3.4 平面简谐波 波的能量和强度

第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
三 波的能量 波的强度 随着波的传播，能量也在传播 波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动
波的能量 = 振动动能 + 形变势能
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波的能量和强度
一 波的能量 1. 线元Δx的动能 以横波为例，设
Dx
o
u A
Dy
y A cos(wt kx)
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波的能量和强度
讨论
(1)当 x 给定时：若x=x1, 波动式成为x1 处质元的振动式.
初相：
结论：随着x值的增大，即在传播方向上，各质点的 位相依次落后。这是波动的一个基本特征。
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（2）当 t 给定时：若t=t1, 波动式表示t1 处的波形.
u

T



k
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1） 绳索中的波速 绳波的传播
u
F

F为张力，为线密度。
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2） 固体纵波波速
u
Y

Y 为杨氏弹性模量。 为体密度。
F l0 l0 + l
F
长变
F Y S 0
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pV = C
u K
g

dV dp K V
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V dp + pV dV 0 dp K V p dV
1
得 得
dp p dV V
p u
RT p
5
RT u
P 1.40 1.013 10 u 332 m / s 1.29
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2
3. 线元Δx的机械能 1 y 2 Ek l x( ) 2 t
1 Ek l x 2 A2 sin 2 t kx 2 1 E p F xk 2 A2 sin 2 t kx 2
1 y E p F x 2 x
y
原因：同步的原因 速度大时形变亦大
a
b x
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二 波的强度
1. 能量的传播
e 2 A2 sin2 t kx
1 1 x 2 2 2 2 A A cos 2 t 2 2 u
ε 的圆频率为 2， 传播速度也是波速u. ε
A
x B

2 y x 1 + x
线元Δx的形变势能近似等于在形 变过程中（弦静止）张力F做的功：
F
F
1 2 2 2 y 1 y E p F x 1 + x F x x 2 x
结论：波速由弹性媒质性质决定，频率（或周期） 则由波源的振动特性决定。
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二 平面简谐波的波动式
问题： yo=y(0, t) & u 给定, 求 y=y(x, t)
(假设：媒质无吸收，所有质元振幅均为A) O点的振动方程：
A
y
yo A cost +
例 一平面简谐波以400m/s的波速在均匀介质中沿一直线 从A点向B点方向传播。已知直线上质点A的振动周期为 0.01s，振幅A=0.01m。设以质点A的振动经过平衡位置向 正方向运动时作为计时起点，求 （1）以距A点2m处的B点为坐标原点写出波动式；（2） B点和距A点1m的C点间的振动相位差。
y 0 解 （1）由 y A0 0, vA0 π t 可得 A0 2 A点的振动表达式为 2π π y A A cos( t + A0 ) 0.01cos(200 πt )m T 2
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yB A cos (t t ) + A0 2 π 0.01cos(200πt 200π ) 400 2 3 0.01cos(200πt π)m 2 3 式中 π B 为B点振动的初相 2 x x 3 y A cos (t ) + 0.01cos 200π(t ) π m u 400 2 1 3 π π （2）C 200 π 400 2 3 π B C π ( π) 2 2
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t π （2）A,B两点的相位差 2π T 2 π B点比A点的振动相位落后 2
（3）质点振动速度的最大值
vm A 1103 3000 2π 18.8m/ s
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弦上x 处质元 Δm=lΔx的动能：
x B
1 y 2 Ek l x( ) 2 t
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2. 线元Δx的形变势能
线元的长度从静止时的 Δx 变为：
x 2
2 1 2 1 2
o
1 2
2 2 y + y x 1 + x 1 2
2 1 2 1 2
A 4πr A2 4πr2
A1 r2 A2 r1
2
S2
r2
A2
点波源 各向同性介质
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3） 固体中的横波波速
u
G
G为切变弹性模量。 F切


