2020高考数学专题训练专题复习——求轨迹方程

一. 本周教学内容：

专题复习——求轨迹方程

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

（二）求轨迹方程的注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()

()

(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨

⎧===

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

【典型例题】 例

1.

的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，，A b

y a x B )02(122

22=+

轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方

程。

解：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0） 则由M 为线段AB 中点，可得

⎩⎨

⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y

y a x x y

y x a

x 2222

02

20000 即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ）

上在椭圆点又1)(22

2200=+b y a x ，y x B Θ

，b y a a x b

y

a x 1)2()22(1

2

2

2222

022

0=+-=+∴从而有

14)(422

2

2=+-b

y a a x M ，的轨迹方程为得动点整理 。b ，a ，a ，M 的椭圆短半轴为长半轴为为中心的轨迹是以动点2

2)0( 例

2.

求椭圆的左顶离心率为轴为准线并且以动椭圆过定点，，y ，，M 2

1

)21(

点A 的轨迹方程。

分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M （1，2）且以y 轴为其准线，可见该椭圆位于y 轴右侧，注意到点

M 在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A 的等量关系。只需用A 的坐标先表示出左焦点F 的坐标，即可列出轨迹方程。

解：，A ，e ，

，y x F ，y x A 在椭圆上及点则由离心率左焦点为，设2

1

)()(0= ，x x x ，AK AF 2

121

||||0=-=即可得

)2

3(23

0y x F x ，x ，∴=∴ 又∵M 在椭圆上， ，

，即2

11)2()231(2

1

||||2

2

=-+-

=∴

y x MN MF 14

1)2(91)32(1)2(4)3

2(922

22=-+-=-+-y x y x ，即

化简，得 的椭圆。

，短半轴为为中心，长半轴为，该方程表示以3

1

21)232(

例3. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

分析1：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要

条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法1：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。

又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2 ∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1，

02242204--=

--=

y

，k x k PB PA 而 05212

24·224=-+-=--∴y x y

x ，化简，得

注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4） 中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0 综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。

分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： ||2

1||AB MP =

解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ）， ∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形

||2

1

||AB MP ，=由直角三角形的性质

2222)2()2(·2

1)4()2(y x y x +=-+-∴

化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。