3.4 平面简谐波 波的能量和强度
平面简谐波的能量
大学物理波动学基础第4讲平面简谐波的能量平面简谐波的能量在波的传播过程中, 介质中各质元的能量如何变化？遵循怎样的规律？平面简谐波的能量波动的过程是能量传播的过程.介质中各质点在各自平衡位置附近振动动能介质间相互作用产生弹性形变势能一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量(一)能量设平面简谐波在密度为ρ的弹性介质中沿 x 正方向传播: ϕ = 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=u x t A y ωcos 在 x 处取体积元 ΔV ,质量为Vx S m ∆==∆ρρd当波传到此 ΔV 时, 有⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=∂∂=u x t A t y ωωsin v 所以体积元动能为()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆=∆u x t A V m E ωωρ2222k sin 2121v 经推导(略), 体积元弹性形变势能也为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆u x t A V E ωωρ222p sin 21体积元的总能量为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆+∆=∆u x t A V E E E ωωρ222pk sin (1)能量的传播 (2)(2)周期性的变化(二)能量变化同相位形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）Oxyab(三)振动与波动中能量变化的区别振动: 能量守恒波动: 能量传播过程——时大时小, 不守恒 ——(一)能量密度单位体积内波的能量————能量密度 w :()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∆∆==u x t A V E t x ωωρ222sin ，w w 能量密度的平均值:22021d 1ωρA t T T ==∫w w 机械波的能量与振幅平方, 频率平方以及介质密度成正比.二、波的能量密度 能流密度（二）能流和能流密度能流: 单位时间内垂直于波线方向流过某一面积的能量.uSP w =平均能流：uSP w = 能流密度: 在单位时间内垂直于波线方向的单位面积上通过的平均波的能量.SP I =()u SuS I ⋅=⋅=w w (1)大小:(2)方向:(3)单位：2mW −⋅(4)能流密度也称为波的强度。
10章机械波平面简谐波课件
机械波：机械振动在弹性介质中的传播.
一、机械波的形成：
1、弹性介质和波源——（机械波产生的条件）
弹性介质——由弹性力组合的连续介质。 波源——波源处质点的振动通过弹性介 质中的弹性力，将振动传播出去，从而形成 机械波。波动是振动状态的传播，是能量的 传播，而不是质点的传播。
2.传播
2 k 2
T
0
-
π 2
t 0 x 0 y 0, v y 0
t
y 1.0 cos[t - x - ] m
2
O
y
A
2）求 t 1.0s波形图.
y 1.0 cos[t - x - ] m
2
t 1.0s
波形方程
y 1.0 cos[ π - π x] 2
sin( x)
y/m
-
x) u
0 ]
a
2 y t 2
-2 Acos[(t
-
x) u
0]
二、 波函数的物理意义
y
A cos[ (t
-
x) u
0 ]
Acos[2π( t T
-
x
)
0 ]
1、 当 x 固定时，
波函数表示该点的简谐振动方程
波线上各点的简谐运动图
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
y
-
x) u
0 ]
y
A cos[ (t
x) u
0
]
u 沿 x 轴正向
u 沿x 轴负向
波函数的特征量
y
A cos
(t
-
x) u
0
相速度：单位时间内波传播过的距离
大学物理习题册答案
xO 1A22练习 十三(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)一、选择题1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。
若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ）（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。
解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m )(22(mg kl ),0222 x dt xd弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m sin )(22 (mg kl ),0222 x dtxd2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前2π； （B ）A 落后2π；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。
解：(A)t A x A cos ,)2/cos( t A x B3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T 。
解：(B)振幅矢量转过的角度6/ ,所需时间12/26/T T t , 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31 t x 和)π75.0π50cos(42 t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ）（A ）)π25.0π50cos(2 t x ； （B ）)π50cos(5t x ；（C ）π15cos(50πarctan )27x t； （D ）7 x 。
