背包问题四种不同算法的实现

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动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）

动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）参考：⽬录描述：有N件物品和⼀个容量为V的背包。

第i件物品的体积是vi，价值是wi。

求解将哪些物品装⼊背包，可使这些物品的总体积不超过背包流量，且总价值最⼤。

⼆维动态规划f[i][j] 表⽰只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最⼤是多少。

result = max(f[n][0~V]) f[i][j]:不选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j];选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]（v[i]是第i个物品的体积）两者之间取最⼤。

初始化：f[0][0] = 0 （啥都不选的情况，不管容量是多少，都是0？）代码如下：n, v = map(int, input().split())goods = []for i in range(n):goods.append([int(i) for i in input().split()])# 初始化，先全部赋值为0，这样⾄少体积为0或者不选任何物品的时候是满⾜要求dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]for i in range(1, n+1):for j in range(1,v+1):dp[i][j] = dp[i-1][j] # 第i个物品不选if j>=goods[i-1][0]:# 判断背包容量是不是⼤于第i件物品的体积# 在选和不选的情况中选出最⼤值dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])print(dp[-1][-1])⼀维动态优化从上⾯⼆维的情况来看，f[i] 只与f[i-1]相关，因此只⽤使⽤⼀个⼀维数组[0~v]来存储前⼀个状态。

那么如何来实现呢？第⼀个问题：状态转移假设dp数组存储了上⼀个状态，那么应该有：dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])max函数⾥⾯的dp[i]代表的是上⼀个状态的值。

背包问题的多种解法

一个最优解：w i X i Wi2w1X1nmaX v i X i 。

如果不是的话，设(y2,y3, , y n) 是这X i {0,1}( 2 i n) i2问题描述0/1 背包问题 :现有n种物品，对1<=i<=n ，已知第i种物品的重量为正整数 W i，价值为正整数 V i, 背包能承受的最大载重量为正整数W，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过 W 且总价值尽量大。

(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：n w i x i Wi 1i i(1)x i { 0,1}( 1 i n)nmax v i x i (2)i1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1 )，并使目标函数式( 2 )达到最大的解向量X (x1, x2 ,x3, ......... , x n) 。

首先说明一下 0-1 背包问题拥有最优解。

假设(X i,X2,X3,……，Xn)是所给的问题的一个最优解，则(X2,X3,……，Xn)是下面问题的n n n个问题的一个最优解，则v i y i v i X i ，且w1X1 w i y i W 。

因此，i 2 i 2 i 2n n n物品1W2=3V2=12物品2W3=4V3=40物品3W4=5V4=25物品4V1X1 V i y i V1X1 V i V i X i，这说明(X i,y2,y3, ............................................................... ,y n)是所给的 0-1 背包问i 2 i 2 i 1题比(X i,X2,X3, ........................... , X n)更优的解，从而与假设矛盾。

穷举法：用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定 n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集) ，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。

01背包各种算法代码实现总结（穷举，贪心，动态，递归，回溯，分支限界）

01背包各种算法代码实现总结（穷举，贪⼼，动态，递归，回溯，分⽀限界）2020-05-22所有背包问题实现的例⼦都是下⾯这张图01背包实现之——穷举法：1.我的难点：（1）在⽤穷举法实现代码的时候，我⾃⼰做的时候认为最难的就是怎么将那么多种情况表⽰出来，⼀开开始想⽤for循环进⾏多次嵌套，但是太⿇烦，⽽且还需要不断的进⾏各种标记。

我现在的⽔平实在太菜，然后就在⼀篇中看到⼀个特别巧妙的枚举算法,如下所⽰：int fun(int x[n]){int i;for(i=0;i<n;i++)if(x[i]!=1) {x[i]=1; return;}//从遇到的第⼀位开始，若是0，将其变成1，然后结束for循环，得到⼀种解法else x[i]=0;return;//从第⼀位开始，若是1，将其变成0，然后继续循环，若再循环的时候遇到0，则将其变为1，结束循环。

