一元线性回归方程
1一元线性回归方程
i =1 n
i =1 n
2
Lxy = ∑( Xi − X ) (Yi −Y )
i=1
ˆ ˆ β0 = Y − β1 X ˆ Lxy β1 = Lxx
二、OLS回归直线的性质 回归直线的性质
ˆ （1）估计的回归直线 Yi ）
（2） ）
ˆ ˆ = β 0 + β 1X i
前三个条件称为G-M条件 条件 前三个条件称为
§1.2 一元线性回归模型的参数估计
普通最小二乘法（ Squares） 普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线的性质 OLS回归直线的性质 OLSE的性质 OLSE的性质
一、普通最小二乘法
对于所研究的问题， 对于所研究的问题，通常真实的回归直线 E(Yi|Xi) = β0 + β1Xi 是观 测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。 测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。
Y
55 80 100 120140 160
X
二、随机误差项εi的假定条件 随机误差项
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定： 为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定： 假定1： 假定 ：零期望假定：E(εi) = 0。 。 假定2： 假定 ：同方差性假定：Var(εi) = σ 2。 假定3： 假定 ：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i ≠ j )。 。 假定4： 假定 ： εi 服从正态分布，即εi ∼ N (0, σ 2 )。 。
以下设 x 为自变量(普通变量 Y 为因变量(随机变 普通变量) 普通变量 随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点 样本点. 样本点 以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图 散点图. 散点图
一元线性回归方程
北京市城市居民家庭生活抽样调查表1 14 12 10 8 6 4 2 0 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
Y: 人 均 收 入
x:年份
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Y:人均食品支出
10 12 14 16 18
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设, 线性关系显著;落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
相关系数检验法: 相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0; lxy 2.选择统计量 R = lxxl yy 3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2), 得否定域为R >rα (n-2); 4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关 系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
第二节
一元线性回归方程
一 回归直线方程
两个变量之间的线性关系，其回归模型为： 两个变量之间的线性关系，其回归模型为：
yi = a + bxi + εi
ε 称为 y称为因变量，x称为自变量，
随机扰动，a,b称为待估计的回归参 数，下标i表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设：
εi ~ N( 0,σ ),i = 1,2,⋯,n E( εiε j ) = 0,i ≠ j
pt
qt
概率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 … 0.25 0.50 0.25
qt = 11 − 4 pt+ εt
其中
这时， 这时，方程的形式为
εt
为随机变量. 为随机变量
一元线性回归方程的建立
第二节一元线性回归方程的建立一元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型，它所研究的对象是两个变量之间的线性相关关系。
通过对这个模型的讨论，我们不仅可以掌握有关一元线性回归的知识，而且可以从中了解回归分析方法的基本思想、方法和应用。
一、问题的提出例2-1-1 为了研究氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，测定了不同氮含量时铁合金溶液初生奥氏体析出温度，得到表2-1-1给出的5组数据。
表2-1-1 氮含量与灰铸铁初生奥氏体析出温度测试数据如果把氮含量作为横坐标，把初生奥氏体析出温度作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。
从图2-1-1可以看出，数据点基本落在一条直线附近。
这告诉我们，变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。
但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。
其它因素，诸如其它微量元素的含量以及测试误差等都会影响Y 的测试结果。
如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合（2-1-1）二、最小二乘法原理如果把用回归方程计算得到的i值(i=1,2,…n)称为回归值，那么实际测量值y i与回归值i之间存在着偏差，我们把这(i=1,2,3,…,n)。
这样，我们就可以用残差平种偏差称为残差，记为e i方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。
残差平方和定义为: (2-1-2) 所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。
由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。
下面讨论的a和b的求法。
一元线性回归方程课后反思不足之处
一元线性回归方程课后反思不足之处
在学习一元线性回归方程时，可能存在以下不足之处：
1. 理论基础不够扎实：了解一元线性回归方程的基本概念和理论知识是非常重要的，例如最小二乘法、残差、拟合优度等，如果基础不扎实，可能会影响对于一些实际应用的理解。
2. 缺乏相关数据的实践经验：在实际应用中，所用到的数据往往是大而复杂的，而缺乏实践经验则可能会导致对于数据的分析和预测存在误差。
因此我们需要不断地练习，加深对于数据操作的熟悉度。
3. 缺少对于模型的检验和评价：当得到一元线性回归模型后，需要对模型进行检验和评价。
如果我们忽略了这一步，就容易造成模型的误用，甚至产生误导性的结论。
以上三点是我们在学习一元线性回归方程时需要注意的方面，希望能够在以后的学习中加以注意。
一元线性回归方程的计算
一、实验名称一元线性回归方程的计算和检验五、程序及其运行结果程序：function yiyuanhuiguiclc;disp('从键盘输入一组数据:');x=input('X的数(以向量形式输入)：');y=input('Y的数(以向量形式输入)：');disp('一元线性回归方程的计算和检验：');disp('1、公式法');disp('2、最小二乘法');disp('3、检验并画图');disp('0、退出');global a0 b0;while 3num=input('选择求解一元回归方程的方法：');switch numcase 1[a0,b0]=huigui(x,y)case 2[a0,b0]=zxec(x,y)case 3break;case 0return;otherwisedisp('输入错误，请重新输入!');endendX=x';Y=y';X=[ones(size(X)),X];alpha=0.5;%输出向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间；%r1，rint为残差及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量,第一个是R^2，其中R %是相关系数，第二个是F统计量值，第三个是与统计量F对应的概率P，第四个是估计误差方差[b,bint,e,rint,stats]=regress(Y,X)if stats(3)<alpha %当P<α时拒绝H0，回归模型成立disp('一元回归方程有效！');endn=[min(x):0.1:max(x)];f=a0*n+b0;plot(x,y,'b.',n,f,'r'),grid on,hold on; %画出散列点和一元线性回归图像xlabel('x');ylabel('y');legend('散列点','一元线性回归图像');title('散列点和一元线性回归图像');end%*****************************公式法function [a0,b0]=huigui(x,y)n=length(x);x1=0;y1=0;for i=1:nx1=x1+x(i);y1=y1+y(i);endx0=x1/n; %求得平均y0=y1/n;a1=0;a2=0;for j=1:na1=a1+(x(j)-x0)*(y(j)-y0);a2=a2+(x(j)-x0)*(x(j)-x0);enda0=a1/a2;b0=y0-a0*x0;x2=min(x):0.05:max(x);y2=a0*x2+b0;end%***************************** 最小二乘法function [a0,b0]=zxec(x,y)m=length(x);R=[x' ones(m,1)];a=R\y';a0=a(1);b0=a(2);end。
