海州中学期中试题

它们的夹角为120°点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若OC=xOA+yOB,其中x , y € R ,则x + y 的最大值是 二、解答题：（本大题共6小题，共计90 分）
海州高级中学2019学年度第二学期期中考试高一数学试题
2019-4-29
1.已知角a 的终边经过点 Q （1 , J 3），则si n ot
= 1 2.已知 tan a = —，贝U sin a cos ot = 3 3.已知向量 a = (1, — 2), b = (2 , 1),贝U ( a + 2 b ) a = 4. 在（0,2兀）内，使得|si nxlACOSx 成立的x 的取值范围为 5
. 1 - 已知 cos (兀一a )=--,贝y sin(——+a )= 4 2 6. 已知 a = (cosot , sin a ) , b = (cos P , sin P ),
若 a // b , 且 c = ( cos(a — P ) , 1 +sin(ot - P )),则| c | = 7
.
2 2 2
已知向量 a , b 满足 | a | +| b | =|a -b | =25,则| a + b |= 8. 已知△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD =2DB , CD = X AB + y AC ，贝U x + y =
9. 把函数f （x ）=sin （2x+=）的图像向右平移 二个单位，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的
4 8
（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解析式为 ______________________ ;
□ 兀
10.函数f(x)=J 3sin X + sin(3+x)在x € R 上的最小值为 1 11.若 A 是^ ABC 的一个内角，且 sin A cos A = -一，贝U cosA-sin A = 8
12.实数 x , y 满足 tan X = x , tan y = y ,且| x |
丰 | y |,则
sin(x- y) sin(x + y) _
X- y 13.已知 tana 4 5 兀 =—,sin(a + P )=—,且a 忘(0 , =) , P 忘 3 13 2
兀 才）
14.如右图所示 ,给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,
（I ）证明：a + b 与a — b 互相垂直;
(n)当 | J 3 a + b 冃 a - b |,求角 a
15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角 a , P , 相交于A 、B 两点，已知A 、B 的纵坐标分别为 —,- 10 5
(I)求 tan( P -a )的值; （n ）求a + P 的值.
=1
16.已知a 是第二象限角, 3兀 sin(——-a ) cos(2兀一a ) tan (兀
一ot ) f G )= c 2 — cos (-兀-a ) (I)化简 f (a )； 兀 1
(n)若 sin(——a )= 一一，求 f (a )的值.
2 2
17. 如图，在Rt △ ABC 中，已知斜边 Q
问PQ 与BC 的夹角9取何值时, 18.设平面上向量 a = (cos a , si n ot )
19.已知函数 f （X ）= Acos （x +W ） （ A A O , |W |<-）,当x € R 时，函数最大值为1,其图像过点 1
性,寸
(I)求 f (x); （n ）求f （x ）的单调递增区间; （川）若 f （―工—X ）+2f （X -上）f （x +二）=a 有实数解，求实数 a 的取值范围. 12 3 6 20.在锐角△ ABC 中，内角 A , B , C 满足 tanA - tanB 出(1+tanA ・tanB). 3 (I)若
V 6 + 丿2
sin A = -------- ，求角
B ；
4 (n)已知向量 m = (sin A , cos A), n = (cos B , sin B),求 | 3 m — 2 n | 的取值
范围.
江苏省海州高级中学期中考试高一数学试题参考答案及评分标准
填空题:
解答题:
3T
< P <—
••• 0 " + P c 兀
2
(n) cosG = —1 •: a 是第二象限角
si n a =毎 2 2
解二：如图建立直角坐标系，设 A(0, 0) , B(b, 0) , C(0, c), P(x, y) , Q( — x, — y)
|PQF2a,|BCFa , ••• BP = (x-b , y),CQ = (-x , - y-c)
• BP CQ = -x(x-b)中 y(-y -c) = —(x 2
+ y 2
) +bx-cy
BC=(-b,c), PQ=(-2x,-2y)
15. 解: O A (也 10
务，B (4,|)
tana =1, tan P =-
7 二 tan(P -
a )
4
1
7
17
(n) tan© + P )
1+3』
4 7 1 3 -+ 7 4 1 3 X —
7 4 =1 31 16
.
解: (I) fw)=—cos -cos -(
—ta
何=cos 「tan 八Since
cosa 17. 7分
解一:
Q
Ay
BP CQ 的值最大，最大值为 0.
7分
•••「
2
1. 2. 10
3. 5 5.
6. 42
7. 5 8. 0
9. f (X)= S i rx
10. — 2 11.-
75
12.
63
13. —
—
14.
JI
C
Q
A
2 分
x
P
X
cos' JC FQ | BC M PQ | 2bx — 2cy bx —
cy
a 2a
--- ----- 2 2
•- BP CQ = —a +a cos 日
•••当cose =1即0 =0 （ PQ 与BC 方向相同）时,
2 2
18. (I)证明：•••( a + b )
•( a - b )= a — b = 1- 1 = 0
••• sinA=^^ , 0°<A<90 ….cosA = ^^ 4
4
sin B =s in (A - 30 J = sin Acos30° —cosAsi n30 J 6 + 寸2V 3
76 1
X.—
(n)解：|73 a + b |2=| a - 73 b |2
/. 3a 2
+2j 3 a
”b + b 2 = a
-2J3 a ”b+ 3b 2
•- 4^5 a b = 0 •- a b = 0
11分
並-COS G 1=0
2
73
••• tana =—— (14)
分
3
16分
兀
兀
1 19.解：(I) A =1, f(X)=cos(x +W ) , f (二)=cos (二 +W ) = -—
3 3
2
... 2 '分
”
巧
兀
J T 门咔3 •••_ _•••
f(X ^cos(^-)
兀
(n) 2k 兀一兀 <x +— <2k 兀，2k ；i
3
兀
< X <2k ；i
3
•单调递增区间为［2k 兀-
3
2心 兀
--]
3
(k€ Z )
兀
兀
(川) a = cos( — 一一x +—)+2cos(x
12
J
兀 =cos (一 一 X) - 2 sin X cos x = 4 兀 JI
——(sin X + COSX)-2sin xcosx 2 10分
令 t =sin X + cosx = V 2 sin(x + —) 4 •/x € R ••• 一72<t <72 ••• 2sinxcosx=t 2-1 12分
• a 玉t -t 2+1 2 丿2、2亠
9 ）
8 16分
20.解：(I) tan A —tanB
1 +tan Atan B ••• tan (A - B) •/ 0°c Ac90° , 0°vB
<90。

•-90°c A -B c90 • A-B =30°
BP CQ 的值最大，最大值为 0.
••( a + b )丄(a 一 b )
r
<2
2
•/ 0°< B c90 B= 45°
X
)••• sin 75o = sin(45o+303=sin4^cos3^ + cos4^sin 30*
JI 決邑+昱丄=晶+血 2 2 2 2 4
••• sin A=sin75。

•/ 0o<A<90。

.• A = 75。

.• B=A -30o=45。

2 2 2 (n) | 3 m —2 n | =9 m -12 m n + 4 n =9+4-12(si nAcosB +cosAs in B) =13 -12sin(A + B) =13 -12sin(2B +30。

) 12分 ••• 30°c2B +30。

<150。

•/ A = B +30。

<90。

••• 0°c B c 60。

1 2 L •- <si n(2B +30m<1 •••1<|3 m- 2 n | <7 • 1<|3 m- 2 n |vj 7
2
16分。