高三二轮复习立体几何专题

肥东锦弘中学2014届高考二轮专题复习

专题三 立体几何

一.探索性问题

例1. 如图，在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,P A ⊥底面ABCD ,垂足为A ,P A =AB ,点M 在棱PD 上,PB ∥平面ACM . (1)试确定点M 的位置；

(2)设点N 在棱PB 上,当N 在何处时,使得MN ⊥平面P AC ?

(3)设点E 在棱PC 上，当点E 在何处时，使得AE ⊥平面PBD ？

例2 多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,FD ⊥底面

ABCD ,CD FD EC FD =且,//,M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上一个动点. （1）求该多面体的体积和表面积; (2)求证：GN ⊥AC ；

（3）当FG =GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明.

练习:

1. 如图，在四棱锥S -ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形，

且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：PQ ∥平面SCD ；

（Ⅲ）若SA =SD ，M 为BC 中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．

2. 在四棱锥P —ABC D 中，底面ABCD 是菱形，AC ∩BD =O .

（1）若PD AC ⊥，求证：AC 平面PBD ； （2）若平面P AC ⊥平面ABCD ，求证：PB =PD ；

（3）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM //平面P AD ?若存在，求PC

PM

的值；若不存在，说明理由.

3. 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC1上，已知AB =A C ，AA 1=3，BC = CF =2. (1)求证：C 1E ∥平面ADF ；

(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ?

4. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD =1，E 为CD 中点. （1）求证：B 1E ⊥AD 1；

（2）若二面角A -B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长;

（3）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.

二.图形翻折问题

例1 如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点

,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥

A BCDE '-,

其中A O '=

(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；

(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值. 练习:

1. 如图，在矩形ABCD 中，点E,F 分别在线段AB,AD 上，AE =EB =AF =3

2

FD =4,沿直线EF 将∆AEF 翻着成∆A ＇EF ，使平面A ＇EF ⊥平面BEF .

（1）求二面角A ＇-F D-C 的余弦值；

（2）点M,N 分别在线段FD,BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻着，使C 与A ＇重合，求线段FM 的长.

.

C

O B

D

E

A C

D

O

B

E

'A

图1

图

2

2. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ,如图2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

（3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.

三.传统习题

例1.已知,//,//,βαβαm m l = 求证:m l //.

例2.如图,21,,,,θθααα=∠=∠⊂⊥=POB POA OB A PA O PO 记平面于平面 ,

3θ=∠AOB ,试研究321cos ,cos ,cos θθθ三者之间的关系.

练习:空间中两异面直线l 1和l 2所成角为︒50,那么与l 1和l 2所成角均为︒65角的直线有几条

?

3.