第3章应变状态分析

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第3章-应变分析

xx ( ij ) yx zx
xy xz x yy yz 1 2 yx 1 zy zz 2 zx
1 2
xy y 1 2 zy
简记为： 1 (u u ) ij j ,i i, j 1 2 2 xz 1 2 yz 称为应变张量 z
—P点沿 x,y 两垂直方向棱边角度的变化： xy yx xy 考察 apa ，由于 yx 很小，故有
于是有：
xy yx
v u x y
dy v v ( x, y )
dy
b
d
v v( x dx, y)
y
p
（3-5）
z
o x
z
dz
f
c
dx a p b d
e g
p
dy
o x
y
< i > Oxy平面：微元体pabd（六面体在xy平面上的投影部分）。
dy v v
y
dy v v ( x, y )
v
b
p
x
xy
b b
d a
v v( x dx, y)
p yx a
dy
M (ii) 切应变：物体内一点P(x,y,z)的两垂直方向和 N 方向之间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向的切应变。
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。
MN 1 2
变形后 M、N 两垂直方向间角度的变化量
规定：两轴正向间的夹角减小为正，夹角增大为负。
Chapter 3 应变分析
3-1、位移与变形

第03章第02节应变分析

u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
或
ui ui ( x, y, z )
小变形几何方程
1、位移与应变
变形体内无限接近两点的位移分量间的关系
ui ui ( x, y, z )
ui ' ui ui ui ( x dx, y dy, z dz)
u x
2L 当x=L/2时，u L, 得c L 2L H
L 2H x
同理：
v
H
2H
y
小变形几何方程
u x v y y w z z
x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
l
拉伸
2l 和 2l
压缩
l

2l l l 2l 100%; 50% l 2l
2l l 1 ln ln 2 69%; ln ln 69% l 2l 2
小变形几何方程
1、位移与应变
质点 M→M1 ——靠弹性或塑性变形实现。位移：变形体内任一点变形前后的直线距离(MM1) 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。
r1 rx r rx rx
棱边PA在x方向的线应变：
y
x
rx
rx
ry rz z rz

《应变状态分析》课件

问题讨论
引导听众讨论应变状态分析中的问题，并共同寻求解决方案。
感谢
结束语，表示对听众的感谢和对他们的关注。
《应变状态分析》PPT课件
# 应变状态分析 ## 概述本PPT课件将介绍应变状态分析的基本概念、方法和应用。
应变状态的定义和分类
定义
详细解释什么是应变状态以及它在工程中的意义。
分类
介绍不同类型的应变状态，如线性和非线性应变状态。
应变状态的测量和计算
应变测量的方法
讨论常用的应变测量技术，包括应变片和光栅测量。
介绍主要应变状态分析的方法，如应变路径分析和主应变模态分析。
2
案例分析
通过实际案例，展示不同分析方法在工程中的应用。
3
案例分析
通过实际案例，展示不同分析方法在工程中的应用。
应变状态分析在工程中的应用
工程物理测试
说明应变状态分析在工程物理测试中的重要性和应用。
结构强度分析
介绍应变状态分析在结构强度分析中的应用和优势。
应变计算的方法
介绍如何使用测量数据计算应变，包括点应变和区域应变的计算。
示例分析
通过实际案例分析，演示应变测量和计算的步骤。
应变状态的影响因素
1 应变状态的影响因素
探讨应变状态受到哪些因素的影响，如温度、力量等。
2 举例说明
通过具体案例，展示不同因素对应变状态的影响。
Байду номын сангаас
应变状态的分析方法
1
应变状态的分析方法介绍
技术开发中的应用
探讨应变状态分析在技术开发和创新中的作用。
结论
结果分析
分析应变状态分析的结果及其对工程的影响。

