矢量的基本概念

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《电磁场与电磁波》第一章矢量分析

ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义设则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成右手螺旋关系；大小为 A B sin 。

S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设其中
A A ex
B Bxex By ey

Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos

正弦量的矢量图解法

正弦量的矢量图解法
目录 CONTENT
• 正弦量与矢量的基本概念 • 正弦量的矢量表示 • 交流电的矢量图解法 • 谐波分析的矢量图解法 • 矢量图解法的优缺点
01
正弦量与矢量的基本概念
正弦量的定义与性质
定义
正弦量是随时间变化的量，其变化规律可以用正弦函数或余弦函数表示。
性质
正弦量具有周期性、振幅和相位等特性，这些特性决定了正弦量的变化规律。
感谢您的观看
THANKS
电力系统
通过矢量图解法分析电力系统的谐波，提高电力质量。
音频处理
利用矢量图解法分析音频信号的谐波成分，进行音频处理和编辑。
05
矢量图解法的优缺点
矢量图解法的优点
直观明了
01
矢量图解法能够直观地表示正弦量的振幅、相位和初相，使得
问题变得简单明了。
方便计算
02
矢量图解法可以方便地进行向量的合成与分解，从而简化正弦
解决交流电路问题
通过矢量图解法可以方便地解决交流电路中的问题，如电压
、电流和阻抗的计算等。
04
谐波分析的矢量图解法
谐波分析的矢量表示
瞬时值表示
正弦量可以用实线表示，其幅值表示正弦量的瞬时值。
有效值表示
正弦量可以用虚线表示，其长度表示正弦量的有效值。
相位表示
正弦量可以用矢量的旋转角度表示，其旋转方向表示正弦量的相位。
02
正弦量的矢量表示
正弦量的矢量表示方法
实部和虚部
正弦量可以用实部和虚部表示，实部表示幅度，虚部表示相位。
矢量表示
正弦量可以用矢量表示，矢量的长度表示幅度，矢量的角度表示
相位。

矢量场的基本概念和算法

矢量场的基本概念和算法绪论矢量场，指任意空间位置周围的矢量组成的函数，是现代计算机图形学中重要的研究内容之一。

矢量场通常指的是二维或三维空间中的矢量场，本文主要针对这种情况进行讨论。

矢量场广泛应用于流体力学、电磁学、医学图像处理等领域，因此对其基本概念和算法的理解和掌握是非常重要的。

一、矢量场的基本概念1.1 矢量矢量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。

在二维平面中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0)$ 到终点$(x_1,y_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为 $|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$，方向为与 x 轴正方向的夹角 $\theta$，即$\theta=\arctan \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。

在三维空间中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到终点 $(x_1,y_1,z_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为$|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$，方向为与x 轴正方向、y 轴正方向、z 轴正方向的夹角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。

1.2 矢量场矢量场是指在空间任意点上有定义的矢量函数，即将每个位置$(x,y,z)$ 映射到一个矢量 $\vec{v}$ 上的函数$\vec{F}(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$。

矢量场的一个重要性质是：在空间中任意一点上的矢量大小和方向可以确定。

1.3 梯度梯度是指矢量场瞬时变化率的向量，其大小表示矢量场在某个点上的变化率，而方向表示变化的最快方向。

在二维平面中，矢量场 $\vec{F}(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ 在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的梯度可以表示为 $\nabla \vec{F}(x_0,y_0)=(\dfrac{\partialF_x}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial F_y}{\partial y}(x_0,y_0))$。

矢量代数的基本知识

M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量：实数与矢量a的乘积是一个矢量，记做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij

矢量基本概念

(一) 矢量基本概念定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。

表示法定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。

特殊的向量零矢量：长度为0的向量。

零向量的方向是不确定的。

单位矢量：长度为1的矢量。

向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。

反矢量：长度相同，方向相反的矢量。

共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。

共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。

关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。

矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。

一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1）交换律：a b b a； 2） 2）结合律：)()(c b a c b a。

矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。

由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数与矢量的乘积是一个矢量，（1）（1）其模为||||||a a ；（2）（2）其方向由下列规则决定：当0 时，与方向相同；当0 时，与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。

定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。

由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。

矢量和张量

• 假设 xi 和 xi 是共原点的两个笛卡尔右
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量，分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi

矢量发展史

这里举一个例子来讨论矢量与线性代数的关系。考虑一个长方形刚体绕轴转动的问题：一个长方形在空间坐标系初始位置如图，将该刚体分别以x轴、y轴为转动轴旋转。若将两种旋转定义为两个矢量，即矢量的方向为转轴方向，矢量大小为右手法则确定的转动角度，那么此问题中将违背矢量加法运算法则。
对于这个问题，实际上我们不可以直接采用矢量的运算来对应刚体转动的复合，而可采用线性变换的运算来解决。例如，设以刚体绕x轴转动角度为α，则对于刚体上任意一点，有
哈密尔顿试图将复数的概念推广到三维空间时，意外地发现了四元数。他提出的四元数可表示为，这也是第一个牺牲了乘法交换律这一性质的数学对象。在物理学应用上，四元数与电磁理论的结合是非常微妙的，因为电磁场非常自然地对应于四维时空。
哈密尔顿之后，麦克斯韦（1831~1879）在他1861年论文《论物理力线》中提出了法拉第电磁感应定律分量形式的微分方程，在1864年论文《电磁场的动力学理论》中第三节“电磁场一般方程”中包括了麦克斯韦方程组的八个方程，包括了大量的矢量分析。在此后包括洛伦兹提出的洛伦兹力公式及其建立的经典电动力学的假设证明，在四元数中乘法必须包括点乘和叉乘，即数量积和矢量积。
二、
矢量最初起源于物理学应用。
约公元前350年，伟大的古希腊哲学家、科学家的亚里士多德（前384~前322）就知道了力可以表示为矢量，但英国科学家牛顿（1642年12月25日~1727年3月31日）被认为是最先使用有向线段来表示矢量的。
矢量最基本的属性是大小、方向和起点，而牛顿将力的大小、方向与作用点概念进行形象化、几何化的处理，使用一条简单的带有箭头的线段表示表示力，这样既可以通过线段长度表示大小，又可以通过箭头指向表示方向，还可以用端点位置表示力的作用点。在牛顿所处的年代，是没有矢量这个概念的数学定义的，而他所做的仅仅是对“力”的概念的直观表现。然而，我认为，这种方法及其智慧，具有相当的优越性。

Adobe Photoshop软件中的矢量和形状工具

Adobe Photoshop软件中的矢量和形状工具Adobe Photoshop 是一款广泛使用的图像处理软件，其功能非常强大。

在Photoshop 中，矢量和形状工具是非常重要的功能之一。

本文将详细介绍 Adobe Photoshop 软件中的矢量和形状工具的使用方法和应用场景。

一、矢量和形状的基本概念在 Photoshop 中，矢量是由线条和曲线组成的图形，而形状是矢量的一种表现形式。

矢量图像具有无损放大缩小的特点，即不会失真，因此在图像设计和印刷等领域得到广泛应用。

二、矢量和形状工具的使用方法1. 矢量工具的使用Photoshop 中的矢量工具包括笔工具、路径选择工具、直线工具等。

使用矢量工具可以绘制直线、曲线等各种形状，并可以对其进行编辑和调整。

例如，你可以使用笔工具绘制一个自定义的曲线，并通过编辑路径节点来调整曲线的形状。

2. 形状工具的使用形状工具集成在 Photoshop 的工具栏中，包括矩形工具、圆形工具、多边形工具等。

使用形状工具可以快速创建各种形状，例如矩形、圆形、星形等。

你只需要选择相应的形状工具，然后在画布上拖动鼠标即可创建对应的形状。

三、矢量和形状工具的应用场景1. 图标设计矢量和形状工具在图标设计中极为重要。

通过矢量工具的精确控制，设计师可以绘制出各种细致的图标形状，从而使得图标的显示效果更加清晰锐利。

2. 标志设计在标志设计中，矢量和形状工具的运用也非常广泛。

例如，你可以使用矢量工具绘制出一个具有独特形状的标志，并通过调整节点来调整形状的比例和曲线，从而达到理想的效果。

3. 平面设计在平面设计中，矢量和形状工具有助于创造出各种各样的平面图案。

你可以使用形状工具快速创建出各种花纹和几何形状，并通过填充和渐变来添加颜色和纹理，实现丰富的平面设计效果。

四、矢量和形状工具的进阶应用除了基本的绘图和形状设计，矢量和形状工具还有一些进阶的应用技巧。

例如，你可以通过路径选择工具选中一个路径，然后通过调整路径的控制手柄来改变路径的形状和方向，从而获得更加复杂的设计效果。

矢量运算法则

03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢量减法的应用实例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的余弦

