弹塑性力学 第04章应力和应变关系

C1 2 C22 C23 C24 0 0
C1 3 C23 C33 C34 0 0
C1 4 C24 C34 C44 0 0
0 0 0 0 C55 C56
0 ⎤⎧ ε x ⎫ ⎪ε ⎪ ⎥ 0 ⎥⎪ y ⎪ 0 ⎥⎪ ⎪εz ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ 0 ⎥ ⎪γ yz ⎪ C56 ⎥ ⎪γ xz ⎪ ⎥⎪ ⎪ C66 ⎥ ⎦⎪ ⎩γ xy ⎪ ⎭
σ ij = λε kk δ ij + 2με ij
λ 、 μ 称为拉梅常数。 θ = ε x + ε y + ε z 为体应变。
为什么？
由上式可知，在各向同性弹性体内的各点，应力主方向与 应变主方向是一致的。只有2个独立的弹性常数。
将广义胡克定律的前三式相加，得
Θ = σ x + σ y + σ z = (3λ + 2 μ )θ
C12 C11 C12 0 0 0
C12 C12 C 11 0 0 0
0 0 0
C 11−C 12 2
0 0 0 0
C 11−C 12 2
0 0
0
⎤⎧εx ⎫ ⎥⎪ ⎪ ε ⎥⎪ y ⎪ ⎥⎪ ⎪εz ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎥⎪γ yz⎪ ⎥⎪γxz⎪ ⎥⎪ ⎪ C C − 11 12 ⎩γxy⎪ ⎭ 2 ⎥ ⎦⎪ 0 0 0 0 0
由热力学第一定律，可得如下关系
dW dEk dV1 dQ = + − dt dt dt dt
绝热
dW dEk dV1 = + dt dt dt
经过推导，可得弹性体在绝热情况下以能量形式表示的物理 方程，即：
∂v1 ∂v1 σx = , τ yz = ∂γ yz ∂ε x
∂v1 ∂v1 σy = , τ xz = ∂ε y ∂γ xz ∂v1 ∂v1 σz = , τ xy = ∂ε z ∂γ xy
格林公式
∂vε σ ij = ∂ε ij
如果应力和应变间成线性关系，则可得应变能密度为
1 vε = (σ xε x + σ yε y + σ z ε z + τ yzγ yz + τ xzγ xz + τ xyγ xy ) 2 1 = σ ij ε ij 2
设物体体积为V，则整个物体的应变能为
Vε = ∫∫∫ vε dV
令
C12 = λ , C11 − C12 = 2 μ
于是各向同性弹性体的广义胡克定律可写为
⎧σ x = λθ + 2 με x ， τ yz = μγ yz ⎪ ⎨σ y = λθ + 2 με y ， τ xz = μγ xz ⎪ σ λθ 2 με τ μγ = + = ， z z xy xy ⎩
第四章 应力与应变关系
§4-1 应力和应变的最一般关系式 §4-2 弹性体变形过程中的功和能 §4-3 各向异性弹性体 §4-4 各向同性弹性体 §4-5 弹性常数的测定 §4-6 各向同性体应变能密度的表达式
§4-1 应力和应变的最一般关系式
应力与应变关系最一般的形式为
⎧σ x = f1 (ε x , ε y , ε z , γ yz , γ xz , γ xy ) ⎪ ⎪σ y = f 2 (ε x , ε y , ε z , γ yz , γ xz , γ xy ) ⎨ ⎪KKKK ⎪τ xy = f 6 (ε x , ε y , ε z , γ yz , γ xz , γ xy ) ⎩
如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对 称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对 称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方 向。这样，物体的弹性常数从21个变为13个。 若Oyz为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）
⎧σ x ⎫ ⎡ C11 ⎪ ⎪ ⎢ σ ⎪ y ⎪ ⎢C1 2 ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ ⎢C1 3 ⎨ ⎬=⎢ ⎪τ yz ⎪ ⎢C1 4 ⎪τ ⎪ ⎢ 0 xz ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎢ τ ⎪ ⎪ ⎣ xy ⎩ ⎭
—————广义胡克定律
式中的系数Cmn称为弹性常数，一共36个。对于极端各向异性 体，由于应变能的存在，只有21个独立的弹性常数。而对于 各向同性体只有2个独立的弹性常数（E，v）。
§4-2 弹性体变形过程中的功和能