第三章-应变分析

3－4 体积应变
单元体的体积： dVdxdydz
变形后，体积： dV'(dxxdx)(dyydy)(dzzdz)
dxdy(d1z )(1 )(1 )
x
y
z
dxdy(d1z )
x
y
z
则，体积应变：
d' V d V d
x(1 d y d z) d
x
y
z
x d y d z
dV
d xd yd zx y z
Man◇ ._Ha!n.℡ɡ1rl。゜ eVer ㄨ、 Give up沸点 soon startˊ Sorry -aesar 凯撒 Julietˋ Ａ m , 七分醒 ▌SakitIf- ExpectΜ elod y丶低声、 saybetrayeiove 均 My、
queen哀伤之后 After sad□ Yinkuimy、 zyO° Myへ Loveヽ ρuzzledPoison丶
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。
M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）
点的位移为MM'
z
u = x'- x = u（x，y，z）
v = y'- y = v（x，y，z）
w = z’- z = w（x，y，z）
变形后：
m'点的坐标为( x+u，y+v）
a '点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量）
b '点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）

3应变状态分析

第三章应变分析第一节应变和位移的有关基本概念表示变形大小的物理量。

位移→应变变形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎭⎬⎫纯变形剪变形正变形刚性位移转动平移应变⎩⎨⎧γε相交两线元夹角的变化切应变线元长度的相对变化率线应变:: x xx γδγε=y y y γδγε=工程切应变y γδγφτ≈切应变：xy yx xy φγγ21== 线元方向，线元偏移方向点应变：把空间一点看成一个微六面体，六面体三条棱长度及其夹角的改变称之为点应变小应变：231010－－～＜ε注意：切应变为排除刚体转动之后的纯切变形。

第二节应变分量与应变张量假设：均匀变形，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij εγγγεγγγεε，共三个线应变、六个切应变。

而ji ij γγ=，因此此阵为对称阵（即应变张量）。

点的应变状态性质与应力状态分析类似一任意方向上的线应变与切应变线元方向余弦：l 、m 、n)(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x γγγεεεεγ+++++=与应力类似222222)(γγγεδδδεδδα-++=-=w u u ui ui（相对位移的平方）二主方向（主应变）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22100000εεεεγγγεγγγεδz zy zx yz y yx xz xy x ij 其特征方程为：032213=I -I -I -εεε三应变张量不变量 3,2,1I I I3211=++=++=I εεεεεεz y x ()[]()1332212222εεεεεεγγγεεεεεε++-=+++++-=I zxyz yx x z z y y x3213εεεεγγγεγγγε=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=I z zy zx yz y yx xz xy x四主切应变（与主方向成45°）()211221εεγ-±= ()322321εεγ-±= ()133121εεγ-±= 五应变球张量与偏张量()()03131311321==I =++=++=m z y x m εεεεεεεε球张量代表体积变化（纯塑变时为0），偏张量代表形状变化。

应变状态

3.3 应变协调条件相容方程
平面问题几何方程为
x
将
对y 的二阶导数和
对x 的二阶导数相加，得
3.4 平面应变状态分析
受力物件内某一点只存在三个应变分量，而且都在同一个平面内，其余的应变分量为零。
、、
如xoy在平面内，只有
而态。
、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、
三个分量，
称此种情况为平面应变状
3.4.1 斜向方向应变
但是对于同一点，其主应变与主应变方向是确定不变的。本章主要分析平面应变状态。
几何方程描述了一点处的位移与应变间关系，相容方程描述了变形协调时应变分量间应满足的条件。
3.1 应变概念
线应变与切应变
a点在方向的线应变或称为正应变
a点在 x-y 平面内的切应变或角应变
3.2 位移与应变的关系几何方程
3.4.2 主应变及主应变方向
在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应变称为主应变，这个方向称为主应变方向或应变主轴
主应变方向为
主应变为
最大切应变及其方向
3.4.3 应变圆
作图时以横坐标表示线应变，以纵坐标表示切应变的二分之一
第3章应变分析
受力构件内各点处受应力作用，各点处就要发生变形（约束处的点除外），可用单元体的变形来描述。线应变分量描述了单元体棱边长度的改变切应变分量描述了单元体棱边夹角的改变。
对于空间问题，一点处共有6个应变分量。通常情况下，构件内不同点处的应变是不相同的；即便是同一点处，沿不同方向的应变分量也是不相同的。
例3-1 构件内某点处于平面应变状态，从该点取出的单元体及其变形如图3-4所示。要求：(1)用解析方法求出主应变及主应变方向；(2)用应变圆求出最大切应变及其方向。