一元线性回归方程概述
我们可以通过建立一个如下的关于Y和X的方程来解决上述三个问 题
总体回归模型
Y= 0 + 1 X+ u
其中： Y——被解释变量； X——解释变量； u——随机误差项；表示除X之外其他影响Y的因素，一元回 归分析 将除X之外的其他所有影响Y的因素都看成了无法观测 的因素
0，1—回归系数（待定系数或待估参数） 1是斜率系数，是主要的研究对象 0 是常数项，也被称作截距参数，很少被当做分析的核心
根据上面的假定对原模型取期望得： E(Y|X)=E[(0+1X+u)|X] =0+1X+E(u|X)= 0+1X
总体回归函数 （直线）
E(Y|Xi) = 0+1X
总体回归函数E(Y|X)是X的
一个线性函数，它表示Y中可以 由X解释的部分，线性意味着X 变化一个单位，Y的期望改变β1 个单位。对于任意给定的X值， Y的分布都是以E(Y|X)为中心的。
（估计的）样本回归函数：
ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
（估计的）样本回归模型：
ˆ ˆ X e Yi 0 1 i i
其中ei是第i次观测的残差
Y1
u2 e1
e2
ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
u3
Y3
e3
u1
Xi
三、参数估计——最小二乘法
对于所研究的经济问题，通常总体回归直线 E(Yi|Xi) = 0 + 1Xi 是 观测不到的。可以通过收集样本来对总体（真实的）回归直线做出估计。
通常总体回归函数E(Y) = 0+ 1X是观测不到的，利用样本得到的是
对它的估计，即对0和1的估计。令{(Xi,Yi):i=1,…,n}表示从总体中抽取 的一个样本容量为n的随机样本，对于每个i，可以写出：
第 2 讲(1) 一元线性、非线性回归分析
2
14
• 因此，点估计：
ˆ y ( x0 ) = a + bx0
• 区间估计：
ˆ y1 ( x0 ) = a + bx0 − δ ( x0 )
ˆ y 2 ( x0 ) = a + bx0 + δ ( x0 )
15
进似地， 很大（ 进似地，当n很大（即 n → ∞ ）时，t α 很大
α = 0.05
② 单侧控制
y < y，或 y < y 2
' 1 '
19
• 回归分析注意事项
（1）自变量、因变量的选择 ）自变量、 （2）样本回归方程 ） （3）必须进行显著性检验 ） （4）任何回归方程都具有使用范围 ）
20
二、一元非线性回归分析
1. 可化为线性回归的非线性回归
某石灰土强度与龄期关系 强度（Mpa Mpa） 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 50 100 150 200 龄期（d）
y1 < y < y2
' '
为此我们要合理控制x的取值，参照式（1）有下式：
P{
y1 < y < y2
' '
}≥ 1 − α
17
• 一般情况下可参照图求解：
′ y1 = a + bx −
t α ( n − 2 ) σˆ
2
1 (x − x )2 1 + + n L xx
′ y 2 = a + bx + t α
ˆ δ ( x0 ) ≈ 1.96σ
x0 又在 x 的平均值附近，取
= 1.96
2
ˆ ˆ y1 ( x0 ) ≈ a + bx0 − 1.96σ
一元线性回归方程
一元线性回归方程
一元线性回归方程:当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。
一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系
一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。
经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。
注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。
1. 根据提供的n对数据在直角坐标系中作散点图，从直观上看有无成直线分布的趋势。
即两变量具有直线关系时，才能建立一元线性回归方程。
2. 依据两个变量之间的数据关系构建直线回归方程：Y=a+bx。
简单线性回归（Simple linear regression）也称为一元线性回归，是分析一个自变量（x）与因变量（y）之间线性关系的方法，它的目的是拟合出一个线性函数或公式来描述x与y之间的关系。
