第四节全等三角形证明HL、尺规作图

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第四节-全等三角形证明HL、尺规作图

第四节全等三角形的证明HL 、尺规作图一、三角形全等的判定方法一：HL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）。

书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===∠=∠''''90'C A AC B A AB B B 。

∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（HL ）【典型例题】例1 如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系.例2 已知如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.例3 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.ABADBCCDF ┐ ┘E例4 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.二、尺规作角平分线和垂线角平分线：（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于点D 、E ；（2）分别以点D 、E 为圆心，大于EF 21长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ；（3）作射线OC 。

射线OC 就是∠AOB 的角平分线。

过直线外一点作直线的垂线：（1）以点C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB 于点A 、点B ；（2）分别以点A 、B 为圆心，大于AB 21长为半径作弧，两弧交于点M ；（3）作直线CM 。

AB CM 。

【典型例题】ABEDF例1.用直尺和圆规画∠AOB 的角平分线例2.过一点(线上、线外)画已知直线的垂线练习OBAaPbPaP1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE=，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF （填全等或不全等）2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（）A ．SSS B. ASAC. SASD. HL3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（）. A ．SSSB. AASC. SASD. HL4．下列说法正确的个数有（）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个5．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 6．如图，△ABC 中，∠C=，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（）cm.7．在△ABC 和△中，如果AB=，∠B=∠，AC=，那么这两个三角形（）. A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.︒90︒90C B A '''B A ''B 'C A ''︒90ACDB BCDF ┎ ┘AE┐AB MC B9．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.CA E D10.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.11.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.12.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.DCEFAB13.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。

人教版数学八年级上册12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等课件(共21张PPT)

人教版数学八年级上册12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等课件(共21张PPT)(共21张PPT)12.2.4全等三角形的判定——HL(斜边、直角边)学习目标1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）新课导入我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？1.边边边(SSS)3.角边角(ASA)4.角角边(AAS)2.边角边(SAS)复习导入判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF(其中△C＝△F＝90°)是否全等？若全等，在( )里填写理由；若不全等，在( )里打“×”：①AC＝DF，△A＝△D；( )②AC＝DF，BC＝EF；( )③AB＝DE，△B＝△E；( )④△A＝△D，△B＝△E；( )⑤AC＝DF，AB＝DE. ( )练一练ASASASAAS×HL问题：满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等呢？新课导入ABCA′B′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？动脑想一想如图，已知AC=DF，BC=EF，△B=△E，△ABC△△DEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF新课导入讲授新课1直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）问题任意画一个Rt△ABC，使△C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使△C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？讲授新课ABC(1)画△MC′N =90°；(2)在射线C′M上取B′C′=BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′ N于点A′；(4)连接A′B′．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．画法：A′NMC′B′“斜边、直角边”判定方法：文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：ABCA ′B′C ′△Rt△ABC △ Rt△ A′B′C′ (HL).AB=A′B′,BC=B′C′,“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.例1如图，AC△BC，BD△AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：△ AC△BC，BD△AD，△△C与△D都是直角.AB=BA,AC=BD .在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，△ Rt△ABC△Rt△BAD (HL).△ BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.直角三角形全等的应用：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角△B和△F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF .△ Rt△ABC△Rt△DEF (HL).△△B=△DEF(全等三角形对应角相等).△ △DEF+△F=90°,△△B+△F=90°.例2证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．总结当堂练习1. 下列条件不能使两个直角三角形全等的是()A．斜边和一锐角对应相等B．有两边对应相等C．有两个锐角对应相等D．有一直角边和一锐角对应相等C2. 如图，O是△BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则△AEO△△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASAA3. 如图所示，BE△AC，CF△AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对C4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE△AB，DF△AC，垂足分别为E，F.则图中全等三角形共有( )A．2对B．3对C．4对D．5对B当堂练习当堂练习5. 如图，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，点D在AC上，点E在BA的延长线上，BD＝CE，BD的延长线交CE于点F.求证：BF△CE.证明：在Rt△BAD和Rt△CAE中，△Rt△BAD△Rt△CAE(HL)．△△ABD＝△ACE.又△△BDA＝△CDF，△△CFD＝△BAD＝90°，即BF△CE.当堂练习AFCEDB6. 如图，AB=CD，BF△AC，DE△AC，AE=CF. 求证：BF=DE.证明: △ BF△AC,DE△AC, △△BFA=△DEC=90 °.△AE=CF，△AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.△ Rt△ABF△Rt△CDE(HL).△BF=DE.当堂练习7. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.BD=CD.△△ADB=△ADC=90°,AB=ACAD=AD△Rt△ABD△Rt△ACD(HL)，△ BD=CD.解：8. 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD ＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.证明：△AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC ＝AE，△Rt△ADC△Rt△AFE(HL)．△CD＝EF.△AD＝AF，AB＝AB，△Rt△ABD△Rt△ABF(HL)．△BD＝BF.△BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.重难点突破课堂小结“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等：①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．课堂小结谢谢大家。