S
切变
F切 ∵固体中 G < Y ｕ横波<ｕ纵波
F切 x tg S h F切 G S
震中
*
地震时纵波先到达
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4）气体和液体中的波速 液体和气体内只能传播纵波，不能传播横波。
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一 波长、频率和波速 波长：沿波的传播方向两 相邻同位相点之间 的距离 1 波数： k

角波数： k 2 π

周期T ：波前进一个波长的 距离所需的时间。 频率 =1/T, 角频 率 ω=2π
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波的能量和强度
波速：振动状态（或位相）在空间的传播速度。
y
x y ( x, t1 ) A cos[ (t1 ) + ] f ( x ) u
u
t2 t1 + t
u t x
t1
结论： t1 时刻，x 处质点的振动状态经t 时间传到了 x + ut 处, 表达式反映了波是振动状态的传播.
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波的能量和强度
x y ( x, t ) A cos (t ) + u
y
平面简谐波的波函数
u p
x x
o
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2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t + u t x A cos 2 π + T 2 πx A cos t +
r —— 场点到波源的距离
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柱面波
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例：点波源，各向同性媒质中的波速为 u ，媒质无
吸收，求球面简谐波的波函数 y(r, t) 解：能量守恒
1 I1 2 A12u 2
2 1
1 I 2 Leabharlann Baidu A2 2u 2
2
S1 r1
o
A1
I1 4πr I 2 4πr2

T
0
dt u
S x u
平面简谐波：
I
2，I

A2
SI : W m2
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1 2 2 I A 和能量守恒 例：对无吸收媒质：利用 2 可以证明：
平面波 球面波
A const .
1 Ar const .，A r
1 A r const .，A r
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例 频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波 线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点。求 （1）B点的振动比A点落后的时间。 （2）波在A,B两点振动时的相位差是多少？ （3）设声波使介质中的质点作简谐运动，振幅为1mm， 求质点振动的最大速度是否与波的传播速度相等？ 1 1 s 解 （1）波的周期 T 3000 u 1.56 103 波长 0.52m 52cm 3000 x 0.13 1 B点比A点落后的时间 t s 3 u 1.56 10 12000 1 即 T 4
u
K

p
K体积弹性模量，为密度。
p
p
V ® V¢
体 变 V
p
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V p K V
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可以证明声波在空气中的速度
u
证：
p
RT
= Cp/Cv , 摩尔质量
由于声振动的频率较高 (20~20000Hz) ，可 以将空气的疏密过程看成绝热过程，把空气当 作理想气体。
(1/2)2A2
o
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x
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2. 能流密度 S面的能流：
u
P uS
能流密度：
S x u
P J u S
J u
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3. 波的强度 波的强度：能流密度的时间平均值
u
1 IJ T

T
0
u Jd t T
固定x：εk、εp均随 t 周期性变化
1 p k 2 A2 sin 2 t kx 2
2A2
2 o
T t
x = x0
y 2.空间变化：
固定t：εk 、εp均随
2A2
2
u
t = t0
x 周期分布
o

x
y
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波的能量和强度
3.εk 、εp均随 t 周期性变化，两者同步变化 。
P
u
x
A
O
x
P点的振动状态在时间上落后于O点：
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x t u
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或：在 t 时刻 x 点的振动状态 与O点在(t-x/u) 时刻的振动状态相同
x x y p (t ) yO (t ) A cos (t ) + u u
1 p k 2
T
E 2 A 2 sin 2 t kx S x 1 2 2 2 A sin t kx 2
1 1 2 2 dt A T 0 2
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波的能量和强度
讨论 1.时间变化：
l 1 Ek E p x l 2 A2 sin 2 t kx 2
k
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u


F
l Fk
2
2
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波的能量和强度
2 2
4. 波的能量密度
E l x A sin t kx
2
l S
p + k
(3) 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性
T 时间周期性
空间周期性
位相差:
t t 同一质元在先后时刻的位相差: 2 T x k x 不同质元在同一时刻的位相差: 2
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3.4 平面简谐波
波的能量和强度
沿x轴负向传播的平面简谐波的波动式: