概率统计第一章

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概率统计学第一章

概率统计学第一章

开 关 a,b,c闭
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《概率论与数理统计》第01章习题解答

《概率论与数理统计》第01章习题解答

第一章 随机事件及其概率第1章1、解:(1){}2,3,4,5,6,7S = (2){} ,4,3,2=S (3){} ,,,TTH TH H S =(4){}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件,已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ,求)(B A P ,)(B A P ,)(AB P ,)])([(AB B A P 解:81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解:用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0,1,2,3,4,5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中,任取一个三位数,(1)该数是奇数的概率;(2)求该数大于330的概率。

解:用A 表示事件“取到的三位数是奇数”,用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2) 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球,4只红球,3只黑球,在其中任取4只,求下列事件的概率(1)4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球; (2)4只中至少有2只红球; (3)4只中没有白球解:用A 表示事件“4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球”(1)412131425)(C C C C A P ==495120=338(2)用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= (3)用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解:用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解:用A 表示事件“3只球至少有1只配对”,B 表示事件“没有配对”(1)3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P (2)31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、(1)设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ,求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ;(2)袋中有6只白球,5只红球每次在袋中任取一只球,若取到白球,放回,并放入1只白球,若取到红球不放回也不再放回另外的球,连续取球四次,求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

概率统计第一章每一节习题

概率统计第一章每一节习题

概率统计第一章每一节习题第一章 随机事件与概率习题一 随机事件一、填空题1. E :将一枚均匀的硬币抛三次,观察结果,则正面出现次数的样本空间=Ω .2.某商场出售电器设备,以事件A 表示“出售74 Cm 海信电视机”,以事件B 表示“出售74 Cm 长虹电视机”,则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ;至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ;两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3.设A ,B ,C 表示三个随机事件,试通过A ,B ,C 表示下列随机事件:A 发生而B ,C 都不发生为 ;A ,B ,C 不多于一个发生 .4.设事件n A A A A ,,,,321 若 ; ,则称n A A A A ,,,,321 为完备事件组.5.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.二、设{1,2,,10}Ω= ,{2,3,4}A =,{3,4,5}B =,{5,6,7}.C =写出下列算式表示的集合: 1. AB 2.A B C ++3._____________A B C ++三、写出下式的另外一种形式表达式 1.=++n A A 1 2.=++n A A 1习题二随机事件的概率一、填空题1.概率是事件的自然属性,有事件就一定有 .2.古典概型的两个条件是,.3.今有10张电影票,其中只有2张座号在第一排,现采取抽签方式发放给10名同学,则.A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约二、8件产品中有5件是一级品,3件是二级品,现从中任取2件,求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率:( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取;( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取.三、有n位同学(n 365),求他们至少有两个人的生日在同一天的概率(一年按365天计算).四、从1,2,…,10这十个数中等可能地任取一个,然后还原,先后取出7个数,试求下列各事件的概率:(1)7个数全不相同;(2)不含9和2;(3)8出现三次.习题三 概率的运算法则一、填空1.设事件,,B A =+)(B A P ,当A ,B 互斥时=+)(B A P .2.设事件,,B A =-)(B A P , )(A P )(AB P .3.设事件C B A ,, =++)(C B A P .4.设事件组n A A A A ,,,,321 ,)(21n A A A P = .5.=)|(A B P .6.=+)|(21B A A P . (条件概率的加法公式)二、袋中装有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,求取到的三个球中没有红球或没有黄球的概率.三、某工厂生产的产品中,36%为一等品,54%为二等品,10%为三等品,任取一件产品,已知它不是三等品,求它是一等品的概率.四、10个签中有4个是难签,3人参加抽签(无放回),甲先、乙次、丙最后.求甲抽到难签、甲乙都抽到难签、甲没有抽到难签而乙抽到难签及甲乙丙都抽到难签的概率。

概率统计教案1

概率统计教案1

第一章随机事件与概率一、教材说明本章内容包括:样本空间、随机事件及其运算,概率的定义及其确定方法(频率方法、古典方法、几何方法及主观方法),概率的性质、条件概率的定义及三大公式,以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。

随机事件、概率的定义和性质是基础,概率的计算是基本内容,条件概率及事件独立性是深化。

1.教学目的与教学要求本章的教学目的是:(1)使学生了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,熟练掌握事件之间的关系和运算;(2)使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算;(3)使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。

本章的教学要求是:(1)理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念;(2)熟练掌握事件之间的关系和运算,利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题;(3)掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。

2.本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式,全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。

二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。

1.1 随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容,简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。

一、随机现象1.定义在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

例(1)抛一枚硬币,有可能正面朝上,也有可能反面朝上;(2)掷一颗骰子,出现的点数;(3)一天内进入某超市的顾客数;(4)某种型号电视机的寿命;(5)测量某物理量(长度、直径等)的误差。

随机现象到处可见。

2.特点:结果不止一个;哪一个结果出现事先不知道。

3.随机试验:在相同条件下可以重复的随机现象。

二、样本空间1.样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合,记为其中,ω表示基本结果,称为样本点。

概率统计 第一章 概率论的基础知识

概率统计   第一章 概率论的基础知识

7 (1) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 10 3 (2) P( A B) 1 P( A B) 10 2 (3) P( A B) P( A) P( AB) 5
条件概率
已知事件A发生的条件下,事件B发生 的概率称为A条件下B的条件概率,记 作P(B|A)
27! 3! 9! 9! 9! 50 P( A) N (S ) 203
7 10 10 3 C 27 C 20 C10 18 P( B) N (S ) 203
4、 随机取数问题
例4:从1,2,3,4,5诸数中,任取3个排成自左向右的次序, 求: (1)
A1 “所得三位数是偶数”的概率? (2) A2 “所得三位数不小于200”的概率?

任何事件均对应着样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
例1
定义
E4: 掷一颗骰子,考察可能出现的点数。 S4={1,2,3,4,5,6}; A=“掷出偶数点” B=“掷出大于4的点 ” ={2,4,6} ={5,6} C=“掷出奇数点”={1,3,5}
样本空间的子集称为随机事件。

n n1 nm 2 ! nm 1 !n n1 nm 1 !
n! n1!....nm !
种取法.
1、抽球问题
例1:设盒中有3个白球,2个红球,现从盒中 任抽2个球,求取到一红一白的概率。
解:设事件A为取到一红一白
N (S ) C

2 5
N ( A) C C
一般地,设A、B是S中的两个事件,则
P( AB) P( B | A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

