第9章 质点系动量定理

结论：只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变 整个质点系的动量。
d p = ∑dIe
——微分形式
∑ p 2 − p1 = I e ——积分形式
24
质点系动量定理
投影形式
d p =∑ Fe
dt
∑ d p x =
dt
F
e x
∑ d p y =
dt
F
e y
∑ d p z =
dt
F
e z
∑ p2 − p1 = I e
px = mvCx = mx&C py = mvCy = my&C pz = mvCz = mz&C
13
质点系动量定理
[例9-1] 试计算图示三种情形刚体的动量。
Oω
vC
vC
ω
C
C
C
(a)
(b)
(c)
解：(a) 长为 l、质量m的均质细杆，角速度为ω 。
p=
mvC
= m⋅ l ω
2
= ml ω
2
方向与质心速度方向相同。
∑ maCy = Fye
∑ maCz = Fze
思考：写出在自然轴系中的投影形式。
32
质点系动量定理
2. 与质点动力学基本方程的比较 质心运动定理：
∑ m aC = F e
质点动力学基本方程：
质点系
ma = ∑ F
单个质点
可见：假想把整个质点系的质量集中于质心，且作用于 质点系上的全部外力也都集中于质心，则质点系质心的 运动相当于一个质点的运动。
连杆AB的质量忽略不计；曲柄
以等角速度ω绕O轴旋转；图示
ωC
位置时，角度 ϕ 为任意值。
Oϕ
vB
求：图示位置系统的总动量。
解：整个系统为两个质点A和B组成的质点系。
p = mAvA + mBvB = mv A + mvB
B
17
质点系动量定理
p = mvA + mvB
建立图示Oxy坐标系，则
yA = 2lsinϕ
mivi m
∑ aC =
miai m
注意： ◆ 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的 位置重合；
◆ 静力学中确定重心的方法可用来确定质心的 位置；
◆ 质心与重心是两个不同的概念，质心比重心 具有更加广泛的力学意义。
5
质点系动量定理
三、质点系的外力与内力
外力：所考察的质点系以外的物 体作用于该质点系中各质 点的力。
∑ p = M ivCi
∑ ∑ px = M vi Cix = M i x&Ci ∑ ∑ py = M vi Ciy = M i y&Ci ∑ ∑ pz = M ivCiz = M i z&Ci
16
质点系动量定理
[例9-2] 椭圆规机构
vA
已知：OC＝AC＝CB＝l；滑块
A
A和B的质量均为m，曲柄OC和
质点系的质量中心； 表征质点系质量分布的一个重要概念。
∑∑ ∑ rC =
m i ri = mi
m i ri m
或
∑ xC =
mi xi m
∑ yC =
mi yi m
∑ zC =
mi zi m
z
C
rC
mi
x
O
ri
yC zC
zi xC xi y
yi
4
质点系动量定理
∑ rC =
m i ri m
∑ v C =
14
质点系动量定理
Oω
vC
vC
C
C
vC = 0
ω
C
(a)
(b)
(c)
(b) 质量为m的均质滚轮，质心的速度为vC 。
p = mvC
方向水平向右。
(c) 质量为m的均质轮，绕中心转动，角速度为ω 。 p = mvC = 0
15
质点系动量定理
3.刚体系统的动量
设第i个刚体 M i , vCi ，则系统动量：
4. 应用质点系动量定理（守恒定律）建立方程， 求解未知量。
28
质点系动量定理
[思考] 小三角块与大三角块间的摩擦对什么有影响？
29
质点系动量定理
[思考题] 长均为l、质量均为m的均质杆OA、OB在O处 光滑铰接，求图示两种运动状态时，系统的动量。
v
v
30
质点系动量定理
§9-2 质心运动定理
∑ 质点系的动量定理： d p = F e dt
∴a2x = −eω 2 cosω t
a2y = −eω 2 sinω t
根据质心运动定理，有
∑ ∑ maCx = Fxe m2 (−eω2 cosωt) = Fx
m1mg2 g Fy
M
Fx
∑ ∑ maCy = Fye m2 (−eω 2 sin ωt) = Fy − m1g − m2 g
Fx = −m2eω 2 cos ωt
z 若 ∑ Fxe = 0 ，则 aCx = 0 , vCx = 常量，
即质心在该轴上的速度投影保持不变；
z 若开始时 vCx0 =0 ，则 xC = 常量，
即质心沿该轴的位置坐标保持不变。
36
质点系动量定理
5. 刚体系统