解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算)cos(21020212221A A A A A 5)25.075.0cos(4324322712)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)25.0sin(3cos cos sin sin 1120210120210110 tg tg A A A A tg5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l 和2l ，且212l l ，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ）（A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。
平面简谐波
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性 说明波线上振动状态的空间周期性
(2) 波形传播的时间周期性
说明波形传播的时间周期性
(3) x 给定，y = y (t) 是 x 处振动方程
(4) t 给定，y = y(x) 表示 t 时刻的波形图
(5) y 给定, x和 t 都
在变化，表明波 形传播和分布的 时空周期性。
二. 横波和纵波
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波； 如柔绳上传播的波。
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波； 如空气中传播的声波。
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
结论
横波
纵波
(1) 波动中各质点并不随波前进； yy
(2) 各个质点的相位依次落后,波
t
动是相位的传播；
x
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
振波动动曲曲线线
三. 波面和波线
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波线 沿波的传播方向作的有方向的线。
波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。 z
y
原点振动方程
O x
t =t’ 时的相位（非初相位）为
即
原点振动方程为 波动方程为
三. 平面波的波动微分方程
由 知
说明 (1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）； (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程； (3) 若物理量是在三维空间中以波
的形式传播，波动方程为右式
大学物理学课件-平面简谐波规律
y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
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第五章 振动与波 基本知识点
o受迫振动振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
受迫振动的频率等于驱动力的频率cos()d A t ψωϕ=+tF F d ωcos 0=当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。
这种现象称为共振。
共振2)若两分振动反相(位相 相反或相差的奇数倍)x即 φ2φ1=(2k+1) (k=0,1,2,…)ox2x1T 2T合成振动3T 22T则A=|A1-A2|, 两分振动相 互减弱, 合振幅最小; 如果 A1=A2，则 A=0t11同方向不同频率简谐振动的合成1、分振动为简单起见，令A1 A2 Ay1 A cos(1t ),y2 A0 cos(2t )2、 合振动y y1 y2 1 2 1 2 y 2 A cos t t cos 2 2 合振动不是简谐振动12当1 、2很大且接近时, 2 1 2 1 令：y A(t )cos t2 1 )t 式中 A(t ) 2 A0 cos( 2 2 1 cos t cos( )t 2随t 缓慢变化 随t 快速变化合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动 当频率 1 和 2 相近时，两个简谐振动的叠加，使得 合振幅时而加强、时而减弱，形成所谓拍现象。
13ψ1 t ψ2 t ψ t拍 拍： 合振动忽强忽弱的现象。
拍频 ：单位时间内强弱变化的次数。
1 拍 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 14波的产生与传播1、波的产生 波：振动在媒质中的传播，形成波。
产生条件：1) 波源—振动物体; 2) 媒质—传播振动的弹性物质.2、机械波的传播机理(1) 波的传播不是媒质中质点的运输, 而是“上游” 的质点依次带动“下游”的质点振动 (2) 某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某处出现——波是振动状态的传播153、机械波的传播特征 波传播的只是振动状态，媒质中各质点并未 “随波逐流”。
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
5-2 平面简谐波的波函数及能量
