概率论第二讲

第二讲 §2 概率空间 1. 概率函数如何确定随机事件的概率？有这样两种想法。

客观方法：通过观测，统计事件出现的频率。

以值硬币为例：An n f n=。

思考题：以此确定概率有何不足？主观方法：如果硬币是均匀的，就应该假设正反面出现的概率是相同的。

但硬币是否均匀如何判断？事实上这正是许多情况下需要解决研究的问题。

定义（概率公理体系）对给定的样本空间(,)S ℑ，称定义在事件域上的集类函数:[0,1]P ℑ→，:Pr()P A A →，为概率函数，若满足条件， 1）Pr()1S =；2）可列可加性：设事件序列{,1,2,}n A n =互不相容，即i j A A φ=，i j ∀≠，一定有11Pr()Pr()n n n n A A ∞∞===∑。

思考题：为何不能要求一般的可加性，即参与并的事件个数必须是可列的？概率为零的事件与不可能事件是否有区别？ 2. 概率性质 1）Pr()0φ=；此性质可以推知：概率函数具有有限可加性； 2）减法公式：Pr()Pr()Pr()A B A AB -=-； 此性质说明：概率函数是单调增加的函数。

特殊情况：Pr()1Pr()A A =-。

3）加法公式：Pr()Pr()Pr()Pr()A B A B AB =+-； 此公式可推广到有限多个事件并的情形。

4）概率函数的连续性。

a) 若{,1,2,}n A n =是单调增加序列，即1n n A A +⊃，则1Pr(lim)lim Pr()n n n n n A A ∞→∞→∞==；b) 若{,1,2,}n A n =是单调减少序列，即1n n A A +⊂，则1Pr(lim)lim Pr()n n n n n A A ∞→∞→∞==；c) 对任意事件序列，1Pr(lim )Pr()lim Pr()n n n k k n kn kn A A A ∞∞∞→∞===→∞==，1Pr(lim )Pr()lim Pr()n n n n k k n kn kA A A ∞∞∞→∞→∞=====。

思考题 用语言描述事件序列的上下极限的直观含义。

§3 古典概型，几何概型概率函数并没有直接给出一个随机事件的概率，只是要求其满足直观的条件。

那么具体问题中，如何确定概率？必须考虑问题的特殊性。

古典概率是比较典型的例子。

1. 古典概型。

如果样本空间和概率函数满足下面的条件，则称该概率问题为古典概率问题， （1）样本空间的元素个数只有有限个；（2）基本事件的概率相等。

具体而言，1{,,}n S e e =，1Pr()Pr()n e e ==。

定理 对古典概型，11Pr()Pr()2n e e ===；#Pr()#AA S=。

这里#A 表示集合A 中元素的个数。

所以，古典概型问题就转化为计数问题。

2. 排列组合 计数的两个基本原理 1） 加法原理； 2） 乘法原理。

典型的排列组合问题1. Sampling with replacement and with ordering (m balls labeled within the urn) Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, recording the numbers on the balls. Result: n m2. Sampling without replacement and with ordering (m balls labeled within the urn) Draw ()n m ≤ balls sequentially, each ball drawn being left out, recording the numbers on the balls. Result: (1)(1)m m m n --+3. Sampling without replacement and without ordering (m balls labeled within the urn)Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, not recording the numbers on the balls.Result: nm C4. Permutation m balls distinguishable by r groups: 1r m m m =++.Arrange m balls, balls in each group are not distinguishable. Result:1!!!r m m m5. Sampling with replacement and without ordering (m balls labeled within the urn) Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, without paying attention to their order.Result: 11m m n C -+-3. 古典概型计算例子为了叙述问题方便起见，引入随机变量概念，在第二章将详细讨论，这里只是为描述问题方便起见而引入此概念。

定义（随机变量）给定样本空间和相应的事件域：(,)S F 。

称可测函数1:X S R →，为随机变量，这里1R 上的σ域如为Borel 域。

注 随机变量把随机试验的结果与数字相联系。

例 掷硬币，骰子问题中的随机变量，均匀分布。

随机变量的例子：通常定义的函数均是可测的。

定义（随机变量的分布函数）对给定的随机变量，称()Pr{}F x X x =≤为该随机变量的分布函数。

下面给出一些典型的古典概率计算问题。

例题1 （抽样问题）Urn 中共有黑白两种颜色球n 个，其中黑球b 个，白球n b -个，随机抽取r 个球。

这里，抽取球的方式有如下两种，a)（无放回抽样）同时随机抽取r 个球；或每次随机抽取，但抽出的球不放回； b)（有放回抽样）每次随机抽取一球，随后放回，再抽取第二个球，共进行r 次抽样。