高等材料力学课件第三章-应变状态

应变与变形
1 变与变形的关系
应变是描述物体形变程度的量，而变形是指物体由于受力而发生的形状改变。
2 应变分量与应力分量的关系
应变和应力是密切相关的，通过应变和应力之间的关系可以对材料的力学性质进行分析。
3 应变表面与应力表面的关系
应变表面和应力表面是描述物体应变和应力分布情况的图形，它们是密切相关的。
总结
1 本章主要内容回顾
本章我们深入学习了材料力学中的应变状态，包括应变概念、应变矩阵、平面应变状态和空间应变状态等。
2 应变概念和应变矩阵的关系
应变概念是研究物体形变程度的基本概念，而应变矩阵是用于描述物体应变状态的重要工具。
3 平面应变状态和空间应变状态的区别和联系
平面应变状态是指物体在平面内发生的应变情况，而空间应变状态是指物体在三维空间内发生的应变情况。
高等材料力学课件第三章变状态
欢迎来到本课件第三章，我们将深入探讨材料力学中的应变状态。了解应变概念、应变矩阵、平面应变状态和空间应变状态等重要内容。
应变概念
1 应变定义
应变是描述物体在受到力作用后形变程度的量，可分为线性应变和非线性应变。
2 应变率
应变率是指物体单位时间内的形变速率，可以用来描述物体的变形速度。
3 应变分量
应变分量是指在应变矩阵中表示物体变形情况的各个分量，分为正应变和剪应变。
应变矩阵
1 应变矩阵的表示
应变矩阵是用矩阵形式表示物体各个方向上的应变分量。
2 应变矩阵的性质
应变矩阵具有可逆性、对称性和线性性等特点，这些性质在材料的力学分析中起到重要的作用。
3 应变矩阵的运算
应变矩阵可以进行加法、减法和乘法等基本运算，这些运算可以用于分析和计算材料的应变状态。

高弹第三章应变状态(1)

•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
主应变—— 应变主轴方向的正应变
主应变确定 ——应变主轴方向变形
1 1 (ε x − ε )l + γ xy m + γ xz n = 0 2 2 1 1 γ xyl + (ε y − ε )m + + γ yz n = 0 2 2 1 1 γ xz l + γ yz m + (ε z − ε )n = 0 2 2
1 γ xy 2 1 γ xz 2 dx 1 γ yz dy 2 dz εz
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv = ω z dw − ω y − ωz 0 εx ω y dx 1 − ω x dy + γ yx dz 2 0 Leabharlann 1 γ 2 zx c
x
b
c
o
P
u
P’
A
∂u u + dx ∂x
A’’
x
v
B
∂v v + dy ∂y
α
β
∂v v + dx ∂x
A’
B’’
∂u u + dy ∂y
B’
y
PA的正应变 PA的正应变:
∂u u + dx − u ∂u ∂x εx = = dx ∂x
同理线段PB的正应变为：同理线段PB的正应变为： PB的正应变为

第三章应变状态理论

w y

v z

mn

u z

w x

ln

v x

u y
lm
可写成： r xl2 ym2 zn2 g yzmn g zxln g xylm
表明：如知物体内某点的6个应变分量，即可求得过该点的任
切应变xyyzzx六个应变分量我们从物体中取出x方向上长dx的线段pa变形后dxdxpa的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的因此pa正应变为pa的转角为dxdx我们从物体中取出y方向上长dy的线段pb变形后为pbb点y方向的位移为x方向上的位移为pb的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的因此pb正应变为线段pa的转角是线段pb的转角是于是直角apb的改变量为这样平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化切应力来描述称为应变分同样空间一点的变形我们用该点xyz方向上的正应变和xyyzzx方向构成的直角的变化切应变来描述
dy

