2020年复变函数与积分变换第9章

s 1)3(s
1)2
est ,
1

d lim s1 ds
(s
s 1)3
e
st


et (2t 1).
16
L
1


(s

s 1)3 ( s
1)2
m! sm1
(Re s 0).
当 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L
[t ]
1 s 1
(

1)
(Re s 0),
其中 ( 1) xe xdx 是函数. 0
例8.5 周期函数的Laplace变换 设 f (t)是以T 为周期的函数, 即
f (t ) Mes0t , 则在半平面 Re s s0上，L [ f (t)] 存在, 且
F (s) L [ f (t)]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f (t)的增长指数.

类似于幂定级理数3.中6 (Abel定理，) 有若下级面数定理cnz.n 在 z1 0 n0
定理8处.2收敛如，果则当0zf(tz)1e时std, t级在数s1n0 cnz1n绝i对1 收敛
的Laplace变换.
解 运根行据下L面ap的lacMe变AT换L的AB定语义句.
F (s) >L> s[yfm(ts)]ts La [eat ] eatestdt e(sa)tdt,
0
0
>> f=exp(a*t);L=laplace(f)
这个积分当 L=
Re
s
求
F(s)
s s2 1
的Laplace逆变换.
解
s i 是
s
2
s
1
e
st
的1级极点， 由计算
留数的法则，
Res

s2
s
1
e
st
,

i


se st 2s
si

1 eit , 2
L
1 F (s)

Res

s2
s
1
e
st
,
i


Res

0
0
将 i 记为s, 可写成
F (s) f (t)estdt. 0
这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函
数的限制, 使之更适合某些工程实际, 且仍然保留
Fourier变换中许多好的性质, 在某些工程问题中 更实用、更方便.
§8.1 Laplace变换的定义
1 Laplace变换的定义
是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1.
8.1.2 Laplace变换存在定理
定理8.1 设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0,)上，
f (t T ) f (t) (t 0),
且在一个周期内分段连续，则
L [ f (t )] f (t )estdt (k1)T f (t )estdt.
0
kT
k0
令 t kT , [0, T ), 则
(k1)T f (t )estdt T f ( kT )es( kT )d ,

lim
s0
(
s
e st 1)2

1,
Res

s(s
1
1)2
e st
,
1

lim
s1
est

s


et
(t

1),
L
1

s(s
1
1)2


1
et
(t

1)
(t 0).
例8.7
求
L
1


(
s

s 1)3 ( s
1)2

s2
s
1
e
st
,

i

1 (eit eit ) cos t. 2
例8.6
求
F(s)

s(s
1 1)2
的Laplace逆变换.
解
s1

0
和
s2

1 分别是
s(s
1 1)2
e st
的1级
和2级极点. 故由计算留数的法则
Res

s(s
1
1)2
e
st
,
0
1 e sT
T f (t )e stdt,
0
于是
L
[
f
(t)]
1 1 e sT
T f (t )e stdt.
0
这就是周期函数的Laplace变换公式.
附录3(见P181 )给出了一些常见函数的拉氏变换. 请特别记住以下结果(六个):
(1) L 1 1
s
(2)
L
这就是Laplace逆变换的 y
一般公式, 称为Laplace 变换 的反演积分.
0 x
应用复变函数论中的留数理论作为工具，是计算 Laplace逆变换的一种较一般的方法。后面还有 应用Laplace变换的性质计算逆变换的方法，也是 常用的方法。在使用时, 应该根据具体情形采用 简便的方法。
例
称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做 L [ f (t)], 即
L [ f (t)] F (s) f (t)estdt. 0
F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数.
已知 F(s)是 f (t) 的Laplace变换，则记
f (t) L 1[F (s)],
奇点(有限个)，除这些点外, F(s) 处处解析, 且存
在 R0 0, 当 | s | R0 时, F (s) M (| s |), 其中M(r) 是 r 的实函数, 且 lim M(r) 0. 选取 , 使所有
r
孤立奇点都在 Re s 内, 则当 t 0 时，
kT
0
(k1)T f (t )estdt ekTs T f ( )es d .
kT
0
而当 Re s 0 时，eTs 1, 所以
(k1)T f (t )e stdt ekTs T f (t )e stdt
kT
0
k0
k0
1
并称 f (t)为 F(s)的Laplace逆变换.
例8.1 求单位阶跃函数
1, u(t) 0, 的Laplace变换.
t0 t0
解 运根行据下L面ap的laMceA变TL换A的B语定句义.，当 Re s 0 时，
>> syms t s
L [u(t)]
e stdt 1 e st 1 .


cos t ]
0
omega/(s^2+omegsa2^2) 2 ,
于是
L
[sint]
s2
2
(Re s 0).
类似可得 L
[cost]
s2
s
2
(Re s 0).
记住结果
L[sin kt] k (Re(s) 0) s2 k2
L[cost]
Os
实轴
例8.3 求 f (t) sint 的Laplace变换.
解 运因行为下f面(t的) M1A eT0L, A故B在语句Re. s 0 上，
La>p>lascyem变s换t s存;s在ym，s 且omega
>L>0=fe=ssitns(ionmetdgta*t)s;2Le= slta2p[lacses(ifn) t
.