矢量的定义和加减法运算法则

第1章电磁学的数学基础——矢量分析一、矢量的定义和表示二、矢量的基本运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度五、矢量场的散度六、矢量场的旋度一、矢量的定义和表示1.标量：只有大小，没有方向的物理量。

如：温度T、长度L 等2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。

如：重力、电场强度、磁场强度等G E H矢量表示为：一个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。

其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。

为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。

||Aˆaˆ||A A a3. 矢量表示例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为6 的矢量如何表示？图示法：GNF fF ˆ6x axy例2：力的图示法：ˆ||A A a=ˆ6x a =矢量的图示方法1、矢量的加法运算法则加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。

a.满足交换律：A B B A+=+b.满足结合律：C A B=+BAC⇒BAC()()()()A B C D A C B D +++=+++二、矢量的基本运算法则zoyx AxA yA zA 三个方向的单位矢量表示：ˆˆˆ,,x y z aa a 根据矢量加法运算：x y zA A A A =++在直角坐标系下的矢量表示:ˆx x x A A a =其中：ˆy y y A A a=ˆz z z A A a=矢量表示为：ˆˆˆx x y y z z A A aA a A a =++矢量：ˆˆˆx x y y z z A A aA a A a =++⇩模的计算：222||xyzA A A A=++⇩单位矢量：ˆˆˆˆ||||||||y x z x y z A A A Aa a a a A A A A ==++⇩方向角与方向余弦：γβα,,||cos ,||cos ,||cos A A A A A A z y x===γβαˆˆˆcos cos cos x y z aa a αβγ=++αβγzoyxAxA yA zA 在直角坐标系下的矢量表示:矢量加法运算：ˆˆˆ()()()x x x x y y y y z z z z A B C A B C aA B C a A B C a ++=++++++++zoyxA在直角坐标系下的矢量的加法运算:BCˆˆˆx x y y z z A A aA a A a =++ˆˆˆx x y y z zB B aB a B a =++ˆˆˆx x y y z zC C aC a C a =++减法：换成加法运算()D A B A B =-=+-A B C ++BAB-逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。

矢量图形的名词解释

矢量图形的名词解释在如今数字化高度发达的时代，矢量图形已经成为了设计、工程、科学等领域中不可或缺的一部分。

矢量图形是一种使用数学公式描述的图像，与之相对的是位图图像，矢量图形不会随着放大而失真，而且能够轻松地进行编辑和修改。

本文将对矢量图形的名词进行解释，帮助读者更好地理解和应用矢量图形。

矢量图形的基本概念矢量图形是由点、线、曲线和多边形等基本图形元素组成，并通过数学公式来描述这些元素之间的关系。

与之相对的是位图图形，位图图形则是由一系列像素点组成的栅格状图像。

相对于位图图形，矢量图形具有可伸缩性、可编辑性和小尺寸等优势，使得它成为了很多行业中的首选。

矢量图形的路径矢量图形的路径是构成整个图形的基本元素。

路径由一系列的锚点和线段组成，锚点用来确定路径的方向和形状，线段则用来连接锚点。

通过调整锚点的位置和线段的曲直度，可以得到各种各样的形状和图案。

路径的优点在于它们能够描述简单的几何形状，同时也能够创建复杂的曲线和连续的图案。

矢量图形的填充和描边填充和描边是矢量图形中常见的两种操作。

填充是指在路径内部添加颜色或纹理，使得路径看起来充满了内容。

描边则是指在路径的边缘添加颜色或线条，以增加图形的外观层次感。

填充和描边可以独立地进行设置，并且可以选择不同的颜色、透明度和线型等属性，以满足设计师对于图形效果的需求。

矢量图形的缩放和变形矢量图形因其基于数学公式的构成方式，可以在不失真的情况下进行缩放和变形。

而位图图形在放大时会产生锯齿状的失真效果。

这使得矢量图形在需要多尺寸输出的项目中非常有用，只需通过简单的缩放操作，就可以得到适合各种尺寸需求的图像。

此外，矢量图形也可以进行旋转、倾斜和扭曲等变形操作，从而满足各种设计上的需要。

矢量图形的应用领域矢量图形在设计、工程、科学等领域中应用广泛。

在设计领域，矢量图形被广泛用于创建标识、商标、插图等。

在工程和科学领域，矢量图形则被用于制作机械图、电路图、地图等。

此外，矢量图形还可以应用于动画制作、虚拟现实和三维建模等领域。

电磁场与电磁波第1章矢量分析

例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1）该矢量场的旋度;
（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示，验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方向的投影，如图所示，即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式中，当 Δl→0 时 δ→0 。将上式两边同除以 Δl 并取极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有