如果以随机变量X 记录抽到黑球的个数。

分别计算Pr{}X m =的概率。

解 a) 显然，概率不为零时，要求min{,}m r b ≤，且则Pr{}0X m ==。

在m b ≤是，Pr{}m r mb n brnC C X m C --==； 而如果是逐个不放回抽取，结果是一样的：(1)()()[()()1]Pr{}(1)bb m n b n b n b r m X m n n r -+-----+==-+。

但样本空间是不同的。

但整个样本空间的元素个数和事件元素个数是同比例扩大和缩小。

b) 有放回时，则0,1,,m r =，此时()Pr{}1mr mm r mm m r r r b n b b b X m C C n n n ---⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

例2 （盒子模型，生日问题，p.21）例3 （配对问题，p.34）参加某聚会的n 个人都向房子中央扔出自己的帽子。

充分混合后，个人随机地抽取帽子。

问 1） 没有一个人选到自己帽子的概率是多少？ 2） 恰好有k 个人选到自己的帽子的概率是多少？ 解 1） 记事件“第i 个人选择自己的帽子”为i E ，则1111()(1)()nnj j i n j i j P E C P E E -===-∑。

而1()!()!j n j P E E n -=。

所以，1111()(1)!n n j i i j P E j -===-∑。

即得要求的事件的概率为：111(1)1()1!j nni i j P E j -==--=-∑。

2） 在1）解决后，较容易。

该事件必须两个事件k B =“有k 个人拿到自己的帽子”和k C “其余n k -个人没有拿到自己的帽子”同时发生。

因此22()!111Pr()Pr()Pr(|)(1)(1)!!!!k n kn k i i n k k k k k i i n k C B C B C B n i k i --==-==⨯-=-∑∑。

4. 几何概型。

这里讨论不要求元素个数的有限，但仍保留等可能性假设的一个概率问题：区间上的均匀分布。

样本空间：[,]S a b =，事件域：ℑ为Borel 集。

其上的概率函数由[,]S a b =上的测度函数{(,]}c dm c d b a-=-确定。

思考题：把均匀分布推广到平面上。

习题1.21. 除代数方法，希望能用排列组合的方法给出证明。

2. 如果不能区分两枚硬币，则问题有何不同，还是古典概型吗？得到的结果是否相同？在两枚硬币可以区分时，用概率性质来做。

如果1A 表示事件“第一枚硬币是正面”，2A 表示事件“第二枚是正面”。

则需要计算的事件概率为12121213()()()()144P A A P A P A P A A =+-=-=。

（所以在引入事件独立性和条件概率这些概念后，问题更容易计算）3. 需要把问题明确。

如何随机地选取一个证整数？基本事件和样本空间是什么？例如,{(,)}m n S e m n ==，一般的想法应该是每个事件是等可能发生的，但样本空间是可列的，所以,Pr{}0m n e =。

所以，在此模型下，无法考虑问题。

如果先限定所取的数有限：,m n N ≤，此问题的解：022(1)22()1N N N P A N ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-；022(1)22()N N N P A N ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=。

则011lim ()lim ()2N N N N P A P A →∞→∞==，但已改变了问题。

应该考虑事件域是什么。

如果确实能构造这样的概率空间(,,)S P F ，且0A ∈F ，1A ∈F ，01()()P A P A =，那么由于01A A S =，01A A φ=，所以，01()()1/2P A P A ==。

最简单的构造方法，是01{,,,}S A A φ=F ，但这样此问题就没有意义了。

此问题值得探索。

下面是从随机过程出发的一个论述。

If we solve the problem in the set {1,,}n , a random variable can be defined:1n X ⎧=⎨⎩, if the selected number is even, 0n X =, otherwise, 1n X =.The probability space,{1,,}n S n =,10{,,{21,0,,},{2,1,,}}22n n n n n n S A k k A k k φ⎡⎤⎡⎤==+===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F , 02Pr{}n n A n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=, 102Pr{}1n A n⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-.(21)0n X k +=, (2)0nX k =.1122()(1)()22nitXit it n n n t Ee e t e n n φφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==+-→=+. That means , the series {,1}n X n ≥ convergences in distribution to X . The probability space: 1n n S S N ∞===;10{,,,,1,2,,{1,3,5,,},{2,4,6,}}n n S A A n φ==F .Hence, we will find exactly the meaning of the random process.16. 2#(531)S =⨯⨯，#531421A =⨯⨯⨯⨯⨯。