等差数列讲义：选填经典题型(详解答案)
等差数列选填高考真题158道解析版
16.( 2012•重庆)在等差数列{ an}中，a2＝ 1，a4＝ 5，则{ an}的前 5 项和 S5＝( )
A. 7 B．15 C．20 D．25
【解答】：∵等差数列{ an}中，a2＝ 1，a4＝ 5，
∴ a2+ a4＝ a1+ a5＝ 6，
13.( 2013•新课标Ⅰ)设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm﹣1＝-2，Sm＝ 0，Sm+1＝ 3，则 m＝( )
A. 3 B．4 C．5 D．6
【解答】：am＝ Sm- Sm﹣1＝ 2，am+1＝ Sm+1- Sm＝ 3，
所以公差 d＝ am+1- am＝ 1，
Sm
=
m(a1+am) 2
对于数列{ nan}，第 n + 1 项与第 n 项的差等于 ( n + 1 ) an+1- nan＝( n + 1 ) d + an，不一定是正实数，
故 p2不正确，是假命题．
对于数列{ ann }，第 n + 1 项与第 n 项的差等于
an+1 n+1
-
an n
=
nanჷ 1)
A. n ( n + 1 ) B．n ( n - 1 ) C．n(n2+1) D．n(n2-1)
【解答】：由题意可得 a42＝ a2• a8，
即 a42＝( a4- 4 ) ( a4+ 8 )，
解得 a4＝ 8，
∴ a1＝ a4- 3 × 2＝ 2，
∴ Sn＝ na1+ n(n2-1) d，
高中数学必修5：等差数列及其性质 知识点及经典例题(含答案)
等差数列及其性质【知识概述】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即*1(,2)n n a a d n N n --=∈≥.2.通项公式：1(1)n a a n d =+-()n N *∈3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= 4.递推公式：+1+n n a a d =()n N *∈5．中项公式：若b a 、、M 成等差数列，则2M +a b =，称M 为b a 、的等差中项， 即+M 2a b =；若数列{}n a 是等差数列，则n 112+(2)n n a a a n -+=≥. 6.等差数列的简单性质：)N (*∈k q p n m 、、、、（1）若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+；（2）2m n p +=,则2m n p a a a +=；（3）112m m m a a a -+=+；2+m m k m k a a a -+=（4）()m n a a m n d =+-;（5）21(21)m m S m a -=-;（6）232,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列.（7）()()n S f n an b f n n ==+⇔是n 的一次函数{}()n S f n n ⎧⎫⇔=⎨⎬⎩⎭成等差数列. （8）数列}{n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+是n 的二次函数且常数项为零.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列}{n a 中，（1）若12497,1,16a a a a 则==+= ；（2） 若1232,13,a a a =+= 则456a a a ++= .2．[难度] 中已知数列{}n a 是等差数列，（1）若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且k a =13,则k =________________.（2）若公差为-2，且,509741=+++a a a 则=++++99963a a a a .3．[难度] 中已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S（1）若.__________,4,8134111073==-=-+S a a a a a 则（2）若242,10,S S ==6S = .【经典例题】例1．在等差数列{}n a 中，259,33,a a ==求8a .例2．n S 设表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918,240,n S S ==若 430(9)n a n -=>，求n 的值.例3．在等差数列{}n a 中，230,100m m S S ==，3m S 求. 例4．已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5,n a a S ==-为其前n 项和.（1）求 {}n a 的通项n a ；（2）求n S 的最大值及相应的n 值；（3）12+n n T a a a =++….【本课总结】1．有关等差数列的计算问题一般有两种方法：基本量法：一个等差数列可以由首项1a 和公差d 完全确定，而首项1a 和公差d 又可以用其它两个独立的条件取代，因此在等差数列的有关计算中，可以依据方程思想，只要给出两个独立条件，就可以列方程组求出1a d 、，将问题转化为等差数列中的两个基本量1a d 、进行计算，可以说基本量法是万能大法.性质法： 数列简单性质的使用可以简化运算，如果能恰当的使用数列性质，就可以绕开经过首项1a 的独木桥，获得简洁明快的解题方法，解题时需充分关注角标之间的关系，注意挖掘题目中的隐含条件, 隐含条件发掘的越深刻，获得的解题方法就越优秀.2．证明或判断数列为等差数列主要有以下几种方法：①定义法：1n n a a d +-=恒成立{}n a ⇔成等差数列；②通项法：通项公式n a pn q =+是n 的一次函数{}n a ⇔成等差数列；③前n 项和法：前n 项和2n S pn qn =+是n 的二次函数且常数项为零{}n a ⇔成等差数列；④中项法：211n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+{}n a ⇔成等差数列；3．求等差数列前n 项和的最值问题，常用途径有：①二次函数法：用求二次函数最值的方法求n S 的最大值，但要注意*n ∈N ；②图象法：利用二次函数图象的对称性，数形结合求n S 的最值；③通项法：利用等差数列的通项公式，重在考查数列的变化规律，对无穷等差数列{}n a ， 其前n 项和n S 有如下几种情况：（i ）当10,0a d ><时，若满足0n a ≥的最大自然数为N ，则n S 的最大值为N S ； （ii ）当10,0a d <>时，若满足0n a ≤的最大自然数为N ，则n S 的最小值为N S ；（iii ）当10,0a d >>时，n S 无最大值；（iv ）当10,0a d <<时，n S 无最小值.【活学活用】1．[难度] 中等差数列}{n a 中，（1）若,36,31001==a a 则=+983a a ;（2）若262,162a a ==，则10a = ;（3）若,4,126473-=+-=a a a a 则n a = .2. [难度] 中设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，（1）若39S =，636S =，则789a a a ++= ;（2）若102030,100,S S ==则30S ＝ .3. [难度] 难已知数列{}n a 的通项为215n a n =-，前n 项和为n S .（1）当n 为多少时，n S 取最小值、n S 取最小值;（2）求201220T a a a =+++，并求12n n T a a a =+++.。
等差数列知识点及类型题详解（含精细化答案）
等差数列知识点及类型题详解（含精细化答案）数列——等差数列【考纲解读】理解等差数列的概念。
掌握等差数列的通项公式及前项和公式。
能根据具体条件识别等差数列，并灵活运⽤等差数列的性质解决问题。
了解等差数列通项公式与⼀次函数、等差数列前项和与⼆次函数的关系。
【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常⽤字母表⽰。
知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列的⾸项是，公差是，则有（是常数）或，叠加得到等差数列的通项为：该公式整理后是关于的⼀次函数。
例1：已知是⼀个等差数列，请在下表中填⼊适当的数或式⼦。
知识点3、等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或例2：已知是等差数列。
（1）有，那么是否成⽴？呢？为什么？（2）是否成⽴？（3）是否成⽴？据此你能得出什么结论？知识点4、等差数列的前n项和将带⼊可得该公式整理后是关于的⼆次函数。
例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和。
（1）（2）。
知识点5、等差数列的判定⽅法定义法：若（d是常数）或，则数列是等差数列。
等差中项：若或，则数列是等差数列。
通项公式法：若通项公式为⼀次函数，则数列是等差数列，且公差，⾸项。
前n项和法：若前项和，则数列是等差数列，且公差，⾸项。
例4：已知数列的前项和，求这个数列的通项公式。
知识点6、等差数列的性质1 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有——该公式为等差数列的递推公式。
对于等差数列，若，则也就是：例5：已知是等差数列。
有则。
2 若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。
如下图所⽰：3 等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，．若项数为，则，且，（其中，）。
例6：设是等差数列的前项和，若，则。
【题型划归】题型⼀、利⽤递推公式或求值。
第31讲 等差数列的前n项和 (讲义 练习)(解析版)
第31讲 等差数列的前n 项和知识点概要1.等差数列的前n 项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n = S n =na 1+ d【思考】(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n 项和? 答案:运用公式S n =.(2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n 项和?提示:运用公式S n =na 1+ d.2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系将等差数列前n 项和公式S n =na 1+d 整理成关于n 的函数可得S n =n 2+n.【思考】S n =an 2+bn+c,其中a,b,c 为常数,一定为一个等差数列的前n 项和吗? 答案:不一定.当c=0时,S n =an 2+bn 是一个等差数列的前n 项和. 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数；S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数．精选同步练习 一、填空题1．在等差数列{}n a 中，4100S =，8392S =，求9101112a a a a +++=____ 【答案】484 【分析】利用等差数列片段和的性质有128484()2()S S S S S -+=-，结合已知求128S S -，即可得9101112a a a a +++的值.【解析】由等差数列片段和的性质有128484()2()S S S S S -+=-， ∴1288442()S 2(392100)100484S S S S -=--=⨯--=． ∴9101112484a a a a +++= 故答案为：4842．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4683315a a a -+=，则11S =______． 【答案】33 【分析】由等差数列的性质可得63a =，再由等差数列求和公式即可求出. 【解析】{}n a 是等差数列，由4683315a a a -+=可得()486315a a a +-=，即66615a a -=，可得63a =， 则()1111161111332a a S a +===. 故答案为：33.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______． 【答案】42- 【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正，所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-4．设()442xx f x =+数列{}n a 的通项公式为2021n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等差数列前n 项和公式的推导方法，可得数列{}n a 的前2020项和为___________. 【答案】1010 【分析】由题设函数式易得()(1)1f x f x +-=，再由2020122020()()...()202120212021S f f f =+++，应用倒序相加得20202S ，即可求数列{}n a 的前2020项和. 【解析】∵114442()(1)142424224x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++， 又2020122020122020...()()...()202120212021S a a a f f f =+++=+++， ∴2020202021()...()()202120212021S f f f =+++， ∴20201202022019202012[()()][()()]...[()()]202120212021202120212021S f f f f f f =++++++2020=， ∴20201010S =. 故答案为：10105．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，201320140a a +>，201320140a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________. 【答案】4026 【分析】结合已知条件，利用等差数列的单调性判断2013a 与2014a 的符号，然后利用等差数列的性质即可求解. 【解析】设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，因为201320140a a <，故2013a 与2014a 符号相异，所以0d ≠，又因为公差不为0等差数列具有单调性， 且201320140a a <，10a >， 故20130a >，20140a <， 因为201320140a a +>，所以140262013201440264026()4026()022a a a a S ++==>，因为14027201440274027()40272022a a a S +⨯==<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 为4026. 故答案为：4026.6．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()610cos ,?18,165,sin ,?n n n a n a S b a n ππ⎧⎪===⎨⎪⎩为奇数为偶数，则1232021=b b b b +++⋅⋅⋅+______.【答案】1011- 【分析】先求得n a ，然后求得n b ，由此求得正确结论. 【解析】依题意，61101518,1045165a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩故13,3a d ==，故3n a n =，当n 为奇数时，cos(3)1n b n π==-；当n 为偶数时，sin(3)0n b n π==， 故12320211011b b b b +++⋅⋅⋅+=-. 故答案为：1011-7．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0 【答案】①②③④ 【分析】结合等差数列的性质以及前n 项和公式逐个分析即可得出结论. 【解析】由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确． 因为S 7＝177()2a a +＝7a 4<0，故④正确． S 8＝188()2a a +＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误． 综上可得结论正确的有①②③④. 故答案为：①②③④.8．设数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意n ∈N*，都有n k S S ≤成立，则k 的值为______. 【答案】20【分析】由题意，转化“对任意n ∈N*，都有n k S S ≤成立”为S k 为S n 的最大值．可求得d ＝－2，a n ＝41－2n ，当S n 取得最大值时，对任意n ∈N *满足10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩，求解即可【解析】对任意n ∈N *，都有n k S S ≤成立，即S k 为S n 的最大值． 因为a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93， 所以a 4＝33，a 5＝31，故公差d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝41－2n ，当S n 取得最大值时，对任意n ∈N *满足10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩ 解得n ＝20.即满足对任意n ∈N *，都有n k S S ≤成立的k 的值为20. 故答案为：209．设等差数列{}n a 、{}n b 、{}n c 、{}n d 的前n 项和分别为n A 、n B 、n C 、n D ，11112021a b c d +++=，44442015A B C D +++=，则2021202120212021A B C D +++=__．