（整理）一元线性回归方程的建立
（整理）⼀元线性回归⽅程的建⽴第⼆节⼀元线性回?归⽅程的建⽴⼀?元线性回归分析是处理?两个变量之间关系的最?简单模型，它所研究的?对象是两个变量之间的?线性相关关系。
通过对?这个模型的讨论，我们?不仅可以掌握有关⼀元?线性回归的知识，⽽且?可以从中了解回归分析?⽅法的基本思想、⽅法?和应⽤。
⼀、问题?的提出例2-1?-1 为了研究氮含?量对铁合⾦溶液初⽣奥?⽒体析出温度的影响，?测定了不同氮含量时铁?合⾦溶液初⽣奥⽒体析?出温度，得到表2-1?-1给出的5组数据。
?表2-1-1 ?氮含量与灰铸铁初⽣?奥⽒体析出温度测试数?据如果?把氮含量作为横坐标，?把初⽣奥⽒体析出温度?作为纵坐标，将这些数?据标在平⾯直⾓坐标上?，则得图2-1-1，?这个图称为散点图。
?从图2-1-1可以?看出，数据点基本落在?⼀条直线附近。
这告诉?我们，变量X与Y的关?系⼤致可看作是线性关?系，即它们之间的相互?关系可以⽤线性关系来?描述。
但是由于并⾮所?有的数据点完全落在⼀?条直线上，因此X与Y?的关系并没有确切到可?以唯⼀地由⼀个X值确?定⼀个Y值的程度。
其?它因素，诸如其它微量?元素的含量以及测试误?差等都会影响Y 的测试?结果。
如果我们要研究?X与Y的关系，可以作?线性拟合（2-?1-1）⼆、最⼩⼆乘法?原理如果把⽤回?归⽅程计算得到的?i值(i=1,2?,…n)称为回归值，?那么实际测量值y i与?回归值i之间存在?着偏差，我们把这(i=1,2,3,…?,n)。
这样，我们就?可以⽤残差平种偏?差称为残差，记为e i⽅和来度?量测量值与回归直线的?接近或偏差程度。
残差?平⽅和定义为:(2-1-2) 所谓最⼩⼆乘?法，就是选择a和b使?Q(a,b)最⼩，即?⽤最⼩⼆乘法得到的回?归直线是在所有直?线中与测量值残差平⽅?和Q最⼩的⼀条。
由(?2-1-2)式可知Q?是关于a,b的⼆次函?数，所以它的最⼩值总?是存在的。
下⾯讨论的?a和b的求法。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
从统计学看线性回归（1）——一元线性回归
从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。
⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。
⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。
该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。
式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。
⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。
ε表⽰其他随机因素的影响。
⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。
E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。
一元线性回归方程中回归系数的几种确定方法
0 引 言
一元线性回归模型是统计学中回归分析预测理论的一种重要方法 ,应用于自然科学 、工程技术和经
济分析的各个领域 ,有较强的实用性·该方法的基本思想是 : 首先确定两个变量之间是否存在线性相
一元线性回归方程
n
n
避免其偏离差（有正误差、负误差）相互抵消，采用偏离差平方和 Q(a ，b) ( yi yi )2
i 1
i 1
( yi a bxi )2（也称残差平方和）来刻画观测值(xi ，yi )与直线 y a bx 的偏离程度 . 一般
所说的回归直线就是使 Q(a ，b) 最小的直线，求所需回归直线的截距和斜率，就转化成了求使
Lxx （4）写出回归（估计）方程 y a bx .
一元线性回归方程
1.2 线性相关关系的显著性检验
从以上建立回归直线方程的过程不难看出，用最小二乘法所建立的回归直线方程，只是通 过一组样本观察值 (xi ，yi ) (i 1，2 ， ，n) 来建立的 . 变量 x 与 y 之间是否存在线性关系，或者 其线性关系是否显著，还需进行检验.常用的线性相关关系的显著性检验有两种方法，即 F 检 验法和相关系数检验法 . 在此仅介绍相关系数检验法 .
0， 0.
即nan b a i1 xi
n
n
xi yi ，
i 1
i 1
n
n
b xi2 xi
i 1
i 1
yi
，取
x
y
1 n 1 n
n
i 1 n
i 1
xi ， yi .
一元线性回归方程
n
n
n
n xi yi xi yi
n
xi yi nx y
b
解之得
i 1
，
即Q(a ，b) Lyy (1 R2 ) .
