西点教育教案 第18章 勾股定理

第18章 勾股定理复习

一．教学目标

1．复习巩固勾股定理相关知识

2．会用勾股定理进行简单的计算，及解决简单的实际问题

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想

二．重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算

2．难点：勾股定理的灵活运用

3．难点的突破方法：

⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用．

⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．

⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．

三．课堂引入

复习勾股定理的相关知识

四．例习题分析

例1（补充）在Rt ABC ∆，90C ∠=︒

⑴已知5a b ==,求c ．

⑵已知1,2a c ==, 求b ．

⑶已知17,8c b ==, 求a ．

⑷已知:1:2a b =,5c =, 求a ．

⑸已知15b =，30A ∠=︒，求,a c

分析：让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题，让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，继续巩固见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．

例3（补充）已知：如图，等边ABC ∆的边长是6cm

⑴求等边ABC ∆的高

⑵求ABC S ∆

D C

B

A

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．欲求高CD ，可将其置身于Rt AD C ∆或Rt BD C ∆中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求1

32AD BD AB cm ===，则此题可解．

例４.

⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解

解：

⑴4AC ==， 2.4AC BC

C D AB ⋅==

D

B A

C

⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =

⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1

302S ab ∴==2cm

例５.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长

2

1

E D

C

B

A

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解：作DE AB ⊥于E ，

12∠=∠，90C ∠=︒

∴ 1.5DE CD ==

在BDE ∆中

90,2BED BE ∠=︒=

Rt ACD Rt AED

∆≅∆ AC AE ∴=

在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒

222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=

例６.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

A

B C

D E

分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2C D =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8D E =m

在Rt AD E ∆

中，由勾股定理得10AD =

答案：10m

例７.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆

① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②5

4a =，1b =，2

3c =

解：①22221.52 6.25a b +=+= ，222.5 6.25c ==

∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②2213

9b c += ，225

16a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形

例８.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形

理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c =

222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形

六．课堂练习

1．填空题