【答案】2060599474- 【分析】设n n n n n p a b c d =+++，可证明{}n p 也为等差数列，设前n 项和n P ，且12021p =，42015P =，利用前n 项和公式可求出20232d =-，即得解 【解析】{}n a 、{}n b 、{}n c 、{}n d 是等差数列，不妨记公差分别为,,,nn n n ab c d d d d d设n n n n n p a b c d =+++，由于1nnnnn d n a b c p p d d d d --=+++为常数{}n p ∴也为等差数列，设前n 项和n P ，记公差为n n n n a b c d d d d d d =+++，111112021p a b c d =+++=，444442015P A B C D =+++=， 1462015p d ∴+=，20232d ∴=-， 202120212020202320212021()2021(20215052023)206059947422P ⨯∴=⨯+⨯-=⨯-⨯=- 故答案为：2060599474-10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为 ______． 【答案】174 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【解析】由3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故答案为：17411．已知数列{}n a 满足11n n a a ++=，且246a a +=，当12020n ≤≤，*n ∈N 时，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则1220S S S ++⋅⋅⋅+=________.（备用公式()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）【答案】1540 【分析】由数列{}n a 满足11n n a a ++=，得数列{}n a 是以1为公差的等差数列，再根据246a a +=，可得11a =，从而求得n a n =，再利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再结合()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=即可得出答案.【解析】解：数列{}n a 满足11n n a a ++=，所以数列{}n a 是以1为公差的等差数列， 又246a a +=，则313,1a a ==， 所以n a n =，所以()1212n n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=，所以22212201232012202S S S +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=由()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，可得222202141122028706⨯⨯++⋅⋅⋅==，()20120123202102++++⋅⋅⋅+==， 所以12201540S S S ++⋅⋅⋅+=. 故答案为：1540.12．已知等差数列{}n a 满足：12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=，则正整数n 的最大值为________ 【答案】62 【分析】设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设100k ka a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-，根据110k a +-≥，得到即有2d ≥，再根据等差数列的前n 项和公式，求得22021k d =，从而得出220212k ≥，即可求解. 【解析】解： 由题意知：等差数列{}n a 满足1212111n n a a a a a a +++=++++++1211a a =-+-+12021n a +-=，故等差数列不是常数列，且{}n a 中的项一定满足100n n a a ->⎧⎨<⎩或10n n a a -<⎧⎨>⎩，且项数为偶数，设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设100k ka a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-， 由110k a +-≥，则111kd a kd -+≥+≥，即2kd ≥， 即有2d ≥，则121212k k k n a a a a a a a a +----++++⋯=++211(1)(1)[]()202122k k d k k ka k a kdd k d --=-++++==， 可得220212k ≥，解得31.7k ， 即有k 的最大值为31，n 的最大值为62. 故答案为：62.二、单选题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111272a a +=，则25S =（ ） A ．1452B ．145C ．1752D ．175【答案】D 【分析】结合等差数列的通项公式求得137a =，进而结合等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质即可求出结果. 【解析】因为等差数列{}n a 中，111272a a +=，则()11101217a d a d +=++，即1127a d +=，即137a =，所以()125251325252571752a a S a +===⨯=， 故选：D.14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95S S =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A 【分析】利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【解析】在等差数列{a n }中，由5359a a =，得()()9955115392199555952a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．15．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( ) A ．3 B ．6 C ．17 D ．51【答案】A 【解析】 因为S 17＝1172a a +×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.故选A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a = B ．1514S S > C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值 【答案】C 【分析】对于A 选项，根据89S S =得到9980a S S =-=判断；对于C 选项，根据78S S >得到8870a S S =-<判断；对于D 选项，根据109S S >得到101090a S S =->，结合90a =判断； 对于B 选项，根据90a =，0d >，得到10n ≥时，90n a a >=判断. 【解析】对于A 选项，由89S S =可得9980a S S =-=，A 选项正确；对于C 选项，由78S S >可得8870a S S =-<，∴9880d a a a =-=->，C 选项错误； 对于D 选项，由109S S >可得101090a S S =->，且90a =，80a <，0d >，所以，当8n ≤且*n N ∈时，0n a <，且90a =，则8S 与9S 均为n S 的最小值，D 选项正确； 对于B 选项，∵90a =，0d >，当10n ≥时，90n a a >=， 所以，1514150S S a -=>，B 选项正确． 故选：C ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2217n S n n =-，则当n S 取最小值时n 的值为（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5【答案】C 【分析】n S 是n 的二次函数，利用二次函数求最值的条件并结合n 为正整数的条件计算得解.【解析】因22172892172()48n S n n n =-=--，即二次函数2217n S n n =-对称轴174n =，且开口向上，而n *∈N ，于是当4n =时，n S 取得最小值， 所以当n S 取最小值时n 的值为4. 故选：C18．在数列{}n a 中，11a =，且1(21)(21)n n n a n a +-=+，则数列{}1n n a a +⋅的前10项和等于（ ）A ．919B ．1819C ．1021D ．2021【答案】C 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而结合裂项相消法即可求出结果. 【解析】因为1(21)(21)n n n a n a +-=+，所以12121n n a n a n +-=+， 则121232112325272112121325212121n n n n n n n a a a a n n n a a a a n n a a n n --------⨯=⋅⋅⋅⋅----⨯-⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，所以()()11111212122121n n a a n n n n +⋅⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列{}1n n a a +⋅的前10项和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C.19．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为n S （n *∈N ），有下列叙述： （1）若414S S =，则必有190S <； （2）若3130a a +>，则必有150S >；（3）若1011S S >，则必有1112S S >.其中叙述正确的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）【答案】D 【分析】对于（1）:由414S S =，得到1180a a +=，0d <，进而求出190a <，而1919S a =，即可判断； 对于（2）直接得到115313a a a a +=+，利用等差数列前n 项和公式即可判断； 对于（3）先判断出110a <， 0d <,可以求出120a <，即可得到1112S S >. 【解析】对于（1）若414S S =，则有56140a a a +++=，则有9100a a +=，所以1180a a +=，所以()1181918191919182a a S S a a a +=+=+=. 因为1180a a +=，10a >，所以181170a a d =+<，所以0d <，所以19180a a d =+<， 所以19190S a =<.故（1）正确.对于（2）若3130a a +>，则有1153130a a a a =++>，所以()115150152S a a +=>.故（2）正确；对于（3）若1011S S >，则有1111101100a S a d S =-=+<，因为10a >，所以0d <, 所以12110a d a =+<，所以1212110a S S -=<,即1112S S >.故（3）正确. 故选：D 20．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,n p p p ⋯⋯的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++=（ ）．A ．111B ．910 C ．1112D ．1011【答案】D 【分析】根据数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，得到12(21)n n a a a n n S ++⋯+=+=，进而求得n a ，n b ，得到11111n n b b n n +=-⋅+，利用裂项相消法求解.【解析】由已知得12121n na a a n =++⋯++，∴12(21)n n a a a n n S ++⋯+=+=， 当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-， 验证知当1n =时也成立， ∴41n a n =-， ∴14n n a b n +==， ∴11111n n b b n n +=-⋅+∴12231011111b b b b b b ++⋯+ 1111112231011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．故选：D ．三、解答题21．已知在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，216S =，且3478a a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）()112n a n n *=-∈N ；（2）2210,51050,6n n n n n T n n n n **⎧-+≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且． 【分析】（1）利用等差数列前n 项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列{}n a 的通项公式；（2）当5n ≤时，0n a >；当6n ≥时，0n a <，根据等差求和公式可求解． 【解析】（1）由216S =，3478a a a a =，得()()()()111112162367a d a d a d a d a d +=⎧⎨++=++⎩，解得192a d =⎧⎨=-⎩，所以等差数列{}n a 的通项公式为()112n a n n *=-∈N ．（2）当5n ≤时，2121210n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==-+．当6n ≥时，1212567n n n T a a a a a a a a a =+++=+++----2521050n S S n n =-=-+．故2210,51050,6n n n n n T n n n n **⎧-+≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且． 22．等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =-，前n 项和为n S ． （1）若55S =-，求1a 的值；（2）若n n S a ≤对任意正整数n 均成立，求1a 的取值范围． 【答案】（1）11a =；（2）(],0-∞． 【分析】（1）根据等差数列的前n 项和公式，即可求解1a ；（2）代入等差数列的通项和前n 项和公式，变形为()12102n n a -⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭对任意正整数n 均成立，再求1a 的取值范围. 【解析】（1）由题意知1d =-， ∴()51545152S a ⨯=+⨯-=-， ∴11a =．（2）()1111n a a n d a n =+-=+-， ()21111222n n n n S na d a n -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，由n n S a ≤对任意正整数n 均成立，得2111122n a n a n ⎛⎫-++≤+- ⎪⎝⎭对任意正整数n 均成立，即()12102n n a -⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭对任意正整数n 均成立，当1n =时，上式恒成立； 当2n ≥时，122n a -≤， 又当2n =时，22n -取得最小值0，∴10a ≤． ∴1a 的取值范围为(],0-∞．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n a a n =+，1177S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知lg1nn n a b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2m T >，求整数m 的最小值． 【答案】（1）1n a n =+；（2）100． 【分析】（1）根据已知求出1d =，12a =，即得解； （2）求出1lg n n b n+=，得lg(1)n T n =+，化简2m T >即得解. 【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，令1n =，则211a a =+，即1d =． 又1111110111772S a ⨯=+⨯=，解得12a =．所以2(1)1n a n n =+-=+． （2）由（1）得1lgn n b n +=，则231lg lg(1)12n n T n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪⎝⎭．又2m T >，所以lg(1)2m +>，解得1100,99m m +>∴>， 故整数m 的最小值为100．24．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足()241n n S a =+．（1）证明：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）21nn +． 【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，由1444-=-n n n a S S 整理得到12n n a a --=，结合1n =时，求得11a =，利用等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知21n a n =-，得到11111()22121n n n b a a n n +==-⋅-+，结合裂项法，即可求解.【解析】（1）由题意，数列{}n a 的各项均为正数，且满足()241n n S a =+．当2n ≥时，()()222211114441122n n n n n n n n n a S S a a a a a a ----=-=+-+=+--，可得2211220n n n n a a a a -----=，即()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以12n n a a --=，当1n =时，()2111414S a a =+=，解得11a =． 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以数列{}n a 是等差数列为21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，可得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以121111111[()()()]21335212121n n nT b b b n n n =+++=-+-++-=-++. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，6742021a =，()()612n n n S a a =++，*N n ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足152n n n b b a --=+，2n ≥，*N n ∈，192b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =-；（2）()()1232312n n T n n +=-++. 【分析】（1）令1n =可求得11a =或12a =，当2n ≥时，可得2111623n n n S a a ---+=+与已知条件两式相减可得{}n a 是等差数列，再由6742021a =可确定1a 的值，进而可得{}n a 的通项公式； （2）利用累加法以及等差数列求和公式可得n b ，进而可得1nb ，利用裂项求和即可求解. 【解析】（1）()()261232n n n n n S a a a a =++=++，当2n ≥时，可得2111623n n n S a a ---+=+，两式相减可得2211336n n n n n a a a a a ---+-=，化简得()()()1113n n n n n n a a a a a a ---+-=+. 因为0n a >，则10n n a a -+≠， 所以13n n a a --=，故数列{}n a 是以3为公差的等差数列.在2632n n n S a a =++中，令1n =，2111632a a a =++，即211320a a -+=，可得11a =或12a =.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，674367422020a =⨯-=，不符合题意； 当12a =时，()23131n a n n =+-=-，6742021a =，符合题意. 综上所述：31n a n =-. （2）因为152n n n b b a --=+，所以12152n n n b b a ----=+， 23252n n n b b a ----=+，…21252b b a -=+，累加可得：()1122512n n n n b b a a a a n ---=+++⋅⋅⋅++-， 故()()()()112313255912122222n n n n n n b S a n b n +-+=-+-+=-+-+=（2n ≥），经检验192b =也满足上式，所以()322n n n b +=， 则()121113232n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.所以1111111113324352n T n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111113212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ ()()1232312n n n +=-++. 26．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2-2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n .【答案】（1）a n =10-2n ；（2）2*2*9,5,,940,5,n n n n n S n n n n ⎧-≤∈=⎨-+>∈⎩N N . 【分析】（1）判断数列{a n }为等差数列，从而得出其通项公式； （2）由a n =0得出数列{a n }的正负项，再由求和公式得出S n . 【解析】解（1）∵a n +2-2a n +1+a n =0， ∴a n +2-a n +1=a n +1-a n =…=a 2-a 1.∴{a n }是等差数列且148,832a a d ==+= ∴d =-2，a n =a 1+（n -1）d =10-2n . （2）∵a n =10-2n ，令a n =0，得n =5. 当n >5时，a n <0； 当n =5时，a n =0； 当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a 5-（a 6+a 7+…+a n ） =S 5-（S n -S 5）=2S 5-S n ()()25808102294022n n n n ++-=⨯-=-+ 当n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =9n -n 2.2*2*9,5,,940,5,n n n n n S n n n n ⎧-≤∈∴=⎨-+>∈⎩N N 27．数列{}n a 中，27a =且()*24n n S na n n N =+∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：()*2222123111111393n n N a a a a n +++⋅⋅⋅+<-∈+.【答案】（1）31n a n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）令1n =可求得1a ；当2n ≥时，由n a 和n S 的关系可整理得到()2123n n n a a a n --+=≥，由此证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果；（2）将问题转化为证明()2222111111471039331n n +++⋅⋅⋅+<-++，利用放缩法可得到()()()211323131n n n <-++，采用裂项相消法不等式右侧的和可得结论.【解析】（1）在24n n S na n =+中，令1n =，则1124a a =+，解得：14a =； 当2n ≥时，由24n n S na n =+得：()()112141n n S n a n --=-+-，两式相减得：()1214n n n a na n a -=--+，即()()()121402n n n a n a n ----+=≥，()()()1232403n n n a n a n --∴---+=≥，两式再相减得：()()()1222420n n n n a n a n a -----+-=，即()2123n n n a a a n --+=≥，∴数列{}n a 为等差数列，又27a =，∴公差3d =，()43131n a n n ∴=+-=+. （2）要证()*2222123111111393n n N a a a a n +++⋅⋅⋅+<-∈+，即证()2222111111471039331n n +++⋅⋅⋅+<-++ ()()()21111132313323131n n n n n ⎛⎫<=- ⎪-+-+⎝⎭+，()222211111111111471031447323131n n n ⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭+11111331393n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， 即()*2222123*********n n N a a a a n +++⋅⋅⋅+<-∈+. 28．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．【答案】（Ⅰ）生成列为0,1,2,1,4,3--；母列为3,2,4,1,6,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据所给定义计算可得；（Ⅱ）设1a ，2a ，⋯，n a 的生成列是1b ，2b ，⋯，n b ；1a '，2a '，⋯，n a '的生成列是与1b '，2b '，⋯，n b '，从右往左数，设排列1a ，2a ，⋯，n a 与1a '，2a '，⋯，n a '第一个不同的项为k a 与k a '，由满意指数的定义可知i a 的满意指数，从而可证得且k k a a ≠'，于是可得排列1a ，2a ，⋯，na 和1a '，2a '，⋯，n a '的生成列也不同． （Ⅲ）设排列1a ，2a ，⋯，n a 的生成列为1b ，2b ，⋯，n b ，且k a 为1a ，2a ，⋯，n a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，10b ⇒，20b ，⋯，10k b -，1k b -，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用i a 的满意指数1i b i -，可知整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n n n -+++⋯+-=，从而可使结论得证． 【解析】（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； 排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,na a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '， 即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数． 由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+． 同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-．进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． 所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=， 即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．。
高考数学(理)总复习讲义： 等差数列及其前n项和
第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． 当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5， 又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由． 解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0， 所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0， 即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0， 因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1， 所以{b n }为等差数列， 又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1， 所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1， 知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和， 则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质， 得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二 二次函数法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0， 所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16， 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4， 又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列． 所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立； 当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立． 又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7， 当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。
等差数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料word版
二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★练习题：答案解析：112(1)nna=+-，121nan=-．答案：C25解析：设公差为d，则7311411da a=+++，解得124d=故197111211da a=+++1=，19a∴=．答案：A26解析：原式变形为211(11)n na a++=++，1111n na a+∴+=++{1}na∴+是以1为首项，1为公差的等差数列则11(1)na n+=+-，21na n=-故213131168a=-=．答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。
第2节 等差数列--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节等差数列课标解读考向预测1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.预计2025年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n 项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.必备知识——强基础1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第012项起，每一项与它的前一项的差都等于02同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母03d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A ＝04a ＋b ．提醒：在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{a n }成等差数列⇔a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝05a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝06na 1＋n （n －1）2d ．3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋07(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，则①等间距抽取a p ，a p ＋t ，a p ＋2t ，…，a p ＋(n －1)t ，…为等差数列，公差为td ；②等长度截取S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列，公差为m 2d ；③算术平均值S 11，S 22，S 33，…为等差数列，公差为d2.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(其中p ，q 为常数)也是等差数列．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 与T n ，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的前n 项和S n 是项数为n 的二次函数．()(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ）2.()(4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)(2023·福建福州质检)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝()A ．10B ．20C ．25D ．30答案C解析等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.故选C.(2)(北师大版选择性必修第二册2.2练习3(2)改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a6＝2且S5＝30，则S8＝() A．31B．32 C．33D．34答案B解析解法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝8×（6＋2）2＝32.故选B.解法二：设等差数列{a n}的公差为d，1＋5d＝2，a1＋5×42d＝30，1＝263，＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.故选B.(3)(2022·全国乙卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．答案2解析由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．答案820解析设第n排的座位数为a n(n∈N*)，数列{a n}为等差数列，其公差d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a1＋a20）2＝20×（22＋60）2＝820.(5)已知数列{a n}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________．答案12解析a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，则a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12.考点探究——提素养考点一等差数列基本量的运算例1(1)已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝5，S n＝64，则n＝() A．6B．7C．8D．9答案C解析公差d＝a3－a12＝5－12＝2，又S n＝64，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n＋n(n－1)＝n2＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝()A．