设第 i 个刚体 M i , a Ci ，则有
∑ ∑ M iaCi = F e
26
质点系动量定理
[例9-3] 质量为M 的大三角块，放于光滑水平面上，斜 面上另放一质量为m的小三角块。求小三角块滑到底时， 大三角块的位移。
解：选整个系统为研究对象。
受力分析：如图所示 ∑ Fxe = 0
运动分析：小三角块的绝对速度
va = v + vr
由质点系动量守恒定律，有 v px = p0x = 0
M (−v) + m(vr x − v) = 0
Mg mg vr
FN
27
质点系动量定理
M (−v) + m(vr x − v) = 0
∴v
=
m M+
m
vr x
∴S
=
m M+
m
Sr x
解题步骤：
= m (a − b) M +m
1. 选取研究对象；
2. 进行受力分析，画出受力图； （只需考虑外力）
3. 进行运动分析； （所有运动量均为绝对量）
或
∑ ∑ M i&r&Ci = F e
∑ ∑ ∑ 直角坐标投影式：
M i aCix = M i &x&Ci = Fxe
∑ ∑ ∑ M iaCiy = M i &y&Ci = Fye
∑ ∑ ∑ M iaCiz = M i&z&Ci = Fze 37
质点系动量定理
6. 求解两类动力学问题
∑ m aC = F e
∫ mv2z − mv1z = Fz d t =I z t1
若 F = 0 ，则 mv = 常矢量，质点作惯性运动； 若 Fx = 0 ，则 mvx = 常量，质点沿 x 轴作惯性运动。
22
质点系动量定理
2. 质点系的动量定理
任一质点 i ： 整个质点系：
d dt
(mivi
)
=
Fi
= Fie
+ Fii
y vA
A
vA = y&A = 2lωcos ϕ
xB = 2lcosϕ
vB = x&B = −2lωsin ϕ
ωC
Oϕ
vB
px = −2lmωsinϕ py = 2lmωcosϕ
p = −2lmωsinϕ i + 2lmωcosϕ j
Bx
18
质点系动量定理
思考：在上例中，若曲柄OC和连杆AB均为均质杆，且 质量分别为 m1 和 2m1，则系统的总动量又为多少？
磅秤指示数会不会发生变化
9
质点系动量定理
隔板
抽去隔板后将会
水池
？ 发生什么现象
水
光滑台面
10
质点系动量定理
偏心转子电机
？ 为什么会左右运动 ？ 这种运动有何规律 ？ 会不会上下跳动 ？ 有何工程应用
11
质点系动量定理
§9-1 动量定理
一、动量
1.质点的动量 ——质点的质量与速度的乘积 mv。
z 瞬时矢量；
质点系动量定理
理论力学
基 础 部 分 — 动力学
第9 章 质点系动量定理
2010年11月18日
1
质点系动量定理
质点系动力学普遍定理概述
一、质wk.baidu.com系动力学普遍定理的特征
理论上： n个质点构成的质点系动力学问题，可通过 建立3n个微分方程联立求解。
实际上： ◆联立求解大规模微分方程组(尤其是积分 问题)非常困难；
◆工程中，通常需要了解质点系整体的运 动，而不是每一个质点的运动。
2
质点系动量定理
质点系整体运动状 态的物理量（动量 、动量矩、动能）
质点系动力 学普遍定理
作用于质点系的力 系特征量（主矢、 主矩、功）
质点系动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定 理、动能定理及其推论。
3
质点系动量定理
二、质点系的质心
速度ω 转动时，基础的约束力。
解：研究对象：整个电动机
受力分析： m1g，m2 g Fx ，Fy ，M
运动分析： a2 = a1 + ar a2x = a1x − eω 2 cosω t a2 y = a1y − eω 2 sin ω t
m1mg2 g Fy
M
Fx
39
质点系动量定理
Q a1x = a1y = 0
33
质点系动量定理
例如： 定向爆破
vC
α
根据质心的运动轨迹及需要堆积土石块的位置，可 以设计质心的初始发射倾角和速率大小。
34
质点系动量定理
∑ maC = F e
3. 只有外力才能改变质点系质心的运动，内力不能改变 质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。
例如：
汽车靠什么外力启动？
——静滑动摩擦力
将 p = m v C 代入，并当质点系质量不变时，有
∑ m aC = F e
或
——质心运动定理
∑ m &r&C = F e
即：质点系的质量与其质心加速度的乘积，等于作用于
质点系外力系的主矢。
31
质点系动量定理
讨论：
∑ maC = F e
1. 应用时应取投影形式
直角坐标系
∑ maCx = Fxe
A
ωC Oϕ
B
19
质点系动量定理
二、动量定理 1. 质点的动量定理
d (mv) = F dt
即：质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力。
上式改写为 两边积分得
d( m v ) = F d t = d I
（动量的微分等于力的元冲量）
t2
∫ m v 2 − m v1 = F d t = I
t1
20
质点系动量定理
d (mv) = F dt
t2
∫ m v 2 − m v1 = F d t = I t1
投影形式
d dt
( mv
x)
=
Fx
d dt
( mv
y)
=
Fy
d dt
( mv
z)
=
Fz
t2
∫ mv2x − mv1x = Fx d t =I x
t1
t2
∫ mv2 y − mv1y = Fy d t =I y
∑ p2x − p1x =
I
e x
∑ p2 y − p1y =
I
e y
∑ p2z − p1z =
I
e z
25
质点系动量定理
守恒形式
d p =∑ Fe
dt
若 ∑ F e = 0 ，则 p = p0 = 常矢量；
若 ∑ Fxe = 0 ，则 px = p0x = 常量。
——质点系动量守恒定律
注意：内力虽不能改变 整个质点系的动量，但 可以引起系统内各质点 动量的传递。
思考：当汽车制动时，又是什么外力使汽车的质心运动
停止的呢？
35
质点系动量定理
4. 质心运动守恒定律
∑ maC = F e
z 若 ∑ F e = 0 ，则 aC = 0 , vC = 常矢量，
即质心作匀速直线运动；
z 若开始时系统静止，即vC0 = 0 ，则 rC = 常矢量，
即质心位置始终保持不变。
z 方向与 v 相同；
z 单位：kg⋅m/s 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
2.质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和。
∑ p = mivi 12
质点系动量定理
2.质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和。
∑ p = mivi
= mvC
即：质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积。 在直角坐标轴上的投影：
内力：所考察的质点系内各质点 之间相互作用的力。
∑Fi =0
∑M
i O
=
0
F´e Fe
F´i Fi
考察的质点系
6
质点系动量定理
第9章 质点系动量定理
§9-1 动量定理 §9-2 质心运动定理 §9-3 本章讨论与小结
7
质点系动量定理
几个有意义的问题
？ 太空拔河，谁胜谁负
8
质点系动量定理
？ 蹲在磅秤上的人站起来时
∑ ∑ ∑ d dt
(mi
vi
)
=
Fie +
Fi i
∑ ∑ d dt
(mivi
)
=
d dt
(mivi
)
=
dp dt
∑∑ ddpp==
ddt t
FFi e e ——质点系的动量定理
即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 外力系的主矢。
23
质点系动量定理
d p =∑Fe
dt
即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 外力系的主矢。
t1
t2
∫ mv2z − mv1z = Fz d t =I z
t1
21
质点系动量定理
投影形式
d dt
( mv
x)
=
Fx
d dt
( mv
y)
=
Fy
d dt
( mv
z)
=
Fz
守恒形式
d (mv) = F dt
t2
∫ mv2x − mv1x = Fx d t =I x t1 t2
∫ mv2 y − mv1y = Fy d t =I y t1 t2
第一类：已知质点系质心的运动，求作用于质点系的 外力（包括约束力）；
第二类：已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
思考：若已知质点系一部分的运动，则如何求另一 部分的运动？
38
质点系动量定理
[例9-4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为
m1，转子质量为m2 。设转子的轴通过定子质心O1，由于 制造误差，转子质心 O2到 O1的距离为e 。求转子以匀角