切线长定理导学案
切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)
切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。
2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。
2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。
2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。
五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。
（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。
4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。
（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。
5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。
6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。
（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。
7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
3.7切线长定理导学案北师大版九年级数学下册(1)
第三章 圆*3.7 切线长定理学习目标：1．理解切线长的定义；(重点)2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)一、复习回顾1. 直线和圆有哪些位置关系？2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)一、要点探究知识点一： 切线长的定义探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P ，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？知识点二： 切线长定理合作探究如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点.(1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.动手实践请证明你的猜想.已知：如图， PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点.求证：PA = PB.合作探究思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？如何验证我们的猜想是否正确？知识要点切线长定理 合作探究如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ 例1 如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别是 D ，E ，F ，求⊙O 的半径. 链接中考1.(西宁)如图，PA ，PB 与⊙O 分别相切于点 A ，B ，PA ＝2，⊙P ＝60°，则 AB ＝( )2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA ，PC 是 ⊙O 的切线，A ，C 为切点，⊙BAC = 30°.(1) 求⊙P 的大小； 自主学习 合作探究P O ABPCO A(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号). 二、课堂小结 1. 如图，PA 、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是A 、B ，如果 AP = 4，⊙APB = 40° ，则 ⊙APO = ，PB= .2. 如图，已知点 O 是 ⊙ABC 的内心，且 ⊙ABC= 60°， ⊙ACB= 80°，则⊙BOC= .3. ⊙ABC 的内切圆 ⊙O 与三边分别切于 D 、E 、F 三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 ⊙ABC 的周长是 .4. (湖州)如图，已知 ⊙ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D ，连接 OB ，OD.若⊙ABC = 40°，求⊙BOD 的度数.参考答案一、创设情境，导入新知1. 相离、相交、相切.2.(1) 数量关系法(证明 d = r)；(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.二、小组合作，探究概念和性质知识点一： 切线长的定义探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P ，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？知识点二： 切线长定理合作探究(1)是轴对称图形，对称轴是直线 OP .(2)证明：连接 OA 、OB.⊙PA ，PB 是⊙O 的切线，⊙⊙PAO = ⊙PBO = 90°.在 Rt⊙POA 和 Rt⊙POB 中，⊙ OA = OB ，OP = OP ，⊙ Rt⊙POA⊙Rt⊙POB.⊙ PA = PB.合作探究思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？猜想：⊙APO = ⊙BPO合作探究结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.即 AD ＋BC ＝AB ＋CD.例1 当堂检测 d lr O解：连接OD，OE，OF，则OD = OE = OF，设OD = r.在Rt⊙ABC 中，AC = 10，BC = 24，⊙ ⊙O 分别与AB，BC，AC 相切于点D，E，F，⊙ OD⊙AB，OE⊙BC，OF⊙AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF.又⊙⊙C = 90°，⊙ 四边形OECF 为正方形.⊙ CE = CF = r.⊙ BE = 24 – r，AF = 10 – r.⊙ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.而AB = 26，⊙ 34 – 2r = 26.⊙ r = 4，即⊙O 的半径为4.链接中考1.B2.解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，⊙ PA⊙AB. ⊙⊙BAP = 90°.⊙⊙BAC = 30°，⊙⊙CAP = 90°⊙BAC = 60°.又⊙PA、PC 切⊙O 于点A、C，⊙PA = PC. ⊙⊙PAC 为等边三角形.⊙⊙P = 60°.(2) 如图，连接BC，则⊙ACB = 90°.在Rt⊙ACB 中，AB = 2，⊙BAC = 30°.⊙ BC = 1，AC = ，⊙PAC = 60°.⊙ ⊙PAC 为等边三角形.⊙ PA = AC.⊙ PA = .当堂检测1.答案：20°，42.答案：110°.3. 304.。
《切线长定理》导学案 2022年最新word版 (2)
29.4 切线长定理学习目标：1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明〔重点〕3、会作三角形的内切圆〔重点〕学习重点：切线长定理学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：探究点一、切线长的定义：如以以下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.试一试：探究切线长定理：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言表达为：∵∴典例解析：例1：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C 是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：〔1〕△PDE的周长；〔2〕∠DOE的度数.跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E中相等的线段有第1题图第3题图2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°.那么∠P=________.探究点二、三角形的内切圆〔一〕学前温故1．经过三角形三个顶点的圆叫做．外接圆的圆心叫做.