6B．10C．12D．20答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故选B.(3)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝()A．13B．14C．15D．16答案C解析设等差数列{a n}的公差为d，因为S4＝24，S9＝99，所以a1＋4×32d＝24，a1＋9×82d＝99，即a1＋3d＝12，1＋4d＝11，1＝3，＝2，所以a7＝a1＋6d＝3＋12＝15.故选C.【通性通法】等差数列基本量运算的思想方法方程思想等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可通过方程组达到“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程【巩固迁移】1．(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{a n}中，a3＋a7＝a8＝16，则{a n}的公差d ＝()A．83B．3C ．103D ．4答案A解析因为a 3＋a 7＝a 8＝2a 5＝16，所以a 8－a 5＝3d ＝8，则d ＝83.故选A.2．(2023·湖南名校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 7－a 11＝4，则S 5＝()A ．15B ．20C ．25D ．30答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则2(a 1＋6d )－(a 1＋10d )＝a 1＋2d ＝4，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5×4＝20.故选B.考点二等差数列的性质及其应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质例2(1)(2024·九省联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 7＝6，a 12＝17，则S 16＝()A ．120B ．140C ．160D ．180答案C解析因为a 3＋a 7＝2a 5＝6，所以a 5＝3，所以a 5＋a 12＝3＋17＝20，所以S 16＝（a 1＋a 16）×162＝8(a 5＋a 12)＝160.故选C.(2)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9＝3(a 3＋a 5＋a m )，则m ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6答案C解析因为S 9＝9a 5，所以9a 5＝3(a 3＋a 5＋a m )，所以a 3＋a 5＋a m ＝3a 5，即a 3＋a m ＝2a 5，所以m ＝7.故选C.【通性通法】等差数列项的性质的关注点关注点一项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n＝a p ＋a q关注点二等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质关注点三项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2相结合【巩固迁移】3．(2024·河南杞县模拟)已知项数为n 的等差数列{a n }的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n ＝()A ．48B ．36C ．30D ．26答案B解析由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝10，a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝110，两式相加得6(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝20，又n （a 1＋a n ）2＝360，所以n ＝36.故选B.4．(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各项为定值的是()A ．a 7B ．a 8C ．S 13D ．S 15答案AC解析由题意知a 2＋a 8＋a 11＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＋a 1＋10d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7是定值，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7，是定值．故选AC.考向2等差数列前n 项和的性质例3(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15＝()A ．35B ．42C ．49D ．63答案B解析解法一：由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，∴S 15－21＋7＝28，∴S 15＝42.故选B.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2S 1010＝S 55＋S1515，∴S 15＝42.故选B.(2)已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A ．28B ．29C ．30D ．31答案B解析设等差数列{a n }共有2n ＋1项，则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1，所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.【通性通法】熟练掌握等差数列前n 项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．【巩固迁移】5．(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2018，S20202020－S 20142014＝6，则S 2023＝________．答案8092解析，设其公差为d ，则S 20202020－S 20142014＝6d ＝6，所以d ＝1，所以S 20232023＝S 11＋2022d ＝－2018＋2022＝4，所以S 2023＝8092.6．(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n .若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝________；若S n T n ＝2n －13n ＋1，则a 5b 4＝________．答案11191722解析若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝11a 611b 6＝2×6－13×6＋1＝1119.若S n T n ＝2n －13n ＋1＝2n 2－n 3n 2＋n，则可设S n ＝(2n 2－n )k ，T n ＝(3n 2＋n )k ，所以a 5＝S 5－S 4＝45k －28k ＝17k ，b 4＝T 4－T 3＝52k －30k ＝22k ，所以a 5b 4＝1722.考向3等差数列前n 项和的最值问题例4在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15.求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解解法一(函数法)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，S n ＝20n ＋n （n －1）2·＝－56n 2＋1256n ＋312524.因为n ∈N *，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.解法二(邻项变号法——利用单调性)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，a n ＝20＋(n －＝－53n ＋653.因为a 1＝20>0，d ＝－53<0，所以数列{a n }是递减数列．由a n ＝－53n ＋653≤0，得n ≥13，即a 13＝0.当n ≤12时，a n ＞0；当n ≥14时，a n ＜0.所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.解法三：(邻项变号法——利用性质)：由S 10＝S 15得S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，所以5a 13＝0，即a 13＝0.又d ＝a 13－a 113－1＝－53，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.【通性通法】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法【巩固迁移】7．(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和是S n ，已知S 14>0，S 15<0，则下列说法正确的是()A ．a 1>0，d <0B ．a 7＋a 8>0C ．S 6与S 7均为S n 的最大值D ．a 8<0答案ABD解析因为S 14>0，S 15<0，所以S 14＝14×（a 1＋a 14）2＝7(a 1＋a 14)＝7(a 7＋a 8)>0，即a 7＋a 8>0，因为S 15＝15×（a 1＋a 15）2＝15a 8<0，所以a 8<0，所以a 7>0，所以等差数列{a n }的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a 1>0，d <0，S 7为S n 的最大值．故选ABD.8．(2024·陕西省洛南中学高三月考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝35，a 2＋a 3＋a 4＝39，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案7解析解法一：设数列{a n }的公差为d ，a 1＋d ＝35，2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3（a 1＋2d ）＝39，解1＝19，＝－3，则S n ＝19n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋412n ＋168124.又n ∈N *，∴当n ＝7时，S n 取得最大值．解法二：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝39，∴a 3＝13，∴2a 3－S 2＝(a 3－a 2)＋(a 3－a 1)＝3d ＝－9，解得d ＝－3，则a n ＝a 3＋(n －3)d ＝22－3n ，－3n ≥0，－3（n ＋1）≤0，解得193≤n ≤223，又n ∈N *，∴n ＝7，即数列{a n }的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当S n 取得最大值时，n ＝7.考点三等差数列的判定与证明例5(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解选择条件①③⇒②.已知数列{a n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，所以d＝2a1.因为S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1，所以S n＝n a1(a1>0)，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)．所以数列{S n}是等差数列．选择条件①②⇒③.已知数列{a n}是等差数列，数列{S n}是等差数列，设数列{a n}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，因为数列{S n}是等差数列，所以S1＋S3＝2S2，即a1＋3a1＋3d＝22a1＋d，化简整理得d＝2a1.所以a2＝a1＋d＝3a1.选择条件②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{S n}的公差为d，所以S2－S1＝d，即4a1－a1＝d.所以a1＝d2，S n＝S1＋(n－1)d＝nd，所以S n＝n2d2.所以a n＝S n－S n－1＝2d2n－d2(n≥2)．又a1＝d2也适合该通项公式，所以a n＝2d2n－d2(n∈N*)．a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列．【通性通法】等差数列的判定与证明的常用方法判定方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1通项公式法对任意n∈N*，都满足a n＝pn＋q(p，q为常数)前n项和公式法对任意n∈N*，都满足S n＝An2＋Bn(A，B为常数)证明方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1【巩固迁移】9．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)设{a n}的公差为d.∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.1＋d＝5，1＋3d＝13，1＝1，＝4，∴a n＝4n－3.(2)由(1)知，S n＝n＋n（n－1）2×4＝2n2－n，假设存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列．由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.∴S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，∴数列{S n＋kn}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列．课时作业一、单项选择题1．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()A ．7B ．5C ．3D ．1答案D解析∵{a n }，{b n }为等差数列，∴{2a n －3b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝2a n ＋1－3b n＋1－2a n ＋3b n ＝2(a n ＋1－a n )－3(b n ＋1－b n )＝2d 1－3d 2＝1.故选D.2．(2024·辽宁六校期初考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝20，则S 15＝()A ．150B ．120C ．75D ．60答案D解析由等差数列的性质可知a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝5a 8＝20，所以a 8＝4，S 15＝15（a 1＋a 15）2＝2a 8×152＝15a 8＝60.故选D.3．(2023·陕西宝鸡模拟)已知首项为2的等差数列{a n }的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，则a n ＝()A ．3n －2B ．3n －1C ．3n ＋1D ．3n ＋2答案B解析由题意，n ∈N *，在等差数列{a n }中，首项a 1＝2，设公差为d ，前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，∴－a 1＋a 2＋…－a 29＋a 30＝15d ＝45，解得d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)，即a n ＝3n －1(n ∈N *)．故选B.4．(2023·重庆一诊)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S8S 16＝()A ．18B ．19C ．13D ．310答案D解析解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题设，S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，可得a 1＝52d ，所以S8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝310.故选D.解法二：由题意知S 8＝3S 4，又S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，且S 8－S 4＝2S 4，故S 12－S 8＝3S 4，故S 12＝6S 4，S 16－S 12＝4S 4，得S 16＝10S 4，所以S 8S 16＝310.故选D.5．数列{a n }和{b n }是两个等差数列，其中ak b k (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝()A ．64B ．128C ．256D ．512答案B解析由已知条件可得a 1b 1＝a 5b 5，则b 5＝a 5b 1a 1＝96×192288＝64，因此b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.故选B.6．(2024·漳州检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，记b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2且b n ＋1－b n ＝2，则S 31＝()A ．171B ．278C ．351D ．395答案C解析由b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3－(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)＝a n ＋3－a n ＝2，得a 1，a 4，a 7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a 2，a 5，a 8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a 3，a 6，a 9，…是首项为3，公差为2的等差数列，所以S 31＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(a 2＋a 5＋…＋a 29)＋(a 3＋a 6＋…＋a 30)＝1×11＋11×10×22＋2×10＋10×9×22＋3×10＋10×9×22＝351.