w
w

1 2

y
1 2
x
0
dz

1 2
g
zx
1 2
g
yz
dz
z

x

ij

1 2
g
xy
1 2
g
xy
y
1 2 1 2
g g
zx yz

11 21
12 22
v

v

1 2
g
xydy

第三章应变分析

第一章应变分析§ 3-1有关变形的几个基本概念一变形：从宏观上讲，当一个物体在外部条件的作用下，它的形状和尺寸发生了时候，我们说该物体产生了变形。

二刚性位移：物体仅仅发生了平动和转动；质点间的位置并没有发生改变，叫刚性位移。

例如，圆棒被弯曲后，棒的中间一般发生了变形，但是在棒的两端并没有发生变形，我们说两端只发生了刚性位移。

三纯变形：从宏观上讲，在物体发生变形时，不可避免地要伴有雄伟性位移，如图所示，从单元体中除去刚性位移之后，剩下的部分为纯变形。

1 正变形：线尺寸的伸长与缩短。

2 剪变形：单元体的畸变。

四如何判断单元体是否发生变形：主要看各质点间的相对位置是否发生变化，发生了变形的为变形，没有发生变化的为刚性位移。

例如上面的棒的中心附近发生了变化，而两端质点间的距离并没有发生变化，棒的中心产生了变形，而两端并没有发生变形。

五应变：应变是变形大小的度量。

1 正变形：表示正变形的应变。

2 剪应变：表示剪变形的应变。

3 小变形：变形程度不超过10-3—10-2的变形统称为小变形。

§ 3-2 变形分析一质点的变形张量：变形体在外力的作用下产生塑性变形，对于一点而言，在一应力张量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσσ的作用下，产生对应的变形，用应变张量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzy zx yz yyx xz xyx ij εαααεαααεε表示其中xy α为纯剪应变和刚性位移-z ϖ之和，即z xy xy ϖγα-=，同理z yx yx ϖγα+= ; y xz xz ϖγα+= ;y zx zx ϖγα-=; x yz yz ϖγα+= ; x zy zy ϖγα-= ; 所以有：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyx xz xyx ij εαααεαααεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+++-=z xzy y zx x yz yz yx y xz zxy xεϖγϖγϖγεϖγϖγϖγε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzy zx yz y yx xz xy xεγγγεγγγε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+++-+000xy x z y z ϖϖϖϖϖϖ，二位移分量和应变的关系：),,(z y x u u =；在三维空间有三个分量，分别是，x u , y u , z u 一般用u, v, w 表示，u, v, w都是x,y,z 的函数，所以有：),,(z y x u u = ， ),,(z y x v v = ， ),,(z y x w w =，这三个分量的增量分别为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=dzz w dy y w dx x w dw dz z v dy y v dx x v dv dz z u dy y u dx x u du 变形过程中必然伴随有位移，位移和变形之间存在一定关系，这种关系如下：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂=∂∂=∂∂=)(21)(21)(21z v y w z u x w x v y u z w y v x u yzzy xz zx yxxy z y x γγγγγγεεε称之为小变形几何方程。

第3章应变

sx =
δ s2 y
s2
o
s′ 2
ψ
δs
s
′ s1
δ s1x
图3-3
δ s1 y
表示了与x 表示了与x轴平行的矢量的单位长度的伸长或压缩，称为线应变。长度的伸长或压缩，称为线应变。线应变
s1
x
2. 如有两个矢量 s 1、s 2 变形前分别平行于ox, oy 轴 i、（图3-3）。 j 为单位矢量。）。为单位矢量。
s1有 1
s ′ = i (δ s1x + s1 ) + jδ s1 y 1 s ′2 = iδ s 2 x + j(δ s 2 y + s 2 ) (3-15) δ s 2 y
y
δ s2 x
′ s2
则两矢量的内积有：则两矢量的内积有：
∂u ∂u sx + sy ∂x ∂y ∂v ∂v δ s y = sx + s y ∂x ∂y
δ sx =
(3-4) (3-4′)
或简写成：或简写成： δ si = ui , j s j
在二维情况，在二维情况，此时
ui, j ∂u ∂x = ∂v ∂x 0
γ xy = α = 2ε xy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
(3-19) (3-19′)
或
ε xy
1 = γ xy 2
于是得二维应变情况下的柯西方程：于是得二维应变情况下的柯西方程：
εx =
∂u ∂v ∂u ∂v , ε y = , γ xy = + ∂x ∂y ∂y ∂x
(3-20)
三维的柯西方程用张量可以缩写成：三维的柯西方程用张量可以缩写成：

弹性力学第三章：应变分析

y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零，表示角度缩小，反之则表示角度扩大综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y