14.2.5全等三角形的判定(HL)

两个直角三角形全等的判定
（尺规作图）已知：△ABC，其中∠C为直角。求作：Rt△A'B'C',使∠C'为直角， A'C'=AC，A'B'=AB
A
C
B
探究下面的两个直角三角形，它们全等吗？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等吗？
归纳
判定两个直角三角形全等的另一种方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间有什么关系？
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ E
解： ∠ABC+∠DFE = 90° 理由如下： C 在Rt△ABC与Rt△DEF中，
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中

A
AB=A'B'
BC=B'C'
A ′
C B′
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL)
C ′
判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 全等 (AAS)
判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( ASA)

全等三角形尺规作图

全等三角形尺规作图xx年xx月xx日CATALOGUE目录•全等三角形基本概念•全等三角形尺规作图基本法则•尺规作图的技巧和方法•尺规作图的实例分析•尺规作图的应用和意义01全等三角形基本概念两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。

全等三角形的记号是“≌”，读作“全等形ABCD”或“三角形ABC全等于三角形DEF”。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角平分线相等。

SSS（Side-Side-Side）：如果三角形的三条边相等，则它们全等。

AAS（Angle-Angle-Side）：如果三角形的两个角相等且这两个角的夹边相等，则它们全等。

ASA（Angle-Side-Angle）：如果三角形的两个角相等且其中一个角的对边相等，则它们全等。

SAS（Side-Angle-Side）：如果三角形的两条边相等且这两条边的夹角相等，则它们全等。

全等三角形的判定方法02全等三角形尺规作图基本法则无刻度直尺只限制长度测量，无法进行面积、角度等测量。

圆规可以用来画圆和圆弧，也可以用来复制图形。

尺规作图的基本概念直接法通过圆规和无刻度直尺，直接画出全等三角形。

间接法通过画出一个三角形，再使用圆规和无刻度直尺，间接画出全等三角形。

全等三角形的尺规作图方法画出三角形使用圆规，以点A为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点C；再以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点D；连接CD得到三角形ABC。

确定两个已知点确定两个已知点A和B，并连接两点得到线段AB。

判断全等通过比较AC和BC的长度，可以判断三角形ABC和三角形DEF是否全等。

作图步骤03尺规作图的技巧和方法1作图技巧23明确要画的图形，了解所需条件和限制条件。

确定作图目标根据已知条件逐步推导，按照顺序将图形画出来。

画图步骤检查画出的图形是否符合题目要求，确保准确性。

检验作图结果根据等边三角形的性质，通过平分已知角度或边长即可得到三个等边三角形。

三角形全等的判定(HL)-图

综合练习题
总结词
考察HL全等定理的综合应用
题目1
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，且BC=B'C'，若D、E分别是AB、BC的中点，D'、 E'分别是A'B'、B'C'的中点，求证：△ACD≌△A'C'D'、△ACE≌△A'C'E'。
题目2
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，且BC=B'C'，若F、G分别是AB、 AC上的两个动点，F'、G'分别是A'B'、A'C'上的两个动点，当FF'=G′G时，求证：△ACF≌△A′CF′、 △AGF≌△A′GF′。
与其他判定定理的关系
与SAS判定定理的关系
当两个三角形有一组非直角边和夹角分别相等时，可以使用SAS判定定理来判断它们是否全等。
与SSS判定定理的关系
当两个三角形有三边分别相等时，可以使用SSS判定定理来判断它们是否全等。
三角形全等的证明方
03
法
边边边(SSS)判定法
总结词
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
进阶练习题
总结词
考察HL全等定理的灵活应用
题目1
已知直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， AC=A'C'，且BC=B'C'，若点D是AB的中点，点D'是A'B'的中点，求证：△ACD≌△A'C'D'。