故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{T n }()A ．有最大项和最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项和最小项答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1，∴a 5＝－9＋4d ＝－1，则d ＝2.∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11.令a n ＝2n －11≤0，得n ≤5.5.∴当n ≤5时，a n <0；当n ≥6时，a n ≥1>0.∵T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，∴T 1＝－9，T 2＝63，T 3＝－315，T 4＝945，T 5＝－945.当n ≥6时，a n ≥1，∴T n <0，且T n ＋1<T n <0.∴数列{T n }有最大项T 4，无最小项．故选B.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，均有S 6≤S n 成立，则a 17a 9的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．113答案D解析由题意知，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，必有a 1<0，公差d >0，当a 6＝0时，有S 5＝S 6，S 5，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，此时a 6＝a 1＋5d ＝0，即a 1＝－5d ，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝11d 3d ＝113.当a 6<0，a 7≥0，此时a 6＝a 1＋5d <0，a 7＝a 1＋6d ≥0，即－6≤a 1d <－5，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝a 1d ＋16a 1d ＋8＝1＋8a 1d ＋8，又－6≤a 1d <－5，所以2≤a1d ＋8<3，即13<1a 1d ＋8≤12，则83<8a 1d ＋8≤4，所以113<1＋8a 1d ＋8≤5，所以a 17a 9的最小值为113.故选D.二、多项选择题9．(2024·湖南长郡中学月考)已知数列{a n }的通项公式a n3n ＋b ，1≤n ≤8，2n －3，n ≥9，b ∈Z ，则下列说法正确的是()A ．当{a n }递减时，b 的最小值为3B ．当{a n }递减时，b 的最小值为4C ．当b ＝20时，{a n }的前n 项和的最大值为57D ．当b{|a n |}为递增数列答案BCD解析a 8＝－3×8＋b ＞a 9＝－2×9－3⇒b ＞3，∵b ∈Z ，∴b 的最小值为4，∴A 错误，B 正确；当b ＝20时，数列{a n }的前6项为正，第7项开始往后为负，∴前6项和最大，S 6＝6×（17＋2）2＝57，∴C 正确；当n ≥9时，a n ＜0，|a n |＝2n ＋3，数列{|a n |}递增，当1≤n ≤8时，易知数列{a n }递减，当b，a 1＞0，a 2＜0，且数列{|a n |}1|<|a 2|，8|<|a 9|，∴数列{|a n |}递增，∴D 正确．故选BCD.10．(2023·河北邯郸模拟)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则下列说法正确的是()A ．若a 1＝a 5，则a 1＝a 2＝…＝a nB ．若a 5>a 3，则S 1<S 2<…<S nC．若a3＝2，则a21＋a25≥8D．若a4＝8，a8＝4，则S12＝66答案ACD解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝a5，所以a1＝a1＋4d，所以d＝0，则a1＝a2＝…＝a n，故A正确；因为a5>a3，所以a1＋4d>a1＋2d，所以d>0，{a n}为递增数列，但S1<S2<…<S n 不一定成立，如a1＝－2，a2＝－1，a3＝0，S1＝－2，S2＝－3，S3＝－3，故B不正确；因为a21＋a25≥＝2a23＝8，当且仅当a1＝a5＝2时取等号，故C正确；4＝a1＋3d＝8，8＝a1＋7d＝4，＝－1，1＝11，则a12＝a4＋8d＝8－8＝0，得S12＝a1＋a122×12＝66，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·上海奉贤统考一模)已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝15，a4＝1，则a12＝________．答案14解析∵{a n}为等差数列，∴设首项为a1，公差为d，又a7＋a9＝15，a4＝1，a1＋14d＝15，1＋3d＝1 1＝－318，＝138，∴a12＝a1＋11d＝－318＋11×138＝14.12．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…，数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故其前n项和S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.13．(2024·浙江余姚中学质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为________．答案12解析由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝13（a1＋a13）2＝13a7<0，S12＝12（a1＋a12）2＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n的值为12.14．(2023·昆明诊断)已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝4，a n ＋2－a n ＝(－1)n ＋3，则数列{a n }的前10项和为________．答案90解析由题意，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝－1＋3＝2，所以数列{a 2n －1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a 2n －1＝2＋2(n －1)＝2n ；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝1＋3＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4＋4(n －1)＝4n .设数列{a n }的前10项和为S 10，则S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 10)＝5×（2＋10）2＋5×（4＋20）2＝90.四、解答题15．(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．解(1)证明：因为2S nn＋n ＝2a n ＋1，即2S n ＋n 2＝2na n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＋(n －1)2＝2(n －1)a n －1＋(n －1)，②①－②得，2S n ＋n 2－2S n －1－(n －1)2＝2na n ＋n －2(n －1)a n －1－(n －1)，即2a n ＋2n －1＝2na n －2(n －1)a n －1＋1，即2(n －1)a n －2(n －1)a n －1＝2(n －1)，所以a n －a n －1＝1，n ≥2且n ∈N *，所以{a n }是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a 4＝a 1＋3，a 7＝a 1＋6，a 9＝a 1＋8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12，所以a n ＝n －13，所以S n ＝－12n ＋n （n －1）2＝12n 2－252n －6258，所以，当n ＝12或n ＝13时，(S n )min ＝－78.16．(2023·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝11，S 10＝40.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解(1)设等差数列的公差为d ，2＝a 1＋d ＝11，10＝10a 1＋10×92d ＝40，1＋d ＝11，a 1＋9d ＝8，1＝13，＝－2，所以a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .(2)因为S n ＝n （13＋15－2n ）2＝14n －n 2，令a n ＝15－2n >0，解得n <152，且n ∈N *，当n ≤7时，则a n >0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝14n －n 2；当n ≥8时，则a n <0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(a 8＋…＋a n )＝S 7－(S n －S 7)＝2S 7－S n ＝2×(14×7－72)－(14n －n 2)＝n 2－14n ＋98.综上所述，T n n －n 2，n ≤7，2－14n ＋98，n ≥8.17．(2023·江西九所重点中学高三下第二次联考)已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，且函数f (x )在[2，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2018)，则{a n }的前2023项和是()A ．8092B ．4046C ．2023D ．0答案B解析因为函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，于是函数y ＝f (x )的图象关于直线x＝2对称，数列{a n }是公差不为0的等差数列，则数列{a n }是单调数列，又函数f (x )在[2，＋∞)上单调，由f (a 6)＝f (a 2018)得a 6＋a 2018＝4，所以{a n }的前2023项和是a 1＋a 20232×2023＝a 6＋a 20182×2023＝4046.故选B.18．(2023·海口诊断)在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6与a 8互为相反数，S n 为{|a n |}的前n 项和，T n ＝nS n ，则T n 的最小值是________．答案6解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 6＋a 8＝0，a 2＝－5，a 1＋12d ＝0，1＋d ＝－5，1＝－6，＝1，∴a n＝－6＋(n－1)×1＝n－7.由a n≥0得n≥7，由a n≤0得1≤n≤7，∴当1≤n≤7时，S n＝－(a1＋a2＋…＋a n)＝－n（－6＋n－7）2＝－n（n－13）2；当n≥8时，S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a n)＝2S7＋(a1＋a2＋…＋a n)＝42＋n（n－13）2，∴当1≤n≤7时，T n＝nS n＝－n2（n－13）2.对于函数y＝－x3－13x22，y′＝－3x2－26x2，当1≤x≤7时，y′＞0，∴y＝－x3－13x22在[1，7]上单调递增，∴当1≤n≤7时，T1＝6为最小值；当n≥8时，T n＝nS n＝42n＋n2（n－13）2，对于函数y＝42x＋x3－13x22，y′＝42＋3x2－26x2，当x≥8时，y′＞0，∴函数y＝42x＋x3－13x22在[8，＋∞)上单调递增，∴当n＝8时，T8＝176为最小值．综上所述，T n的最小值是6.19．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{a n}的公差为d，且d>1.令b n＝n2＋na n，记S n，T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.解(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，又T3＝b1＋b2＋b3＝2d＋62d＋123d＝9d，∴S3＋T3＝6d＋9d＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝12(舍去)，∴a n＝a1＋(n－1)d＝3n.(2)∵{b n}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即12a2＝2a1＋12a3，∴＝6da2a3＝6d（a1＋d）（a1＋2d）＝1a1，即a21－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴a n>0，又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a 50－99b 50＝99，即a 50－b 50＝1，∴a 50－2550a 50＝1，即a 250－a 50－2550＝0，解得a 50＝51或a 50＝－50(舍去)．当a 1＝2d 时，a 50＝a 1＋49d ＝51d ＝51，解得d ＝1，与d >1矛盾，无解；当a 1＝d 时，a 50＝a 1＋49d ＝50d ＝51，解得d ＝5150.综上，d ＝5150.。
高中数学等差数列典型题型讲解(含解析)
高中数学等差数列典型题型讲解（含解析）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．2专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{an}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。
等差数列经典题
精心整理2.3等差数列经典题型一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a n等于()A．n B．n2C．2n＋1D．2n－1答案 D2A3A．由45．设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是() A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案 C解析由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7?a7＝0，所以d<0.由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S9<S5.6．已知两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且＝，则使得为整数的正整数n 的个数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析＝＝＝＝＝7＋，∴n＝1,2,3,5,11.二、填空题7．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2－n，(n∈N*)，则通项a n＝________.8由S由S13而a故a又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n＝13时，S n有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此S n的最大值为169.9．在等差数列{a n}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案10解析由已知，a1＋a2＋a3＝15，a n＋a n－1＋a n－2＝78，两式相加，得(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋(a3＋a n－2)＝93，即a1＋a n＝31.由S n＝＝＝155，得n＝10.10．等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和S n取到最小值，则k的值是________．答案10或11解析方法一由S9＝S12，得d＝－a1，由，得，由S得S但n11(1)(2)解(2)所以当n＝5时，S n取得最大值．12．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.解由S2＝16，S4＝24，得即解得所以等差数列{a n}的通项公式为a n＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝S n＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－a n＝2S5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故T n＝?n≤5?，,n2－10n＋50?n≥6?.))能力提升13．数列{a n}的前n项和S n＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是() A．S n>na1>na n B．S n>na n>na1C．na1>S n>na n D．na n>S n>na1答案C解析：方法一由a n＝?n＝1?,S n－S n?n≥2?))，－1∴a∴∵S n∴na1∴14(1)(2)解(2)而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{a n}的前6项和S6最大．1．公式a n＝S n－S n－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由S n求通项公式a n＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，S n取得最大值；当a1<0，d>0，时，S n取得最小值．3．求等差数列{a n}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{a n}的正负项的分界点．。
