新人教B版学高中数学选修推理与证明反证法讲义

学习目标核心素养
１．了解反证法的思考过程、特点．（重点、易混点）
通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.２．会用反证法证明简单的数学问题．（重点、难点）
反证法
１．反证法的定义
由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
２．常见的几种矛盾
（１）与假设矛盾；
（２）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
（３）与公认的简单事实矛盾（例如，导出0＝１,0≠0之类的矛盾）．
１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）反证法属于间接证明问题的方法．（）
（２）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．（）
（３）反证法的实质是否定结论导出矛盾．（）
[答案] （１）√（２）×（３）√
Ａ．假设三个内角都不大于60°
Ｂ．假设三个内角都大于60°
Ｃ．假设三个内角至多有一个大于60°
Ｄ．假设三个内角至多有两个大于60°
[解析] 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.
[答案] B
３．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．
[解析] ∵空间中两直线的位置关系有３种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．
[答案] b与c平行或相交
利用反证法证明否定性命题
２
根”，正确的假设是方程存在实数根x0为（）
Ａ．整数Ｂ．奇数或偶数
Ｃ．自然数或负整数Ｄ．正整数或负整数
（２）已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：错误!，错误!，错误!不成等差数列．
[解析] （１）要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选Ａ．[答案] A
（２）证明：假设错误!，错误!，错误!成等差数列，则错误!＋错误!＝２错误!，
即a＋c＋２错误!＝４b.
又a，b，c成等比数列，所以b２＝ac，
即b＝错误!，所以a＋c＋２错误!＝４错误!，
所以a＋c—２错误!＝0，即（错误!—错误!）２＝0，
所以错误!＝错误!，从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故错误!，错误!，错误!不成等差数列．
１．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比
较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
２．反证法证明问题的一般步骤
１．设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．
[证明] 假设数列{S n}是等比数列，则S错误!＝S１S３，
即a错误!（１＋q）２＝a１·a１（１＋q＋q２），
因为a１≠0，所以（１＋q）２＝１＋q＋q２，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．
利用反证法证明存在性命题
[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．
[解] 假设（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a都大于错误!.
∵a，b，c∈（0,１），∴１—a>0,１—b>0,１—c>0．
∴错误!≥错误!>错误!＝错误!.
同理错误!>错误!，错误!>错误!.
三式相加得错误!＋错误!＋错误!>错误!，
即错误!>错误!，矛盾．
所以（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a不能都大于错误!.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，
证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
２．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝１，ac＋bd>１，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[证明] 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝１，所以（a＋b）（c＋d）＝１．
又（a＋b）（c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤１，
这与已知ac＋bd>１矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
利用反证法证明唯一性命题
反证法解题的实质是什么？
提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．
【例３】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．
[思路探究] “有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．
[解] 因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，
即过a，b，m有一个平面α，如图．
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，
则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．
因此，过a，b，m有且只有一个平面．
用反证法证明唯一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
３．若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续，且f（a）<0，f（b）>0，且f（x）在[a，b]上单调递增，求证：
f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．
[证明] 由于f（x）在[a，b]上的图象连续，且f（a）<0，f（b）>0，即f（a）·f（b）<0，
所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m）＝0．
假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，即f（n）＝0，则n≠m.
若n>m，则f（n）>f（m），即0>0，矛盾；
若n<m，则f（n）<f（m），即0<0，矛盾．
因此假设不正确，即f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.
１．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为（）
Ａ．a，b，c都是奇数
Ｂ．a，b，c都是偶数
Ｃ．a，b，c中至少有两个偶数
Ｄ．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
[解析] 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：（１）３个都是奇数；（２）２个奇数，１个偶数；（３）１个奇数，２个偶数；（４）３个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
[答案] D
２．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（）
Ａ．三个内角中至少有一个钝角
Ｂ．三个内角中至少有两个钝角
Ｃ．三个内角都不是钝角
Ｄ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
[解析] “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
[答案] B
３．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
[解析] “p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．
[答案] x≠0或y≠0
４．用反证法证明命题“若x２—（a＋b）x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．
[解析] “x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．
[答案] x＝a或x＝b
５．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax２＋２bx＋c＝0，bx２＋２cx＋a＝0，cx２＋２ax＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．
[证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ１＝４b２—４ac≤0，Δ２＝４c２—４ab≤0，Δ３＝４a２—４bc≤0．
相加得a２—２ab＋b２＋b２—２bc＋c２＋c２—２ac＋a２≤0，（a—b）２＋（b—c）２＋（c—a）２≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。