一元线性回归方程
n
n
因为Q(a ，b) ( yi yi )2 0 ，Lyy ( yi y)2 0 ，
i 1
线性回归分析
r 2 SSR / SST 1 SSE / SST L2xy Lxx Lyy
❖
两个变量之间线性相关的强弱可以用相关系数r(Correlation
coefficient)度量。
❖ 相关系数（样本中 x与y的线性关系强度）计算公式如下：
❖ 统计学检验，它是利用统计学中的抽样理论来检验样本 回归方程的可靠性，具体又可分为拟合程度评价和显著 性检验。
1、拟合程度的评价
❖ 拟合程度，是指样本观察值聚集在估计回归线周围的紧密 程度。
❖ 评价拟合程度最常用的方法是测定系数或判定系数。 ❖ 对于任何观察值y总有：( y y) ( yˆ y) ( y yˆ)
当根据样本研究二个自变量x1，x2与y的关系时，则有
估计二元回归方程： yˆ b0 b1x1 b2 x2
求估计回归方程中的参数，可运用标准方程如下：
L11b1+L12b2=L1y
L12b1+L22b2=L2y b0 y b1 x1 b2 x2
例6：根据表中数据拟合因变量的二元线性回归方程。
21040
x2
4 36 64 64 144 256 400 400 484 676
2528
练习3：以下是采集到的有关女子游泳运动员的身高（英寸）和体
重（磅）的数据: a、用身高作自变量，画出散点图 b、根据散点图表明两变量之间存在什么关系？ c、试着画一条穿过这些数据的直线，来近似身高和体重之间的关 系
测定系数与相关系数之间的区别
第一，二者的应用场合不同。当我们只对测量两个变量之间线性关系的 强度感兴趣时，采用相关系数；当我们想要确定最小二乘直线模型同数据符 合的程度时，应用测定系数。
一元线性回归方程式
一元线性回归方程式为：y=a+b x
b=n∑xy−∑x∑y n∑x2−(∑x)2
a=y̅−bx̅
其中a、b都是待定参数，可以用最小二乘法求得。
（最小平方法）b表示直线的斜率，又称为回归系数。
n表示所有数据的项数。
∑x表示所有x的求和
∑y表示所有y的求和
∑xy表示所有xy的求和
∑x2表示所有x2的求和
(∑x)2表示∑x的平方，即所有x的求和再求平方。
x̅表示所有x的平均数
y̅表示所有y的平均数
答题解法如下：
解：（答：）相关数据如下表：
根据公式b=n∑xy−∑x∑y
n∑x2−(∑x)2
得：
b=6∗1481−21∗426
6∗79−212=8886−8946
474−441
=−60
33
=-1.82
根据公式a=y̅−bx̅得：
a=71−(−1.82)∗3.5=71-(-6.37)=71+6.37=77.37
代入方程式y=a+b x得：
y=77.37+（-1.82）x=77.37-1.82 x
已知7月份产量为7000件，则x=7（千件），代入得：
y=77.37-1.82 x=77.37-1.82*7=77.37-12.74=64.63（元）
根据一元回归方程（最小乘法或最小平方法），当7月份产量为7000件时，其单位成本为64.63元。
一元线性回归方程检验
回归方程的概念是在统计学中被广泛使用的概念，它用于预测和解释变量之 间的关系。
一元线性回归方程的定义
回归方程
一元线性回归方程是描述两个变量之间线性关系的数学模型。
变量关系
它表示一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
斜率和截距
通过回归方程的斜率和截距可以计算两个变量之间的线性关系。
归方程是否显著。
3
计算F统计量
通过计算F统计量，可以评估整个回归方 程的显著性。
拒绝或接受
根据F统计量的大小和显著性水平，可以 拒绝或接受回归方程的显著性。
使用t检验进行回归方程的参数估计
t检验
t检验可用于估计回归方程的参数，并检验这些参数 的显著性。
参数估计
通过t检验可以得到一元线性回归方程的截距和斜率 的估计值。
回归方程的假设检验
1 零假设
回归方程的假设检验需要 建立一个零假设，来测试 回归方程参数的显著性。
2 显著性水平
根据显著性水平确定的临 界值，可以判断回归方程 的参数估计是否符合显著 性要求。
3 统计检验
使用统计检验方法，如t检 验，对回归方程进行显著 性检验。
检验回归方程的显著性
1
F分布
2
将F统计量与F分布进行比较，以确定回
数据分析
通过数据分析，计算回归方程的 参数估计和回归方程的显著性。
