高中数学讲义微专题54 数列求和(含通项公式与求和习题

微专题54 数列求和问题

数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法 一、基础知识：

1、根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式：()1122

p q n

n a a a a S n n p q n ++=

⋅=⋅+=+ ()

112

n n n S a n d -=+

（2）等比数列求和公式：()

11

1,11,1n n a q q S q a n q ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩

（3）错位相减法：

通项公式特点：n a =等差⨯等比，比如2n

n a n =⋅，其中n 代表一个等差数列的通项公式（关

于n 的一次函数），2n

代表一个等比数列的通项公式（关于n 的指数型函数），那么便可以使用错位相减法

方法详解：以()212n

n a n =-⋅为例，设其前n 项和为n S

① 先将n S 写成n 项和的形式()12

1232212n n S n =⋅+⋅+

+-⋅

② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ()1

2

1232212n n S n =⋅+⋅+

+-⋅

()()23121232232212n n n S n n +=

⋅+⋅+

+-⋅+-⋅ ，发现乘完公比后，对比原

式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减：(

)()1

23

1122222212n n n S n +-=⋅+++

+--⋅ 除了首项与末项，中

间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出n S 即可

()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅

()()114212221221

n n n -+-=+⋅

--⋅-

()13226n n +=-⋅- 所以()12326n n S n +=-⋅+

对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消：

通项公式特点：n a 的表达式能够拆成形如()()n a f n f n k =--的形式（=1,2,

k ），从

而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以()

1

2n a n n =

+为例

① 裂项：考虑()1111222n a n n n n ⎛⎫

=

=- ⎪++⎝⎭

（这里()1f n n =），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的

11

,

1

n n +结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中

()

112

22n n n n -=++，在调整系数使之符合通项公式即可

② 求和：设{}n a 前n 项和为n S

111111111232435

2n S n n ⎛⎫∴=

-+-+-++

- ⎪+⎝⎭

，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中1

1,2

没有消去，负项中11,12n n ++没有消去。 所以()()

1111323

122124212n n S n n n n +⎛⎫∴=

+--=- ⎪

++++⎝⎭

一般来说，裂开的2n 项中有n 个正项，n 个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。

(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例：()61118231n S n =+++

+++

可知通项公式为231n n a n =++，那么在求和的过程中可拆成3部分：2,3,1n

n 分别求和后

再相加

()()()()122211222312321

2

n n n n n S n n n -+=++

++++

++=

+⋅

+-

1

235

2

222

n n n +=++- 2、根据项的特点求和：

如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和

（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n 项和中含多少个周期即可

（2）通项公式为分段函数（或含有()1n

- ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和

（3）倒序相加：若数列{}n a 中的第k 项与倒数第k 项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：

12n n S a a a =+++

11n n n S a a a -=++

+ 两式相加可得：

()()()()121112n n n n n S a a a a a a n a a -=++++

++=+

()

12

n n n a a S +∴=

二、典型例题