(1)e s =-，所以，当e a <-时，()h x 有0个零点； 当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间、极值、最值、图像；考查函数零点个数，分离常数是解题的关键，属于较难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为28cos 6sin 110ρρθρθ---=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数，0a π≤<)，点(1,0)P ，直线l 交曲线C 于A ，B两点，求||||PA PB +的取值范围.【答案】(1)22:(4)(3)36C x y -+-=(2) 【解析】 【分析】(1)将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入极坐标方程，即可求出曲线C 的直角坐标方程； (2)将直线参数方程代入曲线C 方程，得到关于t 的一元二次方程，记其两根为1,t 2t ，由韦达定理，得出1,t 2t 关系式，根据参数t 的几何意义，将||||PA PB +表示为α的函数，求其最值，即可求出结论. 【详解】解：(1)28cos 6sin 110ρρθρθ---= 化为2286110x y x y +---=22:(4)(3)36C x y -+-=；(2)将直线参数方程与圆C 方程联立得：26(sin cos )180,t t αα-+-=236(sin cos )7236sin 21080ααα∆=++=+>，记其两根为1,t 2t ，则12126(sin cos ),18t t t t αα+=-=+，所以21||||PA PB t t +=-==，又[0,),απ∈sin 2[1,1],α∈-||||PA PB ∴+∈，其中，4πα=取到最大值12，34απ=时取到最小值【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题. 23.已知不等式|2|||1x x m ---≤对任意x ∈R 成立，记实数m 的最小值为0m . (1)求0m ；(2)已知实数a ，b ，c 满足：02,a b c m ++=222316a b c ++=，求C 的最大值. 【答案】(1)01m =(2)512【解析】 【分析】(1)根据绝对值不等式性质，求出|2|||x x m ---最小值为|2|m -，结合已知可|2|1m -≤，去绝对值，求出m 的取值范围，即可得出结论；(2)由(1)可得12a b c +=-，由柯西不等式得到()222(11)()a ba b ++≥+，再结合已知可得2232(12)16c c ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，就出c 的范围，再由2223016a b c +=-≥求出c 的范围，两个范围取交集，即可求出结论.【详解】解：(1)由绝对值不等式知，|2|||(2)()x x m x x m ---≤---|2|m =-，当x m =时等号成立，由题知|2|1m -≤，即13,m ≤≤01m ∴=；(2)22212316a b ca b c +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由柯西不等式得()222(11)()a ba b ++≥+，故2232(12)16c c ⎛⎫-≥-⎪⎝⎭， 即(41)(125)0c c --≤， 即15412c ≤≤，又2223016a b c +=-≥，c ≤≤ 综上，c 的最大值为512. 【点睛】本题考查绝不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及柯西不等式的应用，是解题的关键，属于中档题.。
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（1）求实数 的值； （2）求四棱锥 F EBCD 的体积．
20.
x2 已知椭圆 C : a2
y2 b2
1(a b
0) 过 的圆心 Q ，且右
焦点与抛物线 y2 4 3x 的焦点重合. （1）求椭圆 C 的方程;
（2）过点 P0,1 作直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,若
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 A {1, 2,3} ， B {x | (x 1)(x 2) 0, x Z} ，则 A B （ ）
A． 1
B． 1,2
C． 0,1,2,3
11
D．
12
6. 一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积
为（ ） m3
A． 6 B． 5 C． 6 2 D． 5 2 7. 正三角形 ABC 中, D 是线段 BC 上的点, AB 3 , BD 2 ,则
AB AD =（ ）
A．3
B． 6
C． 9
D．12
第1页共5页
4.（原创）设 a 为实数，直线 l1 : ax y 1 0 ， l2 : x a 1y 2a 0 ，
则“
a
1 2
”是“ l1
l2
的” （
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
8
A．
9
9
B．
10
10
C．
11
（2）若 f x 的值域为[2， ) ，且 f 3 5 ，解不等式 f x 4 .
第4页共5页
命题人：付红 审题人：张志华、张露
第5页共5页
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 在等比数列 an 中，已知 a1 5 ， a9a10 40 ，则 a18 =
．
第2页共5页
14. （原创）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 x 0 时， f x 2 ln x x ，则曲线
y f x 在点 1,1 处的切线斜率为______．
与
2x0 的大小.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。 22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]
（原创）在平面直角坐标系
xOy
中,已知曲线
C1
的参数方程为
x
1
y
2
2t 2 2t 2
( t 为参数),以
O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,曲线 C2 的极坐标方程为: 2 3 cos 2 4 .
