相似原理和模型试验基础.

(6) 功的比尺 当 1 时
7.功率比尺 当 1 时
W F L L
W L
P
F L t

L L 2
L 1
P

1 L
31
三、 惯性力相似准则 要使两个流动的当地惯性力
作用相似，则它们的斯特劳哈尔数 必须相等，这称为惯性力相似准则， 也称为斯特劳哈尔准则。 四、 弹性力准则

q P1 qM1

qP2 qM 2


qPn qMn
显然，没有必要把每一点处同名物理量之比一一列
出，仅需着眼于某一个 qr 就足够了，这个 qr 称为特征值或代表值。以后对于各种具体属性的物
理量，如长度L、时间t、力F等,除非预先说明，一
般就认为是它们是特征值或代表值。
4
三． 基本比尺和导出比尺 相似比尺是两个系统相应物理量之比，那么
7
原型：Prototype
模型：Model
为便于讨论，规定：
以λ 表示其原型量和模型量的比尺，而 物理量下标 P 、M 则分别表示原型量和模型量。
流动相似
几何相似 运动相似 动力相似
8
１、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似， 也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关 系。
v g 2 L
1 g
v 2 L
（2）若按佛汝得准则设计模型
FrP
FrM
vP2 g P LP

vM2 g M LM

vP2 g P LP

vM2 g M LM
v2
gL
28
阻力相似，上两式同时成立。联立可得
g

v 2 L

2 v L
显然，两个流动相似，原型与模型的牛顿数一定相等。 这是标志两个流动相似的一般准则，称为牛顿相似准则。
将上式改写为比尺表示的关系式，就得到相似判据
18
（二）相似判据
相似系统中各物理量的比尺是不能任意选定的而要 受描述该运动现象的物理方程的制约的。机械运动相似 的两个系统都应受牛顿第二定律约束，即有
F m du F t 1 dt mu
也就是说，如果 J P J M，则可以用重力相似准则设
计阻力相似模型。但在什么情况下才能满足上式， 最根据水流的流态来研究
24
（一）水流在阻力平均方区
阻力平方区，可用谢齐公式计算水力坡度J值
J v2 C2R
（1）若要求 ，则 J P J M
vP 2 CP 2 RP

vM 2 CM 2 RM
1/6 L
层流时，阻力主要由水流的粘滞力引起，可按牛 顿内摩擦定律计算。
du
0

gRJ

du dy

J

dy
gR


gR
du dy
27
（1）若要求 J P J M ，则
P duP M duM v 1 g P RP dyP gM RM dyM g L L
FP FM
IP IM
FP IP
FM IM
FP

P
L2P
v
2 P
FM
M L2M vM2
上式表明：相似系统中，原型中非惯性物理力与惯性 力之比应等于模型中非惯性物理力与惯性力之比。
17
习惯上，将非惯性物理力F与惯性力I之比称为牛顿数，以
Ne表示，即
F
Ne L2v2 NeP NeM
要使两个流动的弹性力作用 相似，它们的柯西数必须相等，这 称为弹性力相似准则，或称柯西数 准则。
vPtP vM tM
LP
LM
PvP2 M vM 2
KP
KM
即v 2
C 2R
1 v 2
C 2R
（2）若按佛汝得准则设计模型
FrP
FrM
vP2 g P LP
vM2 gM LM
gP
gM
,
vP2 LP

vM2 LM
v2
L
25
阻力相似，上两式同时成立。联立可得
v 2 C 2R g L g 1RL C 2 1 CP CM
给定瞬时tP的流速vP 对应瞬时tP的流速vM
14
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现形式 它们是一个统一的整体，缺一不可。
15
二、相似准则——牛顿数及相似判据
力代替牛顿数中的F，根据牛顿相似准则就可求出只有重力 作用下液流相似准则。
重力可表示为G=ρgV 或
G
GP GM
g l 3
以 G 代替 F 最后得到
vP2 vM 2
g P LP g M LM
作用力只有重力时，两个相似系统的佛汝得数应相等，
这就叫做重力相似准则，或称佛汝得准则，模型与原型之间
又因 C
8g

故 P M
在阻力平方区，

f

R
所以 P M
RP RM
26
水流在阻力平方区时，只要模型与原型的相对粗 糙度相等，就可以做到模型与原型流动的阻力相似 ，就可以用佛汝得准则进行阻力作用相似模型的设 计。
如用曼宁公式则 (二) 水流在层流区
n

（7）功率的比尺
P

W t
L4 0.5
L
L 3.5
22
二、 阻力相似准则 T 0 L
0

gRJ,

A R
F
1 0 L g R J L 1
2 L2v
2 L2v
2 L2v
g J 3L 1 g J L 1 J 1
29
要粘滞力作用相似，则模型与原型的雷诺数必须相等，这叫
雷诺准则。由雷诺准则推导模型与原型各物理量的比尺与模型比
尺 L 的关系如下：
(1) 流速比尺
v