得到另⼀种解法。

} 虽然我现在也不知道为什么会这样，但是确实是个很好的规律，找到这个规律后，就可以很轻松的⾃⼰写出各种排列情况，以后遇到排列的问题，就⽤这个⽅法。

语⾔不好描述，上图⽚演⽰（是歪的，凑活看吧。

）：（2）算法思想：x[i]的值为0/1，即选或者不选w[i]的值表⽰商品i的重量v[i]的值表⽰商品的价值所以这个算法最核⼼的公式就是tw=x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+.......+x[n]*w[n]tv=x[1]*w[1]+x[2]*v[2]+......+x[n]*v[n]tv1:⽤于存储当前最优解limit:背包容量如果 tw<limit&&tv>tv1 则可以找到最优解2.代码实现（借鉴）#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;#define n 4void possible_solution(int x[n]){int i;for(i=0;i<4;i++) //n=4,有2^4-1种解法if(x[i]!=1){x[i]=1;return; //从遇到的第⼀位开始，若是0，将其变成1，然后结束循环，得到⼀种解法}elsex[i]=0;return;//从第⼀位开始，若是1，将其变成0，然后继续循环，若再循环的时候遇到0，则将其变为1，结束循环。

完全背包问题的解决方案

完全背包问题的解决方案背包问题是计算机科学中的一个重要问题，其基本思想是给定一组物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，目标是找到一种最佳的方式将物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。

背包问题分为0-1背包问题、多重背包问题和完全背包问题，本文将着重介绍完全背包问题的解决方案。

完全背包问题定义如下：给定一组物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C，每个物品可选择任意次数放入背包。

求解背包能够容纳的物品的最大总价值。

为了解决完全背包问题，我们可以使用动态规划算法。

我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大总价值。

根据动态规划的思想，我们可以得到递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i])，其中0 ≤ k ≤ j/w[i]根据上述递推公式，我们可以按照以下步骤解决完全背包问题：Step 1: 初始化dp数组。

dp数组的大小为(n+1)×(C+1)，其中n表示物品的数量，C表示背包的容量。

将dp数组的所有元素初始化为0。

Step 2: 遍历背包容量。

外层循环从1到C，表示背包的容量。

Step 3: 遍历物品。

内层循环从1到n，表示物品的数量。

Step 4: 更新dp数组。

根据递推公式，计算dp[i][j]的值，并更新dp数组中的元素。

Step 5: 输出结果。

输出dp[n][C]，即背包能够容纳的物品的最大总价值。

下面是一个具体的示例来说明完全背包问题的解决方案：假设背包容量为10，共有3个物品：物品1的重量和价值分别为2和3；物品2的重量和价值分别为4和5；物品3的重量和价值分别为6和8。

根据上述解决方案的步骤，我们可以得到如下的动态规划求解过程：Step 1: 初始化dp数组。

dp[0][0] = 0dp[0][1] = 0...dp[0][10] = 0Step 2: 遍历背包容量。

ACM背包问题

第4 章
背包问题
如果给你一个背包，要你从许多东西里选择一些装进来，只要这个包装得下，你就可以将包里的东西全部拿走了，那么你会如何选择物品呢？这里你需要考虑的是背包的体积和承重限制，当然最重要的是你拿走的东西的总价值最大。这样的问题就是背包问题，许多问题都可以转化为背包问题来考虑。背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型 NP-C 难题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上，还是在实践中都具有一定的意义。
while (goods[0].flag<goods[i].flag) {
goods[i+1]=goods[i]; i--; } goods[i+1]=goods[0]; } ///////////////////////////////////////////
·78·
第 4 章背包问题
cout<<"最优解为:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) {
4.3.1 〖案例 2〗0/1 背包
需对容量为 c 的背包进行装载。从 n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品 i 的重量为 wi，价值为 pi。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高。限制：每个物品不能被分割，要不被装载，要不不被装载。
第一行物品个数，接下来分别为物品价值，再接下来分别为物品的价值。再接下来分别为物品的重量，最后为背包的容量。
数据结构与算法：不需要特殊的数据结构算法采用贪婪法首先输入物品信息和背包容量,然后每次选比重最大的装载。
struct goodinfo
{ float p; float w; float X; int flag;

