三角函数的值域和最值

5.反三角函数
(1)反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1,1],
值域为
2
,
2
(2)反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1,1], 值域为 [0,π],
(3)反正切函数y=arctanx的定义域为R,
值域为
2
,
2
基础题例题
1.函数y
3 sin
x
cos
x,
x
6
,
6
的值域是（ D ）
第四章 三角函数
第5课时 三角函数的值域和最值
要点·疑点·考点
1.正弦函数
y sin x定义域是R，值域为[1,1],
在 x 2k (k Z ) 时取得最小值1，
2
在 x 2k (k Z ) 时取得最大值1
2
2.余弦函数
y cosx定义域是R，值域为[1,1],
在 x (2k 1) (k Z ) 时取得最小值1， 在 x 2k (k Z ) 时取得最大值1
【解题回顾】此为sinx+cosx与sinx·cosx型.(注意与上例形
式 的 不 一 样 ) ， 一 般 地 ， 含 有 sinx+cosx, sinx-cosx ， sinx·cosx的三角函数都可以采用换元法转化为t的二次函数
去解.但必须注意换元的取值范围.
能力·思维·方法
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6.求函数 y 2 cos x 1 的值域
4．已知△ABC中， tan A 2 3 ,求使
4
y 2 sin 2 B sin 2B 取最大值时∠C 的大小.
解 同解时题：应分t注析an意:(先A端化点简4角函) 度数的,再2限利定6用范3正,围、。即余11弦函ttaa数nn的AA有界2性思考3,，
tan A 3, A
【解题回顾】此为
y
a sin c sin
x x
b d型三角函数(分子、分母的
三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数
的有界性去解.思考如何求y 2sin x 1的值域呢? 2 cos x 1
解解题法分一析：:分（2子直c与o接s 分x观母察1 中法出）现原的函三数角变函形数为为同y 名1三 2角co函s2x数1,可 用该1函数co的s x有界1,性思3考或2直co接s x观察1 .1 又2cos x 1 0
即 3 2cos x 1 0 或 0 2cos x 11,
2 2 或 2 2, 即 y 1 或 y 3
d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Asin(2x+φ)
+B的式子，
，
求最值时不能忽视对定义域的思考
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5. 试 求 函 数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的 最 大 值 和 最 小 值 . 又若x∈[0，π/2]呢?
解简单题解地分：利析令用:对t “于sain“sinxsxin+xcb+occsoosxsx,x=则+√2ats2i+nb[xc2soisn2x(”,x形+φ2式)]”,的统式一子变已量经,而不必能
3
3
2B 7
6 当且仅当
2B
6
6
, 即B
时，
62
3
y 有最大值。此时C
3
能力·思维·方法
4．已知△ABC中， tan A 2 3 ,求使
4
y 2 sin 2 B sin 2B 取最大值时∠C 的大小.
6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、
又
y
2 sin
2
B
sin(
3 2B
),
6
1 cos 2B 3 sin 2B 1 cos 2B
sin(
2B
)
2 1
2
6
能力·思维·方法
4．已知△ABC中， tan A 2 3 ,求使
4
y 2 sin 2 B sin 2B 取最大值时∠C 的大小.
6
由A 可知，0 B 2
须利用换元寻找 “sinx+cosx”与 “sinxcosx”之间的关系,进而
统又一2变si量n .x cos x (sin x cos x)2 1 t2 1
y t t 2 1 2 (t 1)2 3 24
显然，y 的最小值为 3，y 的最大值为3 2 4
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5. 试 求 函 数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的 最 大 值 和 最 小 值 . 又若x∈[0，π/2]呢?
A. 3, 3 B. 2,2 C.[0,2] D. 0, 3
2.函数 y 2sin x(sin x cos x) 的最大值是（ A ）
A.1 2 B. 2 1 C. 2 D.2
3. 当
0
x
4
时，函数f
(x)
cos
x
cos2 sin x
x
sin
2
x
的最小值是_4___
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要点·疑点·考点
3.正切函数 y tan x 的定义域为{x | x k , k Z},值域为R，无最值。
2
4. asinx + bcosx 型函数
asin x bcosx a2 b2 sinx
(其中 由tan b 确定， 角所在象限由点 P(a,b)
a 所在象限确定。)
要点·疑点·考点
若 x [0, ],则t [1, 2]
2 y (t 1)2 3 在[1, 2] 单调递增，当t 1，
24
即x 0或 时，y 取得最小值3，
2
当且仅当t 2 即x 时，y取得最大值3 2
4
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5. 试 求 函 数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的 最 大 值 和 最 小 值 . 又若x∈[0，π/2]呢?
2 cos x 1 3 2cos x 1
3
解法二：（不等式法） y 2 cos x 1 cos x y 1
2 cos x 1
2( y 1)
1 cos x 1即| cos x |1 y 1 1
解之得：y 1 或 y 3
2( y 1)
3
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6.求函数 y 2 cos x 1 的值域 2 cos x 1