第四节 全等三角形证明HL、尺规作图

第四节全等三角形的证明HL、尺规作图

一、三角形全等的判定方法一：HL

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

书写格式：

在△ABC和△A’B’C’中，

∵

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

∠

=

∠

'

'

'

'

90

'

C

A

AC

B

A

AB

B

B。

∴△ABC≌△A’B’C’（HL）

【典型例题】

例1 如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD

的位置关系.

例2 已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD∥BC.

例3 如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究

BE与AC的位置关系.

例4 如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.

C

D

A

B

D C

E

F

二、尺规作角平分线和垂线 角平分线：（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交

OA 、OB 于点D 、E ；

（2）分别以点D 、E 为圆心，大于

EF 2

1

长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ；

（3）作射线OC 。射线OC 就是∠AOB 的角平分线。

过直线外一点作直线的垂线：

（1）以点C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB 于点A 、点B ；

（2）分别以点A 、B 为圆心，大于AB 2

1

长为半径作弧，两弧交于点M ；

（3）作直线CM 。AB CM 。

【典型例题】

例1.用直尺和圆规画∠AOB 的角平分线

例2.过一点(线上、线外)画已知直线的垂线

练习

1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE=，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF （填全等或不全等）

2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ） A ．SSS B. ASA

C. SAS

D. HL

3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）. A ．SSS

B. AAS

C. SAS

D. HL

4．下列说法正确的个数有（ ）.

①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是.

6．如图，△ABC 中，∠C=，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.

7．在△ABC 和△中，如果AB=，∠B=∠，AC=，那么这两个三角形（ ）.

A ．全等 B. 不一定全等

C. 不全等

D. 面积相等，但不全等

8．如图，在△ABC 中，∠ACB=，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，

求证：DE=AD+BE. 9．如图，已知AB=AC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AD ，BC 相交于点E ，求证：（1）CE=BE ；（2）CB ⊥AD.

︒90︒90C B A '''B A ''B 'C A ''︒90

C

B

A

A

N

10.如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别为垂足，且AE=AF ，试说明：DE=DF ，AD 平分∠BAC.

11.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ，试说明AB=AC.

12.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.

13.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。 求证:AN 平分∠BAC 。

A

D

C B

F E