中考数学专题3 圆的基本性质含答案

中考数学专题3 圆的基本性质含答案

题型一 点与圆的位置关系

例 1 [2017·大冶校级月考]若⊙O 的半径为5 cm ，平面上有一点A ，OA ＝6 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( A ) A ．点A 在⊙O 外 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 内

D ．不能确定

【解析】 ∵⊙O 的半径为5 cm ，OA ＝6 cm ，∴d ＞r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是点A 在⊙O 外． 变式跟进

1．[2016·宜昌]在公园的O 处附近有E ，F ，G ，H 四棵树，位置如图1所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E ，F ，G ，H 四棵树中需要被移除的为( A )

图1

A ．E ，F ，G

B ．F ，G ，H

C ．G ，H ，E

D ．H ，

E ，F

【解析】 ∵OA ＝1＋22＝5，∴OE ＝2＜OA ，∴点E 在⊙O 内；OF ＝2＜OA ，∴点F 在⊙O 内；OG ＝1＜OA ，∴点G 在⊙O 内；OH ＝22＋22＝22＞OA ，∴点H 在⊙O 外．

题型二 垂径定理及其推论

例 2 如图2，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为( D ) A ．5 B ．6 C ．7

D ．8

图2 例2答图

【解析】 连结OA ，如答图所示．

∵⊙O 的直径CD ＝10，∴OA ＝5，

∵弦AB ＝8，AB ⊥CD ，∴AM ＝12AB ＝1

2×8＝4， 在Rt △AOM 中，OM ＝OA 2－AM 2 ＝52－42＝3，

∴DM ＝OD ＋OM ＝5＋3＝8.

【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算． 变式跟进

2．如图3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD ＝8，且AE ∶BE ＝1∶4，则AB 的长度为( A )

A ．10

B ．5

C ．12 D.5

3

图3 第2题答图

【解析】 如答图，连结OC ，设AE ＝x ，∵AE ∶BE ＝1∶4，∴BE ＝4x ，∴OC ＝2.5x ，∴OE ＝1.5x ，∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝1

2CD ＝4，Rt △OCE 中，OE 2＋CE 2＝OC 2，∴(1.5x )2＋42＝(2.5x )2，∴x ＝2，∴AB ＝10.

3．有一座弧形的拱桥如图4，桥下水面的宽度AB 为7.2 m ，拱顶与水面的距离CD 的长为2.4 m ，现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

图4 第3题答图

解：如答图，连结ON ，OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 中点，

∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝1

2AB ＝3.6 m. 又∵CD ＝2.4 m ，

∴设OB ＝OC ＝ON ＝r ，则OD ＝(r －2.4)m.

在Rt △BOD 中，由勾股定理得r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9.

∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m ，∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)， ∴OE ＝r －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)，

在Rt △OEN 中，EN 2＝ON 2－OE 2＝3.92－3.52＝2.96(m 2)，∴EN ≈1.72(m)． ∴MN ＝2EN ＝2×1.72＝3.44 m ＞3， ∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．

题型三 圆周角定理的综合

例 3 [2017·市南区一模]如图5，在直径为AB 的⊙O 中，C ，D 是⊙O 上的两点，∠AOD ＝58°，CD ∥AB ，则∠ABC 的度数为__61°__．

图5

【解析】 ∵∠AOD ＝58°，∴∠ACD ＝∠AOD ＝29°，∵CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠ACD ＝29°，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－29°＝61°.

【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等． 变式跟进

4．如图6，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在⊙O 上，则∠APB ＝__45°__．

图6 第4题答图

【解析】 如答图，连结OA ，OB .根据正方形的性质，得∠AOB ＝90°.再根据圆周角定理，得∠APB ＝45°.

5．[2017·永嘉二模]如图7，已知AB 是半圆O 的直径，OC ⊥AB 交半圆于点C ，D 是射线OC 上一点，连结AD 交半圆O 于点E ，连结BE ，CE . (1)求证：EC 平分∠BED ； (2)当EB ＝ED 时，求证：AE ＝CE .

图7 第5题答图

证明：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∴∠DEB ＝90°.∵OC ⊥AB ，

∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BEC ＝45°， ∴∠DEC ＝45°.∴∠BEC ＝∠DEC ， 即EC 平分∠BED ； (2)如答图，连结BC ，OE ，

在△BEC 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧BE ＝DE ，∠BEC ＝∠DEC ，EC ＝EC ，

∴△BEC ≌△DEC ，∴∠CBE ＝∠CDE .

∵∠CDE ＝90°－∠A ＝∠ABE ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∴∠AOE ＝∠COE ，∴AE ＝CE .

题型四 弧长的计算

例 4 如图8，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做“正三角形的渐开线”，其中，CD ︵，DE ︵

，