高考数学二轮复习专题突破课时作业15椭圆、双曲线、抛物线理
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A.12 B.34 C.27 D.57 解析：解法一 根据对称性，线段 F1F2 与线段 AB 在点 O 处互相平分，又A→F2·B→F2＝0，
所以 AF2⊥BF2，连接 AF1，BF1，
所以四边形 AF1BF2 是矩形，|AF1|＝|BF2|.
根据椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，又||BAFF22||＝34，所以|AF1|＝87a，|AF2|＝67a，在 Rt△AF1F2
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3. 故选 C.
答案：C
6．[2018·福州四校高三年级联考]过双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别 作双曲线的两条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线
题意得Error!解得Error!所以该双曲线的标准方程为 x2－y32＝1，故选 C.
解法三 因为双曲线的渐近线方程为 y＝±
3x，即
y ＝±x，所以可设双曲线的方程是 x2 3
－y2＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得 λ＝1，所以该双曲线的标准方程为 x2－y2＝1，故选 C.
3
3
答案：C
2．[2018·全国卷Ⅱ]已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若 PF1⊥PF2，
1
a＝1＋2 3，c＝1，
所以离心率 e＝ac＝1＋2
＝ 3
3－1.
故选 D.
答案：D 3．[2018·山东省潍坊市第一次模拟]已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近 线的距离为 3，且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B. 3
C．2 D．2 3
解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线 bx－ay＝0该双曲线的渐近线的 a2＋b2
斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±x，故选 A.
答案：A
7．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则点(4,0) 到 C 的渐近线的距离为( )
A. 2 B．2
C.3
2 2
D．2 2
3
解析：由题意，得 e＝ac＝ 2，c2＝a2＋b2，得 a2＝b2.又因为 a＞0，b＞0，所以 a＝
b，渐近线方程为 x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为 4 ＝2 2
2，
故选 D.
答案：D
8．[2018·昆明市高三复习教学质量检测]已知 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的 两个焦点，过原点的直线 l 交椭圆 E 于 A，B 两点，A→F2·B→F2＝0，且||BAFF22||＝34，则椭圆 E 的离 心率为( )
bc ＝b＝ a2＋b2
3，即
c2－a2＝3，又 e＝ac＝2，所以 a＝1，该双曲线的实轴的长为 2a＝2.
答案：C
4．[2018·武汉市高中毕业生调研]曲线 C1：2x52 ＋y92＝1 与曲线 C2：25x－2 k＋9－y2 k＝1(0＜ k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
课时作业 15 椭圆、双曲线、抛物线
1．[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 y＝
± 3x，则该双曲线的标准方程是( )
A.71x62－1y22 ＝1 B.y32－x22＝1 C．x2－y32＝1 D.32y32－2x32 ＝1 解析：解法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a＞0， b＞0)，由题意得Error!解得Error!所以该双曲线的标准方程为 x2－y2＝1；当双曲线的焦点
且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
C.
3－1 2
D. 3－1
解析：在 Rt△PF1F2 中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝ 3，由椭圆的定义可知，方程ax22＋by22＝1 中，2a＝1＋ 3，2c＝2，得
解析：因为 0＜k＜9，所以 25－k＞9－k＞0，所以曲线 C2 是焦点在 x 轴上的椭圆，记 其长半轴长为 a2，短半轴长为 b2，半焦距为 c2，则 c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16.曲线 C1 也是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c1，则 c21＝a21－b 21＝25－9＝16，所以曲线 C1 和曲线 C2 的焦距相等，故选 D.
( ) ( ) ( ) 中，|F1F2|＝2c，由勾股定理得(2c)2＝ 87a 2＋ 67a 2，得
的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝± 2x
C．y＝± 3x D．y＝±2x
解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的
边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 4b2－c2＝ 3b2－a2，又
4 条直线分别与两条渐近线平行，所以ba＝
3 在 y 轴上时，设双曲线的标准方程是ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，由题意得Error!无解．故该双 曲线的标准方程为 x2－y2＝1，选 C.
