演示文稿.第十五次课 狭义相对论动力学

m (v ) 在不同惯性系中大小不同。 在不同惯性系中大小不同。
5）实验证明质速关系是正确的。 ）实验证明质速关系是正确的。 比如，测量电子质量的试验。 比如，测量电子质量的试验。 10 让电子在加速器中加速， 让电子在加速器中加速， 8 测电子的荷质比e/m发现该 6 测电子的荷质比 发现该 4 值随速度增大而减小。 值随速度增大而减小。 2 1 0 0.2 6）相对论的动量： ）相对论的动量： 0.8 1.0 m0 v P = mv = 1 − (v / c ) 2
m01c + E K 1 = m02c + EK 2 2 EK 2 − EK 1 = (m01 − m02 )c
2 2
总动能增量
2
总静止质量的减 小质量亏损
14
∆E k = ∆m0 c 核反应中释放的能量相应于
一定的质量亏损。 一定的质量亏损。
例：在一种热核反应中，各种粒子的静质量如下： 在一种热核反应中，各种粒子的静质量如下：
v << c
时
m → m0
4
明确几点: 明确几点: 1）物体质量与速度有关， ）物体质量与速度有关，
m=
m0 1 − (v / c ) 2
v = 0, m = m0 物体相对于惯性系静止时质量最小。 物体相对于惯性系静止时质量最小。 相对于惯性系静止时质量最小 质量不变。 2）低速物体 v << c , m ≈ m0 , 质量不变。 ）
2 2 2
0
m0
相对论的动能公式： 相对论的动能公式： E k
= mc 2 − m0c 2
m为相对论质量，m0为静止质量。 为相对论质量， 为静止质量。 为相对论质量 m0 m0 c 2 − m 0c 2 ∵m = , EK = 2 1 − (v / c )2 1 − (v / c ) 当 v << c 时,
m0 1 − (v / c ) 2
质速关系
m ─ 粒子以速率 运动时的质量（运动质量） 粒子以速率v运动时的质量（运动质量） 运动时的质量 m0 ─ 粒子静止时的质量（静止质量） 粒子静止时的质量（静止质量） 式中v为粒子相对某一参照系的速率。 式中 为粒子相对某一参照系的速率。 为粒子相对某一参照系的速率 当
= 9 × 10 J
7
4.6 ×10
焦耳。 焦耳。
13
对于孤立系统，总能量和总质量是守恒的。 对于孤立系统，总能量和总质量是守恒的。但 是系统的动能和静能可以相互转换。静能变了， 是系统的动能和静能可以相互转换。静能变了，则 静止质量发生相应的变化。 静止质量发生相应的变化。 静止质量的减少叫质量亏损 质量亏损。 静止质量的减少叫质量亏损。 反应前： 反应前： 静质量 m01 总动能 K1 总动能E 核反应中： 核反应中： 反应后： 反应后： 静质量 m02 总动能 K2 总动能E 能量守恒： 能量守恒： 因此： 因此：
可见，在S'系中动量也守恒。 系中动量也守恒。 可见， 系中动量也守恒
2
动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的 普遍规律。 普遍规律。 这就需要寻找一种与狭义相对论一致的新的动 力学规律，这种新的动力学规律应该满足： 力学规律，这种新的动力学规律应该满足： （１）它们的定律表达式在洛仑兹变换下应保持不 它们的定律表达式在洛仑兹变换下应保持不 从而能够正确地描述高速运动的规律； 变，从而能够正确地描述高速运动的规律； （２）当速度 v << c 时，还要能够很自然地过渡到 经典力学； 经典力学； （３）相对论中仍然要保留那些质量守恒、动量守 相对论中仍然要保留那些质量守恒、 恒及能量守恒等具有普遍意义的基本思想。 恒及能量守恒等具有普遍意义的基本思想。
真 空 由 0.9999999997 0.9999999994 6×10 -10 × 4.0825×104 ×
7
二、狭义相对论力学的基本方程 在相对论力学中仍用动量变化率定义质点受到 的作用力， 的作用力，即： m0 dp d ( m v ) m = F= = 1 − (v / c )2 dt dt 注意：质量随速度变化。 注意：质量随速度变化。
dm dv dp d ( m v ) =v +m F= = dt dt dt dt
力与加速度方向 可以不同。 可以不同。