03应变分析2

❖
在研究一点的应力状态时，可以找到三个相互垂直的
没有剪应力作用的平面，将这些面称为主平面，而这些平面
的法线方向称为主方向。
❖
在研究应变问题时，同样可以找到三个相互垂直的平
面，在这些平面上没有剪应变，将这些面称为应变主平面，
cos1 (1 N N ) cos 2(ll x mm y nn z ) （3-22） (mn mn) yz (nl nl) zx (lm lm) xy
由此可求出 1 ，进而可求得 1 。
即过P点任意两个微线段间夹角的变化。
23
如果PN与PN’互相垂直，即=90°。
在小变形条件x u dy u dz
l1
x y z
dr(1 N )
[l(1
u x
)
m
u y
n
u ](1 z
N
) 1
[l(1
u ) m u x y
n
u z
][1
N
N2
]
注意到
N
，u x
，
u y
，
u z
都是微小量，在展开上式后，略
去二阶以上的微小量得：
l1
l(1－ N
u ) x
m
而整个ABCD移到 ABCD。
设A点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：
u f1(x, y, z) w f2 (x, y, z) （3-3）
7
而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：
u1 f1(x dx, y, z)
根据泰勒级数展开式，可得：
u1
f1(x, y, z)
❖
由此可见：在物体内的任一点，如果已知六个应变

弹塑性力学第03章应变状态理论

第三章应变状态理论
在外力（或温度变化）作用下，物体内各部分之间要产生相对运动。物体的这种运动状态，称为“变形”。本章专门分析物体的变形，它的任务是（1）分析一点的应变状态；（2）建立几何方程和应变协调方程。
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7
变形和应变的概念应变与位移的关系—几何方程相对位移张量转动分量主应变应变张量不变量体应变应变协调方程位移边界条件
可以证明，与物体内A点无限邻近的一点B的位移由三部分组成。
B B2 B3 B1
A
A1
① 随同A点平移位移，如左图中的BB2所示 ② 绕A点刚性转动在B点所产生的位移，如左图中的B2B3所示 ③ 由A点邻近的微元体的变形在B点引起的位移，如左图中的 B3B1
§3-4 主应变应变张量不变量
设在坐标系Oxyz下，某点（譬如M点）的6个应变分量为
1 2
1 2 1 2
γ xz ⎤ ⎥ γ yz ⎥ εz ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎢ 1 + ⎢ 2 ωz 1 ⎢ ⎣− 2 ω y
− ωz 0
1 2
ωx
ωy ⎤ ⎥ 1 − 2 ωx ⎥
1 2
0 ⎥ ⎦
u ⎡∂ ∂x ⎢ ∂v ⎢ ∂x ∂w ⎢ ⎣ ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
2 2 2
n=(l , m , n)为该微分线段的方向余弦。
ε i′j′ = ε ij ni′i n j′j
物体内某点的6个应变分量将随着坐标系的旋转而改变。物体受力变形后，过物体内的某一确定的点能否找到这样一个坐标系，在这个坐标下，只有正应变分量，而所有切应变分量都为零。也就是说，过该点能否找到这样3个互相垂直的方向，使沿这3个方向的微分线段在物体变形后只是各自地改变了长度，而其夹角仍保持为直角。 A F A F B F B F

弹性力学徐芝纶第三章详解

在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短正应变二是棱边之间夹角的变化（剪）切应变
符号规定：伸长为正，缩短为负直角变小为正，直角变大为负
正应力剪应力
正应变剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z

弹性力学第三章应变状态理论

w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy

第三章力学位移和应变分析

x， y，z
称为转动分量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A （x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y

A B

v v dy y
（1）反映任一点的位移与该点应变间的
u u dy y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , ， xy （ 2）不能确定u、v。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
tan yx
tan xy
v v dx v x v yx dx x
u u dy u y u dy y
xy
1 v u r ( ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy , 则r为正号，表示沿逆时针转动；
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2

弹性力学_第三章_应变状态分析

第三章应变状态分析知识点位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。

因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。

由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。

对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。

因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。

这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。

当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。

应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。

假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。

这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。

在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。

二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。

§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位臵将发生变化，就是产生位移。

这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。

变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。

弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。

由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。