= (3 ×10 m) cos[4 π t + π] x −2 y = (3 ×10 m) cos[4π(t - ) + π] x 20 −2 = (3 ×10 m) cos(4 πt - π + π) 5
u
8m C
5m A
9m D
oB
x22Leabharlann 第五章 波动物理学
第五版
5-2 平面简谐波的波函数
(3) 写出传播方向上点 、D的运动方程 ) 写出传播方向上点C 的运动方程 的相位比点A 点C 的相位比点 超前 t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2π ( − ) 0 .5s 10 m AC −2 −1 yC = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t + 2 π ]
yO = Acos(ω +ϕ) t
x P 点振动比O点超前了 ∆t = u
y
A
u
P x
x
−A
O
第五章 波动
14
物理学
第五版
5-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为： 点的振动方程（波动方程）
x y = y (t + ∆t ) = A ωt + +ϕ cos o u
t π t π π y 0 = Acos(2π − ) = Acos(2π − ) = A cos(100t − ) T 2 T 2 2
2
18
例2
(m)
4.0 ×10 −2
=20m/s
0.1
0.3
0.5
0.7 (m)
所以波动方程
2π x π = 4.0 ×10-2 cos[100π t + 5π x − π ] y = Acos[ ( t + ) − ] 2 T µ 2
简明大学物理第二版 复件 4-6 平面简谐波
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
平面简谐波
t
t + t
x
x t
T
yx,t Acos[(t x)]
u
uT u
yx,t Acos[2 ( t x )]
T
波数 k 2
y(t, x) Acos[2 ( t x )]
y(t, x) Acos( t kx)
若y0 Acos(t )
yx,t Acos[(t x) ]
u
2能. 量密度 w A2 2 sin2 t x w 1 T wdt 1 A2 2
u T 0
2
11
3. 能流密度(波的强度)
单位时间内通过垂直于波的传播方向的
单位面积的平均能量,称为平均能流密度,
又称为 波的强度 I .
因为 w = wk+wp = 2A2sin2( t- k x)
结论： (1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播，而是相位的传播
(2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(3) 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
2 x
(4) 同相点----质元的振动状态相同
（5）波的传播是波形的传播。波源振动一个周期， 波向前传播一个波形
注意：(1)振动已知的点、原点、振源的区别
(2)波速不是质点振动的速度 4
波函数
yx,t Acos[(t x)]
u
(1) x 一定， x x0
y
y(t,
x0
)
Acos[(
t
x0 u
)]
O
u
P
x0
x
P处质点的振动方程
y(t) Acos( t 2 x0 )
波动(谐波波函数)
（ x − d）
· d
任一点 P
· x
所以P点的振动表达式为 所以 点的振动表达式为
y = Acos[ω t + ϕ a −
点为原点， 若a点为原点，则： 点为原点
2π
λ
( x − d )]
y = Acos[ω t −
或 或
2π
x y = Acos[ω ( t − ) + ϕ o ] u t x y = Acos[ 2 π( − ) + ϕ o ] T λ
y ( x 0 , t ) = Acos (ω t − kx 0 ) ——x0 点的谐振动方程
• 当时刻 t 确定 = t0，表达式变成 y～x关系 确定t 关系
y( x , t 0 ) = Acos(ω t 0 − kx ) —— t0时刻的波形方程 y u ——波形曲线 波形曲线 o x （t0 时刻空间各 点的位移分布） 点的位移分布） t = t0
ξ
1 4 7
u
10 13
x
8
无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处
个质点受干扰 准备离开自己的 t = 0 第1个质点受干扰 准备离开自己的 平衡位置向正方向振动 平衡位置向正 位置向
1
4
振动 状态
7
ξ =0 υ> 0
10
13
1
π ϕ=− 2
ξ
1ξ
T t= 个质点准备 第4个质点准备 个质点准备…… 4
设介质无限大、 设介质无限大、无吸收
y
点a
u x x
任意一点P坐标为 坐标为x 解：任意一点 坐标为 P点：A、ω 均与a 点的相同，但相位落后 的相同，但相位落后 点 、
平面简谐波
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y ( x , t ) y ( x, t ), 说明波线上振动状态的空间周期性
·由质元看：相隔 的两点振动状态完全相同(同相点)。
T
波函数的 其它形式
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y(x, t) A cos[2π (ut x) 0]
讨论 (1) 由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动
的相位差为
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] ( x1 x2 ) u u u
y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s u
(2)质点振动的最大速度?