这个三角形叫做.2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离.〔二〕学习新知1．与三角形三边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做.这个三角形叫做.2．三角形的内心到三角形的三边距离.典例解析：例2：如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC∠FDE与∠A的关系，并说明理由．分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．解：点拨：连接圆心和是常作的辅助线．例3：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；(2)假设a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．解：点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．稳固训练：1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的()．A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，那么∠BOC为________度．3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，假设∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(3＋1)，求⊙O的半径．4.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径.〔1〕求证：AC∥OP︵〔2〕如果∠APC=70°，求 AC的度数5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
人教版初三数学上册24.2.2切线长定理学生导学案
《切线长定理》导学案一、复习提问1.如图，已知⊙O的半径O A⊥直线l于点A，则直线l是⊙O的2.OA是⊙O半径,直线l切⊙O于点A，则OA与直线l的位置关系是3．判断：（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）二、探究新知【一】经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？【二】观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长即时训练：P A D C B E①过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）②从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
（ ）如图，已知AB ，BC, AC 分别与圆O 相切于点D, E, F,则点A 到圆O 的切线长是线段 的长；点B 到圆O的切线长是线段 的长；点C 到圆O 的切线是线段的长。
2、观察:由学生动手实验和利用PPT 来展示点P 位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想:引导学生直观判断，猜想图中PA 与PB ，∠OPA 与∠OPB 有什么关系？4、证明猜想，形成定理．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【三】讲解例题例1：如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，DE 分别交PA ，PB 于D 、E ，已知PA= 8CM ，求Δ PDE 的周长。
【四】拓展新知练习:如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交弧AB 于点C,连接AB 交OP 于点M,你能得到什么新的结论？请说明理由。
如图，若再连接OA,OB，你又能得出什么新的结论？请说明理由？小组讨论，然后填空：(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的等腰三角形．【五】巩固新知1、如图，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D, E, F;如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm, AC= cm, AB= cm2、已知PA,PB与圆O相切于点A, B,圆O的半径为2，（1）若四边形OAPB的周长为10，则PA=( 2 )若∠APB=60°，则PA= ∠AOB=3、如图，PA,PB是圆O的切线，A,B为切点，AC是圆O的直线，若∠P=46°，则∠BAC= 。
27.2.3.2切线长定理
27.2.3切线长定理导学案学习目标1.了解切线长定理的探究与演绎推理，会运用切线长定理进行计算和证明.2.知道三角形的内切圆和内心以及圆的外切三角形的意义.学习策略1.在操作与测量中发现分析，总结归纳，在例题探究中规范推理过程.2.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.学习过程一.复习回顾：1.什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？2.怎样判断一条直线是圆的切线？3.过圆外一点画圆的切线，可以画几条？二.新课学习：1.自学教材P53，回答以下问题：1、自己任意画一个圆，并在圆外任意取一点，过这点画圆的两条切线，测量到切点的线段长度，对比分析测量结果.2、切线长的定义是什么？3、结合1中的测量对比，猜想切线长的关系：4、并运用轴对称的性质分析总结切线长定理：5. 自己运用切线的性质定理结合全等三角形的知识演绎证明切线长定理.2.自学教材P54，回答以下问题：1、什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？什么是圆的外切三角形？2、三角形的内心怎样确定？3.怎样画三角形的内切圆？自己任意画三角形，并画其内切圆：三.尝试应用：1. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD 的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．102. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于.3.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．四.自主总结：（1）切线长定理：（2）相关概念：三角形的内切圆：、内心：和圆的外切三角形： .五.达标测试一．选择题（共4小题）1．下列说法中不正确的是（）A．三角形只有一个外接圆B．三角形只有一个内切圆C．三角形的内心到三个顶点的距离相等D．三角形的内心到这个三角形三边的距离相等2．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（）A．B．C．D．3．如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10二．填空题（共3小题）5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．6．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm．7．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为．三．解答题（共3小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．9．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．10．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，求△PED的周长．1.【分析】分别根据三角形外接圆以及内切圆和内心的性质判断得出即可．【解答】解：A、三角形只有一个外接圆，此选项正确，不合题意；B、三角形只有一个内切圆，此选项正确，不合题意；C、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，错误，符合题意；D、此选项正确，不合题意．故选：C．2.【分析】根据等边三角形三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，∴∠OBD=30°，BD=，∴tan∠BOD==，∴内切圆半径OD=×=a．故选：A．3.