在经典力学中， 在经典力学中，人们认为质量是始终保持不 变的恒量。 变的恒量。
F = ma
8
三、相对论动能 1 牛顿力学中： 平动动能: 牛顿力学中： 平动动能 E k = mv 2 2 相对论力学： 相对论力学：仍用力对粒子做功计算粒子动能的 增量，并用E 表示粒子速率为v 时的动能， 增量，并用 K表示粒子速率为 时的动能，
3
一、相对论质速关系 在牛顿力学中， 在牛顿力学中，我们已经定义 p = mv 为粒子 的动量。在相对论中保留物体的动量的定义， 的动量。在相对论中保留物体的动量的定义，但应 放弃质量与速度无关的观念。 放弃质量与速度无关的观念。 相对论力学：质量与速度有关。 否则动量守恒 相对论力学：质量与速度有关。(否则动量守恒 定律不能在洛仑兹变换下保持形式不变)。 定律不能在洛仑兹变换下保持形式不变 。 相对论质量： m = 相对论质量：
2 1 1 H + 3 H → 4 He + 0 n 1 2
求：反应释放的能量。 反应释放的能量。
−27
氘核 氚核 氦核 中子
( H) ( H)
( He) ( n)
1 0 4 2
2 1 3 1
mD = 3.3437 × 10 kg mT = 5.0449 × 10 −27 kg
mHe = 6.6425 × 10
∆ E = ( ∆ m )c
2
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 这是一个具有划时代的意义的理论公式。 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式。
12
相对论质能关系 相对论质能关系 质能 静能
E = mc = m0 c + Ek
2 2
m0 c
2
：物体静止时所具有的能量 . 物体静止时所具有的能量 静止时所具有的
v d (mv ) EK = ∫ F ⋅ dr = ∫ ⋅ dr = ∫0 v ⋅ d (mv ) 0 0 dt 2 v ⋅ d (mv) = mv ⋅ dv + v ⋅ vdm = mvdv + v dm 1 1 2 ∵ v ⋅ dv = d(v ⋅ v ) = dv = vdv 2 2
v
v
m =
−30
电子的静质量 电子的静能 质子的静质量 质子的静能
m0 = 0.911× 10 kg m0 c 2 = 8.19 × 10 −14 J = 0.511MeV
m0 = 1.673 × 10
2 −10
− 27
kg
m0 c = 1.503 × 10
J = 938MeV
16
1千克的物体所包含的静能 千克的物体所包含的静 千克的物体所包含的 1千克汽油的燃烧值为 千克汽油的燃烧值为
−27
kg
反应质量亏损
m n = 1.6750 × 10 kg ∆m0 = (mD + mT ) − (mHe + mn )
m0
v2 1− 2 c
2 2 2 2
2 v 2 2 1 − 2 = m0 m c
即： m
c −m v = m c
2 2 0
9
m c −m v = m c
2 2 2 2
2 2 0
2 2 两边求微分: 两边求微分 0
将
m c −m v = m c
2 2 2 2
2 mc dm − 2 mv dm − 2 m vdv = 0 2 2 即： c dm = v dm + mvdv v m 2 2 2 EK = ∫ v ⋅d (mv ) = ∫ c dm = mc − m0c
2 2
2
E 0 = m 0c
2
= m0c + Ek
2
2
为粒子静止时所具有的能量 为粒子静止时所具有的能
E = mc
为粒子以速率v运动时的总能量 为粒子以速率 运动时的总能量 运动时的 有的能量（平动的能量）； 有的能量（平动的能量）；
E K = E − E 0 物体作为一个整体作机械运动而具
宏观静止物体的静能包括： 宏观静止物体的静能包括：物体内部各粒子的运动 包括 及其相互作用的能量。 及其相互作用的能量。
11
相对论质能关系： 相对论质能关系： 质能关系
E = mc = m0 c + Ek
2 2