设一物体在外力作用下处于运动状态，现在利用热力学的 观点，分析其内部任一有限部分（设其包含的区域为V，表面 为S）的功和能的变化关系。根据热力学的观点，外力所作的 功，一部分将变成动能，一部分将变成内能；另外，物体在变 形过程中，温度将发生变化，它必须从外界吸收热量，或外界 发散热量。 dW 表示单位时间内外力对所取出部分作的功。 dt dEk 表示所取出部分在单位时间内动能的变化。 dt dV1 表示所取出部分在单位时间内内能的变化。 dt dQ 表示单位时间输入(或输出)体内所取出部分的热量的 dt 机械当量。
vF称为自由能 密度。
设 vε 表示由于变形而储存于物体内单位体积的弹性势能，称 为应变能密度。在绝热情况下，它为内能密度的增量，即
vε = v1 − v10
在等温情况下，它为自由能密度的增量，即
vε = vF − vF 0
vF 0 分别表示自然状态（即无应力状态）下的内能密 v10 ， 度和自由能密度。在自然状态下，显然有 vε = 0
这里的fi（i=1，2，……6）取决于材料本身的物理特性。在小 变形情况下，上式可展开成泰勒级数，并略去其二阶以上的小 量。例如将上式中第一式展开，得到
σ x = f1 (ε x , ε y , ε z , γ yz , γ xz , γ xy )
在小变形情况下，将上式展开，并略去二阶以上的小量， 得到
⎛ ∂f1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ γ xy ⎟ + γ xz ⎟ ⎜ ∂γ ⎟ ⎠0 ⎝ xy ⎠ 0
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z + C14γ yz + C15γ xz + C16γ xy
同理可将后面几式展开得到相应的式子，于是得
⎧σ x = C11ε x + C1 2ε y + C1 3ε z + C1 4γ yz + C1 5γ xz + C1 6γ xy ⎪ ⎪σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ yz + C25γ xz + C26γ xy ⎪σ = C ε + C ε + C ε + C γ + C γ + C γ 31 x 32 y 33 z 34 yz 35 xz 36 xy ⎪ z ⎨ ⎪τ yz = C41ε x + C42ε y + C43ε z + C44γ yz + C45γ xz + C46γ xy ⎪τ = C ε + C ε + C ε + C γ + C γ + C γ 51 x 52 y 53 z 54 yz 55 xz 56 xy ⎪ xz ⎪ ⎩τ xy = C61ε x + C62ε y + C63ε z + C64γ yz + C65γ xz + C66γ xy
⎛ ∂f1 ⎞ ⎛ ∂f1 ⎞ ⎛ ∂f1 ⎜ ⎟ εy +⎜ ⎟ + σ x = ( f1 )0 + ⎜ ε x ⎜ ∂ε ⎜ ∂ε ⎟ ⎜ ∂ε ⎟ ⎝ z ⎝ x ⎠0 ⎝ y ⎠0 ⎛ ∂f1 +⎜ ⎜ ∂γ ⎝ yz ⎞ ⎛ ∂f1 ⎟ γ yz + ⎜ ⎜ ∂γ ⎟ ⎝ xz ⎠0
⎞ ⎟ ⎟ εz ⎠0
其中v1表示 单位体积的 内能，即内 能密度
对于等温过 程，同样可 以推导出类 似的关系式
∂vF ∂vF σx = , τ yz = ∂ε x ∂γ yz ∂vF ∂vF σy = , τ xz = ∂ε y ∂γ xz ∂vF ∂vF σz = , τ xy = ∂ε z ∂γ xy
弹性体在等温情 况下以能量形式 表示的物理方程
这样，绝热和等温情况下能量形式的物理方程可统一表示为
∂vε ∂vε σx = , τ yz = ∂γ yz ∂ε x ∂vε ∂vε σy = , τ xz = ∂γ xz ∂ε y ∂vε ∂vε σz = , τ xy = ∂ε z ∂γ xy
或
∂vε σ ij = ∂εij
上式称为格林公式，它 不受变形大小和材料性 能的限制，也不需无初 始应力的假设。
V
§4-3 各向异性弹性体
本节将建立几种常见的各向异性弹性体的应力与应变的关系
①极端各向异性弹性体
对广义胡克定律的第二和第五式（如下）分析
ห้องสมุดไป่ตู้
∂vε σy = = C21ε x + C22ε y + C23ε z + C24γ yz + C25γ xz + C26γ xy ∂ε y ∂vε τ xz = = C51ε x + C52ε y + C53ε z + C54γ yz + C55γ xz + C56γ xy ∂γ xz 上面第一式对 γ xz 求导得 上面第二式对 ε y 求导得
层状结构的地壳，可认为是横观各向同性的。
§4-4 各向同性弹性体
从物理意义来看，各向同性弹性体，就是沿物体各个方向 看，弹性性质是完全相同的。反映在数学上，就是应力与应变 的关系在所有方位不同的坐标系中都是一样。
