高中数学极限

高中数学极限、数学归纳法

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·高考) lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋1

3n )＝( ) A.53 B.3

2 C ．2 D ．不存在 解析：lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n )＝11－13＝32

. 答案：B

2．设函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，则lim x →－1 f ′(x )

x ＋1

等于( ) A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6

解析：∵f ′(x )x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)(x －2)

x ＋1＝3x －3，

∴lim x →－1

f ′(x )

x ＋1

＝－6. 答案：D

3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2＋2x －3x －1(x ＞1)

ax ＋1 (x ≤1)

在x ＝1处连续，则f

－1

(3)等于( )

A ．0

B ．1

C ．－23 D.23

解析：∵函数f (x )在x ＝1处连续，∴f (1)＝lim x →1

x 2＋2x －3x －1

＝4.

又当x＝1时，f(1)＝a＋1，∴a＝3.当x＞1时，令x2＋2x－3

x－1

＝3，

得x＝0或1，不满足题设．当x≤1时，令3x＋1＝3，得x＝2

3

，满

足题设．∴f－1(3)＝2

3 .

答案：D

4．用数学归纳法证明

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

>

11

34

时，由n＝k到n

＝k＋1，不等式左边的变化是( )

A．增加

1

2(k＋1)

一项

B．增加

1

2k＋1

和

1

2k＋2

两项

C．增加

1

2k＋1

，

1

2k＋2

两项，同时减少

1

k＋1

一项

D．以上结论均错

解析：n＝k时，不等式左边为

1

k＋1

＋

1

k＋2

＋…＋

1

2k

，n＝k＋1

时，不等式左边为

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

，

故增加

1

2k＋1

，

1

2k＋2

两项，减少

1

k＋1

一项．

答案：C

5．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝

( )

A.

2

(n＋1)2

B.

2

n(n＋1)

C.22n －1

D.22n －1

解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝

n

n ＋2

a n (n ≥2)．

当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2， ∴a 2＝a 13＝1

3，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.

由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.

猜想a n ＝2

n (n ＋1).

答案：B

6．设a ，b 满足lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝－1，则lim n →∞

a n ＋1＋a

b n －1

a n －1＋2b

n 等于( )

A ．1 B.1

2

C.13

D.14 解析：依题意得a ＝2，

lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝lim x →2

(x －b )(x －2)x －2

＝lim x →2 (x －b )＝2－b ＝－1，因此b ＝3.故lim n →∞

a n ＋1＋a

b n －1

a n －1＋2b

n

＝lim n →∞ 2n ＋1＋2×3n －12n －1＋2×3n ＝lim n →∞

4×(23)n －1

＋2

(23)n －1＋2×3＝1

3

. 答案：C

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)

7．设a ＝lim x →1 x 3－x x 4

－1，则1＋a ＋a 2＋a 3

＋…＝________. 解析：∵a ＝lim x →1 x 3－x x 4－1＝lim x →1 x (x －1)(x ＋1)

(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)

＝lim x →1 x

x 2＋1＝12， ∴1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝2. 答案：2

8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

a cos x (x ≥0)x 2

－1 (x ＜0)

在点x ＝0处连续，则a

＝________.

解析：由题意得lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x 2

－1)＝－1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋

a cos x ＝a ，由于f (x )在x ＝0处连续，因此a ＝－1.

答案：－1

9．已知log a b ＞1(0＜a ＜1)，则lim n →∞ b n ＋a n b n －a n

＝________. 解析：log a b ＞1,0＜a ＜1得0＜b ＜a ，

∴lim n →∞ b n ＋a

n

b n －a n ＝lim n →∞

(b a )n

＋1(b

a

)n －1＝－1. 答案：－1