2020年复变函数与积分变换第9章
复变函数与积分变化答案北京邮电大学第九章
1. 求下列信号的离散傅里叶变换。
()()(01).n x n a u n a a =<<为实数，解：1()()()(),1jwjwnjwnjw n jwn n n X e x n ea n eae ae ∞∞∞----=-∞=-∞=-∞====-∑∑∑幅度谱为21/21(),(12cos )jw X e a a w =+- 相位谱为sin ()arg ()arctan.1cos jw a ww X e a wφ==--2.求1, 1;().0, 1.n n x n Z n ≥⎧=⎨<⎩ 的变换解：该序列是一个右边序列，由定义得11().n n X z z n∞-==∑因为11211d ()11()(), 1.d n n n n X z n z z z z n z z ∞∞----===-=-=>-∑∑ 则()ln ln(1)ln.1z X z z z z=--=-3.求长度为N 的有限长序列00()(), 0x n n n n N δ=-<<的DFT.解：由定义得21()()()N jnk NN n X k x n eR k π--==∑2100()()N jnk NN n n n eR k πδ--==-∑02(),jn k NN eR k π-=其中()N R k 为矩形序列.4. 已知x(n )是N 点有限长序列，X(k)=DFT[x(n)].现将长度变为rN 点的有限长序列y(n)，(), 01;()0, 1.x n n N y n N n rN ≤≤-⎧=⎨≤≤-⎩ 试求rN 点的DFT[y(n)]与X(k)的关系. 解：由21()[()](),01,N jnk Nn X k DFT x n x n ek N π--===≤≤-∑可得(1)1()[()]()()r N N nk nkrNrN n n Y k DFT y n y n Wx nW --=====∑∑ 210(),,0,1,, 1.k N j n N rn k x n eX k lr l N ar π--=⎛⎫====- ⎪⎝⎭∑所以在一个周期内，()Y k 的抽样点数是()X k 的r 倍，相当于在()X k 的每两个之间插入1r -个其他的数值（比一定为零），而当k 为r 的整数l 倍时，()Y k 与k X r ⎛⎫⎪⎝⎭相等.5.已知X(k)，Y(k )是两个N 点的实序列x(n)，y(n)的DFT 值，今需要从X(k)，Y(k)求x(n)，y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成. 解：依据题意()(),()(),x n X k y n Y k ⇔⇔取序列()()(),Z k X k jY k =+对()Z k 作N 点IFFT 可得序列()z n .又根据DFT 的性质[][][]IDFT ()()IDFT ()IDFT ()()().X k jY k X k j Y k x n jy n =+=+=+由原题可知，(),()x n y n 都是实序列.再根据()()()z n x n jy n =+，可得[]()Re ()x n z n =以及[]()Im ().y n z n =6.如果一台计算机的速度为平均每次复乘5 μs ，每次复加0.5 μs ，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问：直接计算需要多长时间？用FFT 需要多长时间？解：（1）直接计算 复乘所需时间62621510510512 1.31072();T N s --=⨯⨯=⨯⨯=复加所需时间6620.510(1)0.510512(5121)0.130816().T N N s --=⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯-=所以12 1.441536().T T T s =+=（2）用FFT 计算 复乘所需时间66122512510log 510log 5120.01152();22N T N s --=⨯⨯=⨯⨯= 复加所需时间662220.510log 0.510512log 5120.002304().T N N s --=⨯⨯=⨯⨯=所以120.013824().T T T s =+=。
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换-PPT课件
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
工程数学.复变函数与积分变换(尹水仿,李寿贵主编)PPT模板
14
附录III 拉氏变换简 表
附录III 拉氏变换 简表15ຫໍສະໝຸດ 习题答案或提示习题答案或提示
感谢聆听
汇
第七章 共形映射
数学家简介
08
第八章 傅里叶变换
第八章 傅 里叶变换
01 第一节 傅氏积分 02 第二节 傅氏变换
定理
03 第三节 单位脉冲 04 第四节 傅氏变换
函数及其傅氏变换
的性质
05 第五节 卷积与卷 06 第六节 傅氏变换
积定理
的简单应用
第八章 傅里叶变 换
本章重要概念英语词汇 习题八 数学家简介
第五章 级数
0 1
第一节 幂级 数
0 4
本章重要概念 英语词汇