5.5动态规划求解01背包问题

xn-1: 若xn=0，则判断(Pl,Wl)∈ Sn－2？，以确定Xn-1的值若xn=1，则依据(Pl－pn,Wl-wn)∈ Sn－2？，以判断Xn-1的值
xn-2,…,x1将依次推导得出
例2的解向量推导
S0={(0,0)}
S1={(0,0),(1,2)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
● Si的构造
记S1i 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则
S1i {( P,W ) | (P pi ,W wi ) S i1}
其中，Si-1是fi-1的所有序偶的集合
Si的构造：由Si-1和 S1i 按照支配规则合并而成。
支配规则：如果Si-1和S1i 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，
5.5动态规划求解 0/1背包问题
1.问题描述背包容量M，n个物品，分别具有效益值P1…Pn,物
品重量w1…wn,从n个物品中，选择若干物品放入背包，物品要么整件放入背包，要么不放入。怎样决策可以使装入背包的物品总效益值最大？
形式化描述：
目标函数：
约束条件：
max pixi
1i j
wixi M
1in
xi
0或1,
pi
0, wi
0,1
i
n
0/1背包问题：KNAP(1,n,M)
❖ 0/1背包问题：M=6,N=3,W=(3,3,4),P=(3,3,5) ❖ 贪心法：p3/w3 > p1/w1 > p2/w2 ❖ 贪心解 ∑P=5（0,0,1） ❖ 最优解是：∑P=6（1,1,0）
❖ 贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ ❖ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理

01背包问题不同算法设计、分析与对比

实验三01背包问题不同算法设计、分析与对比一．问题描述给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi ，其价值为vi，背包的容量为c。

问题：应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

说明：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择，装入背包或不装入背包，也不能将物品装入背包多次。

二．实验内容与要求实验内容：1.分析该问题适合采用哪些算法求解（包括近似解）。

动态规划、贪心、回溯和分支限界算法。

2.分别给出不同算法求解该问题的思想与算法设计，并进行算法复杂性分析。

动态规划：递推方程：m(i,j) = max{m(i-1,j),m(i-1,j-wi)+vi} j >= wi;m(i-1,j) j < wi;时间复杂度为O(n).贪心法：算法思想：贪心原则为单位价值最大且重量最小，不超过背包最大承重量为约束条件。

也就是说，存在单位重量价值相等的两个包，则选取重量较小的那个背包。

但是，贪心法当在只有在解决物品可以分割的背包问题时是正确的。

贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。

也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。

用贪心法设计算法的特点是一步一步地进行，根据某个优化测度（可能是目标函数，也可能不是目标函数），每一步上都要保证能获得局部最优解。

每一步只考虑一个数据，它的选取应满足局部优化条件。

若下一个数据与部分最优解连在一起不再是可行解时，就不把该数据添加到部分解中，直到把所有数据枚举完，或者不能再添加为止。

回溯法：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。

对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。

背包问题

（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。

设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。

这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。

一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。

然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。

算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。

if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。

算法背包问题的五种方法

算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。

动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。

对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。

2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。

它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。

在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。

贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。

3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。

它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。

在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。

4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。

它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。

如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。

在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。

5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。

它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。

在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。

数据结构背包问题

背包问题的求解1.问题描述假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为w1,w2,…w n的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使w1+w2+…+w m=T，要求找出所有满足上述条件的解。

例如：当T=10，各件物品的体积{1,8,4,3,5,2}时，可找到下列4组解：(1,4,3,2)(1,4,5)(8,2)(3,5,2)。

2.实现提示可利用回溯法的设计思想来解决背包问题。

首先，将物品排成一列，然后，顺序选取物品装入背包，若已选取第i件物品后未满，则继续选取第i+1件，若该件物品“太大”不能装入，则弃之，继续选取下一件，直至背包装满为止。

如果在剩余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的物品“不合适”，应将它取出“弃之一边”，继续再从“它之后”的物品中选取，如此重复，直到求得满足条件的解，或者无解。

由于回溯求解的规则是“后进先出”，自然要用到“栈”。

进一步考虑：如果每件物品都有体积和价值，背包又有大小限制，求解背包中存放物品总价值最大的问题解---最优解或近似最优解。

3．题目源代码#define maxsize 1024#define null 0#include"stdio.h"#include"conio.h"#include"stdio.h"typedef struct{int last;int data[maxsize];}seqlist; //定义顺序表结构体typedef struct{int top;int sum;int data[maxsize];}seqstack; //定义栈结构体seqstack *init_seqstack(){seqstack *s;s=new seqstack;if(!s){printf("空间不足");return null;}else{s->top=-1;s->sum=0;return s;}} //栈初试化int empty_seqstack(seqstack *s){if (s->top==-1)return 1;elsereturn 0;} //判断空栈int push_seqstack(seqlist *l,int i,seqstack *s) //入栈{if(s->top==maxsize-1)return 0;else{s->top++;s->data[s->top]=i; //顺序表中第i 个元素，i 入栈s->sum=s->sum+l->data[i]; //栈中sum加和！return 1;}}int pop_seqstack(seqlist *l,seqstack *s,int *x) //出栈{if(empty_seqstack(s))return 0;else{*x=s->data[s->top];s->sum=s->sum-l->data[s->data[s->top]];s->top--;return 1;}}seqlist *init_seqlist(){seqlist *l;int x=1;l=new seqlist;l->last=0;printf("-------------------------------------------\n请依次输入个物品的大小，输入0结束。