数学人教版八年级上册全等三角形的判定(HL).14直角三角形的判定

Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
实验操作探索“HL”判定方法
问题2 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个 Rt△A‘B’C‘，
使∠C’=90°，B‘C’=BC，A‘B’=AB，你发现了两个三角形具有什么关系？
A
B
C
实验操画作法：探索“HL”判定方法
A
（1）画∠MC＇N =90°；（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；（3）以B＇为圆心，AB为半径画弧， B
则 △ABC与 △DEF
A （填“全等”或
“不全等”）根据
（用简写法）
F
E
（3）若AB=DE，BC=EF，
B
C
则 △ABC与 △DEF
（填“全等”或“不全
D
等”）根据
（用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则 △ABC与 △DEF 等”）根据
（填“全等”或“不全（用简写法）
创设情境引出“HL”判定方法
交射线C＇ N于点A＇；（4）连接A＇B＇．
现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．
M B＇
C N
A＇
C＇
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
A
C
B
A＇
C＇
B＇
“HL”判定方法的运用
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证： BC =AD．

全等三角形尺规作图ppt

使用直尺和圆规，根据SAS定理，作出两个全等三角形
已知三边作全等三角形
确定三条相等的边使用直尺和圆规，根据SSS定理，作出两个全等三角形
04
全等三角形尺规作图的应用
证明定理“等腰三角形两腰上的中线相等”
总结词
全等三角形尺规作图可以用于证明等腰三角形两腰上的中线相等。
详细描述
首先，使用尺规作图方法作出等腰三角形ABC，其中AB=AC。然后，分别作出 AB和AC的中点D和E。通过全等三角形的性质，我们可以证明三角形DBE与三角形DCF全等，因此可以得出DB=DC。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
02
尺规作图的基本知识
尺规作图的概念与规则
尺规作图定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆规进行图形绘制的方法。
规则与限制
在尺规作图中，只能使用圆规和直尺，且只限于绘制直线、线段、射线以及它们所确定的图形，不能使用其他刻度或辅助工具。
圆规和直尺的使用方法
圆规的使用方法
证明定理“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”
总结词
详细描述
全等三角形尺规作图可以用于证明如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
首先，使用尺规作图方法作出一个三角形ABC，其中 AD是BC的中线，且AD等于BC的一半。然后，作出 AB的中点E和AC的中点F。通过全等三角形的性质，我们可以证明三角形ADE与三角形ADF全等、三角形 ADB与三角形ADC全等，因此可以得出角B和角C都是直角。因此，三角形ABC是一个直角三角形。
边边边定理
三边分别相等的两个三角形全等。
边角边定理
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

全等三角形的判定hlppt课件

B′
∴Rt△ABC≌R△ tA′ B′ C′ (HLA )′
C′
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12
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
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13
想一想
△ A′ B ′ C ′即为所要画的三角形 N
B′
M A′
C′
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8
动动手做一做比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？
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9
B
10cm
B′
10cm
A
8cm
C A′
8cm
C′
Rt△ABC≌ R△ tA′ B′ C′
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19
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A
A′
B
C
B′
C′
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3
动动手做一做
尺规作图：已知： Rt△ABC， ∠C=90°,
B
10cm
A
8cm
C
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4
动动手做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
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5
动动手做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=8cm;
10
斜边、直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

人教版-数学-八年级上册- 12.2 全等三角形的判定(四)(HL)

安徽铜都双语学校人本跨界大课堂数学学道班级80 姓名编号NO:1105 日期:比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！课题：三角形全等的判定（四）（HL）设计者: 八年级数学组自研课（时段：晚自习时间：10 分钟）1、旧知链接：SSS定理：SAS定理：ASA定理：AAS定理：2、新知自研：自研教材P13的“HL”定理。

展示课（时段：正课时间：60 分钟）学习主题：1.通过作图、观察比较等方法得出“HL”定理；2.会用“HL”定理解决实际问题。

当堂反馈即同类演练:训练课（时段：晚自习，时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题” 自评：师评：基础题：1.如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，AC交BD于点O，若AC=DB，则下列结论不正确的是（）A.∠A=∠DB.∠ABC≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD(1) A DOB C2.在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A/B/C/的个数有（）(1)AC=A/C/ ,∠A=∠A/；（2）AC=A/C/ ，AB=A/B/；（3）AC=A/C/，BC=B/C/；（4）AB=A/B/ ,∠A=∠A/3.已知，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△ABD≌△CDB。

A CB D4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。

C发展题：5.如图，从C地看A、B两地的视角∠C是锐角，从C地到A、B两地的距离相等。

A到路段BC的距离AD与B到路段AC的距离BE相等吗？为什么？CE DA B提高题：6.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。

求证：AF+EF=DE。

DBEC AF培辅课（时段：大自习附培辅单）1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）2、效果描述：反思课1、病题诊所：2、精题入库：【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗!!!。

第四节 全等三角形证明HL、尺规作图