3
解法二 当其中的一条渐近线方程 y＝ 3x 中的 x＝2 时，y＝2 3＞3，又点(2,3)在第
一象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)，由
答案：D 5．[2018·全国卷Ⅲ]设 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|＝ 6|OP|，则 C 的离心率为 ( )
A. 5 B．2
2
C. 3 D. 2
解析：如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P′，连接 P′F2，由题意可知， 四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．
所以 AF2⊥BF2，连接 AF1，BF1，
所以四边形 AF1BF2 是矩形，|AF1|＝|BF2|.
根据椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，又||BAFF22||＝34，所以|AF1|＝87a，|AF2|＝67a，在 Rt△AF1F2
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3. 故选 C.
答案：C
6．[2018·福州四校高三年级联考]过双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别 作双曲线的两条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线
题意得Error!解得Error!所以该双曲线的标准方程为 x2－y32＝1，故选 C.
解法三 因为双曲线的渐近线方程为 y＝±
3x，即
y ＝±x，所以可设双曲线的方程是 x2 3
－y2＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得 λ＝1，所以该双曲线的标准方程为 x2－y2＝1，故选 C.
3
3
答案：C
2．[2018·全国卷Ⅱ]已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若 PF1⊥PF2，
1
a＝1＋2 3，c＝1，
所以离心率 e＝ac＝1＋2
＝ 3
3－1.
故选 D.
答案：D 3．[2018·山东省潍坊市第一次模拟]已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近 线的距离为 3，且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B. 3
C．2 D．2 3
解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线 bx－ay＝0该双曲线的渐近线的 a2＋b2
斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±x，故选 A.
答案：A
7．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则点(4,0) 到 C 的渐近线的距离为( )
A. 2 B．2
C.3
2 2
D．2 2
3
解析：由题意，得 e＝ac＝ 2，c2＝a2＋b2，得 a2＝b2.又因为 a＞0，b＞0，所以 a＝
b，渐近线方程为 x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为 4 ＝2 2
2，
故选 D.
答案：D
8．[2018·昆明市高三复习教学质量检测]已知 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的 两个焦点，过原点的直线 l 交椭圆 E 于 A，B 两点，A→F2·B→F2＝0，且||BAFF22||＝34，则椭圆 E 的离 心率为( )
bc ＝b＝ a2＋b2
3，即
c2－a2＝3，又 e＝ac＝2，所以 a＝1，该双曲线的实轴的长为 2a＝2.
答案：C
4．[2018·武汉市高中毕业生调研]曲线 C1：2x52 ＋y92＝1 与曲线 C2：25x－2 k＋9－y2 k＝1(0＜ k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
课时作业 15 椭圆、双曲线、抛物线
1．[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 y＝
± 3x，则该双曲线的标准方程是( )
A.71x62－1y22 ＝1 B.y32－x22＝1 C．x2－y32＝1 D.32y32－2x32 ＝1 解析：解法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a＞0， b＞0)，由题意得Error!解得Error!所以该双曲线的标准方程为 x2－y2＝1；当双曲线的焦点
且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
C.
3－1 2
D. 3－1
解析：在 Rt△PF1F2 中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝ 3，由椭圆的定义可知，方程ax22＋by22＝1 中，2a＝1＋ 3，2c＝2，得
解析：因为 0＜k＜9，所以 25－k＞9－k＞0，所以曲线 C2 是焦点在 x 轴上的椭圆，记 其长半轴长为 a2，短半轴长为 b2，半焦距为 c2，则 c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16.曲线 C1 也是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c1，则 c21＝a21－b 21＝25－9＝16，所以曲线 C1 和曲线 C2 的焦距相等，故选 D.
( ) ( ) ( ) 中，|F1F2|＝2c，由勾股定理得(2c)2＝ 87a 2＋ 67a 2，得
的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝± 2x
C．y＝± 3x D．y＝±2x
解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的
边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 4b2－c2＝ 3b2－a2，又
4 条直线分别与两条渐近线平行，所以ba＝
3 在 y 轴上时，设双曲线的标准方程是ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，由题意得Error!无解．故该双 曲线的标准方程为 x2－y2＝1，选 C.
3
解法二 当其中的一条渐近线方程 y＝ 3x 中的 x＝2 时，y＝2 3＞3，又点(2,3)在第
一象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)，由
答案：D 5．[2018·全国卷Ⅲ]设 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|＝ 6|OP|，则 C 的离心率为 ( )
A. 5 B．2
2
C. 3 D. 2
解析：如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P′，连接 P′F2，由题意可知， 四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．