1
L
(2) 流量比尺
Q
vA

L 2 L
L
(3) 时间比尺
t
V Q
L3 L
L2
(4) 力的比尺 当 1 时
张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力， 并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。
11
一般作用在水流中的力有：重力G、粘滞力
T、压力P、表面张力S、弹性力E，如果作用于
质点的合外力F ≠0，将此力视为惯性力I，则所 有的力构成一个平衡力系，并组成一封闭的力多 边形。
12
动力相似：原型与模型中相应点上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。
动力相似：模型与原型中任意相应点的力多边形相似， 相应边（即同名力）成比例。
原型
模型
13
4、边界条件和初始条件相似
边界条件和初始条件相似 水流运动受到边界条件和初始条件的影响和制
约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边界条 件和初始条件相似。
例如，原型：自由表面 模型：自由表面 固体边壁 固体边壁
vL
1 ReP
ReM
上式表明，水流为层流时，如模型按照佛汝得准则设 计，要满足阻力相似，还必须要求模型与原型的雷诺数 相等。实际上，受物理常数和材料特性的限制，是不可 能实现的。
若作用于液体上的力只有粘滞力，则阻力相似就等 价于粘滞力相似，要求雷诺数相等即可。上述结论称为 粘滞力相似准则或雷诺准则。
式中

L
L
为长度比尺。

Lp Lm
面积比尺
体积比尺
A
Ap AM

Lp2 Lm 2
L2
V
Vp VM

Lp3 Lm3
L3
9
２、 运动相似
运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线 是几何相似的，而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又 是具有同一比例的。或者说两个流动的速度场(或加速度场)是 几何相似的。
12 相似原理和模型试验基础
工程流体力学、水力学的问题，由于边界条 件复杂，大多数不能单纯依靠解析法求得严 谨的解答；即使是少数可以求解的问题，也 要做相当简化和假定；对于重要的工程，为 确保工程安全，在付诸实施之前，一般还要 经过模型实验的验证。
1
12.1 相似模型和相似比尺
一、相似模型 研究水流现象的模型，不仅要求形体上与原型相象，更重要的 是能够体现原来现象的物理本质。或者说，在模型中演示的现 象与原型中的现象之间必须存在着科学的关联。 相似模型：能将某些物理现象(例如水流)中的量缩小或扩大来 进行实验的装置。
2 L2v
2 v
2 v
g L
23
阻力相似准则： vP 2 vM 2 g P LP J P g M LM J M
FrP FrM JP JM
由上式可以看出：阻力相似除保证重力相似所要求的
佛汝得数相等外，还必须保证原型和模型的水力坡
度相等。即
JP JM FrP FrM
相似准则的导出方法有： ①物理法则法； ②方程分析法； ③量纲分析法。
16
（一）牛顿数
惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯 性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动就 是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。
惯性力： I ma L3 v L2v2 t
非惯性力：F
根据动力相似条件：F
t
V Q
L3 2.5
L

0.5 L
F
M Pa

dv dt

P

M
VM

dv dt

M
L3
21
(5) 压强比尺 (6) 功的比尺
p

F A

L3 F
L
W F L L 4
设时间比尺： 则速度比尺 加速度比尺
t

tp tm
v
vp vM
Lp / tP LM / tM
L t
a
ap aM

Lp / tP2 LM / tM 2

L t 2
10
３、动力相似
动力相似： 模型与原型中相应点上作用的各同名力矢量
互相平行均具有同一比值。 例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面
这是流动相似的重要判据，称为相似判据。
因
m

mp mM
PVP M VM
3L
F t 1
F
1 F 1
3Lv
2 Lv
L t
2 L2v
19
12.3 单项力作用下的相似准则
一、 重力相似准则
流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重力，只要用重
各物理量的比尺不能任意选择，必须遵循佛汝得数准则。
20
现将各种物理量的比尺与模型比尺 L 的关系推导如下：
(1) 流速比尺
(2) 流量比尺
v

vP vM

LP LM
L 0.5
(3) 时间比尺
Q

QP QM

AP vP AM vP

A v

2 0.5 LL
L 2.5
(4) 力的比尺
相似比尺的数目就与物理量的数目相同。 物理量q为基本量，则相应的比尺 q 就是基
本比尺；若量q为导出物理量，q 就是导出比尺
根据诱导量纲基本公式可知：所有的物理量均 可表示为少数基本物理量的乘幂之积的形式。所 有的相似比尺也可表示为少数基本比尺的乘幂之 积的形式。
5
12.2 相似现象的相似特征
2
二、相似比尺
相似比尺是指原型和模型同名物理量之比值，可表示
为：
q

qP qM
。
同名物理量是指原型和模型中同一物理属性的量，即
量纲相同的物理量。
3
用相似比尺表示模型与原型相似，在形式上似乎
很简单，而实质上对于模型是非常严格的要求。因
为：原型和模型上每一点的同名物理量之比均应满
足同一个相似比尺：q
F
mPaP mM aM

PVP aP MVM aM


P
LP
3

dv dt

P

M
LM
3

dv dt

M

P LP3LM 3 M LM 3LP3

P M

F 1
30
(5) 压强比尺
p
F A
L 2
L2
当 1 时 L2
一、相似现象的相似特征
（一）几何相似：在两个几何图形的相应长度都保持固
定的比
例关系。即把一个模型（
或原型）的任一长度尺寸乘比例尺，便得到原型（模型
）的相应长度。
（二）流动相似
模型和原型水流如何达到流动相似？
6
水流运动是在一定时间和空间中进行的，它遵循水流运动学和动 力学的规律。 表征液体运动有三种不同性质的物理量：表征流场几何形状的、 表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。 即描述水流运动 的物理量可以分为三个类型：几何量、运动量、动力量。 因此，两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和动力 相似。即两个流动系统的相似可用几何相似、运动相似及动力相 似来描述。