矢量分析与场论

矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。

矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。

场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。

本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。

矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。

在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。

在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。

通常将矢量用粗体字母如A表示。

矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。

在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。

矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。

两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。

点积还满足交换律和分配律。

矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。

运动矢量的坐标系变换

运动矢量的坐标系变换运动矢量是描述物体运动状态的重要概念，它包括位移、速度和加速度。

在物理学和工程学中，我们经常需要对运动矢量进行坐标系变换，以便更好地理解和分析物体的运动。

本文将介绍运动矢量的坐标系变换的基本原理及应用。

一、运动矢量的基本概念运动矢量是指描述物体运动状态的矢量，它包括位移、速度和加速度三个要素。

位移是指物体由初始位置到末位置的直线距离和方向，它是一个矢量。

速度是指物体单位时间内位移的变化率，它也是一个矢量。

加速度是指物体单位时间内速度的变化率，同样也是一个矢量。

二、坐标系的定义与变换坐标系是指用于标定和描述物体位置的空间框架。

常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系等。

在运动学中，我们通常采用直角坐标系来描述物体的运动。

坐标系的变换是指从一个坐标系到另一个坐标系的转换。

常见的坐标系变换有平移、旋转和缩放等。

三、运动矢量的坐标系变换在运动学中，当物体的运动存在某个特定的坐标系时，我们需要将运动矢量从一个坐标系转换到另一个坐标系，以便更好地分析和描述物体的运动。

下面以二维平面上的运动为例，介绍运动矢量的坐标系变换方法。

1. 位移矢量的坐标系变换设有两个坐标系O-XY和O’-X’Y’，其中O-XY是我们已知的坐标系，O’-X’Y’是需要转换到的坐标系。

若物体的位移矢量为r，它在O-XY坐标系中的分量为rr和rr，在O’-X’Y’坐标系中的分量为r’r和r’r，那么它们之间存在如下关系：r’r = rrr + rrrr’r = rrr + rrr其中r、r、r和r为转换矩阵中的系数。

通过求解这些系数，我们可以将物体的位移矢量从O-XY坐标系转换到O’-X’Y’坐标系。

2. 速度矢量的坐标系变换速度矢量r是位移矢量r对时间的变化率，它在不同坐标系中的分量也需要进行变换。

设物体在O-XY坐标系中的速度为rr和rr，在O’-X’Y’坐标系中的速度为r’r和r’r，它们之间存在如下关系：r’r = rrr + rrrr’r = rrr + rrr同样地，通过求解转换矩阵的系数，我们可以将物体的速度矢量从O-XY坐标系转换到O’-X’Y’坐标系。

矢量相关物理知识点总结

矢量相关物理知识点总结矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。

在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。

在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。

一、矢量的基本概念1. 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。

在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。

2. 矢量的性质矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。

矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。

起点是矢量的起始位置，通常用A表示。

3. 矢量的分解矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。

矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。

二、矢量的运算1. 矢量的加法矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。

在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。

2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。

在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。

3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。

数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。

4. 矢量的向量积矢量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的正弦值，并且方向垂直于这两个矢量所在的平面。

