动载荷

第十二章动载荷§12-1 动载荷的概念及其分类1．动载荷的概念前面各章讨论的都是构件在静载荷作用下的应力、应变及位移计算。

静载荷是指构件上的载荷从零开始平稳地增加到最终值。

因加载缓慢，加载过程中构件上各点的加速度很小，可认为构件始终处于平衡状态，加速度影响可略去不计。

动载荷是指随时间作明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。

一般可用构件中材料质点的应力速率（ dt d σσ=∙）来表示载荷施加于构件的速度。

实验表明，只要应力在比例极限之内，应变与应力关系仍服从胡克定律，因而，通常也用应变速率（ dt d εε=∙）来表示载荷随时间变化的速度。

一般认为标准静荷的 min /)~.(3010=∙ε ，随着动载荷 ∙ε 的增加，它对材料力学性能的影响越趋明显。

对金属材料，静荷范围约在 s /~241010--∙=ε ，如果 s /210-∙≥ε ，即认为是动载荷。

2．三类动载荷问题：根据加载的速度与性质，有三类动荷问题。

（1） 一般加速度运动（包括线加速与角加速）构件问题，此时∙ε还不会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。

（2） 冲击问题，构件受剧烈变化的冲击载荷作用。

∙ε 大约在 s /~101 ，它将引起材料力学性能的很大变化，由于问题的复杂性，工程上采用能量法进行简化分析计算。

（3） 振动与疲劳问题，构件内各材料质点的应力作用周期性变化。

由于构件的疲劳问题涉及材料力学性能的改变和工程上的重要性，一般振动问题不作重点介绍，而将专章介绍疲劳问题。

§12-2 构件作等加速运动时的应力计算1．动应力分析中的动静法加速度为 a 的质点，惯性力为其质量 m 与 a 的乘积，方向与a 相反。

达朗贝尔原理指出，对作加速度运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。

这样，可把动力学问题在形式上作为静力学问题处理，这就是动静法。

2．等加速运动构件中的动应力分析下面举例说明动静法在动应力分析中的应用。

例13-1 一钢索起吊重物如图13-1，以等加速度 a 提升。

重物 M 的重力为 P ，钢索的横截面积为A ，钢索的重量与 P 相比甚小而可略去不计。

试求钢索横截面上的动应力 d σ 。

解：钢索除受重力 P 作用外，还受动载荷（惯性力）作用。

根据动静法，将惯性力a gP 加在重物上，这样，可按静载荷问题求钢索横截面上的轴力 d N 。

由静力平衡方程：0=--a g P P N d解得)1(g a P a gP P N d +=+=从而可求得钢索横截面上的动应力为：std std dk ga ga AP AN σσσ=+=+==)1()1(其中AP st=σ是P 作为静载荷作用时钢索横截面上的应力，ga k d +=1是动荷系数。

对于有动载荷作用的构件，常用动系数 d k 来反映动载荷的效应。

此时钢索的强度条件为][σσσ≤=st d d K 其中 ][σ 为构件静载下的许用应力。

3．等角速转动构件内的动应力分析再以匀速旋转圆环为例说明动静法的应用。

例13-2 图13-2中一平均直径为 D ，壁厚为 t 的薄壁圆环，绕通过其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。

已知环的角速度 ω ，环的横截面积 A 和材料的容重 γ ，求此环横截面上的正应力。

解：因圆环等速转动，故环内各点只有向心加速度。

又因为 D t << ，故可认为环内各点的向心加速度大小相等，都等于22ωD a n =沿环轴线均匀分布的惯性力集度 d q 就是沿轴线单位长度上的惯性力，即：221ωγγgD A a gA q n d =⋅⋅=上述分布惯性力构成全环上的平衡力系。

用截面平衡法可求得圆环横截面上的内力d N 。

d N 的计算，可利用积分的方法求得 y 方向惯性力的合力。

亦可等价地将 d q 视为“内压”得：D q R N d d d ⋅==2求得 g D A N d 422ωγ=于是横截面上的正应力 d σ 为： gvgD AN d d2224γωγσ===其中：2ωD v =v 是圆环轴线上点的线速度。