高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练(讲义及答案)及答案
高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练(讲义及答案)及答案一、等差数列多选题1．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =- B ．23n a n =+ C ．223n S n n =- D ．24n S n n =+解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.4．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 5．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a < 解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.6．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 7．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.8．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+- B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin 2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC9．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0 B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 10．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确；由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.11．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小 B ．130S =C ．49S S =D ．70a =解析：BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.12．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a >B ．6S 最大C ．130S >D ．110S >解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=，所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD14．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．题目文件丢失！16．题目文件丢失！ 17．题目文件丢失！18．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.19．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC20．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列{}na 也是等差数列解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}n a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.。
等差数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版
答案：4
3 | 10
[数列]
例 13
已知数列{an} 的前
n
项和为
Sn
，且满足
a1
1 2
， an
2SnSn1(n
2)
．（1）求
证：数列
{
1 Sn
}
是等差数列；（2）求
S
n
和
an
．
（1）证明：由递推关系，可知 Sn 0 ，当 n 2 时， an Sn Sn1 2SnSn1
两边同除以 SnSn1 得
解析： a1 5 ， d (9) (5) 4 ，an 5 4(n 1) 4n 1 令 401 4n 1，解得 n 100 ，即 401是这个数列的第 100 项．
答案：是
{an} 是首项 a1 1，公差 d 3 的等差数列，如果 an 2005 ，则序号 n 等于（ ） 例4
A．667
24 24
8d 9d
0 0
，解得 3
d
8 3
．
答案：[3, 8) 3
4．等差数列的性质 （1）等差数列{an} 的第 m 项为 am ，则 an am (n m) d ．★ 例如： a8 a1 7d a2 6d a3 5d a10 2d ． （2）若 m n p q ，则 am an ap aq ，若 m n 2 p ，则 am an 2ap ．★ 例如： a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 2a5 ， a1 an a2 an1 a3 an2 ． （3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak , akm , ak2m , 组成公差为 md 的等差数列． 例如： a1 , a3 , a5 , a7 , , a2n1 , 组成公差为 2d 的等差数列； a5 , a10 , a15 , a20 , , a5n , 组成公差为 5d 的等差数列． （4）{an} 是公差为 d 的等差数列，则{kan b}也是等差数列，公差为 kd． （5）{an} ,{bn}都是等差数列，则{an bn},{pan qbn} 也是等差数列．
6.2等差数列典型例题及详细解答
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.故选A.(2)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值， 最小值S 12＝S 13＝13(a 1＋a 13)2＝－130.思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． ②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)－110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *； (2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.2．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8D ．8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C.6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.10．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？ 解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1)，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7， 即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)， 经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列， 故c ＝－12.。
高考数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)及解析
一、等差数列选择题1．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B3．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．9解析：A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A4．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18 B ．19C ．20D ．21解析：B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B.5．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11C ．10D ．9解析：D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6C ．7D ．8解析：A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A7．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320解析：C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
高考数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)附解析
一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10 BC ．64D ．4解析：D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D.2．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 解析：C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C3．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.4．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m na a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 解析：D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S > D ．70S <，且80S <解析：A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A .6．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<解析：D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D.7．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19 B ．20C ．21D ．22解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 8．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B9．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max 22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A10．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ．11．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5SC ． 6SD ． 7S解析：B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 12．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．1112解析：C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =.设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C13．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 解析：C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B.15．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100C ．90D ．80解析：C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C二、等差数列多选题16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.17．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.19．题目文件丢失！20．题目文件丢失！21．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】 利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）A ．12d = B ．12d =- C ．918S = D ．936S =解析：BD【分析】 由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．【详解】因为1937538a a a a +=+=+=，所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ） A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为12 解析：ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确； 对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.24．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S < 解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ） A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。
高三数学 等差数列选择题专项训练(讲义及答案)附解析
一、等差数列选择题1．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a += B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=解析：B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B.2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43nn n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14nb==，所以201220T b b b=++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得221114n na a+-=，从而数列21na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求na=，14nb==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A．3、8、13、18、23 B．4、8、12、16、20C．5、9、13、17、21 D．6、10、14、18、22解析：C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a==，则712514716a ad--===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21.故选：C4．在等差数列{}n a中，()()3589133224a a a a a++++=，则此数列前13项的和是（）A．13 B．26 C．52 D．56解析：B【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a+=，891371013103a a a a a a a++=++=，因为()()3589133224a a a a a++++=，可得410322324a a⨯+⨯=，即4104a a+=，故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a aS++⨯====.故选：B.5．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11C ．10D ．9解析：D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107C ．109D ．105解析：B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100解析：B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．103解析：D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =. 又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.10．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．9解析：C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C11．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．6227解析：D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】 由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12C ．23D ．24解析：C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C.13．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．14解析：C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14解析：C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C二、等差数列多选题16．题目文件丢失！ 17．题目文件丢失！18．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.19．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列{}na 也是等差数列解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.20．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 有最大值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.21．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0nS <时，26n ≥解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.22．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==， 此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <解析：AC【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题24．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列 解析：AD【分析】 利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题25．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c 可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.。