三. 平面简谐波的波动方程 Differential equation x 由 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 )] u 2 y x 2 知 A cos[ (t ) 0 ] 2 2 y 1 2 y t u 2 2 2 2 2 y x A cos[ (t ) ] x u t
x2>x1, Δ<0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质 点的振动； (2) u 实际上是振动相位的传播速度。 t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到 x 1 x 处，则
y (x 1 x ,t1 t ) y (x 1,t1 )
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
波的能量
w
A2
2
sin2 t
x u
平均能量密度: 能量密度在一个周期内的 平均值.
w 1
T
T 0
A2
2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2
2
3. 能流密度
为了描述波动过程中能量的传播情况， 引入能流密度的概念.
单位时间内通过垂直于波动传播方向上单 位面积的平均能量，叫做波的平均能流密度, 也称之为波的强度.
LI
I lg
I0
贝尔（B）
LI
10 lg I I0
分贝（ dB ）
几种声音近似的声强、声强级和响度
声源
引起痛觉的声音 摇滚音乐会
交通繁忙的街道 通常的谈话 耳语
树叶的沙沙声 引起听觉的最弱声音
声强W/m2
1 10-1 10-5 10-6 10-10 10-11 10-12
声强级dB
120 110 70 60 20 10 0
声强：声波的能流密度. I 1 A2 2u
2
能够引起人们听觉的声强范围：
1012 W m2 ~ 1W m2
声强级：人们规定声强 I0 1012W m2（即相
当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声
强）为测定声强的标准. 如某声波的声强为 I ， 则比
值 I I0 的对数，叫做相应于 I 的声强级 LI .
超声波可以用来弄碎肾石, 消毒食物，因为高速的 振动会令细菌难以抵抗. 超声波亦可以用来清除眼镜或 饰物的污垢.
3. 超声电子学 利用超声元件代替电子元件制作在 107 ~ 109 Hz 内的延迟线, 振荡器, 谐振器, 带通滤波器等仪器, 可广 泛用于电视、通讯、雷达等方面.
大学物理课程教学大纲
大学物理》课程理论课教学大纲课程编码：0701002 课程性质：专业必修课学时：48 学分：4 学分适用专业：计算机网络专业动漫软件专业一、课程性质、目的和要求以物理学基础知识为内容的大学物理课是高等学校理科非物理专业学生的一门重要的必修基础课。
物理学是整个自然科学的基础，高等学校中开设物理课的目的是使学生对物理学的内容和方法、工作语言、概念和物理图象、其历史、现状和前沿等方面，从整体上有个全面的了解。
学好大学物理课不仅对学生在校的学习十分重要，而且对学生毕业后的工作和进一步学习相关新理论、新知识、新技术，不断更新知识都将发生深远的影响。
在大学物理课的各个教学环节中，都必须注意在传授知识的同时着重培养能力，使学生初步学习科学的思想方法和研究问题的方法，通过本课程的教学，应使学生初步具备以下能力。
1．能够独立地阅读相当于大学物理水平的教材，参考书和文献资料，并能理解其主要内容和写出条理较清晰的笔记、小结或读书心得。
2．了解各种理想物理模型并能够根据物理概念、问题的性质和需要，抓住主要的因素，略去次要要素，对所研究的对象进行合理的简化。
3．会运用物理学的理论、观点和方法、分析、研究、计算或估算一般难度的物理问题、并能根据单位、数量级与已知典型结果的比较，判断结果的合理性。
二、教学内容、要点和课时安排绪论（ 1 学时）教学目的：1、了解物理学科的性质、研究对象、研究方法。
第一篇力学（ 9 学时）第 1 章质点运动学（ 3 学时）教学目的：1、掌握位置适量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。
能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度。
能借助于极坐标计算质点作圆周运教学重点和难点：1、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，以及它们之间的关系。