0 2
第二节 泰勒 级数
0 5
习题五
0 3
第三节 洛朗 级数
0 6
数学家简介
06
第六章 留数理论
第六章 留数理论
0 1
第一节 孤立奇 点
0 2
第二节 留数定 理
0 3
第三节 留数的 计算
0 4
第四节 留数定 理应用于计算某 些实函数的积分
工程数学.复变函数与积分变换( 尹水仿，李寿贵主编)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01
第一章 复数及平面 区域
第一章 复 数及平面区
域
01 第一节 复数及其 02 第二节 复数的几
代数运算
何表示，欧拉公式
03 第三节 无穷远点 04 本章重要概念英语
和复球面
词汇
05 习题一
06 数学家简介
02
第二章 复变函数
第二章 复变函数
01 第 一 节 复 变 函 数
复变函数与积分变换课件
解: ( 2)
z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2
z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
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1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
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例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
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1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换课件
复变函数的积分与积分变换
1
积分公式
复变函数的积分公式可以用于计算曲线下面积。
2
积分变换
积分变换是一种将函数映射到复平面的转换方法。
3
常见的积分变换
包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
复变函数的解析性和调和函数
解析性
复变函数具有解析性，意味着它在某个区域内 无穷次可微且无奇点。
调和函数
调和函数是一种具有平均值性质的函数，它满 足拉普拉斯方程。
拉普拉斯变换与应用
定义 应用
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，常用于解 决常微分方程和偏微分方程。
拉普拉斯变换在信号处理、控制系统和电路分 析等领域中具有重要的应用价值。
傅里叶变换与应用
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域函数 转换为频域函数的方法。
应用
傅里叶变换广泛应用于信号处 理、音频处理和图像处理等领 域。
数学表示
傅里叶变换可以用数学公式描 述函数的频域特性。
积分变换的性质和逆变换
1 性质
积分变换具有线性性质、频率平移性质和尺度变换性质等。
2 逆变换
逆变换是将积分变换的结果转换回原始函数的过程。
复变函数与积分变换的综合应用
信号处理
复变函数与积分变换在信 号滤波和频域分析中发挥 重要作用。
控制系统
复变函数与积分变换可用 于分析和设计具有复杂传 递函数的控制系统。
电路分析
复变函数与积分变换可以 帮助求解电路中的电压和 电流等问题。
复变函数与积分变换课件
欢迎来到复变函数与积分变换的世界！在这个课件中，我们将深入探索复变 函数的基本概念和性质，以及复变函数的积分公式和积分变换。
复变函数概念与性质
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复变函数与积分变换讲义详细
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
第九讲
目录
复数的代数运算及几何表示 复数的乘幂与方根 区域 复变函数 复变函数及极限与连续 解析函数的概念及充要条件 初等函数 复积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数和调和函数的关系 复数项级数 幂级数
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576)在研究
一元二次方程 x10x40时引进了复数。他发现
这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表
为 5 15与 5 15。在当时，包括他自己在内，
谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被
Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到 建立和发展。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展。
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定
说 a明r gt：a zn 当(z pa在prp)c第 taa 二rnactxya r象tn ca,(tn限p zaxy在n 时,xy第z，),在 p 2 z一在 t第a 、 n 第二 四三 a 象rg 象y 象限 z其 限 限中 p pp2 p 2 aar rcc ttaan np xyy p0 2 例 谁利一直A第第因可热z可在第与程x第解z利这复第例 第为利(为C第 解四-11,ary++如也用元到六三此以学以当五实来四析用个变十1五用十析则gr分dzza<将a22n大弄 欧 二 十 讲 讲 ,将 弹 将 时 讲 数 表 讲 函 欧 方 函 六 讲 欧 二函 运t别n==d<它下o家 不拉次七z性z，不示数拉程数讲拉讲 数算zz+(称表表22的法(列++1所 清公方与理包同.和公没的公和为复复初解初示示5复设zz国)复110熟 这式程十论括,调式有理F。式。孤 调Z积变等析等一成成1数o.;;数的-知 样八中他和根论和立u分函函函函e般ee1三三形r化zz5实iiii的 表世平自函，和函奇e11qqq的数数数数说7角角式rzz为6部变===示纪面己数并方数E点22概及的来)表表的u在==三ccc和换有，问在的把法的时lzzooo念极概,e示示参任研22sss角虚r的什随题内关这在关引qqqzz限念式式数柯意11究表部性么着的，系个数系进+++与及::方西两示,;;质iii好微有方学了记连充zzsss程古个式11iii处积力程、复作nnn续要++应为萨复qqq与((。分工的自数zz条用基数得得得22指的具两然。++件本不指指指zz数卷产。个科33定能数数数))表积生根学==理比((表表表示zz与形和11较示示示式++发式工zz大式式式.22展地程))小:::++，表技zz.33术
高等数学课件-复变函数与积分变换 第九章 Z变换
¢ (n k) (n k)zn zk
n0
( z 0)
2020/7/2
23
例 2.4
求单位阶跃序列u(n)
1 0
[解] ¢ u(n) u(n)zn
z
n0
z 1
n 0的 Z 变换。 n0 ( z 1)
例 2.5 求指数序列 f (n) an的 Z 变换。
[解] F (z) ¢ [an ] anzn
f (n) f (n 1) f (n)
(1.1)
2020/7/2
5
称 f (n) f (n 1)为序列 f (n)的一阶向后差分，记为
▽ f (n),即
▽ f (n) f (n) f (n 1)
(1.2)
若定义左移算子l 和右移算子r ，即
lf (n) f (n 1),L ,lk f (n) f (n k),，
f (n 1) f (n) 2n 1
(3.5)
设¢ f (n) F (z)，对(3.5)式两边求 Z 变换，得
¢ f (n 1) f (n) zF (z) f (0) F(z) (z 1)F (z)
ⅱ2n 1 2 r(n) ? u(n)
z
12
z
z 1
z(z 1) (z 1)2
z
(z a)
n0
za
2020/7/2
24
例 2.6 分别求正弦序列 f1(n) sin0n和余弦序 列 f2(n) cos0n的 Z 变换。
[解] F1(z) ⅱsin0n
ei0n ei0n
2i
z2
z sin0 2z cos0
1
( z 1)
F 2(z) ⅱcos0n
电子信息类专业《复变函数与积分变换》课程的教学研究
2371 引言复变函数的物理背景非常鲜明，这是因为在流体力学和电动力学中，它有着最重要的向量场特征，它将力学、数学物理等许多方面的理论和实际问题紧密联系起来。
在复变函数理论基础之上，人们以特定形式积分的方法建立起函数之间的某种对应关系，这就是积分变换方法。
电子信息类专业《复变函数与积分变换》课程的教学研究郜东宁（兰州城市学院电子与信息工程学院 甘肃 兰州 730070）【摘要】《复变函数与积分变换》作为电子信息类专业的一门必修课程，主要任务是培养学生的创新思维、理论与实践相结合的能力。
本文根据该课程的现状，从教学手段、教学方法和考核方法等方面进行教学改革、完善教学体系，并将其融入实际教学中，收到很好的教学效果。
【关键词】《复变函数与积分变换》；教学改革；理论与实践【中图分类号】O174.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5624（2020）07-0237-02总结学生在练习中出现的问题，教会学生掌握灵活的操作方法。
通过这种教学模式，能够有效锻炼学生的操作能力与思维能力，从而促进教学质量与效率提高[1]。
3 以课堂任务驱动学生开展课堂学习在任务驱动教学方法下，学生需要通过完成教师布置的学习任务掌握知识内容，整个完成任务的过程，就是学生学习的过程。
在整个任务驱动学习模式下，关键在于教师为学生布置的学习任务，任务的质量直接关系到学生的学习状态与最终的学习效果。
教师在为学生设计教学任务时，要考虑到中职计算机信息技术的教学标准与目的，将实际生活内容融入到信息技术教学中，与其他课程知识有机的联系在一起，以学生的生活与学习为基础，为学生制定学习任务。
通过这样的方式能够让学生感受到计算机信息技术的生活性与实用性，从而拉近学生与计算机信息技术之间的距离，激发学生对信息技术知识的好奇心与探索欲，此时学生自己动手参与到计算机信息技术课堂中。