【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD=BE，CE=CF，AD=AF，进而得出△ADF是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，∴BD=BE，CE=CF，AD=AF，∵BE+EC=BD+FC=6，∴AD=AF=（AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）=（16﹣6﹣6）=2，∵∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴DF=2．故选：A．4.【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB，同理可得：CA=CE，DE=DB．∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，∴△PCD的周长=10，故选D．5.【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故答案为：2．6.【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．【解答】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=∠CAB=60°∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．7.【分析】根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=a，得到方程12﹣a+5﹣a=13，求出方程的解即可．【解答】解：∵AC2+BC2=25+144=169，AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，连接OE、OQ，∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=∠C=90°，OE=OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE=CE=CQ=OQ=a，∵AF+BF=13，∴12﹣a+5﹣a=13，∴a=2，故答案为：2．8.【分析】（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．【解答】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AB=AC，∴AB﹣AD=AC﹣AF，即BD=CF，∴BE=CE；解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，∴OE⊥BC，∴BE=CE；（2）解：连结OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，又∵OD=OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=2﹣r，在△ABC中，∠A=90°，∴，又∵BC=BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）=，得：r=，∴⊙O的半径是．9.【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBE+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°；（2）由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC==10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF==4.8cm．10.【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA=PB=4，同理得DC=DA，EC=EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长=PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长=PD+DA+EB+PE=PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA=PB=4，∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，∴DC=DA，EC=EB，∴△PED的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．。
初中切线长定理教案-切线长定理教案教学反思3篇
初中切线长定理教案切线长定理教案教学反思3篇第1篇：初中切线长定理教案1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：及其应用.因再次体现了圆的轴对称*，它为*线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.难点：与有关的*和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、*，并深刻剖析的基本图形;对重要的结论及时总结;(2)在教学中，以观察猜想*剖析应用归纳为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，掌握;2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和*，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极*，树立科学的学习态度.教学重点:是教学重点教学难点:的灵活运用是教学难点教学过程设计:(一)观察、猜想、*，形成定理1、切线长的概念.如图，p是⊙o外一点，pa，pb是⊙o的两条切线，我们把线段pa，pb叫做点p到⊙o的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用电脑变动点p的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导学生直观判断，猜想图中pa是否等于pb.pa=pb.4、*猜想，形成定理.猜想是否正确。
需要*.组织学生分析*方法.关键是作出辅助线oa，ob，要*pa=pb.想一想：根据图形，你还可以得到什么结论?∠opa=∠opb(如图)等.：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线的5条*质与一起归纳切线的*质6、的基本图形研究如图，pa，pb是⊙o的两条切线，a，b为切点.直线op交⊙o于点d，e，交ap于c(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形;(3)写出图中所有的相似三角形;(4)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.(二)应用、归纳、反思例1、已知：如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，a和b是切点，bc是直径.求*：ac∥op.分析：从条件想，由p是⊙o外一点，pa、pb为⊙o的切线，a，b是切点可得pa=pb，∠apo=∠bpo，又由条件bc是直径，可得ob=oc，由此联想到与直径有关的定理垂径定理和直径所对的圆周角是直角等.于是想到可能作辅助线ab.从结论想，要*ac∥op，如果连结ab交op于o，转化为*ca⊥ab，op⊥ab，或从od为△abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来*，可获得多种*法.*法一.如图.连结ab.pa，pb分别切⊙o于a，b∴pa=pb∠apo=∠bpo∴op⊥ab又∵bc为⊙o直径∴ac⊥ab∴ac∥op(学生板书)*法二.连结ab，交op于dpa，pb分别切⊙o于a、b∴pa=pb∠apo=∠bpo∴ad=bd又∵bo=do∴od是△abc的中位线∴ac∥op*法三.连结ab，设op与ab弧交于点epa，pb分别切⊙o于a、b∴pa=pb∴op⊥ab∴=∴∠c=∠pob∴ac∥op反思：教师引导学生比较以上*法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要*质，请学生记住结论.(2)圆内接四边形的*质：对角互补.p120练习：练习1填空如图,已知⊙o的半径为3厘米，po=6厘米，pa，pb分别切⊙o于a，b，则pa=_______，∠apb=________练习2已知：在△abc中，bc=14厘米，ac=9厘米，ab=13厘米，它的内切圆分别和bc，ac，ab切于点d，e，f，求af，ad和ce的长.分析：设各切线长af，bd和ce分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合*较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.(三)小结1、提出问题学生归纳(1)这节课学习的具体内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应注意哪些概念之间的区别?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材p131习题7.4a组1.(1)，2，3，4.b组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.提示：在图1中，连结pc、pd，则pc、pd都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点o应在圆上.在图2中，设p1a=p1b=a，p2b=p2c=b，p3a=p3c=c，则有a=p1a=p1p3+p3a=p1p3+c①c=p3c=p2p3+p3a=p2p3+b②a=p1b=p1p2+p2b=p1p2+b③将②代人①式得a=p1p3+(p2p3+b)=p1p3+p2p3+b，∴a-b=p1p3+p2p3由③得a-b=p1p2得∴p1p2=p2p3+p1p3∴p1、p2、p3应重合，故图2是错误的。