背包问题系列算法详解

背包问题系列算法详解背包问题是一个关于最优解的经典问题。

通常被讨论的最多的，最经典的背包问题是0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem)。

它是一切背包问题及相关背包问题的基础。

本篇博文将详细分析0-1背包问题，并给出0-1背包问题的几种解法，同时也对0-1背包问题的内涵进行延伸，丰富其外延至完全背包问题和多重背包问题，并给出背包问题的算法实现过程，希望对大家有帮助。

一、0-1背包问题有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品（每个物品只有一件）的费用是c[i]，价值是w[i]。

求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

（1）递归求解算法如下：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;int nVol[GOODSNUM];int nValue[GOODSNUM];int knapsack(int itemIndex,int vol);void main(){int i=0,j=0;while(i<GOODSNUM){cout<<"input the "<<i+1<<"th item(volume and value):";cin>>nVol[i]>>nValue[i];i++;}cout<<"The max value is: "<<knapsack(GOODSNUM,CAPACITY)<<endl;}int knapsack(int itemIndex,int vol){if (itemIndex==0||vol==0){return 0;}else if (vol>=nVol[itemIndex] &&knapsack(itemIndex-1,vol)<knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex ]){return knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex];}elsereturn knapsack(itemIndex-1,vol);}分析：递归求解，求解过程中的绝大部分变量存在重复求解的过程，算法的效率较低，有待改进；那怎么改进呢？最有效的是用数组保存每次计算的结果，不用重复计算，于是有二维数组求解。

0-1背包问题求解方法综述

算法分析与设计大作业…实验题目：0-1背包问题求解方法综述组员：班级：指导老师：]%0-1背包问题求解方法综述【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实生活中的很多问题都可以以它为模型。

本文首先对背包问题做了阐述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构特征,建立了求最优值的递归关系式。

最后对四种算法从不同角度进行了对比和总结。

【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。

0.引言0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…,n),再给定一个背包,其容量为W。

要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。

单个物品要么装入,要么不装入。

很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。

目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。

其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能找出问题的最优解。

文中在动态规划法的基础上进行了改进,提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。

背包问题描述0-1背包问题(KP01)是一个著名的组合优化问题。

它应用在许多实际领域,如项目选择、资源分布、投资决策等。

背包问题得名于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。

为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。

解决背包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子算法等一些智能算法。

数据结构背包问题(2023最新版)