质能关系说明了质量和能量是统一的，不可分割。 质能关系说明了质量和能量是统一的，不可分割。 对于孤立系统，总能量守恒和总质量守恒是统一的。 对于孤立系统，总能量守恒和总质量守恒是统一的。 质能关系预言： 质能关系预言：物质的质量就是能量的一种储藏 。 预言 物体在静止时仍有数量极大的能量， 物体在静止时仍有数量极大的能量，能量并不 短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。 短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。 物体的总能量 若发生变化，必将伴 若发生变化， 随相应的质量变化，反之亦然， 随相应的质量变化，反之亦然，即：
1 2 Ek → m0 v 2
10
相对论的动能公式： 相对论的动能公式： E k = mc 2 − m0 c 2 注意： 注意：相对论中的动能与牛顿力学中的动能 在形式上完全不同！ 在形式上完全不同！ 静能、 四、静能、总能量和质能关系 改写为： 将 E K = mc − m 0 c 改写为：mc
0.4
0.6
此时， 下形式保持不变。 此时，动量守恒定律在洛仑兹变换 下形式保持不变。
6
例：用静电直线加速器可将电子的速度加速到接近 光速。 光速。全长约三公里多的斯坦福直线加速器曾将电 子加速到 0.9999999997 此时电子的质量是其静止质量的几倍？ 问：此时电子的质量是其静止质量的几倍？
m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 v = v′ + u
′ ′ m1v10 + m2v′ = m1v1 + m2v′ 20 2
v′ + u vx = x v′ u 如果用洛仑兹变换 1 + x2 c ′ ′ ′ ′ v10 x + u v20 x + u v1 x + u v2 x + u m1 + m2 = m1 + m2 ′ ′ ′ ′ v10 x u v20 x u v1 x u v2 x u 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 c c c c ′ ′ ′ m1v10 x + m2v′ x ≠ m1v1 x + m2v2 x S'系中动量不再守恒 ！ 系中动量不再守恒?！ 系中动量不再守恒 20
v
Байду номын сангаас
0
υ t = υ 0 + at
o
t
1
说明只要时间足够长， 可超过光速。 说明只要时间足够长， v 可超过光速。 这说明牛顿第二定律不满足狭义相对论的假设。 这说明牛顿第二定律不满足狭义相对论的假设。
再比如动量守恒定律 设在S 设在 系中沿 x 方向 由伽里略速度变换 ′ ′ m1 (v10 + u) + m2 (v′ + u) = m1 (v1 + u) + m2 (v′ + u) 得 20 2 故
经典力学中物体的质量与运动无关
7.5 狭义相对论动力学 按照狭义相对论的相对性原理， 按照狭义相对论的相对性原理，一切物理规律 都应该在洛仑兹变换下保持各自的形式不变。 都应该在洛仑兹变换下保持各自的形式不变。一个 正确的力学定律也必须在洛仑兹变换下保持不变。 正确的力学定律也必须在洛仑兹变换下保持不变。 经典力学的规律在伽利略变换下保持不变， 经典力学的规律在伽利略变换下保持不变，而 在洛仑兹变换下不能保持不变的形式。 在洛仑兹变换下不能保持不变的形式。 牛顿定律与光速极限的矛盾 牛顿定律与光速极限的矛盾 物体在恒力作用下的运动 C dp d ( m υ ) F F= = a= dt dt m v
3） v > c 时，无论 0是否为 ，公式中出现虚数，m无 ） 无论m 是否为0，公式中出现虚数 无 意义。再一次真空中的光速是物体运动的极限速度 光速是物体运动的极限速度。 意义。再一次真空中的光速是物体运动的极限速度。 无意义。 若 ， 4）当 v = c 时， m0≠0，则 m → ∞ 无意义。 ） 的物体， 所以m 的物体 其速率的最大值只能是接近C， 所以 0≠0的物体，其速率的最大值只能是接近 ， 而不能等于C。 而不能等于 。 反之，如果物体的速度等于C， 反之，如果物体的速度等于 ，则这种物体的静 止质量只能为0，比如已经发现m 的粒子有光子 的粒子有光子、 止质量只能为 ，比如已经发现 0=0的粒子有光子、 5 中微子等。 中微子等。