1.1参考系坐标系质点1.1.1参考系1.1.2坐标系1.1.3质点1.2质点的位矢、位移和速度1.2.1质点的位置坐标和位置矢量1.2.2运动方程与轨道1.2.3质点的位移1.2.4速度1.2.5速度的分量形式1.3 质点的加速度1.3.1加速度定义1.3.2加速度的分量形式1.3.3圆周运动2 1.4 运动描述的相对性伽利略变换1.4.1运动描述的相对性1.4.2伽利略变换思考题：1、位移和位置矢量有何区别？2、位移和路程有何区别？3、速度和速率有何区别？第 2章牛顿运动定律及牛顿力学中的守恒定律（6 学时）教学目的：1、掌握牛顿运动三定律及其适用范围。
大物上册复习内容
第一章复习一、描述运动的物理量1、描写质点运动的基本物理量（线量）（1）位置矢量：k z j y i x r++=。
（2）位移12r r r-=∆，注意与路程的区别。
（3）速度：dt r d v =，平均速度：t r v ∆∆= ，速率：||||dtrd dt dS v v ===（4）加速度直角坐标系：22dtrd dt v d a ==；平面自然坐标系：n v dt dv n a a a n ρτττττ2+=+= 2、描写刚体定轴转动的基本物理量（角量） （1）角位置θ（2）角位移12θθθ-=∆ （3）角速度dtd θω=（4）角加速度22dtd dt d θωβ==3、圆周运动角量与线量的关系：θ∆=∆R s ； R v ω=； R dtdva βτ==； R R v a n 22ω==。
二、运动方程1、直角坐标系中的运动方程：)(t r r=；2、定轴转动刚体的运动方程：)(t θθ=；3、自然坐标系中的运动方程：)(t s s =；三、轨迹方程四、可能出现的题型：1、根据运动方程求：位移，路程，速度，平均速度，速率，加速度，平均加速度等。
注意判别所求的物理量是矢量还是标量！2、根据加速度或速度以及初始条件求运动方程等。
可能用到的方法：图形面积法；矢量积分法（注意式中各物理量之间的变换，如：dxvdvdx dx dt dv dt dv a ===）。
3、根据运动方程求轨迹方程——消去运动方程中的时间即可。
4、利用匀变速直线运动公式或匀变速转动公式求解有关量。
匀变速直线运动公式：恒量=a ，at v v +=0，20021at t v x x ++=，)(20202x x a v v -=-匀变速转动公式：恒量=β，t βωω+=0，20021t t βωθθ++=，)(20202θθβωω-=-5、n a a a ,,τ的求解（1）直角坐标系中一般可由22dt r d dt v d a ==求出总加速度a，再根据||||dtr d v v ==求出速率，再根据dtdv a =τ求τa ，然后根据22n a a a +=τ求n a ，进而求曲率半径。
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
(完整版)物理学15-波的能量与强度
)0]
体积元内媒质质点动能为
dEk
1 v 2dm 2
1 A2 2 sin2[ ( t
2
x u
) 0 ]dV
体积元内媒质质点的弹性势能等于其动能（证明见后）：
dE p
1 2
A2
2
sin2[ (
t
x u
) 0 ]dV
体积元内媒质质点的总能量为：
dE
dEk
dE
平衡位置处，速度最大，形变最大，动能、势能 和总机械能均为最大。
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
w W A22 sin2 (t x )
V
u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
w 1 T wdt 1 2 A2
T0
2
机械波的能量与振幅的平方、频率的平方成正比， 与介质的密度成正比。
A、A0分别是x 0和x x处的波振幅
是介质的吸收系数
波强的衰减规律：
I I0e 2x
I、I
分别是
0
x
0和x
x处波的强度
*四、声压、声强和声强级 声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。
平面简谐波，声压振幅为
pm uA
声强：声波的能流密度。
I 1 pm 2 1 uA2 2 2 u 2
物理学 15 波的能量与强度
张宏浩
1
5-3 波的能量 *声强
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。
一、波的能量和能量密度
有一平面简谐波
y
Acos[ (
t
波动1简谐波 波方程 波强
=/3=1.05(m)
u= /T=1.67(m/s)
传播方向：沿x 轴负向
y=0.02cos(10t+6x)[SI]
u
也可以根据定义确定和T
0 ：同一时刻在同一波线上
相位差为2的两点间距离
x1
x2
2
t 时刻 x2>x1 = x2–x1
(10 t +6x2) –(10 t +6x1)=2 = x2–x1 = /3
P处质点在 t 时刻的振动状态与 O 处质点在 t 状态完全相同
