2012年海淀区高三一模数学文科

北京海淀区2012年高三一模文科数学试题
2012.04．05
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B =
（A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- 2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=
（A ）26
（B ）40 （C ）54
（D ）80
3、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =
（A ）1 （B
（C ）2 （D ）4 4、过双曲线
2
2
19
16
x
y
-
=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是
（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
6、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、
纵坐
标都是整数的点，则整数a 的值为
（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）0
7、已知函数2,1,
()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩
若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得
12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是
（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-
8、在棱长为1的正方体''''A B C D A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足
'2PA PC +=的点P 的个数为
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
A'
B'
C'
D'
A B
C
D
9、复数
2i 1i
-在复平面内所对应的点的坐标为 .
10、若tan 2α=，则sin 2α= .
11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .
12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .
13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P
大于1（其
中
'EQ Q P EP
Q
=-，'Q 是Q 的导数）
，则商品价格P 的取值范围是 . 14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïî
R Q Q ð 则()()______f f x =；
下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；
② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；
③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得A B C ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）
已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.
（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .
已知()2
f A =
，a =，试判断A B C ∆的形状.
16、（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如
图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. （Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学
校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.
俯视图
17、（本小题满分14分）
已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠= （如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D 翻折，使点C 翻折到
点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；
（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．
18、（本小题满分13分）
已知函数2
11()ln (0)2
2
f x a x x a a =-
+
∈≠且R .
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
19、（本小题满分13分）
已知椭圆:
C 222
2
1 (0)x y a b a
b
+
=>>的右顶点(2,0)A
，离心率为
2
，O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求
D E A P
的取值范围.
20、（本小题满分14分）
对于集合M ，定义函数1,,()1,.
M x M f x x M -∈⎧=⎨
∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-.
已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.
（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.
（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值
.
A
B
C
D
图1
M F
E
A
B
C 1
D
图2
海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）
参考答案及评分标准 2012．04
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、
45
11、22(4)(4)25x y -+-=
12、3
，
2
； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）()sin sin()3
f x x x π=+-1sin sin 2
2x x x =+
-
…………………2分
3
sin cos 2
2
x x =
-1cos 22x x ÷
÷=-÷÷ )6
x π=-.…………………4分
由22,2
6
2
k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,3
3
k x k k ππππ-<<+ Z .
所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33
k k ππππ-+
，k ÎZ . ………………………6分
（Ⅱ）因为 ()2
f A =，所以)62
A π-=所以1sin()6
2
A π-=. ………………7分
因为 0A π<<，所以 566
6
A πππ-<-<
. 所以 3
A π=
. ……………………………………9分
因为
sin sin a b A
B
=
，a =，所以 1sin 2B =
. ………………………11分 因为 a b >，3
A π=，所以 6
B π=.所以 2
C π=
.
所以 A B C ∆为直角三角形. ………………………………………13分
16、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
所以0.0125x =. …………………6分
（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分
因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分 17、（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//F M B D ． ……………2分
又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//B D 平面EM F ．……………4分
（Ⅱ）在菱形A B C D 中，设O 为,AC BD 的交点, 则A C B D ⊥．………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD -中，
1,C O BD AO BD ⊥⊥.
又 1,C O AO O =
所以 B D ⊥平面1A O C ． ………7分
又 1AC ⊂平面1A O C ，所以 B D ⊥1AC ． ………………………………………9分 （Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形A B C D 中，,60D A AB BAD =∠= ， 所以 ABD ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E AB ⊥． 又 EF AB ⊥，EF DE E = ．
所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D E C ．………12分 又 1C E ⊂平面1D E C ，所以 A B ⊥1C E ．
因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以 114AC BC ==． …………………14分
18、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2
'()a x a
f x x x x
-+=
-=
.…………………2分
当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分 当0a >时，令'()0f x =
得x =
x =（舍）.
函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：
所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分 综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；
当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
M F
E
A
B C 1
D
O M F
E
A
B C 1
D
当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.
所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分 当0a >时，
①
当1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.
所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分 ②
当1>，即1a >时，()f x
在上单调递增， 所以
(1)f f >.又 (1)0f =，
所以
0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ...........................12分 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ . (13)
19、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又
2
c a
=
，所以
c =所以 222
431b a c =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为
2
2
14
x
y +=. ……………3分
（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2DE =.
所以 ||1||
2
D E AP =. ………………………………………5分
当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k
=-
. ………………………………………6分
由 22
(2),
14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222
(14)161640k x k x k +-+-=. 所以 2
02
162.41
k
x k +=
+
所以 2
02
82.41
k x k =
+-………………………………8分
所以
||AP =
=
即 2
||41
AP k =
+.
类似可求||D E =
所以
2
||||
41
D E AP k =
=
+
………………11分
设t =则22
4k t =-，2t >.
2
2
||4(4)1
415
(2).||
D E t t t AP t
t
-+-=
=
>
令2
415
()(2)t g t t t
-=
>，则2
2
415'()0t g t t
+=
>.
所以 ()g t 是一个增函数.所以
2
||415
4415
1||
2
2
D E t AP t
-⨯-=
>
=
.
综上，
||||
D E A P 的取值范围是1
[,)2
+ . ………………………………………13分
20、（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .
那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆
()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.
所以 2W Î，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分
（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.
若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆
()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.
所以 集合W 中的元素只能来自A B .
若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()
Card X A Card X B ∆+∆的值不变.
综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分。