新人教B版学高中数学选修推理与证明反证法讲义

学习目标核心素养

１．了解反证法的思考过程、特点．（重点、易混点）

通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.２．会用反证法证明简单的数学问题．（重点、难点）

反证法

１．反证法的定义

由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

２．常见的几种矛盾

（１）与假设矛盾；

（２）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

（３）与公认的简单事实矛盾（例如，导出0＝１,0≠0之类的矛盾）．

１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）反证法属于间接证明问题的方法．（）

（２）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．（）

（３）反证法的实质是否定结论导出矛盾．（）

[答案] （１）√（２）×（３）√

Ａ．假设三个内角都不大于60°

Ｂ．假设三个内角都大于60°

Ｃ．假设三个内角至多有一个大于60°

Ｄ．假设三个内角至多有两个大于60°

[解析] 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.

[答案] B

３．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．

[解析] ∵空间中两直线的位置关系有３种：异面、平行、相交，

∴应假设b与c平行或相交．

[答案] b与c平行或相交

利用反证法证明否定性命题

２

根”，正确的假设是方程存在实数根x0为（）

Ａ．整数Ｂ．奇数或偶数

Ｃ．自然数或负整数Ｄ．正整数或负整数

（２）已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：错误!，错误!，错误!不成等差数列．

[解析] （１）要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选Ａ．[答案] A

（２）证明：假设错误!，错误!，错误!成等差数列，则错误!＋错误!＝２错误!，

即a＋c＋２错误!＝４b.

又a，b，c成等比数列，所以b２＝ac，

即b＝错误!，所以a＋c＋２错误!＝４错误!，

所以a＋c—２错误!＝0，即（错误!—错误!）２＝0，

所以错误!＝错误!，从而a＝b＝c，

所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故错误!，错误!，错误!不成等差数列．

１．用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比

较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

２．反证法证明问题的一般步骤

１．设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．

[证明] 假设数列{S n}是等比数列，则S错误!＝S１S３，

即a错误!（１＋q）２＝a１·a１（１＋q＋q２），

因为a１≠0，所以（１＋q）２＝１＋q＋q２，

即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．

利用反证法证明存在性命题

[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．

[解] 假设（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a都大于错误!.

∵a，b，c∈（0,１），∴１—a>0,１—b>0,１—c>0．

∴错误!≥错误!>错误!＝错误!.

同理错误!>错误!，错误!>错误!.

三式相加得错误!＋错误!＋错误!>错误!，

即错误!>错误!，矛盾．

所以（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a不能都大于错误!.

应用反证法常见的“结论词”与“反设词”

当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，

证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：

２．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝１，ac＋bd>１，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

[证明] 假设a，b，c，d都是非负数，

因为a＋b＝c＋d＝１，所以（a＋b）（c＋d）＝１．

又（a＋b）（c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，

所以ac＋bd≤１，

这与已知ac＋bd>１矛盾，

所以a，b，c，d中至少有一个是负数.

利用反证法证明唯一性命题

反证法解题的实质是什么？

提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．

【例３】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．

[思路探究] “有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．

[解] 因为a∥b，

所以过a，b有一个平面α.

又因为m∩a＝A，m∩b＝B，

所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.

又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，

即过a，b，m有一个平面α，如图．

假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，

则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．

因此，过a，b，m有且只有一个平面．

用反证法证明唯一性命题的一般思路

证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．

３．若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续，且f（a）<0，f（b）>0，且f（x）在[a，b]上单调递增，求证：

f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．

[证明] 由于f（x）在[a，b]上的图象连续，且f（a）<0，f（b）>0，即f（a）·f（b）<0，

所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m）＝0．

假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，即f（n）＝0，则n≠m.

若n>m，则f（n）>f（m），即0>0，矛盾；

若n

因此假设不正确，即f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.

１．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为（）

Ａ．a，b，c都是奇数