高中数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)附解析
一、等差数列选择题1．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a += B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=解析：B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B.2．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019 B ．4040C ．2020D ．4038解析：B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=．4．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9 B ．5C ．1D ．59解析：B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21 B ．15C ．10D ．6解析：C根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C.7．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6C ．7D ．8解析：A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 解析：D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.9．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸 D ．二丈二尺五寸解析：D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161C ．141D ．151解析：B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12C ．23D ．24解析：C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C.13．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38C ．40D ．58解析：A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A.14．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13C ．26D ．162解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.15．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180C ．200D ．220解析：B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B二、等差数列多选题16．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC17．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 18．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =-B ．201912a =C ．332S = D ． 2 01920192S =解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．19．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.21．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa aa aa a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn kn a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.22．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S 解析：BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案． 【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==， 因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大， 故选：BD ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.24．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c 可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.25．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．。
高中数学等差数列多选题专项训练(讲义及答案)含答案
高中数学等差数列多选题专项训练(讲义及答案)含答案一、等差数列多选题1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ）A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a == 所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.2．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 0a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．3．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S < 解析：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 5．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =- D ．24n S n n =+解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.7．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为214- D ．{}n a 为单调递增数列解析：AD 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题8．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.9．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题. 10．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0nS <时，26n ≥解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.11．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4， ∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题12．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.13．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.14．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列{}na 也是等差数列解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为12解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d dS n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d dS na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=，所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD17．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T解析：AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈. 18．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0 解析：ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题19．题目文件丢失！20．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥ 解析：BC【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--， 解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC。
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等差数列讲义：选填经典题型一、单选题 1．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)23n n --+B ．(1)32nn -+C ．1(1)32n n --+D ．(1)23nn -+2．在等比数列{a n }中，“a 2＞a 1”是“{a n }为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．下列关于等差数列和等比数列的叙述正确的是（ ） A ．若非常数列{}n a 为等差数列，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也可能是等差数列 B ．若非常数列{}n a 为等比数列，则{}2na 不可能是等差数列C ．若数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-()a R ∈，则数列{}n a 可能是等差数列D ．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则公差d 可能大于零 4．已知数列{}()*n a n N ∈中，11a =，121nn n a a a +=+，则n a =（ ）A ．21n -B ．21nC ．121n - D ．121n + 5．已知0x y >>.将四个数,,x x y x y -+则（ ）A ．当0x >时，存在满足已知条件的,x y ，四个数构成等比数列B ．当0x >时，存在满足已知条件的,x y ，四个数构成等差数列C ．当0x <时，存在满足已知条件的,x y ，四个数构成等比数列D ．当0x <时，存在满足已知条件的,x y ，四个数构成等差数列6．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2423n n n a S a =-+，则n S =( )A ．22n n +B ．22n n -C ．2nD ．22n n +7．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ） A ．58B ．88C ．143D ．1768．设0a >，0b >，lg lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A．B ．3C ．4D ．99．在数列{}n a 中，n a =3n -19，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最小时n =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．已知等差数列{}n a 中，22a =，前5项的和5S 满足51525S <<，则公差d 取值范围为（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,4C ．()1,3D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足10a >，914S S =，则（ ） A ．0d > B ．n S 的最大值为23SC ．120a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为2312．若{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <，且()2013201220130a a a +<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．4027B ．4026C ．4025D ．402413．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足，则15121215,,...,S S S a a a 中最大项为（ ） A ．1515S a B ．11S a C ．99S aD ．88S a14．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前20项和为（ ）A ．210B ．220C ．230D ．24015．数列{}n a 的通项222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470B ．490C ．495D ．51016．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，若11a q =≠，且12310m a a a a a =，则m =（ ） A ．19B ．45C ．55D ．10017．在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，2413S S =，则48SS 等于( ) A ．310B ．18 C ．19D ．1318．已知数列{}n a 的前n 项之和241n S n n =-+，则1210a a a ++⋯+的值为( )A ．61B ．65C ．67D ．6819．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切自然数n ，都有1n n S nT n =+，则55a b 等于（） A ．34B ．56C ．910D ．101120．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中:(1) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，也可能成等比数列； (2) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，但不可能成等比数列； (3) 23m m m S S S 、、可能成等比数列，但不可能成等差数列； (4) 23m m m S S S 、、不可能成等比数列，也不叫能成等差数列. 正确的是( ) A ．(1)(3)B ．(1)(4)C ．(2)(3)D ．(2)(4)21．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若100410051a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A ．2007B ．2008C ．2009D ．201022．若{}n a 是等差数列，首项10a >，201420150a a +>，201420150a a ⋅<，则使前n 项和0nS <成立的最小正整数n 是（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．402923．