解
s1

1
和
s2

1
分别是
(s

s 1)3 ( s

1)2
e st
的3级和2级极点. 故由计算留数的法则
Res

(
s

s 1)3 (
s

1)2
e
st
,
1

1
d2
2
!
lim
s1
ds
2


(s
s 1)2
e st

et (1 2t 2 ), 16
Res (s
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数F(s)
的集合的一种对应关系 L : f (t) F(s)
集合A
f(Hale Waihona Puke Baidu)
L
集合B F(s)
所以记F(s)为L[f(t)],并称F(s)为f(t)的象函数.
(3) 由(2)产生了以下问题: ① 集合A中都有什么样的实函数? 换句话说,
什么实函数有拉氏变换？ ② A中不同实函数的象函数是否也不同?若L
第八章 Laplace变换
在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函 数(例如常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数 等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间 t 为自变 量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要 知道t<0的情况, 此时可以认为当t<0时, f (t)0. 于 是Fourier变换的表达式为
2 周期函数和d 函数的Laplace变换
8.1.1 Laplace变换的定义
定义8.1 设 f (t)在 t 0上有定义, 并且积分
F (s) f (t)estdt (s是复参变量)关于某一范围 0
s 收敛，则由这个积分确定的函数
F (s) f (t )estdt, 0
>> f=sym('Hea0 viside(t)');Ls=lapl0ace(fs)
因为在L L=aplace变换中不必考虑 t 0 时的情况，
所以经1/s常记作 L [1] 1 .
注 首先使用命令ssyms来定义基本符号对象, 否则
例8.2 求指数函数 f (t) eat (其中a是实数)
F [ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0,)上绝对可积的条件.
对定义在 [0, )上的函数 f (t), 如果考虑
f1(t) f (t)et ( 0),
那么 f1(t )容易满足在 [0, )上绝对可积的要求. 例
1
2 i
i F (s)e stds
i
n
Res[F (s)est , sk ]
k 1
f (t ) 1 i F (s)estds (t 0),
2 i i
其中 s0 , s0 是 f (t)的增长指数. 积分路径是
在右半平面 Re s s0上的任意一条直线 Re s .
s2
s
2
(Re s 0).
注:计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分
法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以后,我们
还将给出本题的其它证明方法.
例8.4 求 f (t) t ( 1)的Laplace变换.
解 如果是正整数 m, 则由分部积分法, 易
求得
L
t m

处收敛，则若这级个数积 分cnz在n 在Rez2s处 发1散上，处则处当收z敛, z且2 时, 级数
n0
由这个积分确定的函数
cnzn 发散.
F
(s)在
Re
s

1上解析；
如果
0
f
n0
(t )e

st
dt
在
s2

2

i2处发散,
则这个
积分在 Re s 2 上处处发散.
如 f (t) 为常数、多项式、正弦与余弦函数等, 这是
因为 t 时, et 是衰减速度很快的函数.
如果 0 取得适当大，那么
f (t )et , t 0,
f1
(t
)


0,
t0
的Fourier变换可能有意义. f1(t)的Fourier变换为
f (t )e teitdt f (t )e( i )tdt.
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
Re s s上, 积分 f (t)estdt 收敛, 而在 Re s s 0
上，积分 f (t)estdt 处处发散. 在收敛区域内， 0
Laplace变换的像函数
虚轴
F (s) L [ f (t)]是s的解
析函数.

a
时收敛，且
1/(s-a) e(sa)tdt 1 ,
0
sa
所以
L [eat ] 1 (Re s a).
sa
回忆,理解与问题:
b
(1) 回忆:含参量积分 f (x, y)dx I ( y) a (8.1) : F(s) f (t)estd t 就是一个含参量的积分. 0
ekt


s
1
k
(3)
L

tm


(m 1) sm1
(m 1),
L

t
m


m! sm1
(m 1, 2,
)
(4)
L
sin
kt


s2
k
k
2
(5)
L
cos
kt


s2
s
k
2
(6) L d (t) 1
§8.1.3 Laplace 逆变换计算公式
定理8.3 设 s1, s2 , , sn 是 F (s) 的所有孤立