概率统计第一章答案

概率统计第一章答案

概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第一章 概率论的基本概念教学要求:一、了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算.二、理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式.三、理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算,理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.重点:事件的表示与事件的独立性;概率的性质与计算.难点:复杂事件的表示与分解;试验概型的选定与正确运用公式计算概率;条件概率的理解与应用;独立性的应用.练习一 随机试验、样本空间、随机事件1.写出下列随机事件的样本空间(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子点数之和;(2)生产产品直到有5件正品为止,记录生产产品的总件数;(3)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解:(1){=Ω2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}; (2){=Ω5;6;7;…};(3)(){}1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件,用C B A ,,的运算关系表示下列事件:(1)A 发生,B 与C 不发生,记为 C B A ;(2)C B A ,,至少有一个发生,记为C B A ;(3) C B A ,,中只有一个发生,记为C B A C B A C B A ;(4)C B A ,,中不多于两个发生,记为ABC .3.一盒中有3个黑球,2个白球,现从中依次取球,每次取一个,设i A ={第i 次取到黑球},,2,1=i 叙述下列事件的内涵:(1)21A A ={}次都取得黑球次、第第21.(2)21A A ={}次取得黑球次或地第21.(3)21A A ={}次都取得白球次、第第21 .(4)21A A ={}次取得白球次或地第21. (5)21A A -={}次取得白球次取得黑球,且第第21.4.若要击落飞机,必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱,记1A ={击毁第1个发动机};2A ={击毁第2个发动机};3A ={击毁驾驶舱};试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件.解:321A A A B =练习二 频率与概率、等可能概型(古典概率)1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 163)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率.解:由于 ,AB ABC ⊂ 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=169163414141=-++= 所以()().16716911=-=-=C B A P C B A P 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P ().解:因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ⊂则()()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=所以()()()().q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=3.已知在8只晶体管中有2只次品,在其中任取三次,取后不放回,求下列事件的概率:(1)三只都是正品;(2)两只是正品,一只是次品.解:(1)设=A {任取三次三只都是正品},则基本事件总数5638==C n ,A 包含基本事件数2036==C m ,于是 ()1455620==A P . (2)设=B {任取三次两只是正品,一只是次品},则基本事件总数5638==C n ,B 包含基本事件数,301226==C C m 于是().28155630==B P 4.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码,(1)求最小号码为6的概率;(2)求最大号码为6的概率.解:(1)设=A {最小号码为6},则基本事件总数,120310==C n A 包含基本事件数,624==C m 于是().2011206==A P (2)设=B {最大号码为6},则基本事件总数,120310==C n B 包含基本事件数,1025==C m 于是().12112010==B P 5.一盒中有2个黑球1个白球,现从中依次取球,每次取一个,设i A ={第i 次取到白球},3,2,1=i . 求)(i A P , 3,2,1=i .解: ()311=A P ; ()=2A P 312312=⨯⨯, ()311231123=⨯⨯⨯⨯=A P . 6.掷两颗均匀的骰子,问点数之和等于7与等于8的概率哪个大?解:样本空间基本事件总数,3666=⨯=n 设=1A {点数之和等于7},=2A {点数之和等于8},则=1A {()()()()()()3,4;4,3;2,5;5,2;1,6;6,1},1A 包含基本事件数等于6 ;=2A {()()()()()3,5;5,3;4,4;2,6;6,2},2A 包含基本事件数等于5 ;于是 ()613661==A P ; ()3652=A P .所以()()21A P A P > . 7.一批产品共100件,对其抽样检查,整批产品不合格的条件是:在被检查的4件产品中至少有1件是废品.如果在该批产品有5﹪是废品,问该批产品被拒收的概率.解:设=A {被检查的4件产品至少有1件废品},则()812.05100495==C C A P ;所以 ()()188.01=-=A P A P .8.将3个球随机放入4个杯子中,求杯子中球数的最大值为2的概率.解:基本事件总数34444=⨯⨯=n ,设=A {杯子中球数最大值为2},则A 包含的基本事件数36131423==C C C m (3个球任取两个,然后4个杯子任取1个放入,再对1个球在3个杯子中任取一个放入),于是()3436=A P . 练习三 条件概率1.甲、乙两班共有70名同学,其中女同学40名.设甲班有30名同学,而女生15名.求在碰到甲班同学时,正好碰到1名女同学的概率.解:设=A {碰到甲班同学},=B {碰到乙班同学},则();7030=A P (),7015=AB P 于是 ()()()5.0301570307015====A P AB P A B P . 2.箱子里有10个白球,5个黄球,10个黑球.从中随机地抽取1个.已知它不是黑球,求它是黄球的概率.解:设=A {任取一个不是黑球},=B {任取一个是黄球},则(),532515==A P ();51255==B P 又A B ⊂ ,则()()B P AB P = ,于是()()()315351===A P AB P A B P3.某人有5把钥匙,其中2把能打开房门.从中随机地取1把试开房门,求第3次才打开房门的概率.解:设=i A {第i 次能打开门} ,;3,2,1=i 则 =321A A A {第3次才打开门},于是由乘法公式有53454.假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区就遭受水灾.设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2.当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3.求(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率;(2)当乙河泛滥时甲河流泛滥的概率.解:设=A {某时期甲河泛滥},=B =A {某时期乙河泛滥},则(),1.0=A P ()2.0=B P , ()3.0=A B P于是()()()()()()15.02.03.01.0=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P ()()()03.015.02.0=⨯==B A P B P AB P()()()()27.003.02.01.0=-+=-+=AB P B P A P B A P5. 甲、乙两车间加工同一种产品,已知甲、乙两车间出现废品的概率分别为3﹪、2﹪,加工的产品放在一起,且已知甲车间加工的产品是乙车间加工的产品的两倍.求任取一个产品是合格品的概率.解:设=A {任取一个为甲生产的产品},=B {任取一个产品为废品},则()()()()%2%,3,31,32====A B P A B P A P A P 由全概率公式有 ()()()()()752100231100332=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 6.设甲袋中有3个红球及1个白球.乙袋中有4个红球及2个白球.从甲袋中任取一个球(不看颜色)放到乙袋中后,再从乙袋中任取一个球,求最后取得红球的概率.解:设=A {从甲袋中任取一个球为红球},=B {最后从乙袋中任取一个球为红球},则 ()()()();74,75,41,43====A B P A B P A P A P 由全概率公式287474 7.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机的一次性抽取4只察看,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求:(1)顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率.解:设=i A {售货员任取一箱玻璃杯有i 个残品},2,1,0=i ,=B {顾客买下该箱玻璃杯},则()()();1.0,1.0,8.0210===A P A P A P()()();632.0,8.0,1420418242041910≈====C C A B P C C A B P A B P (1)由全概率公式得()()()()()()()943.0632.01.08.01.018.0221100=⨯+⨯+⨯≈++=A B P A P A B P A P A B P A P B P(2)由贝叶斯公式得 ()()()().848.0943.018.0000≈⨯==B P A B P A P B A P 8.已知一批产品中有95﹪是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率是0.03,求:(1)任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率;(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.解:设=A {任取一个产品为合格品},=B {任取一个产品被判为合格品},则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P于是(1) 任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率是 ()()()()()9325.003.005.098.095.0=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是 ()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P练习四 事件的独立性1.设甲、乙两人独立射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9和0.8,求在一次射击中目标被击中的概率.解:设 =A {甲击中目标},=B {乙击中目标}, 则=B A {目标被击中},()()8.0,9.0==B P A P ,于是()()()()()()()().98.08.0098.09.0=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P2.三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别是41,31,51,问能将此密码译出的概率是多少?解:设=i A {第i 人破译密码} ,;3,2,1=i =B {破译密码}, 则 ()()(),41,31,51321===A P A P A P 321A A A B =, 于是()()()()()()().5343325411111321321321=⨯⨯-=-=-=-=-=A P A P A P A A A P A A A P B P B P3.电路由元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成,且它们工作是相互独立的.设元件A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2,求电路发生间断的概率.解:设=D {电路正常},则()C A B A C B AD ==, 则 ()()()()()()()()()()().672.08.08.07.08.07.08.07.0=⨯⨯-⨯+⨯=-+=-+=C P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P D P 所以 ()()328.0672.011=-=-=D P D P4. 设每次射击时命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解:设至少要进行n 次独立射击,则至少击中一次的概率不小于0.9可表为: ()(),9.0011≥=-=≥k P k P n n由于,2.0=p 则,8.0=q 于是()n n k P 8.0101-==-,所以有,1.08.0≥n 即32.103.0ln 2.0ln =≥n所以至少进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.综合练习题一、选择题1.设事件B A ,,有A B ⊂,则下列式子正确的是( A ).(A ));()(A P B A P = (B) );()(A P AB P =(C) );()|(B P A B P = (D) ).()()(A P B P A B P -=-2.设A 与B 为两个相互独立的事件,0)(>A P ,0)(>B P ,则一定有=)(B A P ( B).(A ))()(B P A P + (B ))()(1B P A P -(C ))()(1B P A P + (D ))(1AB P -.3.设B A ,为两事件,且B A ⊃,则下列结论成立的是( C ).(A )A 与B 互斥;(B ) A 与B 互斥;(C)A 与B 互斥;(D) A 与 B 互斥.4.设B A ,为任意两事件,且,0)(,>⊂B P B A 则下列选择必然成立的是( C ).(A))|()(B A P A P <; (B) )|()(B A P A P >;(C) )|()(B A P A P ≤; (D) )|()(B A P A P ≥.5.假设事件A 和B 满足1)(=A B P ,则下列正确的是( D ).(A )A 是必然事件; (B )();0=A B P ; (C )A B ⊂ ; (D )B A ⊂.6.对于任意二事件B A ,( B ).(A) 若AB ≠∅,则B A ,一定独立; (B) ,AB ≠∅则B A ,有可能独立;(C) AB =∅,则B A ,一定独立; (D) AB ≠∅,则B A ,一定不独立;7.若事件A 和B 满足)}(1)}{(1{)(B P A P B A P --= ,则正确的是( D ).(A )互不相容与B A ; (B ) 互不相容与B A ;(C ) B A ⊃; (D ) 互为独立与B A .8.设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则( B ).(A )1)()()(-+≤B P A P C P ; (B )1)()()(-+≥B P A P C P ;(C ))()(AB P C P =; (D ))()(B A P C P =.9.设B A 、是两个事件,则=-)(B A P ( C ).(A ))()(B P A P -; (B ))()()(AB P B P A P +-;(C) )()(AB P A P -; (D) )()()(AB P B P A P ++.10.设C B A ,,是三个随机事件,41)()()(===C P B P A P ,81)(=AB P ,0)()(==AC P BC P ,则C B A ,,三个随机事件中至少有一个发生的概率是( B ).(A )43; (B ) 85; (C ) 83; (D ) 81. 11.某学生做电路实验,成功的概率是0(p ﹤p ﹤1),则在3次重复实验中至少失败1次的概率是( B ).(A )3p ; (B )31p -; (C )3)1(p -; (D )3)1(p -)1()1(22p P p p -+-+.12.设A P B P A P (,7.0)(,8.0)(==|8.0)=B ,则下面结论正确的是( A ).(A )事件A 与B 互相独立; (B )事件A 与B 互不相容;(C );B A ⊂ (D )).()()(B P A P B A P +=13.下列事件中与A 互不相容的事件是( D )(A )ABC ; (B) C B C B A ; (C) )(C B A ; (D) ))()((B A B A B A .14.若事件A 、B 相互独立且互不相容,则{}=)(),(min B P A P ( C ).(A) )(A P ; (B ) )(B P ; (C ) 0; (D ) )()(B P A P -.15.,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 设则( A ).(A) )()|(A P B A P = ; (B) A B =; (C) Φ≠AB ; (D) )()()(B P A P AB P ≠.二、填空题1.已知B A ⊂,3.0)(,2.0)(==B P A P ,则)(B A P - 0 .2.设7.0)(=A P ,5.0)(=B P .则的最小值为)(AB P 0.2 .3.三次独立的试验中,成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为2719,则每次试验成功的概率为 1/3 .4.已知()0.5,()0.8P A P B ==,且(|)0.8 P B A =,则=)(B A P 0.9 .5. 设5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ,则)|(B A A P = 20/29 .6.假设事件A 和B 满足1)(=A B P ,则A 和B 的关系是B A ⊂.7.已知7.0)(=A P ,3.0)(=-B A P ,则=)(AB P 0.4 . 8.已知41)(=A P ,31)(=AB P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 1/3 . 9.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则=)(A P 2/3 .10.设C B A ,,构成一个完备事件组,且()0.5,()0.7P A P B ==,则=)(C P 0.2 .11.设A 与B 为互不相容的事件,0)(>B P ,则=)(B A P 0 .12.设事件C B A ,,两两互斥,且,4.0)(,3.0)(,2.0)(===C P B P A P则=-])[(C B A P 0.5 .13.设事件A 与B 相互独立,已知1)()(-==a B P A P ,97)(=B A P ,则=a 5/3或4/3 .14.甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为6.0和5.0,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 3/4 .15.假设随机事件A 与B 满足),()(B A P AB P =且p A P =)(,则=)(B P p -1.三、应用题1.甲、乙、丙3人同向一飞机射击,设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7.如果只有一人击中飞机,则飞机被击落的概率是0.2;如果有2人击中飞机,则飞机被击落的概率是0.6;如果3人都击中飞机,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解:设=i A {第i 人击中飞机},=i 甲,乙,丙;=i B {i 人击中飞机};3,2,1,0=i ,=C {飞机被击落};则()()();7.0;5.0;4.0321===A P A P A P()()()()36.03213213211=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()()()41.03213213212=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()14.03213==A A A P B P ;(),2.01=B C P (),6.02=B C P ();13=B C P所以()()()()()()()458.0332211=++=B C P B P B C P B P B C P B P C P2.甲、乙2人投篮命中率分别为0.7,0.8,每人投篮三次,求(1)两人进球数相等的概率;(2)甲比乙进球数多的概率. 解:设=i A {甲人三次投篮进i 个球},=i B {乙人三次投篮进i 个球},则()(),027.07.0130=-=A P ()(),189.07.017.02131=-⨯⨯=C A P()()(),411.07.017.02232=-⨯⨯=C A P ()();343.07.03333=⨯=C A P()(),008.08.0130=-=B P ()(),096.08.018.02131=-⨯⨯=C B P()()(),384.08.018.02232=-⨯⨯=C B P ()();512.08.033==B P(1)=C {两人进球相等}33221100B A B A B A B A =,()()()()()()()()()()()()();36332.03322110033221100=+++=+++=B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P (2)=D { 甲比乙进球数多}331303120201B A B A B A B A B A B A =()()()()()()()()()()()()().21476.0231303120201=+++++=B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P D P3.一射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3.该射手3发子弹得到不小于29环的概率.解:设=1A {命中10环},=2A {命中9环},则;,2121Ω=Φ=A A A A 于是=B {3发子弹得到不小于29环}={3发子弹均为10环} {有2发击中10环},所以()()()()()()784.03.07.03.07.023223033333=⨯⨯+⨯⨯=+=C C P P B P4.有2500人参加人寿保险,每年初每人向保险公司交付保险费12元.若在这一年内投保人死亡,则其家属可以向保险公司领取2000元.假设每人在这一年内死亡的概率都是0.002,求保险公司获利不少于10000元的概率.解:设参加保险的人中有x 人死亡,当,100002000122500≥-⨯x 即10≤x 时,保险公司获利不少于10000元。