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11518,6115S S a =-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或624．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ） A ．30尺 B ．150尺 C ．90尺 D ．180尺二、填空题25．已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S．若*,n a n =∈N2)n ≥，则数列11{}n n a a +的前15项和为_______． 26．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若124,0,14(2m m m S S S m -+=-==≥且)m N +∈，则m =__________．27．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．28．在数列{}n a 中，2a 5=，()n n 1n a a 2n N*+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______．29．记数列{}n a 的前n 项和为n S 满足142n n S S +=+，且12a =，2log n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =______.30．设数列{}n a 中前n 项的和237n n S a n =+-，则n a =______. 31．若11a =，121(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =_______________.32．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知145a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则2020S 等于______.33．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++==-，则使22110nnnS S +取得最大值时n 的值为 _____________ .34．已知数列{}n a 的前项和为n S ，13a =，()()112nn n a a +=--，则2020S =______.参考答案1．D 由115a =-，排除A ，C ，由217a =，排除B .故选：D .【点睛】本题主要考查了数列通项公式的判定与排除法的运用，属于基础题. 2．B{}n a 是递增数列，则必有21a a >，必要性满足，若11a =-，22a =，满足21a a >，但2q =-，数列{}n a 不是递增数列，充分性不满足． 应是必要不充分条件，故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3．C对于A ，设数列{}n a 的公差为(),0d d ≠，则111111n n n n n n n na a da a a a a a ++++--==-⋅⋅，由0d ≠、1n n a a +⋅不为定值可知111n na a +-不为定值，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列，故A 错误； 对于B ，若()1nn a =-，则21n a =，此时{}2na 为等差数列，故B 错误；对于C ，若1a =，则110n S =-=，此时0n a =，数列{}n a 是等差数列，故C 正确； 对于D ，设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则()2111222n n n d d a n d a S n n -⎛⎫=+⋅=⋅+- ⎪⎝⎭，若0d >，结合二次函数的图象与性质可知n S 无最大值，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的判断，考查了等差数列前n 项和的函数特性，合理举例、牢记知识点是解题关键，属于中档题. 4．C 在等式121n n n a a a +=+两边取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a ，公差为2的等差数列，则()112121nn n a =+-=-， 121n a n ∴=-.故选：C. 【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查了等差数列定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．D注意到5,4x y =-=时，0x y >>，且,,x y x x y -+9,5,1,3---，构成公差为4的等差数列.由此判断出D 选项正确.故选D. 【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题. 6．D2423,0n n n n a S a a =-+>，当1n =时，2111423a S a =-+，13a ∴=或11a =-（舍去）；当2n 时，2111423n n n a S a ---=-+，2423n n n a S a =-+， 两式相减得：()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+.0n a >， 12n n a a -∴-=，所以数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，221,2n n a n S n n ∴=+=+，故选：D.点睛：本题主要考查数列通项与前n 和之间的关系以及等差数列的通项和前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．B等差数列前n 项和公式1()2n n n a a s +=，481111111()11()111688222a a a a s ++⨯====． 考点：数列前n 项和公式．8．D∵lg4a 与lg2b 的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)559b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 9．C因为319n a n =-，所以数列{}n a 是首项116a =-，公差为3的等差数列， 所以()21335163222n n n S n n n -=-+⨯=-， 令233522y x x =-，易知该函数图象开口朝上，对称轴为直线356x =， 由n *∈N 可得当6n =时，n S 取最小值.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列性质及前n 项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．C 由题可知：()51545455251022S a d d d d ⨯⨯=+=-+=+， 又51525S <<，所以1551025d <+<， 解得13d <<.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和以及公差的范围，关键在于5S 用d 表示，属基础题. 11．C设等差数列的公差为d由914S S =， 可得1198141391422a d a d ⨯⨯+=+， 整理可得1110a d +=，由10a > 所1110d a =-<，即0d <，故A 错误；根据0d <，则数列为递减数列，1110a d +=，即120a =， 则前11项或前12项的和最大，故B 错误；C 正确；()()()11111110221122n n n n n n n a na d na S a n ⎛⎫---⎛⎫=+=+⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1022n n n -->，即2230n n -<，解得023n <<，满足0n S >的最大自然数n 的值为22，故D 错误；故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性，属于基础题. 12．D因为{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <， 所以{}n a 是递减数列， 又因为()2013201220130a a a +<，所以2012201320122013201220130,0,,0a a a a a a ><>+>， 所以()20122013402520134024402440250,02a a S a S +=<=>，所以则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4024.故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13．D115158151502a a S a +==>，()116168916802a aS a a +==+<，所以890,0a a ><，所以81180,,0S S aa >>，后面的项都小于零.由于128128,S S S a a a ，所以最大项为88S a . 考点：等差数列的性质，构造新数列的性质.【点晴】本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和公式，考查数列的单调性.根据等差数列的性质，将已知条件转化为890,0a a ><，这就说明数列的首项是正数，且公差是复数，并且正负交替的项位于第8和第9项，所以构造的新数列中，前面8项是正数，后面7项是负数，所以最大项只有在前8项中产生，然后比较分子分母的单调性可得最大值为第八项. 14．A因为1(1)21nn n a a n ++-=-故()()()()1121121112121n n nn n n a a n a n n ++++=--++=----+-++=()()12121nn a n n -+--++即：()()212121nn n a a n n ++=--++同理可得：()()13112123n n n a a n n ++++=-+++故可得()3214412nn n n n a a a a n ++++++=+--⨯ 令4414243n n n n n b a a a a ---=+++则116n n b b +=+，又110b =，故166n b n =- 故20125151016210S b b b b =+++=⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高. 15．A首先对{}n a 进行化简得22πcosn n a n =，又由2πcos n 关于n 的取值表：可得2πcos3n 的周期为3，则可得22222222230124528293630222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()()222323153922kk k b k k -+-=-+=-， 则()305912 (10104702)S =+++-⨯=，故选A ． 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误. 16．C由题意，正项等比数列{}n a 的公比为q ，且11a q =≠，可得11m m m a a qq -==，101129104550111253a qq a a a q a a +++===，因为12310m a a a a a =，即55m q q =，所以55m =.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 17．A设首项为1a ，公差为d ，2413S S =， 1121463a d a d +∴=+，即132a d =， 则418146663828122810S a d d d S a d d d ++===++，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题． 18．C当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()(22141[1)41125n n n a S S n n n n n -⎤=-=-+----+=-⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=-≥⎨⎩， 据通项公式得1234100a a a a a <<<<<⋯<1210a a a ∴++⋯+()()123410a a a a a =-++++⋯+1022S S =-()2104101221=-⨯+---67=．故选C ．【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和之间的关系式，注意1n =的情况，是一道基础题． 19．C ()()19199595999,922a ab b S a T b ++====，59591199a S b T ∴==， 又∵当9n =时，99910S T =，5959910a S b T ∴==．故选:C ． 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和与通项的关系，判断9n =是解题的关键.20．D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，22m m m S S S m d -=+，2322m m m S S S m d -=+，2222242242232()()2(2)()m m m m m m m m m m S S S m d S m dS m d S S m d m d S S S -=+=++=++≠-，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有232m m m m S S S S -≠-，222m m S S m d =+，2333m m S S m d =+，223m m m S S S -=2242224213()024m m m S m dS m d S m d m d ++=++≠，故(3)错误，(4)正确．即填 (2)(4)． 考点：等差数列的前n 项和，等差数列与等比数列的定义．21．B数列{}n a 为等差数列,若100410051a a <- 所以1004a 与1005a 异号首项10a >,则公差0d <所以100410050,0a a ><则10041005a a >-,所以100410050a a +>由等差数列前n 项和公式及等差数列性质可得 ()()120082008100410052008100402a a S a a +==+> ()()120091005100520091005200920092009022a a a a S a ++===<所以0n S >的最大值为2008S ,即2008n =故选:B【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n 项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.22．D因为等差数列{}n a 中，10a >，201420150a a ⋅<，所以公差0d <，20140a >，20150a <， 因为201420150a a +>，所以()()1402820142040281540284028022a S a a a +==>+， 因为14015292020a a a +<=，所以()140294029402902a a S +=<，根据等差数列的性质可知，4028n ≤时，0n S >；4029n ≥时，0nS <. 故使前n 项和0nS <成立的最小正整数n 是4029.故选：D.【点睛】 本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23．C设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2188222n n n d d S n d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ∴822n S d d n n =+-，得511582836115S S d d d -=+--==-，解得2d =-， ∴222981892224n d d S n n n d n ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由二次函数的性质可得当4n =或5时，n S 取最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.24．C已知等差数列{}13030305,1,(15)90,2n a a a S ==∴=+=，选C. 25．1531因为*,n a n =∈N 2)n ≥，所以11nn n n a -===.1==，所以是首项为1，公差为1n =.所以*121(,n a n n n n =+-=-∈N 2)n ≥.又11a =也满足，所以*21()n a n n =-∈N .所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭. 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前15项和为12231516111111111111111512132352293123131a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强.已知n a 与n S 的关系式，有两种思路：一是由1n n n S S a --=消掉S 得到关于通项的关系式；二是把n a 代换成1n n S S --得到关于求和的关系式.26．5因为10(4)4m m m a s s -=-=--=，12214m m m m a a s s ++++=-=，所以121318m m m m a a a a +++++==，16m a +=，从而公差642d =-=，又1()02m m a a m s +==，所以14a =-，从而1642m a m +==-+，解得5m =，故填5. 27．3116解：11222n n a a a n -+++=，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，2121221n n a a a n --++⋯+=-，又11222n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得551131211612S -==-．故答案为：3116． 【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题。