5 数学猜想与数学名题

不定方程: 是指末知数个数多于方程个数的代数 方程或代数方程组。
上帝恩赐他生命的1/6为童年；再过生命的1/12， 他双颊长出了胡子；再过1/7后他举行了婚礼；婚 后5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生 命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，4 年之后亦撒手人寰。—丢番图的墓志铭
L
1 6
古希腊,丢番图《算术》第II卷第八命题： “将一个平方数分为两个平方数”
即求方程x2 + y2 = z2 的正整数解
毕达哥拉斯定理（勾股定理）： 在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的 平方之和。x2 + y2 = z2
Pythagoras of Samos 万物皆数
B. C. 572 – B. C. 497
因为费马曾经提出过的命题，都已经被证实 或否定，只剩下这一题，未能获证。
n = 4的证明
❖费马在给朋友的信中，曾经提及他已证 明了 n = 4 的情况。但没有写出详细的 证明步骤；
3． “好的问题”的标准
希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。
1）清晰易懂: “一个清晰易懂的问题会引起人
们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。”
2）难而又可解决
3）对学科发展有重大推动意义
问题解决的意义，不是局限于问题本身，而 是波及整个学科，推动整个学科的发展。
“好的问题” 举例
费马大定理 五次方程根式解 最速降线问题 三体问题
那些素来受人尊敬的科学家们怎么会同意在 这样一份欺骗文明世界的“宣言”上签字？
希尔伯特拒绝签字，也特别引人注目。在国 内，似乎他是一个卖国贼。当1914年11月开学时， 许多学生不再来听希尔伯特的课。但是希尔伯特 的大多数同行理解和同情他。克莱因也很快就后 悔自己的所谓“爱国”行动。
当时世界上最著名的巴黎科学院开除了克莱 因，希尔伯特则更加受到尊重。
新世纪的数学难题：七个由美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24 日公布的数学难题，称为千禧难题。
但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题， 而不是要去指导数学。
当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美 的。一些评论者认为，其局限性是，希尔 伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这 两者在20世纪也成了数学的前沿和热点， 这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔 伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数 学。
二、费马（Fermat）大定理
费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇 （CBachet）校订的丢番图《算术》时作为一条页边批 注而提出。
1670年费马之子连同其父的批注一起出版了巴歇的书 的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最 著名的数学问题，历代数学家为它的证明付出了巨大努 力.
1884年春天， 25岁的阿道夫•赫尔维茨从哥 廷根来到哥尼斯堡担任副教授，他在函数论 方面已有出色的研究成果．希尔伯特和闽可 夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的 关系．三个年轻人每天下午准5点必定相会去 苹果树下散步．
希尔伯特回忆道：
“日复一日的散步中，我们
全都埋头讨论当前ຫໍສະໝຸດ Baidu学的实
际问题；相互交换对问题新
家”的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，
并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快
收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续
刊登。希尔伯特一生只写过四篇悼念文章，除
这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯
（创造
茨。
语言者）、闵可夫斯基和赫尔维
苹果树下散步者
希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接 下来的一个学期，本来可以允许他再转到 柏林去听课，但他念家，于是他又回到了 哥尼斯堡大学．
“希尔伯特问题”解决的现状
经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中， 将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决， 但也取得了重要进展。
能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的 数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家， 由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。
希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许 多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何 基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、 代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面 论、变分法等。
存在性证明。(S) 22.通过自守函数使解析关系单值化。(P) 23.变分法的进一步发展。(P)
适当的问题对科学发展的价值
1． 有问题的学科才有生命力
问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满 问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科 的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、 新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。
“宣言”的题目是《告文明世界》，邀
请了一批知名人士签字。数学家中只邀请了 世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签
名。 前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用
不变量观点统一几何学的那位数学家克莱 因，未有什么怀疑就签了名。但希尔伯特 仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言”内 容的真实性，从而拒绝签字。
在宣言上签字的，除了克莱因，还有德国 的另一些著名的科学家，如普朗克，伦琴等。 这份1914年10月15日发表的“宣言”，使文 明世界震惊：
在世纪之交提出的这23个问题，涉 及现代数学的许多领域。一个世纪以来， 这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴 趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推 动作用。
希尔伯特的23个问题
1.证明“连续统假设”，即证明“可数基数” 与“连续统基数”之间不存在任何基数。
2.研究算术公理的相容性。(S) 3.两个等底等高的四面体的体积相等。(S) 4.直线作为两点间最短距离的问题。（P）
希尔伯特其人
