2011年沈阳工业大学考博真题2001数值分析

2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。

2011年秋季工学硕士研究生学位课程数值分析真题试卷B_真题-无答案

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分28,考试时间90分钟)1. 填空题填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

1. 设｜x｜>>1，计算时，为了提高精度应把它变形为______2. 求积分∫abf（x）dx的两点Gauss公式为______3. 设A=则‖A‖∞=______，‖A‖2=______．4. 给定f(x)=x4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．5. 己知差分格式当步长比r≤______时，该差分格式在L∞范数下是稳定的．2. 计算题1. 给定方程lnx-x2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．2. 用列主元Gauss消去法求下面线性方程组的解：3. 综合题1. 设A=是非奇异矩阵，试用α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分必要条件．2. 设x0，x1，x2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x0，x1，x2的关系，使满足如下三个条件p(x0)=a，p"(x1)=m，p(x2)=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．3. 求y=｜x｜在[-1，1]上形如c0+c1x2的最佳平方逼近多项式．4. 已知函数f(x)∈C3[0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式≈Af(0)+Bf(1)+Cf(2)代数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．5. 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，xi=a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，yn收敛于y(a)．6. 已知椭圆方程边值问题其中Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．。

数值分析历年考题知识分享

数值分析历年考题知识分享数值分析历年考题数值分析A 试题2007.1第⼀部分：填空题10?51.设3112A ??=,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??=分解成T A LL =，则对⾓元为正的下三⾓阵L =___________ 3.已知数据,请⽤线性最⼩⼆乘拟合⽅法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a =___________ b =___________4.⽅程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有个根，若初值取00.95x =，迭代⽅法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是 5.解⽅程2210x x -+=的Newton 迭代⽅法为___________，其收敛阶为___________6.设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________b =___________7.要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+?的代数精度尽可能⾼，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.⽤线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该⽅法的局部截断误差为___________，设,0,f y µµ=?其绝对稳定性空间是___________9.⽤线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该⽅法的阶尽可能⾼，那么a = ___________ b =___________，此时该⽅法是⼏阶的：___________10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8L x x x =-+,求积分1241()()ax bx c L x dx -++=?___________其中,,a b c 为常数。

2011数值分析试题及答案

122446
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
• • •

[考研类试卷]2011年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc

[考研类试卷]2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B
1 设x=1．231，y=0．5122是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数e xy的绝对误差限和相对误差限．
2 给定方程x3+2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到4位有效数字．
3 用列主元Gauss 消去法求下面线性方程组的解：
4 给定线性方程组写出求解上述方程组的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析收敛性．
5 已知f(x)=xe x，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，
H'(0)=f'(0)，H"(1)=f"(1)．
6 求a，b ，使得积分取最小值．
7 试用Simpson 公式计算积分的近似值，精确到4位有效数字．
8 给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，
x i=a+ih，i=0，1，2，…，n；y i≈y(x i)，1≤i≤n，y0=η．求常数A，B，使数值求解公
式y i+1=y i十h[A，(x i+1,y i+1)+f(x i，y i)+Bf(x i-1,y i-1)]，1≤i≤n-1的阶数尽可能高，并
求出公式的阶数和局部截断误差表达式．
答案见麦多课文库。

沈阳工业大学2020年《2001 数值分析》考博专业课真题试卷

为A =
，矩阵范数 A 与向量范数 x 相容指的是
。
v
v
v
5、设有方程 f (x) = 0 ，则求该方程单根的牛顿法的迭代格式为
，若 x 是此方程的重根，
且已知重数为 m ，则求 x 的具有二阶收敛性的牛顿法迭代格式为
。
二、（16 分）简答题
b
n
1、设有积分 I = a (x) f (x)dx ，其中 (x) 是权函数， In = Ak f (xk ) 是求积分 I 的插值型求积公式。
科目名称：数值分析
第 2 页共 2 页
2、对于下面给定的数据 (xi , yi ), i =1, 2,3, 4,5 和给定的权 i , i = 1, 2,3, 4,5 ，利用最小二乘法求形如
p(x) = a + bx2 的拟合多项式。（10 分）
xi
-2
-1
0
1
2
yi
0
1
2
1
0
i
0.1
0.2
0.4
f
(4) ( 4!
)
(x
−
x0
)2
(x
−
x1)2
，其中
( x0 ,
x1)
且与
x
有关。
（6 分）
b
2、设有积分 I = a f (x)dx ，被积函数 f (x) 在[a,b] 上连续， Sn 是将区间[a,b] 作 n 等分之后所得的复化
辛普森求积公式。请推导
S
n
的表达式，并证明
lim
n→
Sn
0.2
0.1
3、设有方程组
4xx11
+ +

2011年春季学期《信息与计算科学专业》数值分析课程考试试卷(A卷)答案及评分标准

2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++=)(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2=221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差. 解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由.解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛. 收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度. 解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=32)2143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==])43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21()41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)

2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)D222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ-- ……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2211/2 ………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式. (用勒让德正交多项式2121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21iiP P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。