0.5
0.0
O
P x
0 50 100 150 200
-0.5
x
A
t
时刻的振动
-1.0
O点在 t 时刻的振动状态 O点在
y(0,t) =Acost
t t
的振动状态
y (0, t+x/u)= Acos [ (t+x/u)]
P 处质点在 t 时刻的振动状态，即波函数为
§1 波的基本概念 §2 简谐波 §3 波动方程与波速 §4 波的能量 §5 惠更斯原理 波的衍射 反射和折射 §6 波的叠加 波的干涉与驻波
§7 声波与声强级
§8 多普勒效应
波动：振动的传播（振动状态的传播）
机械波：机械振动在媒质中的传播 如声波、水波、地震波
电磁波：E(t) 、B(t) 在空间的传播 如无线电波、光波、X射线 概率波：描述微观粒子的波动
各种波的本质不同，具有不同的性质， 但形式上具有相同特征和规律。
波长、频率、波速 能量的传播 反射、折射 干涉、衍射
§ 1 波的基本概念
一、机械波的产生与传播
媒质 波源
弹性波—— 一群质点，以弹性力相联系。其中一个质点 在外力作用下振动，引起其他质点也相继振动
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x B
1 y 2 Ek l x( ) 2 t
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
2. 线元Δx的形变势能
线元的长度从静止时的 Δx 变为：
x 2
2 1 2 1 2
o
1 2
2 2 y + y x 1 + x 1 2
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
3） 固体中的横波波速
u
G
G为切变弹性模量。 F切
S
切变
F切 ∵固体中 G < Y ｕ横波<ｕ纵波
F切 x tg S h F切 G S
震中
*
地震时纵波先到达
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
4）气体和液体中的波速 液体和气体内只能传播纵波，不能传播横波。
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
t π （2）A,B两点的相位差 2π T 2 π B点比A点的振动相位落后 2
（3）质点振动速度的最大值
vm A 1103 3000 2π 18.8m/ s
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
结论：波速由弹性媒质性质决定，频率（或周期） 则由波源的振动特性决定。
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
二 平面简谐波的波动式
问题： yo=y(0, t) & u 给定, 求 y=y(x, t)
(假设：媒质无吸收，所有质元振幅均为A) O点的振动方程：
A
y
yo A cost +
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
yB A cos (t t ) + A0 2 π 0.01cos(200πt 200π ) 400 2 3 0.01cos(200πt π)m 2 3 式中 π B 为B点振动的初相 2 x x 3 y A cos (t ) + 0.01cos 200π(t ) π m u 400 2 1 3 π π （2）C 200 π 400 2 3 π B C π ( π) 2 2
u
K
p
K体积弹性模量，为密度。
p
p
V ® V¢
体 变 V
p
第8章 机械振动
V p K V
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
可以证明声波在空气中的速度
u
证：
p
RT
= Cp/Cv , 摩尔质量
由于声振动的频率较高 (20~20000Hz) ，可 以将空气的疏密过程看成绝热过程，把空气当 作理想气体。
例 一平面简谐波以400m/s的波速在均匀介质中沿一直线 从A点向B点方向传播。已知直线上质点A的振动周期为 0.01s，振幅A=0.01m。设以质点A的振动经过平衡位置向 正方向运动时作为计时起点，求 （1）以距A点2m处的B点为坐标原点写出波动式；（2） B点和距A点1m的C点间的振动相位差。
y 0 解 （1）由 y A0 0, vA0 π t 可得 A0 2 A点的振动表达式为 2π π y A A cos( t + A0 ) 0.01cos(200 πt )m T 2
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
讨论
(1)当 x 给定时：若x=x1, 波动式成为x1 处质元的振动式.
