角平分线性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定

第一部分：知识点回顾

1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；

2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；

3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上

第二部分：例题剖析

例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB

于点E，AB=15cm，

（1）求证：BD+DE=AC．

（2）求△DBE的周长．

例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．

例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少

第三部分：典型例题

例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交

于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．

【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º

例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由．

2

1

N

P

F C

B

A

（3）CD、AB、AD间直接写出结果

【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．

例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．

【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

第四部分：思维误区

一、忽视“垂直”条件

例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

第五部分：方法规律

（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．

第七部分：巩固练习

A组

一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）

1．三角形中到三边距离相等的点是（）

A、三条边的垂直平分线的交点

B、三条高的交点

C、三条中线的交点

D、三条角平分线的交点

2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（）

A 、12cm

B 、10cm

C 、14cm

D 、11cm

D

C A

E

B

3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） ＞PN ＝PN ＜PN D.无法确定

4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )

①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

5． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，

垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD =CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB ．

二、解答题

6．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，证：∠B ＝∠C.

D M A

C

N

P

E

图2

图

3

A

B

C D

P

7．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于

E ．求证：BE 平分ABC ∠．

8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .

9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB

上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．

Ｂ

Ａ

Ｃ

第八部分：中考体验

一．选择题（共3小题）

1．（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）

A．11 B．C．7D．

3．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A．4B．3C．6D．5

4．（2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE ⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．

5．（2011•桂林）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．

已知：

求证：

证明：