假设检验
使用假设检验方法，对回归方程 的参数进行显著性检验。
对一元线性回归方程做显著性检验
假设检验
使用t检验对回归方程的截距 和斜率进行显著性检验，以 确定其是否显著。
计算标准误差
通过计算标准误差，可以评 估回归方程的参数估计的可 靠性。
关于有常数项的一元线性回归方程
关于有常数项的一元线性回归方程
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称作关于的线性回归方程,称作回归系数,对
应的直线称作重回直线.顺带表示,将来还需以至,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值。
利用公式解：b=把x,y的平均数带进a=y-bx。
求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。
(x为xi的平均数，y为yi的平均数)。
一元线性回归
一、一元线性回归(一)基本公式如果预测对象与主要影响因素之间存在线性关系，将预测对象作为因变量y，将主要影响因素作为自变量x，即引起因变量y变化的变量，则它们之间的关系可以用一元回归模型表示为如下形式：y=a+bx+e其中：a和b是揭示x和y之间关系的系数，a为回归常数，b为回归系数e是误差项或称回归余项。
对于每组可以观察到的变量x，y的数值xi，yi，满足下面的关系：yi =a+bxi+ei其中ei是误差项，是用a+bxi去估计因变量yi的值而产生的误差。
在实际预测中，ei是无法预测的，回归预测是借助a+bxi得到预测对象的估计值yi。
为了确定a和b，从而揭示变量y与x之间的关系，公式可以表示为：y=a+bx公式y=a+bx是式y=a+bx+e的拟合曲线。
可以利用普通最小二乘法原理(ols)求出回归系数。
最小二乘法基本原则是对于确定的方程，使观察值对估算值偏差的平方和最小。
由此求得的回归系数为：b=[∑xiyi—x∑yi]/∑xi2—x∑xia=-b式中：xi、yi分别是自变量x和因变量y的观察值，、分别为x和y的平均值.=∑xi/ n ; = ∑yi/ n对于每一个自变量的数值，都有拟合值：yi’=a+bxiyi’与实际观察值的差，便是残差项ei=yi一yi’(二)一元回归流程三)回归检验在利用回归模型进行预测时，需要对回归系数、回归方程进行检验，以判定预测模型的合理性和适用性。
检验方法有方差分析、相关检验、t检验、f检验。
对于一元回归，相关检验与t检验、f检验的效果是等同的，因此，在一般情况下，通过其中一项检验就可以了。
对于多元回归分析，t检验与f检验的作用却有很大的差异。
1．方差分析通过推导，可以得出：∑(yi—y-)2= ∑(yi—yi’)2+∑(yi—y-)2其中：∑(yi—y-)2=tss，称为偏差平方和，反映了n个y值的分散程度，又称总变差。
∑(yi—yi’)2=rss,称为回归平方和，反映了x对y线性影响的大小，又称可解释变差。
一元线性回归方程检验
r 0, b 0
r 0, b 0
四、一元线性回归方程检验
（一）离差平方和的分解 1.总平方和(SST) 2.回归平方和(SSR) 反映由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的 取值变化，也称为可解释的平方和。 3.残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对y 取值的影响， 也称为不可解释的平方和或剩余平方和。
2018/10/3
例：P254 某地区居民货币收入和社会商品零售额资料 如下，试计算其相关系数，并作相关判别？ 单位：亿元 年份 居民货币收入 社会商品零售额 1 2 3 4 5 6 7 8
12 13 14 15 14 16 18 20 10 12 12 13 13 14 15 17
2018/10/3
①据公式计算相关系数r；
②根据给定的显著水平查相关系数表(见p316)， 得临界值r ( n 2)
③判别：若 r r ( n 2) 表明x与y线性关系显著， 检验通过；反之表明x与y线性相关关系不显著。
2018/10/3
（三）估计标准误差
是因变量各实际值与其估计值之间的平均 差异程度，表明其估计值对各实际值代表性的 强。其值越小，回归方程的代表性越强，用回 归方程估计或预测的结果越准确。可从一方面 反映回归模型拟合的优劣状况。