第一章概率统计基础知识

第一章概率统计基础知识
一定面积下平均点数 X一定面积下出现的点数
例题
抽取1个产品
每个产品平均缺陷2个 抽取的产品出现X个(与的大小有关)
例题
抽取100个产品
平均50个瑕疵点 抽取的100个产品有X个缺陷点
泊松分布运算
P( X x) E( X ) Var ( X )
二项分布概率公式
b(n,p) P(x)
E(X)=np Var(x)=np(1-p)
例题
过程不合格品率0.1,抽取6个产品,出现1 个不合格品的概率 平均出现几个不合格品 方差是多少
例题
X服从b(100,0.1),则X的均值和标准 差为
(二)泊松分布
一定面积下出现的点数
独立时间和互不相容事件
不相容事件:无共同样本点 独立事件:相互独立
例题
5个部件工作独立,正常工作的概率为90%, 系统正常工作的概率 系统不工作的概率
例题
从一批产品中抽取10个产品,抽到0个不合 格品的概率为40%,抽到1个不合格品的概 率为30%, 抽到2个以上的概率
放回取样
10个产品 2个不合格品 取4个产品 1个不合格品 所有取法:
10
4
1个不合格品的取法 概率
10 2 (10 2)
1
1
41
10 2 (10 2) P( A) 4 10
4 1
放回取样
10个产品 2个不合格品 取4个产品 2个不合格品 所有取法:

Var ( x)
1

2
例题
指数分布 =0.004 P(200X500) E(X) Var(x)

概率论与数理统计第一章习题参考答案

概率论与数理统计第一章习题参考答案

概率论与数理统计第一章习题参考答案第一章随机事件及其概率1.解决方案:(1)s??2,3,4,5,67? (2) s??2,3,4,?? (3) s??h、 th,tth,??(4)s??hh,ht,t1,t2,t3,t4,t5,t6?2.解:?p(a)?14,p(b)?12,p(ab)?1814? 12? 18? 58? p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?p(ab)?p(b)?p(ab)=?p(ab)?1?p(ab)?1?1812??7818?38p[(a?b)(ab)]?p[(a?b)?(ab)]p(ab)p(ab)(abab)5818123.解决方案:使用a表示事件“获得的三位数不包含数字1”P(a)?C8C9C990011?8.9? 9900? 一千八百二十五4、解:用a表示事件“取到的三位数是奇数”,用b表示事件“取到的三位数大于330”(1)p(a)?c3c4c4ca121525111?3?4?45?5?41=0.482) p(b)?c2a5?c2c4c5a5121?2.5.4.1.2.45? 5.4=0.485、解:用a表示事件“4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球”,用b表示事件“4只中至少有2只红球”,用c表示事件“4只中没有只白球”(1)p(a)?c5c4c3c12132114=1204954=833(2) p(b)?1.c4c8?c8c412=202195?67165或p(b)?c4c8?c4c8?c4c41222314?67165一(3)p(c)?c7c4412?35495?7996.解决方案:使用a表示事件“在特定销售点获得的K提单”P(a)?cn(m?1)mnkn?K7、解:用a表示事件“3只球至少有1只配对”,用b表示事件“没有配对”(1)p(a)?(2)p(b)?3?13?2?12?1?13?2?1??2313或p(a)?1?2.1.13? 2.1.238、解p(a)?0.5,p(b)?0.3,p(ab)?0.1p(ab)p(b)p(ab)p(a)(1)p(ab)??0.10.30.10.5? 1315,p(ba)p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?0.5? 0.3? 0.1? 零点七p[a(a?b)]p(a?b)p(a?ab)p(a?b)p(ab)p(a?b)p(aa?b)p(ab)p(a?b)0.10.717?0.50.7?57 p(aba?b)?p[(ab)(a?b)]p(a?b)p(ab)p(ab)p(aab)?p[a(ab)]p(ab)??1(2)设定人工智能??第一次拿到白球?我1,2,3,4则p(a1a2a3a4)?p(a1)p(a2a1)p(a3a1a2)p(a4a1a2a3)?611?712?513?412?84020592?0.04089.解决方案:用a表示“两个球中至少有一个红球”,用B表示“两个都是红球”。

《概率论与统计原理》第1章

《概率论与统计原理》第1章
P (B) =
P (A ) P ( B A )
i
i 1
i
n
例13 两台车床加工同样的零件,第一台的废品率为 0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混 放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 倍。现任取一零件,求它是的合格品的概率。
1.5.4 贝叶斯公式
设 Ai ( i =1,2,…,n)是样本空间的一个划分,且 P( Ai )>0,则对任意事件 B,有
例10 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC) =P(BC)=1/16,P(AB)=0,求事件A,B,C都 不发生的概率。
§1.5
条件概率和事件的独立性
1.5.1 条件概率 在事件 B 发生的条件下,事件 A的条件概率为
P( AB) P( B A) P( A) 理解条件概率的意义
第一章 事件的概率
§1.1 随机事件和样本空间
1.1.1 随机现象与随机试验 1、确定性现象和随机现象
确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象
随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的 现象,其出现的结果不确定 概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性
2、随机试验
对随机现象的观察称为随机试验,简称为试验,用 字母E来表示 随机试验的特点: (1)可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行
(2)可观测性 每次试验的可能结果不止一个,而且 事先能明确试验的所有可能结果
(3)随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现 的结果 一些随机试验的例子: E1:掷一颗均匀对称的骰子,观察出现的点数
E2:记录一段时间内某城市110报警次数 E3:从含有三件次品a1,a2,a3和三件正品b1,b2, b3的六件产品中,任取两件,观察出现正品和次品 的情况 E4:从一批电脑中任取一台,观察无故障运行的时 间 E5:设平面上有一簇间距为a的平行线,现反复用一 枚长度为l(l<a)的针投掷下去,投掷n次后,观察 针与平行线相交的数目 E6:向坐标平面区域D:x2 +y2≤100内随机投掷一点 (假设点必落在D内),观察落点M的坐标

概率统计 期末复习-经管(1)

概率统计 期末复习-经管(1)

第一章 随机事件及其概率一、基本概念1. 事件的关系与运算、运算规律因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理。

事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,对偶律:A B A B = ,A B A B =2、概率的定义频率:A n n f (A )n=,其中n 为试验次数, A n 为事件A 发生的次数概率的统计定义:在相同条件下重复进行n 次试验,若事件A 发生的频率A n n f (A )n=随着试验次数n 的增大而稳定地在某个常数p ()10≤≤p 附近摆动,则称p 为事件的概率,记为)(A P古典概型:具有下列两个特征的随机试验模型: 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同.概率的古典定义:在古典概型的假设下,设事件A包含其样本空间S中k个基本事件, 即},{}{}{21ki i i e e e A =则事件A发生的概率.)()()(11中基本事件的总数包含的基本事件数S A n k e P e P A P kj i k j i jj====∑== 概率的公理化定义:设E 是随机试验, S 是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件: 1. 非负性:对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性:1)(=S P ;3. 可列可加性:设,,21A A 是两两互不相容的事件,则有.)()(11∑∞=∞==i ii i A P A P 则称)(A P 为事件A 的概率.概率的基本性质:○1()0P ;∅=○2设12n A ,A ,,A 是两两互不相容的事件,则有11nni i i i P(A )P(A ).===∑○3()()1P A P A ;=-○4()()()P A B P A P AB ;-=-特别地,若B A ⊂,则()()()P A B P A P B ;-=-()()P A P B ;≥○5对任一事件A 有()1P A ≤○6对于任意两个事件A ,B 有()()()()P A B P A P B P AB =+-3、条件概率与独立性条件概率:)()()|(A P AB P A B P =(0)(>A P ),在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.事件的独立性:A ,B 相互独立P(AB )P(A)P(B )⇔=n A A A ,,,21 相互独立()111j jk ki i j j k,k n,P A P A ==⎛⎫⇔∀≤≤= ⎪⎝⎭∏事件独立的性质: ○1当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证). ○2 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.伯努利概型(试验的独立性)设随机试验只有两种可能的结果:事件A 发生(记为A )或事件A 不发生(记为A ),则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。