教师在为学生布置学习任务后，不要急于为学生进行讲解，而是给学生预留出足够的空间与时间，让学生以通过自主思考与合作学习的方式，共同探究学习任务，从而调动学生的学习热情与参与课堂的积极性。
复变函数与积分变换PPT课件
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数和积分变换 84页PPT文档
（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数
复变函数与积分变换智慧树知到答案2024年西安科技大学
复变函数与积分变换西安科技大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.设为复数，则方程的解是（）A:B:C:D:答案:B2.满足不等式的所有点构成的集合是（）A:无解区域B:有界闭区域C:无界闭区域D:有界区域答案:C3.在时极限（）A:0B:不存在C:-1D:1答案:B4.设则（）A:B:C:D:答案:D5.函数在点处连续的充要条件是（）A:和在处连续B:在处连续C:在处连续D:在处连续答案:A第二章测试1.若函数在区域内解析，则也在内解析。
（）A:对 B:错答案:B2.若函数在处满足柯西-黎曼条件，则在处解析。
（）A:错 B:对答案:A3.若函数在区域内解析，且也在内解析，则是常数。
（）A:错 B:对答案:B4.函数的基本周期为。
（）A:错 B:对答案:B5.设则。
（）A:对 B:错答案:A第三章测试1.一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。
（）A:错 B:对答案:B2.复积分与路径无关的充要条件是其右端两个对坐标的曲线积分都与积分路径无关。
（）A:对 B:错答案:A3.一个解析函数不仅有一阶导数，而且有任意阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。
（）A:对 B:错答案:A4.解析函数的实部和虚部都不是调和函数。
（）A:对 B:错答案:B5.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。
（）A:对 B:错答案:B第四章测试1.若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为（）A:不能确定B:发散C:条件收敛D:绝对收敛答案:D2.级数的收敛半径为（）A:0.5B:C:2D:答案:D3.复数列收敛于的充要条件是，（）A:对 B:错答案:A4.若收敛。
（）A:对 B:错答案:B5.在某一个圆环域解析的函数展开的洛朗级数是唯一的。
（）A:错 B:对答案:B第五章测试1.是函数的（）A:3级极点B:2级极点C:本性奇点D:可去奇点答案:B2.是函数的（）A:本性奇点B:4级极点C:3级极点D:可去奇点答案:B3.为函数的级极点的充分必要条件，是可表示为的形式，其中在点解析。
复变函数与积分变换教案
教案复变函数与积分变换课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；复变函数与积分变换课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；复变函数与积分变换课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；。
中北大学复变函数与积分变换答案(第七至九章答案)
(s +1+ i)4
]s=−1+i
=
te( −1−i )t
(−2i)2 − 2e(−1−i)t (−2i)4
(−2i)
+
te( −1+i )t
(2i)2 − 2e(−1+i)t (2i)4
(2i)
= 1 [−te−t cos t + e−t sin t] = 1 e−t (sin t − t cos t)
[te−2t
0
sin
6t ]e− st dt
=
12(s + 2) [(s + 2)2 + 36]2
6． f (t) = (t − a)u(t − a)
4
L { f (t)} =
t2u(t − 2)e−stdt =
0
t 2e−stdt =
2
(x + 2)2 e−s(x+2)dt = e−2s[ 2 + 4 + 4]
解：
f
(t)
=
1 0
t 1 t 1
F
f
(t)
=
2
sin
0
2 = 0
+
[2
sin
]2d
=
2
1 12 dt = 4 ，
+ (sin )2d =
−
−1
−
3
所以
+ 1− cos xdx =
+
2 sin 2
x =x
2 dx
2
=
+ sin2 d =
− x2
− x2
−
2
第八章
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数与积分变换ch12-9
y1 = eαx (cos β x + i sin β x ),
1 y1 = ( y1 + y2 ) = e αx cos βx , 重新组合 2
1 αx y2 = ( y1 y2 ) = e sin βx , 2i
得齐次方程的通解为: 得齐次方程的通解为: y = e αx (C1 cos β x + C 2 sin β x ).