希尔伯特不仅是一位伟大的数学 家，而且有很高尚的品德，令人尊 敬的不只是他的数学成就，也包括 他优秀的人品。
1．第一次世界大战时拒绝在 “宣言”上签字
在第一次世界大战爆发时，德国政府让它 的一批最著名的科学家和艺术家出来发表一个 “宣言”，声明他们拥护德国皇帝威廉二世。
“宣言”的第一句是：“说德国人发动了 战争，这不是事实”。
费马凭借丰富的想像力和深刻的 洞察力，提出一系列重要的数学 猜想。
Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere;
1882年春天，赫尔曼•闵可夫斯基从柏林学 习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大 学．闵可夫斯基从小就数学才能出众，据 说有一次上数学课，老师因把问题理解错 了而“挂了黑板”，同学们异口同声叫道： “闽可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时， 他因为出色的数学工作曾得到过一笔奖 金．这件事轰动了整个哥尼斯堡．
数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来 自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽 罗瓦理论；代数不变量理论。
2． 提出问题是解决问题的一半
问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的。 要想预先判断一个问题的价值是困难的。
问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。 只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学 科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出 有较大价值的“好的问题” 。
2．为法国数学家达布写悼念文章
“达布上和”、“达布下和”，在定积分 理论中为大家所熟知。达布是法国人，而当时 法国是与德国交战的敌国。所以1917年达布 逝世时，德国人不敢悼念他。而希尔伯特对达 布非常敬佩，他写了一篇悼念文章。
文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门
口示威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学
第五讲 数学猜想与数学名题
希尔伯特和他的23个问题（1900） 费马大定理 哥德巴赫猜想 新世纪的数学难题（2000）
一、 希尔伯特的23个问题
希尔伯特（德国，1862—1943年）是19世纪 末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出 的23个问题更是功勋卓著、影响深远。
那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上， 年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著 名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。
近题新近获得的理解，交流
彼此的想法和研究计划．”
在他们三人中，赫维尔茨有着“坚实的基 础知识，又经过很好的整理，”所以理所 当然的是带头人。
但后来者居上。当时希尔伯特发现，这种 学习方法比钻在教室或图书馆里啃书本不 知要好多少倍！这种例行的散步一直持续 了整整八年半之久．以有趣的学习方式， 他们探索了数学的“每一个角落”，考察 着数学世界的每一个王国。
13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。(W)
14.证明某类完全函数系的有限性。(F) 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基
础。(W) 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。(P,W)
17.正定形式的平方和表示。(S) 18.用全等多面体构造空间。(P) 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？(P) 20.一般边值问题。(P) 21.具有指定单值群的线性微分方程解的
不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者 将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般 地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次 幂的和。
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.
L
1 12
L
1 7
L
5
1 2
L
4
L = 84
Diophantus of Alexandria B.C150-A.D.364
两个问题
（1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？
因为经过三百多年，都没有人能作出反例， 所以人们相信是它是正确的，是一个定理。
（2）费马提出这命题后三十年才去世，为什么 会把这个命题做“费马最后定理”呢？
希尔伯特回忆道：“那时从没有想到我们 竟会把自己带到那么远！”三个人就这样 “结成了终身的友谊．”
3．对康托集合论的支持
康托的集合论打出实无限的旗帜，遭到另一些 持潜无限观点的数学家的反对，包括他的老师克 罗涅克尔的反对。
克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威 望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇 都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的 学术成就，并给予支持，这表现了希尔伯特的学 术公正和为人正直。
1994年,这一旷世难题终于被英国数学家威尔斯 （A.Wi1es）解决。 旷日持久的努力，不仅解决了猜想本身，更是有力地推 动了数论乃至整个数学的进步。
业余数学家之王
费尔玛(Fermat,1601—1665), 法国人，职业是议员。他非常喜 欢数学，常常利用业余时间研究 高深的数学问题，结果取得了很 大的成就，被人称為“业余数学 家之王”
第二问题和第十问题的研究，还促进了现代 计算机理论的成长。
解决著名猜想的人很牛！ 提出这些猜想的人更牛！ 如此集中地提出一批猜想，并持久地影 响了一门学科的发展，史无前例！
在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯 特，提出一批有价值的数学问题。但由于20世纪数 学的分支越来越细，已没人能像当年的Hilbert那样 涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数 学家小组，并且已经付诸行动。
5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。(S) 6.物理学的公理化。(P)
7.某些数的无理性和超越性。(P) 8.素数问题。(P) 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。(S) 10.丢番图方程的可解性。(F) 11.系数为任意代数数的二次型。(P)
12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。(P)
对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证 明，可惜这里的空白太小，写不下。
这是真的 （1994年）
xn + yn = zn,
(n > 2) 无整数解 （1637年）
费马大定理产生的历史性背景
费尔马大定理，起源于两千多年前， 挑战人类三个多世纪，多次震惊全世 界，耗尽人类最杰出大脑的精力，也 让千千万万业余者痴迷