(1)概率统计第一章

(1)概率统计第一章
5、某仓库有同样规格的产品6箱,其中有3箱,2箱和1箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的,且三厂的次品率分别为 ,现从这6箱中任取一箱,再从取得的一箱中任取一件,试求取得的一件是次品的概率。
6、甲袋中有4只红球,6只白球,乙袋中有6只红球,10只白球,现从两袋中各任取一球,试求两球颜色相同的概率。
A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P D.P(A∪B)=1
2.设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,则P(A∪B|A)=()
A.P(AB)B.P(A)C.P(B)D.1
3.从标号为1,2,…,101的101个灯泡中任取一个,则取得标号为偶数的灯泡的概率为()
A. B. C. D.
4.一批产品,由甲厂生产的占 ,其次品率为5%,由乙厂生产的占 ,其次品率为10%,从这批产品中随机取一件,恰好取到次品的概率为___________。
5.设A,B为随机事件,且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,则P(A|B)=______________.
二、选择题
1.设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是()
4.设事件A、B满足P(A )=0.2,P(B)=0.6,则P(AB)=()
A.0.12B.0.4C.0.6 D.0.8
5.设事件A,B互不相容,已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P( )=()
A.0.1B.0.4C.0.9D.1
三、计算下列各题
1、设袋中有5个白球,4个黑球,每次有放回地从中任取一个,直到取得白球为止,试求取出的黑球数恰好是3的概率。
2、袋中有16个球,颜色与材料如下表所示:
木质球玻Leabharlann 球红球23

概率统计第1章

概率统计第1章
N 个产品,其中M个不合格品、NM个合格品. 从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为:

条件: m n ,
7/28/2017
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
常见模型(3) ——彩票问题幸运35选7:P21
购买:从01,……,35 中选7个号码. 开奖:7个基本号码,1个特殊号码.
并: A B 交: A B = AB 差: A B 对立: A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意:对立→互不相容,反之不然 应用举例:P7
事件运算的图示
AB
AB
AB
事件的运算性质
德莫根公式
A B A B;
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1:设Ω为一个样本空间,F为Ω的某些 子集组成的一个事件域,如果对任意一个事件A F,定义在F上的一个实质函数P(A)满足
非负性公理:若 AF,则P(A)0;
正则性公理: P(Ω)=1;
可列可加性公理:若A1, A2, ……, An ……
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球,从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”, B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系? 解:1) 显然,B 发生必然导致A发生,所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生,所以 AB, 由此得 A = B.
1.1.6 事件的运算
P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6, 求 P(AB).
解:因为 P(AB) = P(A)P(AB) ,所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3

概率统计(新课本) 第一章

概率统计(新课本) 第一章

四、 概率的古典定义
1. 古典概型-有限等概模型 设随机试验E 具有下列特点: 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典概型。 2. 概率的古典定义(P16 ,Laplace,1812年提出)
nA A中包含基本事件数 A中包含的样本点数 P ( A) = = = n 基本事件总数 样本点总数
(1)掷硬币试验
实验者 德•摩根 蒲 丰
n 2048 4040
nH 1061 2048 6019 12012 14994
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
K •皮尔逊 12000 K •皮尔逊 24000 维尼 30000
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第一章
随机事件及其概率
一、概率这一概念的基本共识
§1.2 随 机 事 件 的 概 率
随机事件A发生的可能性大小的“量”,称为 随机事件的概率, 记为P(A). 直观上, 这个“量”用一个 数来刻划比较符合人们的认识规律。 显然: P(Ω)=1; P(Φ)=0. 0≤P(A)≤1, A为任意事件。
二、历史上概率的四次定义
①统计定义 ②古典定义 ③几何定义 ④公理化定义 基于频率的定义 概率的最初定义(1812,Laplace) 古典定义的扩展 1933年(柯尔莫哥洛夫)
(2) B = A1 B + ... + A5 B .
B
A
Ω
A 1
A Ω 5 A4
A1 B
2
A
BA B AB
A3 B
4
A5 B
A2
A 3
第一章
随机事件及其概率
例2 设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件 利用事件的关系和运算,用A,B,C表示出来。 (1)三个事件都发生 (2)A发生, 但B、C都不发生 (3)三个事件中至少有一个发生

东华大学《概率论与数理统计》课件 第一章 随机事件与概率

东华大学《概率论与数理统计》课件 第一章 随机事件与概率
(2) P(S)=1;
(3) 设A1,A何2,…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件,即AiAj=
,(ij), i , j=1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )= P(A1) +P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球,各有红、白两 色,分 类如下表。从盒中随机取出一球,若取得的 是一只红球,试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A,均赋予一实数P(A),集合函数P(A)满足 条件:
(1) 非负性: P(A) ≥0;
(2) 规范性: P(S)=1;
(3) 可列可加性:设A1,A2,…, 是一列两两互不 相容的事件,即AiAj=,(ij), i , j=1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材:
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容:
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点:古典概型、概率的计算 难点:事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性:若事件AB,则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件,

P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式:对任意两事件A、B,有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形 ;
(5) 互补性:P(A)=1- P(A); (6) 可分性:对任意两事件A、B,有

概率论与数理统计第一章课件

概率论与数理统计第一章课件
样本均值
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况,也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设,如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设,如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布,判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率,用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小,表明数据越显著地偏离理论分布,假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设,也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设,也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小,可以控制第一类错误和 第二类错误的概率,从而实现错误率控制。
通过参数估计,还可以对生产过 程进行实时监控和预警,及时发 现并解决生产中的问题,保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法,在医学研究中有着

《概率论与数理统计》第一章知识点

《概率论与数理统计》第一章知识点

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象:1.确定性现象:在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象(偶然现象):在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件:1.实验可以在相同条件写可以重复进行;(可重复性)2.事先的所有可能结果是事先明确可知的;(可观察性)3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

(不确定性)1.1.2样本空间1.样本点:每次随机试验E 的每一个可能的结果,称为随机试验的一个样本点,用w 表示。

2.样本空间:随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件:一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件:试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件:每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件:每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件,用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”,则称事件B 包含事件A ,也称事件A 是B 的子事件,记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和(并⋃)“事件A 与B 中至少有一个事件发生”,这样的事件称为事件A 与B 的和事件,记作B A 。

3.事件的积(交⋂)“事件A 与B 同时发生”,这样的事件称作事件A 与B 的积(或交)事件,记作AB B A 或 。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”,这样的事件称为事件A 与B 的差事件,记作A-B 。

5.事件互不相容(互斥事件)“事件A 与事件B 不能同时发生”,也就是说,AB 是一个不可能事件,即=AB 空集,即此时称事件A 与事件B 是互不相容的(或互斥的)6.对立事件“若A 是一个事件,令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件,或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系:=A A 空集,Ω=A A 对立事件一定是互斥事件;互斥事件不一定是对立事件。

考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结

考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结

2018考研数学(三):概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点:概率的定义与性质,条件概率与概率的乘法公式,事件之间的关系与运算,全概率公式与贝叶斯公式。

2.难点:随机事件的概率,乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。

3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。

事件关系及其运算是本章的重点和难点,概率计算是本章的重点。

注意事件与概率之间的关系。

本章主要考查随机事件的关系和运算,概率的性质、条件概率和五大公式,注意事件的独立性。

近几年单独考查本章的试题相对较少,但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。

相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。

大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。

考生不必可以去做这方面的难题,因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。

应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。

【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型,这类题型一直都是考查的重点。

三、注意事项与线性代数一样,概率也比高数容易,花同样的时间复习概率也更为划算。

但与线代一样,概率也常常被忽视,有时甚至被忽略。

一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的,概率被放在最后,复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多;而且因为前两部分分别占60%和20的分值,复习完以后多少会有点满足心理;这些因素都可能影响到概率的复习。

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。

在高数部分,公式、定理和性质虽然有很多,但其中相当大一部分都比较简单,还有很多可以借助理解来记忆;在线代部分,需要记忆的公式定理少,而需要通过推导相互联系来理解记忆的多,所以记忆量也不构成难点;但是在概率中,由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚,而且若靠推导来记这些点的话,不但难度大耗时多而且没有更多的用处(因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求,一般不会在更深的层次上出题)。

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
P65 = 6 5 4 3 2 = 720 (个)
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个,问能组成多少个四位偶数?
解:组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见,记Φ为不可能事件,Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系(包含、相等)
1A B:事件A发生一定导致B发生
2A=B
A B
B A
B A
例:
✓ 记A={明天天晴},B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车},B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子,两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数},B={两次的骰子点
A
B
n Ai:A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai:A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时,称事件A与B是互不相
容的,或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件:
◼可以在相同条件下重复进行(重复性); ◼事先知道所有可能出现的结果(明确性); ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 (随机性)。
例: ❖抛一枚硬币,观察试验结果; ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数; ❖对某批同型号灯泡,抽取其中一只测 验其使用寿命(按小时计)。