ˆ 0 y y ˆ ) min (y y
2
nxy xy b nx 2 (x) 2 a y b x y b x n n 2018/10/3
例： 某地区居民货币 收入和社会商品零 售额资料如下，试 拟合社会商品零售 额依居民货币收入 变动的线性方程？ （单位：亿元 ）
2018/10/3
（二）按相关关系涉及变量的多少 1、单相关：一个变量对另一个变量的相关关 系。 如只研究农物产量与施肥量间的关系。 2、复相关：一个变量对两个或多个变量的相 关关系，称复相关。 如研究农物产量与施肥量、降雨量间的关 系。 3、偏相关：一个变量与多个变量相关时，假 定其他变量不变，只研究其中两个变量之间的 相关关系，称偏相关。
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附件二：实验报告格式（首页）
山东轻工业学院实验报告成绩
课程名称计量经济学基础指导教师实验日期 2013-4-20 院（系）专业班级实验地点 :二机房
学生姓名学号同组人无
实验项目名称一元线性回归方程
一、实验目的和要求
1、熟悉Eviews的窗口与界面
2、掌握Eviews的命令与菜单的操作
3、掌握用Eviews估计与检验一元线性回归模
二、实验原理
Eviews具有现代Windows软件可视化操作的优良性。
可以使用鼠标对标准的Windows菜单和对话框进行操作。
操作结果出现在窗口中并能采用标准的Windows技术对操作结果进行处理。
此外，Eviews还拥有强大的命令功能和批处理语言功能。
在Eviews的命令行中输入、编辑和执行命令。
在程序文件中建立和存储命令，以便在后续的研究项目中使用这些程序。
三、主要仪器设备、试剂或材料
Eviews软件、课本、电脑、熟悉EVIEWS操作。
四、实验方法与步骤
(1)单击任务栏上的“开始”→“所有程序”→“Eviews5”程序组→“Eviews5”图标。
（2）新建文件：File→New→Workfile，出现对话框“工作文件范围”，选取或填上数据类型、起止时间 1980-1998。
OK后，得到一个无名字的工作文件，其中有：时间范围、当前工作文件样本范围、filter 、默认方程、系数向量C、序列RESID。
（3）命令方式新建文件
在EViews软件的命令窗口中直接键入CREATE命令，也可以建立工作文件。
命令格式为： CREATE 时间频率类型起始期终止期
则以上菜单方式过程可写为：CREATE A 1980 1998
(4) 工作文件创立后，需将工作文件保存到磁盘.单击菜单兰中File→Save或Save as→输入文件名、路径→保存。
(5)输入数据
进入数据编辑窗口
DATA命令方式
在EViews软件的命令窗口键入DATA命令，命令格式为：
DATA <序列名1> <序列名2>…<序列名n>
本例中可在命令窗口键入如下命令,将显示一个数组窗口，此时可以按全屏幕编辑方式输入每个变量的数据。
DATA Y X
数据输入完毕，单击工作文件窗口工具条的Save或单击菜单兰的File→Save将数据存入磁盘。
(6)命令方式
在主菜单命令行键入
LS Y C X 回车
FORECAST--OK（
(7)单击Equation 窗口中的View → Actual, Fitted, Resid → Table按钮，可以得到拟合直线和残差的有关结果.
五、实验数据记录、处理及结果分析
β1 =0.691754 是样本回归方程的斜率，它表示该市城镇居民的边际消费倾向，说明年可支配收入每增加1元，将0.691754元用于消费性支出；βo=135.3063是样本回归方程的截距，它表示不受可支配收入影响的自发消费行为。
βo和β1的符号和大小均符
合经济理论及目前该市的实际情况。
六、讨论、心得
初步投身于计量经济学，通过利用Eviews软件将所学到的计量知识进行实践，让我加深了对理论的理解和掌握，直观而充分地体会到老师课堂讲授内容的精华之所在。
在实验过程中我们提高了手动操作软件、数量化分析与解决问题的能力，还可以培养我在处理实验经济问题的严谨的科学的态度，并且避免了课堂知识与实际应用的脱节。
虽然在实验过程中出现了很多错误，但这些经验却锤炼了我们发现问题的眼光，丰富了我们分析问题的思路。
通过这次实验让我受益匪浅。
附件三：实验报告附页
山东轻工业学院实验报告（附页）。