秘密★启用前 【考试时间：1 月 19 日】
2020 年重庆一中高 2020 级高三上期期末考试
数 学（文科）试 题 卷 2020.1
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1a
0,b
0 的离心率为 2 ,其
焦点到渐近线的距离为 3 ，过点 P2,1 的直线 m 与双曲线 E 交于 A, B 两点. 若 P 是 AB
的中点,则直线 m 的斜率为（ ）
A．2
B． 4
C． 6
D．8
10. 元旦晚会一次猜奖游戏中，1、2、3、4 四个盒子里摆放了 a、b、c、d 四件奖品（每个盒
D． d
11.（原创）在锐角三角形 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c .若 a 2 ，且
cos A sinB C 2sin 2C，则 c 的取值范围为（ ）
2
A．
2
5 5
,2
B． 2 ,2 3
C．
2
5 5
,
2
3 3
D．
2 3
,
2
3 3
12． 定 义 在 R 上 且 周 期 为 4 的 函 数 f x 满 足 ： 当 x 1,3时 ，
月份作为两层，用分层抽样的方法选取 5 个月，再从这 5 个月中随机抽取 2 个月，求这 2 个
月中该居民恰有1个月用水量超过T月 的概率．
19. 已知四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60 ， SA SD 5 , SB 7 .点 E 是 棱 AD 的 中 点，点 F 在棱 SC 上，且 SF ， SA ∥平面 BEF ．
8.（原创）已知函数 f x Asinx
A 0, 0, 的部分图象如右图所示，则函
2
2
数
f
x 在
x
,
上的值域为（
）
4 4
A． 2，2
B． 2, 2
C． 1，2
D． 1，2
9.（原创）在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 E :
x2 a2
y2 b2
f
x
1 2
x
,1
x
0
，若在区间 0, 4上函数 gx
f
x ax 1恰有三个不同的零
ln x 2,0 x 3
点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
0，14
ln
3 3
1
,1
B．
0，13
ln
31 3
,1
C．
0，14
ln
3 3
1
,
2
D．
0，13
ln
3 3
1
,
2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
SAQB tan AQB ,求直线 l 的方程.
21. 已知函数 f x x m ln x, m R, f 'x 是 f x 的导函数.
（1）讨论函数 f x 的极值点个数；
（2）若 m 0 ， 0 x1 x2 ，若存在 x0 ，使得
f
' x0
f
x1
x1
f
x2
x2
，试比较
x1
x2
3
接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为 _________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. 已知数列{ an }中, a1 1,an1 2an n 1,bn an n . （1）求证：数列{ bn }是等比数列; （2）求数列{ an }的前 n 项和 Sn .
18．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 T (单位：吨)的频 率分布直方图，如图一．
（1）求 a 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T月 ； （2）已知该居民月用水量 T 与月平均气温 t (单位： C )的关系可用回归直线 T 0.4t 2 模拟．2019 年当地月平均气温 t 统计图如图二，把 2019 年该居民月用水量高于和低于T月 的
里仅放一件）. 甲同学说：1号盒里是 b ， 3 号盒里是 c ；乙同学说： 2 号盒里是 b ， 3 号盒
里是 d ；丙同学说： 4 号盒里是 b ， 2 号盒里是 c ；丁同学说： 4 号盒里是 a ， 3 号盒里是 c .
如果他们每人都猜对了一半，那么 4 号盒里是（ ）
A． a
B． b
C． c
x y 2 2
15. 设不等式组 x y 2 2 所表示的平面区域为 M ,函数 y 1 x2 的图象与 x 轴所
y
0
围成的区域为 N ,向 M 内随机投一个点,则该点不落在 N 内的概率为______．
16. 已知一个圆锥的底面直径为
2
1
，其母线与底面的夹角的余弦值为
.
圆锥内有一个内
D． 1,0,1,2,3
2．复数 z 3 4i （其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） 1i
A．第一象限
B． 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.（原创）设
a
3 4
3 4
,b
4 3
2
,c
log2
3 2
,则
a,b, c
的大小顺序是（
）
A． b a c B． c a b C． b c a D． a c b
（1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的参数方程;
（2）若点 M 在曲线 C2 上运动，求点 M 到曲线 C1 距离的最小值及对应的点 M 的坐标.
23. [选修 4－5：不等式选讲]
（原创）已知函数 f x x a x b a 0,b 0 ．
（1）当 ab 1 时，证明： f x 2 ；