( n ≠ 0,1)
令 z = y 1 n 一阶线性非齐次方程
3.二阶线性微分方程解的结构: 3.二阶线性微分方程解的结构: 二阶线性微分方程解的结构
y′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x )
齐次: 齐次: 非齐次: 非齐次:
y = C1 y1 + C 2 y 2 , ( y1,y 2线性无关)
Qm ( x ) = b0 x m + b1 x m 1 + + bm 1 x + bm
代入方程, 代入方程,利用待定系数法求得 bi .
y * = Qm ( x )e λx ;
20
Q′′( x ) + ( 2λ + p )Q′( x ) + (λ2 + pλ + q )Q ( x ) = Pm ( x )
6
例1
求方程 y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 的通解.
解: 特征方程为: r 2 特征方程为: 解得: 解得:
+ 4r + 4 = 0 ,
r1 = r2 = 2 ,
y = (C1 + C 2 x )e 2 x . 故所求通解为
例2 求方程 y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 0 的通解. 解: 特征方程为 解得
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根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
Re s s上, 积分 f (t)estdt 收敛, 而在 Re s s 0
上，积分 f (t)estdt 处处发散. 在收敛区域内， 0
Laplace变换的像函数
虚轴
F (s) L [ f (t)]是s的解
析函数.
>> f=sym('Hea0 viside(t)');Ls=lapl0ace(fs)
因为在L L=aplace变换中不必考虑 t 0 时的情况，
所以经1/s常记作 L [1] 1 .
注 首先使用命令ssyms来定义基本符号对象, 否则
例8.2 求指数函数 f (t) eat (其中a是实数)
F [ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0,)上绝对可积的条件.
对定义在 [0, )上的函数 f (t), 如果考虑
f1(t) f (t)et ( 0),
那么 f1(t )容易满足在 [0, )上绝对可积的要求. 例
1
2 i
i F (s)e stds
i
n
Res[F (s)est , sk ]
k 1
f (t ) 1 i F (s)estds (t 0),
2 i i
其中 s0 , s0 是 f (t)的增长指数. 积分路径是
在右半平面 Re s s0上的任意一条直线 Re s .
f (t T ) f (t) (t 0),
且在一个周期内分段连续，则
L [ f (t )] f (t )estdt (k1)T f (t )estdt.
0
kT
k0
令 t kT , [0, T ), 则
(k1)T f (t )estdt T f ( kT )es( kT )d ,
s 1)3(s
1)2
est ,
1
d lim s1 ds
(s
s 1)3
e
st
et (2t 1).
16
L
1
(s
s 1)3 ( s
1)2
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数F(s)
的集合的一种对应关系 L : f (t) F(s)
集合A
f(t)
L
集合B F(s)
所以记F(s)为L[f(t)],并称F(s)为f(t)的象函数.
(3) 由(2)产生了以下问题: ① 集合A中都有什么样的实函数? 换句话说,
什么实函数有拉氏变换？ ② A中不同实函数的象函数是否也不同?若L
cos t ]
0
omega/(s^2+omegsa2^2) 2 ,
于是
L
[sint]
s2
2
(Re s 0).