由 d σ 的表达式可知， d σ 与圆环横截面积 A 无关。

故要保证圆环的强度，只能限制圆环的转速，增大横截面积 A 并不能提高圆环的强度。

§12-3 构件受冲击载荷作用时的应力与变形1．工程中的冲击问题：锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 ∙σ 和 ∙ε 。

2．求解冲击问题的能量法：冲击问题极其复杂，难以精确求解。

工程中常采用一种较为简略但偏于安全的估算方法——能量法，来近似估算构件内的冲击载荷和冲击应力。

在冲击应力估算中作如下基本假定：①不计冲击物的变形；②冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统；③构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个构件；④材料服从虎克定律；⑤冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。

在以上假设下，即可利用机械能守恒定律估算冲击应力。

3．杆件受冲击时的应力和变形分析计算模型任一被冲击物（弹性杆件或结构）都可简化成右图所示的弹簧（如图13-3）。

冲击过程中，设重量为 Q 的冲击物一经与弹簧接 触就互相附着共同运动。

如省略弹簧的质量，只考虑其弹性，可简化成单自由度的运动体系。

冲击物与弹簧接触瞬间的动能为 T ；弹簧达到最低位置时体系的速度变为零，弹簧的变形为 d ∆ ，冲击物 Q 的势能变化为：d Q V ∆= （a ）若以 d U 表示弹簧的变形能，由能量守恒定律，冲击系统的动能和势能全部转化成弹簧的变形能：d U V T =+ （b ）设体系速度为零时冲击物作用在弹簧上的冲击载荷为 d P 。

材料服从虎克定律条件下， d P 与 d ∆ 成正比。

故冲击过程中动载荷所做的功为d d P ∆21 ，且有d d d P U ∆21=（c ）若重物 Q 以静载方式作用于构件上，构件的静变形和静应力分别为 st ∆ 和 st σ 。

在动载荷 d P 作用下，相应的冲击变形和冲击应力分别为 d ∆ 和 d σ 。

对于线弹性材料，有比例关系：std std d QP σσ∆∆==（d ）或 st std d std d Q P σ∆∆σ∆∆==,（e ）将（e ）中的 d P 代入（c ）:Q U std d ∆∆221=（f ）将（a ）,（f ）代入（b ）,有：0222=--Q T st d st d ∆∆∆∆解得： )211(stst d Q T ∆∆∆++= （g ）引入冲击动荷系数 d k ： ststd d Q T k ∆∆∆211++== （h ）于是有：st d d d d st d d k Q k P k σσ∆∆===,, （i ）对上述结果讨论如下：1）以 d k 乘以构件的静载荷、静变形和静应力，就得到冲击时相应构件的冲击载荷 d P ，最大冲击变形 d ∆ 和冲击应力 d σ 。

2）2≥d k ，且 0=T 时，“=”号成立，这表明即使冲击物初始速度为零，但只要是突然加于构件上的载荷，都性质也是动载荷，此时构件内的应力和变形分别为静载时的两倍。

3） 如果 st ∆ 增大，则 d k 减小，其含义是，构件越柔软（刚性越小），缓冲作用越强。

4） 如果冲击是由重物 Q 从高度 h 处自由下落造成的，如图13-4，则冲击开始时，Q 的动能：Qh gh gQ vgQ T =⨯==221212（j ）（j ）代入（h ），有：std hk ∆211++= （k ）（5） 对水平放置系统（如图13-5），冲击物的势能0=V ，动能 221v gQ T = ，于是由（b ），（f ）得：Q v gQ std ∆∆222121=解得：st d st std k g v∆∆∆∆==2（l ）其中 std g vk ∆2=由此求得：Q g vQ k P std d ∆2==st ststd d g vk σ∆σσ2==。