平面与圆锥面的截线 课件

当 β>α 时，由上面的讨论可知， 平面 π 与圆锥的交线是一个封闭曲 线．设两个球与平面 π 的切点分别为 F1、F2，与圆锥相切于圆 S1、S2.
在截面的曲线上任取一点 P，连接 PF1、PF2.过 P 作母线 交 S1 于 Q1，交 S2 于 Q2，于是 PF1 和 PQ1 是从 P 到上方球的 两条切线，因此 PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正 射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的 正射影．
1．下列说法正确的是
()
A．平行射影是正射影
B．正射影是平行射影
C．同一个图形的平行射影和正射影相同
D．圆的平行射影不可能是圆 解析：正射影是平行射影的特例，则选项 A 不正确，选项 B
答案：3 2 2
5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为 2 的 圆，另一平面与圆柱的轴成 30°角，求截线的长轴、短轴和 离心率．
解：由题意可知椭圆的短轴为 2b＝2×2， ∴短轴长为 4. 设长轴长为 2a，则有22ba＝sin 30°＝12，
∴2a＝4b＝8.e＝ac＝ 23.
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∴长轴长为
平行射影
[例 1] 如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行
射影是
()
A．椭圆
B．圆
C．线段
D．射线
[思路点拨] 要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投
影面与椭圆所在平面的位置关系．
[解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平 行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．
[答案] A
6．圆锥的顶角为 50°，圆锥的截面与轴线所成的角为 30°，则
截线是
()
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：由 α＝520°＝25°，φ＝30°，φ>α，
∴截线是椭圆．
答案：B
7．如图，已知平面 π 与圆锥的轴的夹角为 β，圆锥母线与轴的 夹角为 α，α＝β，求证：平面 π 与圆锥的交线为抛物线．
证明：当 β＝α 时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭 合．在圆锥内嵌入一个 Dandelin 球与圆锥交线为圆 S.记圆 S 所在平面为 π′，π 与 π′的交线记为 m.球切 π 于 F1 点． 在截口上任取一点 P，过 P 作 PA⊥m 于 A，过 P 作 PB⊥平 面 π′于 B，过 P 作圆锥的母线交平面 π′于 C，连接 AB， PF1，BC.由切线长定理，PF1＝PC. ∵PB 平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α. 在 Rt△ABP 中，PA＝cPosBβ，在 Rt△BCP 中，PC＝cPosBα. ∵α＝β，∴PC＝PA.∴PF1＝PA，即截口上任一点到定点 F 和到定直线 m 的距离相等．∴截口曲线为抛物线．
3．已知△ABC 的边 BC 在平面 α 内，A 在平面 α 上的射影为 A′(A′不在 BC 上)． (1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC 为钝角三角形； (2)当∠BAC＝60°时，AB、AC 与平面 α 所成的角分别是 30° 和 45°时，求 cos∠BA′C. 解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C， ∴A′B2＋A′C2<AB2＋AC2＝BC2. ∴cos ∠BA′C＝A′B2A2＋′AB′·AC′2－C BC2<0. ∴∠BA′C 为钝角．∴△A′BC 为钝角三角形．
正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射
影就是正射影，否则不相同，则选项 C 不正确；当投影线
垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，
则选项 D 不正确． 答案：B
2．梯形 ABCD 中，AB∥CD，若梯形不在 α 内，则它在 α 上的射影是____________． 解析：如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向，则梯 形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段． 如果梯形 ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平行线 的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形 ABCD 在平面 α 上的射影仍是梯形． 答案：一条线段或梯形
(2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.
设 AA′＝1，则 A′B＝ 3，A′C＝1，AC＝ 2，AB＝2，
∴BC＝ AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC
＝ 6－2 2，
cos
∠BA′C＝A′B2A2＋′AB′·AC′2－C BC2＝
6－ 3
3 .
平面与圆柱面的截线
[例 2] 如图，在圆柱 O1O2 内嵌入双球，使它 们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1 和⊙O2，并且 和圆柱的斜截面相切，切点分别为 F1、F2.
8，短轴长为
4，离心率为
3 2.
平面与圆锥面的截线
[例 3] 证明：定理 2 的结论(1)，即 β>α 时，平面 π 与圆 锥的交线为椭圆．
[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理 1 的方法证明，即 Dandelin 双球法．
[证明] 如图，在圆锥内部嵌入 Dandelin 双球，一个位于平面 π 的上 方，一个位于平面 π 的下方，并且与 平面 π 及圆锥均相切．
1．正射影的概念 给定一个平面 α，从一点 A作__平__面___α__的__垂__线__，__垂__足__为__点__A_′ ， 称__点___A_′___为点 A 在平面 α 上的正射影． 一个图形上___点__A_′__所组成的图形，称为这个图形在平面 α 上的正射影．
2．平行射影 设直线 l 与平面 α 相交，称___直__线___l _的__方__向___为投影方 向，过点 A 作___平__行__于___l__的直线(称为投影线)必交 α 于一 点 A′，称__点__A__′_为 A 沿 l 的方向在平面 α 上的平行射影． 一个图形上__各__点__在__平___面__α__上__的__平__行__射__影_____所组成的
求证：斜截面与圆柱面的截线是以 F1、F2 为 焦点的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平 面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
[证明] 如图，设点 P 为曲线上任一点，连 接 PF1、PF2，则 PF1、PF2 分别是两个球面的切 线，切点为 F1、F2，过 P 作母线，与两球面分别 相交于 K1、K2，则 PK1、PK2 分别是两球面的切 线，切点为 K1、K2.
根据切线长定理的空间推广 ， 知 PF1＝PK1，PF2＝PK2， 所以 PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于 K1K2 为定值，故点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的 椭圆．
(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用 Dandelin 双球 确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．
所以 PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2 的长度等于两圆 S1、S2 所在平 行平面间的母线段的长度而与 P 的位置无关，由此我们可知 在 β>α 时，平面 π 与圆锥的交线为一个椭圆．
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空 间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形 状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用 Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明， 使问题得到解决．
(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球 的切线，切线长都相等)．
4．一平面与圆柱面的母线成 45°角，平面与圆柱面的截线椭 圆的长轴为 6，则圆柱面的半径为________． 解析：由 2a＝6，即 a＝3，又 e＝cos 45°＝ 22， 故 b＝c＝ea＝ 22×3＝322，即为圆柱面的半径．
图形，叫做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行 的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与 投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图 形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积 要小于原投影图形的面积．
4．两个定理 (1)定理 1：圆柱形物体的斜截口是__椭__圆___． (2)定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线的 圆锥面，任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行时， 记 β＝0)，则 ①β>α，平面 π 与圆锥的交线为_椭__圆__． ②β＝α，平面 π 与圆锥的交线为_抛__物__线___． ③β<α，平面 π 与圆锥的交线为__双__曲__线___．