⎧σx ⎫ ⎡ C11 ⎪σ ⎪ ⎢ ⎪ y⎪ ⎢ C 12 ⎪ ⎪ σ ⎪ z⎪ ⎢ C 12 = ⎨ ⎬ ⎢ τ ⎪ yz⎪ ⎢ 0 ⎪ τxz⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ 0 τ ⎢ ⎪ ⎪ xy ⎣ ⎩ ⎭
③正交各向异性弹性体
如果互相垂直的3个平面中有2个是弹性对称面，则第3个 平面必然也是弹性对称面。这种弹性体称为正交各向异性弹性 体，其弹性常数只有9个。 （可用坐标变换公式得到）
⎧σ x ⎫ ⎡ C11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪σ y ⎪ ⎢C1 2 ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ ⎢C1 3 ⎨ ⎬=⎢ ⎪τ yz ⎪ ⎢ 0 ⎪τ ⎪ ⎢ 0 ⎪ xz ⎪ ⎢ 0 ⎢ τ ⎪ ⎪ ⎣ xy ⎩ ⎭
各种增强纤维复合材料和木材等属于这种弹性体。
④横观各向同性弹性体
在正交各向异性的基础上，如果物体内每一点都有一个弹 性对称轴，也就是说，每一点都有一个各向同性平面，在这个 平面内，沿各个方向具有相同的弹性。这种弹性体称为横观各 向同性弹性体。具有5个独立的弹性常数。
⎧σ x ⎫ ⎡ ⎪σ ⎪ ⎢ ⎪ y⎪ ⎢ ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪τ yz ⎪ ⎢ ⎪τ ⎪ ⎢ xz ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎣ ⎩τ xy ⎪ ⎭ ⎢
C1 2 C22 C23 0 0 0
C1 3 C23 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C55 0
0 ⎤⎧ ε x ⎫ ⎪ε ⎪ ⎥ 0 ⎥⎪ y ⎪ 0 ⎥⎪ ⎪εz ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ 0 ⎥ ⎪γ yz ⎪ 0 ⎥ ⎪γ xz ⎪ ⎥⎪ ⎪ C66 ⎥ ⎦⎪ ⎩γ xy ⎪ ⎭
称为体应变的胡克定律。 这样用应力表示应变，广义胡克定律可写为
σx 1 λ − Θ ，γ yz = τ yz εx = μ 2 μ 2μ (3λ + 2μ ) σy λ 1 − εy = Θ ，γ xz = τ xz μ 2 μ 2μ (3λ + 2 μ ) σz λ 1 − εz = Θ ，γ xy = τ xy 2 μ 2 μ (3λ + 2 μ ) μ
∂ vε = C25 ∂ε y ∂γ xz
2
∂ vε = C52 ∂γ xz ∂ε y
2
显然有 同理可证
C25 = C52
Cmn = Cnm
C1 2 C22 C23 C24 C25 C26 C1 3 C23 C33 C34 C35 C36 C1 4 C24 C34 C44 C45 C46 C1 5 C25 C35 C45 C55 C56 C1 6 ⎤ ⎧ ε x ⎫ ⎪ε ⎪ ⎥ C26 ⎥ ⎪ y ⎪ C36 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪εz ⎪ ⎥⎨ ⎬ C46 ⎥ ⎪γ yz ⎪ C56 ⎥ ⎪γ xz ⎪ ⎥⎪ ⎪ C66 ⎥ ⎦⎪ ⎭ ⎩γ xy ⎪
C11 C12 C13 0 0 0
C12 C11 C13 0 0 0
C13 C13 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C44 0
0 ⎤⎧ ε x ⎫ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥⎪ ε y ⎪ 0 ⎥⎪ ⎪ ⎪ε z ⎪ ⎥⎨ ⎬ 0 ⎥⎪γ yz ⎪ 0 ⎥⎪γ xz ⎪ ⎥ ⎪ C11−C1 2 ⎪ ⎩γ xy ⎪ ⎭ 2 ⎥ ⎦⎪
这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的 弹性常数。
⎧σ x ⎫ ⎡ C11 ⎪σ ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢C1 2 ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ ⎢C1 3 ⎨ ⎬=⎢ τ ⎪ yz ⎪ ⎢C1 4 ⎪τ ⎪ ⎢C1 5 xz ⎪ ⎪ ⎢ C ⎢ τ ⎪ ⎪ 16 ⎣ xy ⎩ ⎭
②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体