向量积的结果是一个矢量。

三、矢量的坐标表示1. 矢量的坐标分量矢量在笛卡尔坐标系中可以表示为一个有序实数对(x,y)，其中x表示矢量在x轴上的分量，y表示矢量在y轴上的分量。

工程电磁场附录一矢量分析

矢量场与梯度
矢量场
空间中每一点都对应一个矢量的场，如电场、磁场等。
梯度
标量场中某一点处的梯度是一个矢量，其方向指向该点处标量场增加最快的方向，大小等于该点处标量场的空间变化率。
02
坐标系中的矢量表示
直角坐标系
01
02
03
矢量分量
在直角坐标系中，一个矢量可以用其在三个坐标轴上的投影（分量）来表示。
06
数值计算方法在矢量分析中的应用
有限差分法
差分原理
01
用离散的差分方程近似代替连续微分方程，将求解微分方程的
问题转换为求解代数方程的问题。
差分格式
02
根据微分方程的阶数和边界条件，构造合适的差分格式，如一
阶向前差分、一阶向后差分、中心差分等。
收敛性与稳定性
03
分析差分格式的收敛性和稳定性，以保证计算结果的准确性和
可靠性。
有限元法
变分原理
将矢量分析问题转化为变分问题，即求解泛函的极值问题。
网格剖分
对求解区域进行网格剖分，构造合适的有限元空间。
基函数与权函数
选择合适的基函数和权函数，将矢量场表示为基函数的线性组合，并通过权函数进行逼近。
有限元方程
根据变分原理和基函数的选择，建立有限元方程，通过求解有限
勒让德多项式及其性质
勒让德多项式定义
勒让德多项式是二阶常微分方程（勒让德方程）的解，是一组正交多项式。
勒让德多项式性质
勒让德多项式具有正交性、递推关系和生成函数等性质，可构成完备正交多项式系，用于展开和求解电磁场问题。
工程应用
在电磁场工程中，勒让德多项式常用于求解球坐标系下的电磁场问题，如天线辐射方向图、地球物理勘探和微波遥感等领域。

3.矢量数据及其处理方法

DMS
矢量数据及其处理方法
计算机制图基础
2011年8月25日星期四
DMS
主要内容
1 矢量数据的获取 2 矢量数据的处理（1）矢量数据处理方式和基本操作）
计算机制图基础
（2）数据预处理）（3）数据规范化）（4）数据匹配）
DMS
§1 矢量数据及其获取
一、基本概念基本概念
1. 矢量：具有大小和方向的量； 2. 矢量数据：就是代表地图图形的各离散点平面坐标（x，y）的有序集合。
① 过P2点做一条垂直于P1P2的直线，在该垂线上取两点 A1、A2，使A1P2=A2P2=d/2,这样∠A1P1A2就构成了一个扇形；
DMS
计算机制图基础
② 若P3点在扇形内，则舍弃P2点，然后过P3点做P1P3的垂线，该垂线与前面定义的扇形交于C1、C2,在该垂线上取B1、B2两点，使B1P3=B2P3=d/2,用两个扇形的交集（ ∠C1 P1 C2 和∠B1 P1 B2的交集（交角））为新的扇形，来判断下一个点的取舍；
计算机制图基础
有损压缩、无损压缩
DMS
2）常用的数据压缩方法
① 间隔取点法 ② 垂距法 ③ 合并法（偏角法）合并法（偏角法）分裂法(道格拉斯－普克法) ④ 分裂法(道格拉斯－普克法) 计算机制图基础 ⑤ 光栏法
DMS
TIN的建立的建立
① 间隔取点法
每隔k个点取一个点，或每隔一个规定的距离取一个点，或舍弃离已选点比规定距离近的点，但保留首末点。这种方法可大量压缩数字化时使用连续方法获取的点和栅格数据矢量化而得到的点，但不一定能恰当地保留方向上曲率显著变化的点。
DMS
2. 数据压缩
一、数据压缩的概念

矢量基础

k )
8
r

r(cosi
cos

j

cosk )
这时 r 是矢量的模，括号中的量是单位矢量。 cosα，cosβ,cosγ也称为该矢量的方向余弦。
矢量与数量相乘时，各分量也相应扩大同样的倍数。
如

F ma maxi may j mazk
9
矢量的乘法
物矢理量学的中点用乘到：的F矢• 量S的乘FS法c还os有点乘和叉F乘。
r
dr0 dt
16
单位矢量: 模为 1 的矢量称为单位矢量，用于表示方向。常用
r0
表示。
矢量相等：两矢量大小相等，方向相同，则两矢量相等。（即
使他们不再同一起点上。）
A

记为 BA
B
负矢量：一矢量的负矢量与该矢量大小相等，方向相反。
A

记为 B A
B
2
矢量加法：服从平行四边形法则，合矢量是平行四边形的对角线。
F

F
r
14
矢量的导数：在物理学中，矢量常常是时间或空间
坐标的函数。也常对矢量函数进行求导
与积分的运算。
设位置矢量 r r是时间的函数，可以表示为： r (t)
在直角坐标系中：
r

x(t)i
y(t)
j
z(t)k
r对时间的导数定义为： dr lim r(t t) r(t)
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：

r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2