数据结构背包问题数据结构 - 背包问题简介背包问题是计算机科学中常见的问题之一，它涉及到在限定容量的背包中放置物品以达到最大价值。

在这个文档中，我们将介绍背包问题的几种常见解决方法和相关的数据结构。

背包问题类型0/1 背包问题在 0/1 背包问题中，每个物品要么被完全放入背包，要么不放入。

物品数量有限，目标是最大化背包中物品的总价值。

完全背包问题在完全背包问题中，每个物品都可以被选择无限次放入背包。

物品数量无限，同样的目标是最大化背包中物品的总价值。

多重背包问题多重背包问题给每种物品一个可选的数量上限，使此问题成为既有数量限制，又有是否选择的 0/1 特征的混合。

背包问题的解决方法动态规划动态规划是解决背包问题的一种常见方法，它将问题分解为更小的子问题，并通过存储解决子问题的结果来构建一个完整的解决方案。

贪心算法贪心算法选择当前具有最大或最小值的物品，并不考虑未来的影响。

尽管贪心算法并不总是得到最优解，但它可以在某些情况下提供近似解。

回溯算法回溯算法通过枚举所有可能的解决方案来解决问题。

对于背包问题，它可以尝试放入或不放入每个物品，并根据问题的限制条件确定最佳选择。

背包问题的数据结构物品每个物品都有自己的重量和价值，可以表示为一个结构体或对象。

在背包问题的解决中，我们需要使用这些信息来做出决策。

背包背包可以表示为一个简单的容器，用于存放物品。

我们可以使用数组、链表或其他数据结构来表示背包，并根据问题的限制来管理它。

价值数组价值数组是一个用于存储每个物品价值的数据结构。

我们可以使用数组、哈希表或其他数据结构来表示物品的价值，并在解决背包问题时使用它。

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背包问题的解决算法

背包问题的解决算法在日常生活中，我们常常会遇到背包问题。

比如说，你需要出门远足，但是又不想背太多的东西，怎么办？这时候，你就需要一种背包算法，用以帮助你选出最好的装备。

当然，背包算法不仅仅局限于这种场景，还可以应用于计算机科学等领域。

背包问题可以定义为：在限定容量下，找到能够装下最大价值物品的选择方案。

在计算机科学中，背包问题又分为0/1背包和无限背包两种类型。

0/1背包指的是在数量有限的情况下，每种物品只能选择一次；无限背包则意味着每种物品可以重复选择。

现在，我们来讨论一下几种常见的背包算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种常见的解决背包问题的方法。

首先，根据每个物品的价值大小来求解。

然后，将每个物品按照其价值排序。

按照顺序，从价值最高的开始选择，在能够装下的情况下，尽量选择多的物品。

这种方法容易理解，但是它并不一定能够获得最优解。

2. 动态规划算法动态规划是解决背包问题最常用的算法。

它将问题分解成多个子问题，并且利用已经求解过的子问题来递推求解更大的问题。

具体来说，动态规划算法需要在每个状态中维护当前已经选择的物品，以及它们的价值和总重量。

然后，根据每个物品的价值，计算出在当前重量下选择这个物品的最大价值，同时比较这个价值和不选择这个物品的价值大小，最终得出最优解。

3. 回溯算法回溯算法也是一种解决背包问题的方法。

它的基本思想是，从初始状态开始，考虑每种可能的选择，最终找到最优解。

相比其他算法，回溯算法需要考虑所有可能的解，因此在问题较大的时候，它的时间复杂度可能较高。

但是，回溯算法通常能够得到最优解。

4. 分支定界算法分支定界算法也是一种解决背包问题的方法。

它通过确定每种物品能否被选择，来缩小解空间并加速搜索。

具体来说，它会根据价值和重量来对物品进行排序，并尝试从价值最高的物品开始选择。

然后，将剩余的物品按选择顺序进行排序，并对每个物品进行深度优先搜索，直到搜索到了可行解或者不可行解为止。

在实际应用中，以上几种算法都有其优缺点。

背包问题的各种求解方法

背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述：给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。

因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。

则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。

如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。

这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。

1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。

则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。

由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。

因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。

01背包问题及变种详解

P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。

求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。

如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。

那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。

背包问题贪心法和动态规划方案法求解

背包问题贪心法和动态规划方案法求解嘿，大家好！今天咱们来聊聊那个让人又爱又恨的背包问题。

这个问题可是算法领域的经典难题，不过别怕，今天我会用贪心法和动态规划两种方法帮你轻松搞定它！来个简单直接的背景介绍。

背包问题，简单来说，就是给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，你需要在不超过背包承载重量的前提下，挑选出价值最大的物品组合。

听起来是不是有点像生活中的购物决策？哈哈，没错，这就是背包问题的魅力所在。

好，下面咱们直接进入主题。

一、贪心法贪心法，顾名思义，就是每一步都选择当前看起来最优的方案。

对于背包问题，贪心法的核心思想就是：每次都选取价值密度最大的物品。

1.计算每个物品的价值密度，即价值除以重量。

2.然后，按照价值密度从大到小排序。

3.从排序后的列表中依次选取物品，直到背包装满或者没有物品可选。

二、动态规划法动态规划，这是一种更加严谨、也更复杂的方法。

它的核心思想是：通过把大问题分解成小问题，逐步求解，最终得到最优解。

1.定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中选择，背包容量为j时的最大价值。

2.我们考虑第i个物品是否放入背包。

如果放入，则前i-1个物品在容量为j-w[i]时的最大价值加上w[i]的价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+w[i]。

如果不放入，则前i-1个物品在容量为j时的最大价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。

3.通过比较这两种情况，取最大值作为dp[i][j]的值。

整个过程中，我们需要遍历所有物品和所有可能的背包容量，最终得到dp[n][W]就是我们要找的最大价值。

现在，让我们用一段代码来具体实现一下动态规划法：defknapsack(W,weights,values):n=len(values)dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=50weights=[10,20,30]values=[60,100,120]print(knapsack(W,weights,values))怎么样？是不是觉得动态规划法虽然复杂，但逻辑清晰，更容易找到最优解？通过上面的分析，我们可以看到，贪心法简单高效，但有时候并不能得到最优解；而动态规划法虽然计算复杂度较高，但可以得到最优解。