初相：
结论：随着x值的增大，即在传播方向上，各质点的 位相依次落后。这是波动的一个基本特征。
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
（2）当 t 给定时：若t=t1, 波动式表示t1 处的波形.
r —— 场点到波源的距离
第8章 机械振动
柱面波
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
例：点波源，各向同性媒质中的波速为 u ，媒质无
吸收，求球面简谐波的波函数 y(r, t) 解：能量守恒
1 I1 2 A12u 2
2 1
1 I 2 2 A2 2u 2
2
S1 r1
o
A1
I1 4πr I 2 4πr2
x y ( x, t ) A cos (t ) + u
y
平面简谐波的波函数
u p
x x
o
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t + u t x A cos 2 π + T 2 πx A cos t +
A
x B
2 y x 1 + x
线元Δx的形变势能近似等于在形 变过程中（弦静止）张力F做的功：
F
F
1 2 2 2 y 1 y E p F x 1 + x F x x 2 x
l 1 Ek E p x l 2 A2 sin 2 t kx 2
k
第8章 机械振动
u
F
l Fk
2
2
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
2 2
4. 波的能量密度
E l x A sin t kx
2
l S
p + k
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
一 波长、频率和波速 波长：沿波的传播方向两 相邻同位相点之间 的距离 1 波数： k
角波数： k 2 π
周期T ：波前进一个波长的 距离所需的时间。 频率 =1/T, 角频 率 ω=2π
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
波速：振动状态（或位相）在空间的传播速度。
y
x y ( x, t1 ) A cos[ (t1 ) + ] f ( x ) u
u
t2 t1 + t
u t x
t1
结论： t1 时刻，x 处质点的振动状态经t 时间传到了 x + ut 处, 表达式反映了波是振动状态的传播.
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
y
原因：同步的原因 速度大时形变亦大
a
b x
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
二 波的强度
1. 能量的传播
e 2 A2 sin2 t kx
1 1 x 2 2 2 2 A A cos 2 t 2 2 u
ε 的圆频率为 2， 传播速度也是波速u. ε
(1/2)2A2
o
第8章 机械振动
x
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
2. 能流密度 S面的能流：
u
P uS
能流密度：
S x u
P J u S
J u
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
3. 波的强度 波的强度：能流密度的时间平均值
u
1 IJ T
T
0
u Jd t T
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
例 频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波 线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点。求 （1）B点的振动比A点落后的时间。 （2）波在A,B两点振动时的相位差是多少？ （3）设声波使介质中的质点作简谐运动，振幅为1mm， 求质点振动的最大速度是否与波的传播速度相等？ 1 1 s 解 （1）波的周期 T 3000 u 1.56 103 波长 0.52m 52cm 3000 x 0.13 1 B点比A点落后的时间 t s 3 u 1.56 10 12000 1 即 T 4
1 p k 2
T
E 2 A 2 sin 2 t kx S x 1 2 2 2 A sin t kx 2
1 1 2 2 dt A T 0 2
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
讨论 1.时间变化：
2 1 2 1 2
A 4πr A2 4πr2
A1 r2 A2 r1
2
S2
r2
A2
点波源 各向同性介质
第8章 机械振动
T
0
dt u
S x u
平面简谐波：
I
2，I
A2
SI : W m2
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
1 2 2 I A 和能量守恒 例：对无吸收媒质：利用 2 可以证明：
平面波 球面波
A const .
1 Ar const .，A r
1 A r const .，A r
P
u
x
A
O
x
P点的振动状态在时间上落后于O点：
第8章 机械振动
x t u
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
或：在 t 时刻 x 点的振动状态 与O点在(t-x/u) 时刻的振动状态相同