类似可得 L
[cost]
s2
s
2
(Re s 0).
记住结果
L[sin kt] k (Re(s) 0) s2 k2
L[cost]
ekt
s
1
k
(3)
L
tm
(m 1) sm1
(m 1),
L
t
m
m! sm1
(m 1, 2,
)
(4)
L
sin
kt
s2
k
k
2
(5)
L
cos
kt
s2
s
k
2
(6) L d (t) 1
§8.1.3 Laplace 逆变换计算公式
定理8.3 设 s1, s2 , , sn 是 F (s) 的所有孤立
第八章 Laplace变换
在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函 数(例如常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数 等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间 t 为自变 量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要 知道t<0的情况, 此时可以认为当t<0时, f (t)0. 于 是Fourier变换的表达式为
2 周期函数和d 函数的Laplace变换
8.1.1 Laplace变换的定义
定义8.1 设 f (t)在 t 0上有定义, 并且积分
F (s) f (t)estdt (s是复参变量)关于某一范围 0
s 收敛，则由这个积分确定的函数
F (s) f (t )estdt, 0
.Hale Waihona Puke 解s1
1
和
s2
1
分别是
(s
s 1)3 ( s
1)2
e st
的3级和2级极点. 故由计算留数的法则
Res
(
s
s 1)3 (
s
1)2
e
st
,
1
1
d2
2
!
lim
s1
ds
2
(s
s 1)2
e st
et (1 2t 2 ), 16
Res (s
如 f (t) 为常数、多项式、正弦与余弦函数等, 这是
因为 t 时, et 是衰减速度很快的函数.
如果 0 取得适当大，那么
f (t )et , t 0,
f1
(t
)
0,
t0
的Fourier变换可能有意义. f1(t)的Fourier变换为
f (t )e teitdt f (t )e( i )tdt.
1 e sT
T f (t )e stdt,
0
于是
L
[
f
(t)]
1 1 e sT
T f (t )e stdt.
0
这就是周期函数的Laplace变换公式.
附录3(见P181 )给出了一些常见函数的拉氏变换. 请特别记住以下结果(六个):
(1) L 1 1
s
(2)
L
求
F(s)
s s2 1
的Laplace逆变换.
解
s i 是
s
2
s
1
e
st
的1级极点， 由计算
留数的法则，
Res
s2
s
1
e
st
,
i
se st 2s
si
1 eit , 2
L
1 F (s)
Res
s2
s
1
e
st
,
i
Res
的Laplace变换.
解 运根行据下L面ap的lacMe变AT换L的AB定语义句.
F (s) >L> s[yfm(ts)]ts La [eat ] eatestdt e(sa)tdt,
0
0
>> f=exp(a*t);L=laplace(f)
这个积分当 L=
Re
s
是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1.
8.1.2 Laplace变换存在定理
定理8.1 设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0,)上，
f (t ) Mes0t , 则在半平面 Re s s0上，L [ f (t)] 存在, 且
F (s) L [ f (t)]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f (t)的增长指数.
类似于幂定级理数3.中6 (Abel定理，) 有若下级面数定理cnz.n 在 z1 0 n0
定理8处.2收敛如，果则当0zf(tz)1e时std, t级在数s1n0 cnz1n绝i对1 收敛
称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做 L [ f (t)], 即
L [ f (t)] F (s) f (t)estdt. 0
F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数.
已知 F(s)是 f (t) 的Laplace变换，则记
f (t) L 1[F (s)],
lim
s0
(
s
e st 1)2
1,
Res
s(s
1
1)2
e st
,
1
lim
s1
est
s
et
(t
1),
L
1
s(s
1
1)2
1
et
(t
1)
(t 0).
例8.7
求
L
1
(
s
s 1)3 ( s
1)2
0
0
将 i 记为s, 可写成
F (s) f (t)estdt. 0
这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函
数的限制, 使之更适合某些工程实际, 且仍然保留