数列中恒成立问题的研究

专题：数列中恒成立问题的研究

一、问题提出

问题1：已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，若12233445a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅2

221n n a a t n +-≥⋅对

*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是__________. (,12]-∞-

12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+⋅⋅⋅-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+- 2424()n a a a =-+++L 2224842n a a n n n +=-⨯

⨯=--，所以2284n n tn -+≥，所以4

8t n

≤--对*n N ∈恒成立， 12t ≤-

问题2：

二、思考探究

探究1：设首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2

122

2ma n

S a n n

≥+对任意正整数n 都成立，

则实数m 的最大值为______.

15

解析：a 1＝0时，不等式恒成立，当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21

＋S

2n n 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，

S n ＝na 1＋n n －1d 2代入上式，并化简得：λ≤54⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1d a 1＋652＋15∴λ≤15，∴λmax ＝1

5

.

探究2：已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， ()

1

1131n n n n n n

a S S a a λ+++=

+⋅+（*n ∈N ）

． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；

（2）若11

2

n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．

解：（1）λ = 0时，1

11n n n n n

a S S a a +++=+．

∴1

n n n n

a S S a +=

． ……………… 2分 ∵0n a >，∴0n S >．

∴1n n a a +=．∵11a =，∴1n a =． ……………… 4分 （2）∵()

1

1131n n n n n n

a S S a a λ+++=

+⋅+，0n a >，

∴

1131n n n

n n

S S a a λ++-=⋅+． ……………… 5分 则

212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S

a a λ-=⋅+，…，111

31n n n n n S S a a λ----=⋅+（n ≥2）

． 相加，得

()

2113331n n

n

S n a λ--=⋅++++-L ． 则332n n n S n a λ⎛⎫

-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭

（n ≥2）． 上式对n = 1也成立，

∴332n n n S n a λ⎛⎫

-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭

（*n ∈N ）．③ ……………… 7分 ∴11

13312n n n S n a λ+++⎛⎫-=⋅++⋅ ⎪⎝⎭

（*n ∈N ）．④

④

③，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫

--=⋅++⋅-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

． 即11333322n n n n n a n a λλ++⎛⎫⎛⎫

--⋅+⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

． ……………… 9分 ∵λ≥0，∴332n n λ-⋅+> 0，133

2

n n λ+-⋅+> 0．

∵11

2n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，

∴133

133

2

22n n n n λλ+⎛⎫--⋅+<⋅

+ ⎪⎝⎭

对一切*n ∈N 恒成立． 即233

n

n

λ>

+对一切*n ∈N 恒成立． ……………… 12分 记233

n n n

b =+，则()()()

111

423622233333333n n n n n n

n n n n b b +++--+-=-=++++． 当n = 1时，10n n b b +-=； 当n ≥2时，10n n b b +->；

∴121

3b b ==是一切n b 中的最大项． ……………… 15分

综上所述，λ的取值范围是1

3λ>． ……………… 16分

探究3：：数列{}n a 满足：23

2

12

1

2n

n a a a a n n λ

λ

λ

-+

+

++

=+L (0,)n N λ*>∈常数

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）当4λ=时，是否存在互不相同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列若存在，给出,,r s t 满足的条件；若不存在，说明理由；

（3）设n S 为数列{}n a 的前n 项和．若对任意n N *∈，都有n

n n a S λλλ2)1(>+-恒成立，求实数λ的

取值范围． 【解】（1）13a = 当2n ≥时，由23

2

12

1

2n

n a a a a n n λ

λλ-++

++

=+L ①

得23

1

2

12

2

(1)2(1)n n a a a a n n λ

λ

λ

--+

+

++

=-+-L ②

①- ②得

1

21n

n a n λ

-=+，所以1(21)n n a n λ-=+（2n ≥）

因为13a =，所以1

(21)n n a n λ-=+（n N *∈） （2）当4λ=时，1

(21)4n n a n -=+

若存在,,r s t a a a 成等比数列，则22(21)(21)4(21)r t s

r t s +-++=+

由奇偶性知20r t s +-=

所以2

(21)(21)(1)r t r t ++=++，即r t =，这与r t ≠矛盾． 故不存在互不相同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列 （3）3(0,]2

λ∈

三、真题链接

四、反思提升 五、反馈检测

1. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2

n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *

，且a 2，a 5，a 14构成等 比数列．数列{}m b 满足对于任意正整数m ，m b 是使得不等式(0)n a m λλ>≥成立的所有n 中的最小值． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）当1λ=时，求数列{}m b 的前2m 项的和；

（3）是否存在实数λ，使得32(*)m b m m =+∈N ，若存在，求出满足条件的实数λ；若不存在，请说明理由．

解 （1）当n ≥2时，4S n －1＝a 2

n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2

n ＋1－a 2

n －4， 即a 2

n ＋1＝a 2

n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，

又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列．