(完整版)概率统计章节作业答案

(完整版)概率统计章节作业答案

第一章 随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子,设A ={出现奇数点},B ={出现1或3点},则下列选项正确的是( B ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =ΩU2.设A 、B 为任意两个随机事件,则下列选项中错误的是 ( A ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次,令A i ={第i 次正面向上}(i =1,2),则“至少有一次正面向上”可表示为( D ).A.1212A A A A UB.12A AC.12A AD.12A A U4.某人向一目标射击3次,设A i 表示“第i 次射击命中目标”(i =1,2,3),则3次都没有命中目标表示为( A ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件,且()0,()0P A P B >>,则下列各式中错误的是( A).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =U6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B =( D ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则( C ).A.()1P A B =UB.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).A.A =ΦB.A B ⊂C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ⊂,则P (A |B )= ( C ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).A.A BB. A B UC. A B ID. A B I11.设事件A B ⊂, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B =U ( A ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=( D ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).A.()()P A B P A =UB.A B ⊂C. P (A )=P (B )D. P (AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学,其中6名男生、4名女生,从中任选4人参加社会活动,则4人中恰好2男2女的概率为( A ).A.37B.0.4C. 0.25D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8,活25年的概率为0.6,现有一只该种动物已经活了20年,它能活到25年的概率是 ( B ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内,则前两个邮筒内各有一封信的概率为( A ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%,而合格品中有75%是优质品,从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( A ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品,其中7个正品,3个次品,现从中任取4个产品,则这4个都是正品的概率为( C ).A. 710B. 44710C. 47410C C D. 4710⨯ 20.设有10个产品,其中8个正品,2个次品,现从中抽取3次,每次任取1个,取后放回,则取到的3个产品都是正品的概率为( C ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4,现独立地射击5次,则5次中恰有2次命中的概率为( C ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( D ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字,则取到的4个数字完全不同的概率为( A ).A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),他向目标连续射击,则第一次未中第二次命中的概率为( D ).A. p2B. (1-p)2C. 1-2pD. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子,从中任取两颗,则这两颗棋子是不同色的概率为18/35 .2.甲乙两人,每人扔两枚均匀硬币,则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球,从袋中任取3个球,则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .4.从数字1,2,…,10中有放回地任取4个数字,则数字10恰好出现两次的概率为0.0486 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次,三人的命中率分别是0.5,0.6,0.7,则目标被击中的概率为0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球,乙袋中装有一白两黑共3个球,从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,则取到白球的概率为5/12 .7.设事件A与B互不相容,P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A BU= 0.5 .8.设事件A与B相互独立,且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==,则P(AB)= 0.42 .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======,则P(A+B+C)=5/12 .11.已知P (A )=0.7, P (A -B )=0.3, 则()P AB = 0.6 .12.某射手对一目标独立射击4次,每次射击的命中率为0.5,则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 .13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )= 0.125 .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,则()P A B U = 1/3 . 15.一批产品的废品率为4%,而正品中的一等品率为60%,从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 .16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮,甲、乙击中飞机的概率分别为0.4,0.5,则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2P AB P A B P B ===.2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ⊂==求:(1)(),()P A P B ;(2)P (AB );(3)()P AB ;(4) ()P A B U ;(5)P (B -A ).(1)由概率的性质,知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=;(2)因为A B ⊂,所以AB A =,P (AB )=P (A )=0.2; (3)()P AB =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0;(4) 因为A B ⊂,所以A B B =U , ()P A B U =P (B )=0.3;或者,()P A B U =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3;3.若事件A 与B 互不相容,P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求:(1)()P AB ;(2)(|)P A B ;(3)()P AB .解:(1) 因A 与B 互不相容,故AB =Φ,P (AB )=0,所以()P AB =1-P (AB )=1;(2) 因A 与B 互不相容,由加法公式:P (A+B )=P (A )+P (B ),得P (B )=0.3,从而 (|)P A B =()()()0.661()0.77()P AB P A P AB P B P B -===-; (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.4.已知事件A 与B 相互独立,且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B );(2) ()P AB ;(3)P (A|B ).解:(1)因为事件A 与B 相互独立,所以P (AB )=P (A )P (B ),()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-0.6=0.4+P (B )-0.4P (B ),解得:P (B )=13; (2) 因为事件A 与B 相互独立,所以A 与B 也相互独立,故()P AB =4()()15P A P B =; (3) 因为事件A 与B 相互独立,所以P (A|B )=P (A )=0.4.四、应用题 1.一批产品共有50个,其中40个一等品、6个二等品、4个三等品,现从中任取3个产品,求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解:设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”,A “3个产品等级都不同”,由古典概率定义,得111406435012()0.049245C C C P A C ==≈,从而 ()10.0490.951P A =-=.2.10把钥匙中有3把能打开门,现从中任取2把,求能打开门的概率.解:A “取出2把钥匙能打开门”,由古典概率知:1123732108()15C C C P A C +==.3.将5双不同的鞋子混放在一起,从中任取4只,求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解:A “4只鞋子中至少能配成一双”,则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得:41111522224108()21C C C C C P A C ==,故13()1()21P A P A =-=. 4.从0,1,2,3这4个数中任取3个进行排列,求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解:A “排成的数是三位数且是偶数”,A 0“排成的三位数末位是0”,A 2“排成的三位数末位是2”,则A =A 0+A 2,且A 0与A 2互不相容,因为230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6C C P A C == 所以,015()()()12P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回去,求下列事件的概率:(1)第三次才取得合格品;(2)如果取得一个合格品后就不再取零件,在三次内取得合格品.解:设A i “第i 次取到合格品”(i =1,2,3),则(1)第三次才取到合格品的概率为:12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯≈. (2)A “三次内取得合格品”,则112123A A A A A A A =++,所求概率为: 112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++90109010990100100991009998=+⨯+⨯⨯0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球,每次从盒子中任取一球,不放回地抽取两次,试求:(1) 两次取出的都是红球的概率;(2)在第一次取出白球的条件下,第二次取出红球的概率;(3)第二次取到红球的概率.解:A 1“第一次取出的是红球”,A 2“第二次取出的是红球”,则(1)由乘法公式得,两次取出的都是红球的概率为:121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==⨯=; (2)在第一次取出白球的条件下,第二次取出红球的概率为:218(|)11P A A =; (3)由全概率公式得,第二次取到红球的概率为:2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+7.某工厂有三台设备生产同一型号零件,每台设备的产量分别占总产量的25%,35%,40%,而各台设备的废品率分别是0.05,0.04,0.02,今从全厂生产的这种零件中任取一件,求此件产品是废品的概率.解:设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1,2),B “产品是废品”,由题意知:P (A 1)=25%,P (A 2)=35%,P (A 3)=40%,P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得,产品是废品的概率为:112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++25%0.0535%0.0440%0.020.0345=⨯+⨯+⨯=.8.两台车床加工同一种零件,加工出来的零件放在一起,已知第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02,且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率;(2)如果取出的是废品,求它是由第二台车床加工的概率.解:设B “零件是合格品”,A “第一台车床加工的零件”,则A “第二台车床加工的零件”,由题意知:21(),()33P A P A ==. (1)由全概率公式得:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+21(10.03)(10.02)0.97333=⨯-+⨯-≈; (2)由贝叶斯公式得,如果取出的是废品,求它是由第二台车床加工的概率为:10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====--9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人,求:(1)此人恰是色盲的概率是多少?(2)若随机挑选一人,此人是色盲,问他是男人的概率多大?(3)若随机挑选一人,此人不是色盲,问他是男人的概率多大?解:设B “色盲患者”,A “随机挑选一人是男人”,由题设知:11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P A P A P B A P B A ====,则 (1)由全概率公式得,随机挑选一人是色盲的概率为:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+115%0.25%0.0262522=⨯+⨯=; (2)由贝叶斯公式得,随机选一人是色盲,他是男人的概率为:15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈; (3)由贝叶斯公式得,随机选一人不是色盲,他是男人的概率为:195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈-. 10.现有10张考签,其中4张是难签,甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回),甲先乙次丙最后,求下列事件的概率:(1)甲乙都抽到难签;(2)甲没有抽到难签,而乙抽到难签;(3)甲乙丙都抽到难签;(4)证明:甲乙丙抽到难签的机会均等.解:设A ,B ,C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”,则(1)甲乙都抽到难签的概率为:432()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=; (2)甲没有抽到难签,而乙抽到难签的概率为:644()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=; (3)甲乙丙都抽到难签的概率为:4321()()(|)(|)109830P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=; (4)由古典概率知,甲抽到难签的概率为:4()0.410P A ==. 由全概率公式得,乙抽到难签的概率为:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109=⨯+⨯=. 丙抽到难签的概率为:()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++ 4326434636541098109810981098=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.4. 得,P (A )=P (B )=P (C )=0.4,所以,甲乙丙抽到难签的机会均等,各占40%.11.三个人向同一敌机射击,设三人命中飞机的概率分别为0.4,0.5和0.7.若三人中只有一人击中,飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解:设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”,i =0,1,2,3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组,且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-⨯--=,1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=, 2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=, 3()0.40.50.70.14P A =⨯⨯=.由题设知:0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故,由全概率公式得,飞机被击落的概率为:00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 0.0900.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯+⨯=.12.在上题中,假设三人的射击水平相当,命中率都是0.6,其他条件不变,再求飞机被击落的概率.解:设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”,i =0,1,2,3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组,且由贝努里公式得:00303()0.60.40.064P A C =⨯⨯=,1213()0.60.40.288P A C =⨯⨯=, 2223()0.60.40.432P A C =⨯⨯=,3333()0.60.216P A C =⨯=.由题设知:0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故由全概率公式得,飞机被击落的概率为:30()()(|)i i i P B P A P B A ==∑0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=⨯+⨯+⨯+⨯=13.已知一批产品中有95%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率为0.03,求:(1)任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率;(2)一个经检查被判为合格的产品,它确实是合格品的概率.解:设A “产品是合格品”,B “经检查产品被判为合格品”,且由题意知:P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则(1)由全概率公式得,任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率为: ()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 95%0.985%0.030.9325=⨯+⨯=;(2)由贝叶斯公式得,一个经检查被判为合格的产品,它确实是合格品的概率为:()0.950.98(|)0.9984()0.9325P AB P A B P B ⨯==≈. 14.一个工人看管三台机床,在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解:设A i “第i 台机床需要看管”,i =1,2,3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++,且这4个事件两两互不相容,由加法与独立性知,所求的概率为: 123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++ 123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=15.加工某一零件共需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影响的,问加工出来的零件的次品率是多少?解:设A i “第i 道工序加工出次品”,i =1,2,3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3,且A 1,A 2,A 3相互独立,从而123,,A A A 也相互独立. 所求概率为:123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=- 1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码,他们各自能破译出的概率分别是0.4,0.6,0.7,求此密码被破译的概率.解:设A ,B ,C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”,则A+B+C 表示“密码被破译”,且A ,B ,C 相互独立,从而,,A B C 也相互独立,故所求概率为:(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=- 1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.17.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,各在两批中随机取一粒,求: (1)两粒种子都能发芽的概率; (2)至多有一粒种子能发芽的概率; (3)至少有一粒种子能发芽的概率.解:设A ,B 分别表示“甲、乙种子发芽”,由题设知:()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=. (1)两粒种子都能发芽的概率为:()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=; (2)至多有一粒种子能发芽的概率为:()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.80.30.20.70.20.30.44=⨯+⨯+⨯=; (3)至少有一粒种子能发芽的概率为:()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U0.80.70.80.70.94=+-⨯=.18.一批产品有70%的一级品,进行重复抽样检查,共抽取5件样品,求: (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1; (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2; (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.解:该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验,由贝努里公式得: (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ⨯⨯=; (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为:p 2=55520.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -⨯⨯-⨯⨯=; (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为: p 3=55510.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005510.70.30.99757C -⨯⨯=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率..解:设射手射击一次命中目标的概率为p ,由贝努里定理知,4次射击中至少有一次命中目标的概率为:41(1)p --,由题设知:4801(1)81p --=,解得:23p =.20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解:射手射击到第4次恰好有两次命中目标,即第四次命中,而前三次中恰有一次命中,由贝努里定理知,所求概率为:12223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题1.设0<P (B )<1,证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)(|)P A B P A B =. 证:必要性 设事件A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ),P (A|B )=P (A ), 又()()()()()(|)()1()1()()P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====--, 所以,(|)(|)P A B P A B =.充分性 若(|)(|)P A B P A B =,则()()()()()()1()1()()P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===--, 对上式两端化简,得:()()()P AB P A P B =,所以A 与B 相互独立2.证明条件概率的下列性质:(1)若P (B )>0,则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=;(2)若A 与B 互不相容,()0P C >,则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+U ; (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 证:(1)因为()(|)()P AB P A B P B =,而0()()P AB P B ≤≤,所以,0(|)1P A B ≤≤,且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===,()()(|)0()()P B P P B P B P B ΦΦΦ===; (2)若A 与B 互不相容,则AC 与BC 也互不相容,从而 ()()()(|)(|)(|)()()P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +===+U U ;(3)由性质(2)得:(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+U ,又A A =ΩU ,由性质(1)知,(|)1P B Ω=,所以,(|)(|)1P A B P A B +=,即(|)1(|)P A B P A B =-第二章 随机变量及其概率分布 一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}=( C ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.5 2.设随机变量X 的概率分布为 则a =( D ).A. 0.2B. 0.3C. 0.1D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1cx f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c =( D ).A. 1-B.12 C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则常数a =( D ).A.14 B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ).A.2100,1000,100x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ B.10,00,0x xx ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ C. 