概率论第二讲

第二讲 §2 概率空间 1. 概率函数

如何确定随机事件的概率？有这样两种想法。 客观方法：通过观测，统计事件出现的频率。 以值硬币为例：A

n n f n

=

。 思考题：以此确定概率有何不足？

主观方法：如果硬币是均匀的，就应该假设正反面出现的概率是相同的。 但硬币是否均匀如何判断？事实上这正是许多情况下需要解决研究的问题。 定义（概率公理体系）对给定的样本空间(,)S ℑ，称定义在事件域上的集类函数

:[0,1]P ℑ→，:Pr()P A A →，

为概率函数，若满足条件， 1）Pr()1S =；

2）可列可加性：设事件序列{,1,2,}n A n =互不相容，即i j A A φ=，i j ∀≠，一定有

1

1

Pr(

)Pr()n n n n A A ∞

∞===∑。

思考题：为何不能要求一般的可加性，即参与并的事件个数必须是可列的？概率为零的事件与不可能事件是否有区别？ 2. 概率性质 1）Pr()0φ=；

此性质可以推知：概率函数具有有限可加性； 2）减法公式：Pr()Pr()Pr()A B A AB -=-； 此性质说明：概率函数是单调增加的函数。 特殊情况：Pr()1Pr()A A =-。

3）加法公式：Pr()Pr()Pr()Pr()A B A B AB =+-； 此公式可推广到有限多个事件并的情形。 4）概率函数的连续性。

a) 若{,1,2,}n A n =是单调增加序列，即1n n A A +⊃，则

1

Pr(lim

)lim Pr()n n n n n A A ∞

→∞→∞

==；

b) 若{,1,2,}n A n =是单调减少序列，即1n n A A +⊂，则

1

Pr(lim

)lim Pr()n n n n n A A ∞

→∞→∞

==；

c) 对任意事件序列，

1Pr(lim )Pr(

)lim Pr(

)n n n k k n k

n k

n A A A ∞

∞∞→∞

===→∞

==，1Pr(lim )Pr(

)lim Pr(

)n n n n k k n k

n k

A A A ∞∞

∞→∞

→∞

=====。

思考题 用语言描述事件序列的上下极限的直观含义。

§3 古典概型，几何概型

概率函数并没有直接给出一个随机事件的概率，只是要求其满足直观的条件。那么具体问题中，如何确定概率？必须考虑问题的特殊性。古典概率是比较典型的例子。 1. 古典概型。

如果样本空间和概率函数满足下面的条件，则称该概率问题为古典概率问题， （1）样本空间的元素个数只有有限个；（2）基本事件的概率相等。 具体而言，1{,

,}n S e e =，1Pr()Pr()n e e ==。

定理 对古典概型，11Pr()Pr()2n e e ===

；#Pr()#A

A S

=。 这里#A 表示集合A 中元素的个数。 所以，古典概型问题就转化为计数问题。 2. 排列组合 计数的两个基本原理 1） 加法原理； 2） 乘法原理。 典型的排列组合问题

1. Sampling with replacement and with ordering (m balls labeled within the urn) Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, recording the numbers on the balls. Result: n m

2. Sampling without replacement and with ordering (m balls labeled within the urn) Draw ()n m ≤ balls sequentially, each ball drawn being left out, recording the numbers on the balls. Result: (1)

(1)m m m n --+

3. Sampling without replacement and without ordering (m balls labeled within the urn)

Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, not recording the numbers on the balls.

Result: n

m C

4. Permutation m balls distinguishable by r groups: 1r m m m =++.

Arrange m balls, balls in each group are not distinguishable. Result:

1!

!!

r m m m

5. Sampling with replacement and without ordering (m balls labeled within the urn) Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, without paying attention to their order.

Result: 1

1m m n C -+-

3. 古典概型计算例子

为了叙述问题方便起见，引入随机变量概念，在第二章将详细讨论，这里只是为描述问题方便起见而引入此概念。

定义（随机变量）给定样本空间和相应的事件域：(,)S F 。称可测函数

1:X S R →，

为随机变量，这里1R 上的σ域如为Borel 域。 注 随机变量把随机试验的结果与数字相联系。 例 掷硬币，骰子问题中的随机变量，均匀分布。 随机变量的例子：通常定义的函数均是可测的。

定义（随机变量的分布函数）对给定的随机变量，称()Pr{}F x X x =≤为该随机变量的分布函数。

下面给出一些典型的古典概率计算问题。