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它D.113,2220,x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ,而在此区间外等于0;若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数,则区间[,]a b 为 ( A ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π7.下列函数中,可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩B. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩C. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ D. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩8.设()F x 是随机变量X 的分布函数,则 ( B ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数,则下列结论错误的是(D ).A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=C.()()()P a X b F b F a <≤=-D.对一切实数x ,都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===,则常数a =( B ).A. 1B. 12C. 2D. 12-11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数,则F (2.5)=( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,则11{}22P X -≤≤=( A ).A.14B.13C.12D.3413.已知随机变量X 的分布律为 若随机变量Y =X 2,则P {Y =1}=( C ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.2 14.设随机变量X ~B (4, 0.2),则P {X >3}=( A ).A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.819215.设随机变量X ~N (1,4),Y =2X +1,Y ~ ( C). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9) 16.设2~(,)X N μσ,()x Φ是N (0, 1)的分布函数,则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1,4),()x Φ是N (0, 1)的分布函数,则P (-2<X <0)= ( A ).A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ18.设X ~N (0,1),()x ϕ是X 的概率密度函数,则(0)ϕ= (C ). A. 0 B. 0.5C.D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0,5],Y =3X +2,则Y 服从 ( B ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售,每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品,用随机变量X 表示中奖的件数,则X 的分布为 ( D ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布,()F x 是X 的分布函数,则下列正确的选项是 ( B ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布,且2(1)(3)3P X P X ===,则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<x 2, 则12()P x X x ≤≤= 1 .2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= 0.5 .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= 0 .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x edt --∞=⎰,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩, 其密度函数为()f x ,则()6f π= 1/2 .7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩, 则当x >0时, X 的概率密度()f x = 1 . .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= 0.6 .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= 0.148 . (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律 P(X=K)=6K/K! K=0,1,2,3 .11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= 15/16 .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = 1/10 .13.设随机变量X ~N (0, 4),则(0)P X ≥= 0.5 .14.设随机变量X ~U (-1, 1),则1(||)2P X ≤= 0.5 .15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布,则(23)P X <<= 0.5 .16.设随机变量X ~N (-1, 4),则1~2X Y +=N(0,1) . 17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2, (3)k aP X k k ===,则a = 2/3 .18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它,则k =-1/2 .19.若随机变量X ~N (1, 16),Y =2X -1,则Y ~ N(1,64) . 20.若随机变量X ~U (1, 6),Y =3X +2,则Y ~ U(5,20) . 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,求X 的概率密度函数.解:由分布函数与概率密度函数之间的关系()()F x f x '=知,当0<x <1时, 2()()2f x x x '==,当1x ≥或0x ≤时,()f x =0,所以,X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它.2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布,求X 的分布函数及P (X <0.5). 解:X 的分布律为当0x <时,()()F x P X x =≤=0;当01x ≤<时,()()F x P X x =≤=(0)0.8P X ==;当1x ≥时,()()F x P X x =≤=(0)(1)0.80.21P X P X =+==+=.所以,X 的分布函数为0,0()0.8,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩;而P (X <0.5)= P (X =0)=0.8.3.设随机变量X ~U (a , b ),求X 的密度函数与分布函数.解:X 的密度函数为1,()0,a xb f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它;分布函数()()x F x f t dt -∞=⎰,当x a <时,()()xF x f t dt -∞=⎰00xdt -∞==⎰;当a x b ≤<时,()()x F x f t dt -∞=⎰10a xax adt dt b a b a-∞-=+=--⎰⎰; 当x b ≥时,()()x F x f t dt -∞=⎰1001abx ab dt dt dt b a-∞=++=-⎰⎰⎰.所以,X 的分布函数为0,(),1,x a x a F x a x b b ax b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩.4.设随机变量X ~N (3, 4),求:(1)P (2<X <3);(2) P (-4<X <10);(3) P (|X|>2);(4)P (X >3).解:(1)P (2<X <3)=3323(3)(2)()()22F F ---=Φ-Φ(0)(0.5)=Φ-Φ- (0)[1(0.5)]=Φ--Φ=0.1915;(2) P (-4<X <10)=10343(10)(4)()()22F F -----=Φ-Φ=(3.5)( 3.5)2(3.5)1Φ-Φ-=Φ-=0.9996; (3) P (|X|>2)=1(||2)P X -≤=1(22)1[(2)(2)]P X F F --≤≤=---=23231[()()]22----Φ-Φ=(0.5)(2.5)1Φ-Φ+=0.6977; (4)P (X >3)=1(3)P X -≤=331(3)1()1(0)2F --=-Φ=-Φ=0.5.5.已知随机变量X 的密度函数为2,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它,求:(1)常数k ;(2)分布函数;(3)(10.5)P X -<<..解:(1)因为()1f x dx +∞-∞=⎰,所以123100|133k kkx dx x ===⎰,故k =3. 即随机变量X 的概率密度为23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它;(2)当0x <时,()()xF x f t dt -∞=⎰=0,当01x ≤<时,()()xF x f t dt -∞=⎰=023003xdt t dt x -∞+=⎰⎰,当1x ≥时,()()x F x f t dt -∞=⎰=012010301xdt t dt dt -∞++=⎰⎰⎰所以,随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩;(3)(10.5)P X -<<3(0.5)(1)0.500.125F F =--=-=;6.设随机变量X 的概率密度为,011(),1220,x x f x x <<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它,求X 的分布函数.解:当0x <时,()()xF x f t dt -∞=⎰=0;当01x ≤<时,()()xF x f t dt -∞=⎰=020102xdt tdt x -∞+=⎰⎰;当12x ≤<时,()()x F x f t dt -∞=⎰=010111022x dt tdt dt x -∞++=⎰⎰⎰;当2x ≥时,()()x F x f t dt -∞=⎰=01201210012xdt tdt dt dt -∞+++=⎰⎰⎰⎰.所以,随机变量X 的分布函数为20,01,012()1,1221,2x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.7.设随机变量X~,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它,求:(1)1()2P X ≥;(2)13()22P X <<.解:(1)1()2P X ≥=+1211122()(2)f x dx xdx x dx ∞=+-⎰⎰⎰=2122112117|(2)|228x x x +-=; (2)13()22P X <<=3312211122()(2)f x dx xdx x dx =+-⎰⎰⎰=32122112113|(2)|224x x x +-=.8.设随机变量X 在[0,5]上服从均匀分布,求方程24420x Xx X +++=有实根的概率.解:X ~1,05()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,而方程24420x Xx X +++=有实根的充分必要条件是21616(2)0X X ∆=-+≥,即220X X --≥,故所求概率为:2{20}(1)(2)P X X P X P X --≥=≤-+≥=0+5215dx ⎰=0.6.9.设随机变量X 的分布律为求:(1)Y =2X 的分布律;(2)Z =|X |的概率分布;(3)X 2的分布律.解:(1)由X 的分布律知,Y 的取值为-2,0,2,4.且(2)(1)0.1P Y P X =-==-=,(0)(0)0.2P Y P X ====, (2)(1)0.3P Y P X ====,(4)(2)0.4P Y P X ====. 所以,Y 的分布律为(2)Z =|X |的取值为0,1,2.2(0)(0)0.2P X P X ====,2(1)(1)(1)0.4P X P X P X ===-+==,2(4)(2)0.4P X P X ====.所以,X 2的分布律为:10.设X ~U [0,4], Y =3X +1,求Y 的概率密度.解:X ~1,04()40,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,Y =3X +1的取值范围是[1,13].Y 的分布函数131()()(31)()()3y Y y F y P Y y P X y P X f x dx --∞-=≤=+≤=≤=⎰ 当1y <时,有103y -<,13()00y Y F y dx --∞==⎰;当113y ≤<时,有1043y -≤<,103011()0412y Y y F y dx dx --∞-=+=⎰⎰; 当13y ≥时,有143y -≥,1043041()0014y Y F y dx dx dx --∞=++=⎰⎰⎰.11.已知随机变量X ~N (1,4),Y =2X +3,求Y 的概率密度..解:X~2(1)8(),()x f x x --=-∞<<+∞,建立Y 的分布函数与X 的分布函数之间的关系.因为:33()()(23)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤=, 两边对y 求导:3313()()()()2222Y X X y y y f y F f ---''=⋅=223(1)(5)2832y y -----==,即Y ~N (5,16).12.已知X 服从参数1λ=的指数分布,Y =2X -1,求Y 的概率密度.解:由题设知,X ~,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,方法1 11()()(21)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F ++=≤=-≤=≤=, 两边对y 求导:1111()()()()2222Y X X y y y f y F f +++''=⋅=, 又因为12121,012,1()210,10,02y y X y e y e y f y y +-+-⎧+>⎧⎪+⎪⎪>-==⎨⎨+⎪⎪≤-⎩≤⎪⎩,所以,Y 的概率密度为:121,1()20,1y Y e y f y y +-⎧>-⎪=⎨⎪≤-⎩.四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出废品后不再放回,用X 表示在取得合格品以前已取出的废品的个数,求:(1)随机变量X 的分布律;(2)随机变量X 的分布函数.解:(1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,且105(0)126P X ===,2105(1)121133P X ==⨯=,21101(2)12111066P X ==⨯⨯=, 得到X 的分布律为:(2)X 的可能取值0,1,2将分布函数F (x )的定义域(,)-∞+∞分为四部分: 当0x <时,()()0F x P X x =≤=,当01x ≤<时,()()F x P X x =≤5(0)6P X ===,当12x ≤<时,()()F x P X x =≤65(0)(1)66P X P X ==+==, 当2x ≤时,()()F x P X x =≤(0)(1)(2)1P X P X P X ==+=+==. 从而得到X 的分布函数为:0,05,016()65,12661,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.2.袋中有标号为1,2,2,3,3,3的六个球,从中任取一个球,求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数..解:X 的可能取值为1,2,3.且1(1)6P X ==,21(2)63P X ===,31(3)62P X ===, 所以,X 的概率分布为:当1x <时,()()0F x P X x =≤=,当12x ≤<时,()()F x P X x =≤1(1)6P X ===,当23x ≤<时,()()F x P X x =≤1(1)(2)2P X P X ==+==, 当3x ≥时,()()F x P X x =≤(1)(2)(3)1P X P X P X ==+=+==. 从而得到X 的分布函数为:0,11,126()1,2321,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 袋中有标号为1,2,2,3,3,3的六个球,从中任取两个球,X 表示取出的两个球的最大号码,求X 的概率分布..解:X 的所有可能的取值为2,3.且112122261(2)5C C C P X C +===,112333264(3)5C C C P X C +===, 从而得到X 的概率分布为:4.设一批产品共1000个,其中40个是次品,随机抽取100个样品,按下列两种方式抽样,分别求样品中次品数X 的概率分布.(1)不放回抽样; (2)有放回抽样.解:(1)不放回抽样,X 的可能取值为0,1,2,…,40.{X =k }表示100个样品中恰好有k 个次品,则100401000401001000()k kC C P X k C --==,得到X 的概率分布为: 100409601001000(),0,1,2,...,40.k kC C P X k k C -=== (2)有放回抽样,X 的可能取值为0,1,2,…,100.由于有放回抽样,抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验,且每次抽到次品的概率都是0.04,抽到正品的概率为0.96,X ~B (100,0.04).则X 的概率分布为:100100()0.040.96,0,1,2,...,100.kk k P X k C k -===5.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次正面出现的概率为13,连续抛掷10次,以X 表示正面出现的次数,求X 的分布律.由题设知,X ~B (10,13). 则X 的分布律为:101012()()(),0,1,2,...,10.33k k kP X k C k -===6.有一繁忙的交通路口,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率.解:设X 表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数,由题意知,X ~B (1000,0.0001).由于n =1000很大,p =0.0001很小,故利用泊松分布近似代替二项分布计算.其中,10000.00010.1np λ==⨯=,0.10.1(),0,1,2,...!k P X k e k k -=≈=, 查泊松分布表可得,所求概率为:7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求: (1)每分钟恰有4次呼唤的概率; (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.解:设X 表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数,由题意知,X ~P (4),其分布律为:44(),0,1,2...!k P X k e k k -===,则(1)每分钟恰有4次呼唤的概率444(4)0.1953674!P X e -===;(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率444(4)0.56653!k k P X e k ∞-=≥==∑8.袋中装有8个球,其中3个红球、5个白球,现从袋中任取3个球,求取出红球数的概率分布.解:X 表示取出3个球中含有红球的个数,则X 的可能取值为0,1,2,3. 且35385(0)28C P X C ===,12353815(1)28C C P X C ===,21353815(2)56C C P X C ===,33381(3)56C P X C ===,于是,X 的概率分布为:9.已知某类电子元件的寿命X (单位:小时)服从指数分布,其概率密度为110001,0()10000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 一台仪器装有3个此种类型的电子元件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求:(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p 1; (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p 2. 解:(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率为:p 1=11110001000100010001(1000)|1000x x P X e dx e e --+∞+∞-≥==-=⎰; (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上,需要这3个电子元件的寿命都在1000小时以上,由独立性知,所求概率为:p 2=33[(1000)]P X e -≥=.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X 服从170μ=(厘米),6σ=(厘米)的正态分布,即2~(170,6)X N .问车门高度应如何确定?解:设车门高度为h 厘米,由题意知,()0.01P X h >≤,即()0.99P X h ≤≥. 因为X ~N (170,36),所以170()()()0.996h P X h F h -≤==Φ≥, 查表得:(2.33)0.99010.99Φ=>,所以1702.336h -=,解得h =183.98. 设计车门的高度为183.98厘米时,可使男子与车门碰头的机会不超过0.01.五、综合题1.设10件产品中有2件次品,现进行连续无放回抽样,直至取到正品为止,求:(1)抽样次数X 的概率分布; (2)X 的分布函数F (x ); (3)(2),(13)P X P X >-<<. .解:(1)X 的可能取值为1,2,3.且84(1)105P X ===,288(2)10945P X ==⨯=,2181(3)109845P X ==⨯⨯=. 所以,X 的概率分布为:(2)当1x <时,()()0F x P X x =≤=, 当12x ≤<时,4()()(1)5F x P X x P X =≤===, 当23x ≤<时,44()()(1)(2)45F x P X x P X P X =≤==+==, 当3x ≥时,()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以,X 的分布函数为:0,14,125()44,23451,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩;(3)(2)(1)(2)(3)1P X P X P X P X >-==+=+==; 或(2)1(2)1(2)101P X P X F >-=-≤=-=-=.8(13)(2)45P X P X <<===.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X (单位:分钟)服从参数15λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ;(2)若该司机一个月要经过此收费站两次,用Y 表示等候时间超过10分钟的次数,写出Y 的分布律,并求(1)P Y ≥.解:(1)由题设知,151,0~()50,0x e x X f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,则司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率为:125101(10)5x p P X e dx e -+∞-=>==⎰; (2)由题意知,2~(2,)Y B e -,Y 的分布律为:22222222()()(1)(1),0,1,2.k k k k k k P Y k C e e C e e k ------==-=-= 2224(1)1(0)1(1)2P Y P Y e e e ---≥=-==--=-.3.甲乙丙三人独立地等1,2,3路公共汽车,他们等车的时间(单位:分钟)都服从[0,5]上的均匀分布,求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.解:设一个人等车的时间为X ,由题设知,X ~U [0,5],其密度函数:1,05()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 则一个人等车不超过2分钟的概率为:221(2)()0.45p P X f x dx dx -∞=≤===⎰⎰. 设Y 表示三人中等车时间不超过2分钟的人数,则Y ~B (3,0.4),则三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率为:223333(2)(2)(3)0.40.60.4P Y P Y P Y C C ≥==+==+=0.352.4.设测量距离时产生的随机误差X ~N (0,102)(单位:米),现作三次独立测量,记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数,已知(1.96)0.975.Φ=(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ; (2)问Y 服从何种分布,并写出其分布律;(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率. 解:(1) p =(||19.6)1(||19.6)P X P X >=-≤019.601(||)1[2(1.96)1]1010X P --=-≤=-Φ-=0.05. (2)由题意知,Y ~B (3, 0.05),Y 的分布律为:33()0.050.95,0,1,2,3.k k k P X k C k -===(3)三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率为: 3(1)1(0)10.95P Y P Y ≥=-==-=0.142625.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位:分钟)服从参数110λ=的指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y 的分布律;(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.解:(1)由题设知,等待服务的时间X ~1101,0()100,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,顾客离开银行的概率为:1110101(10)10x p P X e dx e -+∞-=>==⎰.由题意知,Y ~B (5,e -1),其分布律为:1155()()(1),0,1,...,5.k k k P Y k C e e k ---==-=(2)所求概率为(1)P Y ≥=151(0)1(1)P Y e --==--0.899≈.6.设连续型随机变量X 的分布函数为:20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,求:(1)系数A ; (2)X 的概率密度; (3)(0.30.7)P X <≤; (4)Y =X 2的概率密度.解:(1)由F (x )的连续性知,11lim ()lim ()(1)x x F x F x F -+→→==,有21lim 1x Ax -→=,得1A =; (2)X 的概率密度2,01()()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它;(3)(0.30.7)P X <≤22(0.7)(0.3)0.70.30.4F F =-=-=,或(0.30.7)P X <≤=0.720.70.30.32|0.4xdx x ==⎰; (4)因为20Y X =≥,所以,当0y <时,()()0Y F y P Y y =≤=, 当01y ≤<时,2()()()(Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤()f x dx xdx y ===,当1y ≥时,101()(()21Y F y P X f x dx xdx dx =≤≤==+=⎰所以,X 的分布函数为:0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,X 的概率密度为:1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其它.7.连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ,()F x A B x x =+-∞<<+∞,求:。

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在终极的分析下,一切知识都是历史
在抽象的意义下,一切科学都是数学
在理性的基础上,所有的判断都是统计学
-C. R. Rao
教材:概率论与数理统计(经管类),第三版
吴赣昌 主编,中国人民大学出版社
参考教材:
1、概率论与数理统计
2、统计学与计量经济学
浙江大学 盛骤 等主编, 高等教育出版社
多米尼克.萨尔瓦多 等, 复旦大学出版社
P( A) 0
P( AB) P( B | A) P( A)
P( AB) P( A | B) P( B) P( B) 0
P( AB) P( A | B) P( B)
作用:计算两个事件同时发生的概率
例3: 求两次取到均为黑球的概率
1、古典概型方法: 2、乘法公式方法:
P32 1 P C 2 P 15 10
推荐阅读书籍:见文档 “概率统计课程推荐书籍.doc” 关于教材配套光盘:作为习题集及解答使用
如何学好“概率统计”课程
课前预习
课堂跟进
课后回顾+练习
概率论与数理统计课程结构图
Probability
Statistics
第一章 随机事件及其概率
作业:
§1.1随机事件;
§1.2随机事件的概率;
1-1:8,9
概率的单调性
A1 A2 An A1 A2 An1 A2 A1 A1
P(A1A2…An) ≤ P(A1A2…An-1) ≤ … ≤ P(A1A2) ≤ P(A1)
性质6(加法公式):
P A B P A P B P AB
A S
事件A发生 的可能性的大小
概率 P A
概率的统计定义 只是概率的近似值
( A. H. 柯尔莫哥洛夫1903-1987 )
“数学界的莫扎特”
前苏联科学家
20世纪最有影响的数学家,是美国、英国、法国等多国院士 或皇家学会会员。
他建立了在测度论基础上的概率论公理体系,奠定了近代概 率论的基础, 同时他也是随机过程论的奠基人之一, 此外,他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献
A P A S
A
S S S
例6
x y 20
x y 20
课堂练习
【问题】: 任取两个真分数,求它们的乘积不大于1/4的概率
x, y 0,1
1 SG 1 P xy 41x dx 4 S 4 1 4
1


A A A B AB A B AB A B AB
事件A与事件B相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A和事件B互不相容
事件的关系与运算的维恩图表示法
BA
A,B互不相容
A,B对立
注意区别互斥与对立两种关系
完备事件组
两两互不相容
内容分布:
★ 频率及其性质 ★ 概率的统计定义 ★ 概率的公理化定义
★ 概率的性质*
尽管随机事件具有随机性,但是在一次试验中发生的
可能性大小是客观存在的,并且是可以度量的. 概率:度量事件出现的可能性大小 如何求值?
历史发展:
频率→概率(频率的稳定值)
“抛硬币”试验:抛掷n次,观察出现正面次数.
P( A) 0
1、通过定义,在样本空间S中,先计算出P(AB)、P(A),再利用定 义计算P(B|A)= P(AB)/ P(A)。 2、在A已经发生的条件下,将S 缩减为A(即事件A所包含的基本 事件全体)中,直接计算B发生的概率。
条件概率性质
设事件A满足P(A)>0,则
1. 对于任一事件B,有1≥ P(B|A) ≥0 2. P(S|A) =1
A:每个杯子最多放1个球; B:每个杯子最多放2个球; C:每个杯子最多放3个球;
放球的所有可能结果:
基本事件总数
古典概型计算概率时应注意的问题:
计算样本空间和事件A所包含的基本事件数时,分清排列 与组合,不重复计数,也不要遗漏;
当直接计算遇到困难时,可以选择: 将复杂的事件分成若干个简单事件的和,再 利用概率的加法公式或有限可加性; 选择先计算其对立事件的概率,再利用性质3
解:
乘法公式的推广-P20 (4.4式) 对于任一n>1,如果
P A1 A2 An1 0
P A3 | A1 A2 P An 1 | A1 A2 An 2 P An | A1 A2 An 1
则有 P A A2 An P A P A2 | A1 1 1
乘法公式适用范围:
求若干事件的积事件的概率,如果这些事件之间存在“顺序” ,可以考虑“顺序”造成的概率影响,利用乘法公式求概率。
P Ai P( Ai ) i 1 i 1
三、概率的性质
分解思想
求概率的迂回战术
性质4:
S
A B
S
A
B
P( A B) P( A) P( AB)
B
特别地:
S
A
S
A
BA
B A P( A B) P( A) P( B) P( B) P( A)
1 1 ln 4 4 4
§1.4、条件概率
在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下,外加某些
条件时随机事件发生的概率。
条件概率
贝叶斯公式 注意对此种条件概率的理解
乘法公式
全概率公式
概率性质: 有限可加性
一、引例
连抛硬币2次,观察向上面出现的情况。
S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}
三、几何概型
古典概型必须假定试验结果是有限个,这 限制了它的使用范围。 推广:保留等可能性,允许试验结果为无 限个,这种试验模型为几何概型。
法国数学家
蒲丰提出:将随机事件与几何结合起来.
何为几何概型?
P A A
P S S 1
往区域S内随机抛掷一点
求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率?
B
AB
A
S
1 P ( B | A) 3
事件AB中样本点的数目 事件A中样本点的数目
二、条件概率的定义
定义1: 设A,B两个事件,
P(A)>0,
将已知事件A发生条件下事件B发生的条件概率记为
P(B|A)
P( AB) P( B | A) P( A)
条件概率的两种计算方法
BA
A
B
S
B
A
B S
A S
加法公式的推广
1) P( A B C ) P( A) P( B ) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
2)对任意n 个事件 A1 ,
A2 , ,
An , 有
n n P Ai P Ai PAi A j 1 i j n i 1 i 1
n=5 nH 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 fn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 nH 22 25 21 25 24 21 18 n=50 fn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 nH 251 249 256 253 251 246 244 n=500 fn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
三、样本空间 四、随机事件
S,
不可能事件 必然事件
两个特殊的事件:
S

通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单 事件的“组合”。
记号
S,
事件间的关系与运算
概率论 样本空间, 必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生导致B发生
集合论 全集 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B的相等 A与B的和集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有相同的元素
8
9 10
2
3 3
0.4
0.6 0.6
24
27 31
0.48
0.54 0.62
258
262 247
0.516
0.524 0.494
一、频率及其性质
【定义1】在相同的条件下,进行了n 次试验, 在这n次试验 中,事件
A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。
A出现的次数
比值nA /n 称为事件A 发生的频率,并记成fn(A) .
1 i j k n
PA A A 1
i j k
n 1
P A1 A2 An
课堂练习-习题1-2 ,4题
问题:
P A P B P C P AB P BC P AC P ABC
二、、概率的定义(公理化定义)
设 E,S ,对于 记为 P( A) ,
A S
赋予一个实数,
事件 A 的概率,
要求集合函数 P()满足 下列三个公理:
非负性 完备性 可列可加性
10
20
0 P( A) ;
P( S) 1;
30 若A1 , A2 ,是两两互不相容事件, 则 P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
P(B)与P(B |A)的区别在于两者发生的环境不同,它们是 两个不同的角度考虑的概率,在数值上一般也不同。
一般的,P(B|A) ≠P(B)
有关条件概率的三公式
•乘法定理(同时发生的事件的概率) •全概率公式(如何以全局的观点认识事件的发生)
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