切线长定理 导学案
第三章 圆《切线长定理》教学设计说明一、教学目标是：1. 使学生理解切线长定义.2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用.二、教学设计分析本节课设计了六个教学环节：一、创设情景，引入新课→二、 合作学习，探究新知→三、应用新知，体验成功→四、梳理小结，盘点收获→五、延伸思考，提升层次→六、推荐作业，巩固拓展.第一环节 创设情景，引入新课活动内容：问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢?教师引导学生发现A 、B 分别为⊙O 与PA 、PB 的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP 是正方形,所以，圆的半径为A 点或B 点的刻度，PA=PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB ？第二环节 合作学习，探究新知（一）、切线长定义ABOPABOPC D1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长） （2）定义中的“线段”具有什么特征？① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC 和⊙O 相切于点A ，点P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？ （线段PA ）图1PAOBOAP图2（2）已知：如图2，PA 和PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA 或线段PB ）（3）如图2，思考：点P 到⊙O 的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？（4）既然点P 到⊙O 的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学. （二）、切线长定理：1、探索问题1：从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，那么线段PA 和PB 之间有何关系？ 探索步骤：（1）根据条件画出图形； （2）度量线段PA 和PB 的长度； （3）猜想：线段PA 和PB 之间的关系； （4）寻找证明猜想的途径；（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.3、剖析定理：（1）指出定理的题设和结论； （2）用符号语言表示定理：∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，点A 、B 分别为切点，（PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ）∴PA=PB ，∠APO=∠BPO. (3)切线和切线长区别.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离.活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，4.拓展：（1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB 交OP 于点C ，OP 所在的直线交⊙O 于点D 、E ，又能得出什么结论？并把它们分类.（2）如图5，已知⊙O 的两条切线互相平行，A 、B 两点为切点，如果连接两切点AB ，则AB 是⊙O 的直径吗？ 数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？答：⑴图3是轴对称图形，连接AB ，结论① △PAB 是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理.②AB ⊥OP ，出现了圆的垂径定理.,AD BD AE BE ==图3OPB A⑵AB 是⊙O 的直径.我们的日常生活中,球放在墙角，V 形架中放入一个圆球等.如图7 可以应用于解决日常生活中测量球体的直径.图7FEDCBAO（4） 如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.图8OO O（5）老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能最大？答：只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料. 活动目的：此环节让学生指出切线长定理的题设和结论，并让学生熟练掌握定理的三种几何语言（符号语言、文字语言、图形语言）的表示.学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可得到更多的边等、角等、弧等的结论.接着让学生观察三角图4OPEDCBAO图5EB FA形的内切圆从而发现其中也存在切线长定理.问题的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学.最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题，提高他们数学的应用意识和解决问题的能力.（三）圆的外切四边形的性质.请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.图9ODCBA结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.第三环节 应用新知，体验成功活动内容： (一)例题学习1.例题：已知如图，Rt △ABC 的两条直角边AC =10，BC =24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F ，求⊙O 的半径.例题1图AFBDE OC变式一：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成后，将例题加以变式训练，将 Rt △ABC 变为一般△ABC .即：课本96页知识技能第2题已知：如图5，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA,AB 分别相切于点 D ，E ，F ，且AB =9cm,BC =14cm,CA =13cm,求AF,BD,CE 的长.第2题OFED CB A变式二：在变式一完成后，将变式一再加以变式训练，将切线AC 平移到圆的另一侧，即知识技能第1题例1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 与PB 分别⊙O 切于A 、B 两点，DE 也是⊙O 的切线，切点为C ，PA =PB =5cm ，求△PDE 的周长.让学生分析问题后，提出问题：1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.2、求△PDE 的周长时，应如何利用已知条件？提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题2是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生进行题后小结.活动目的：本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！（二）巩固练习1.填空：如图10，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ， （1）若PB =12，PO =13，则AO = （2）若PO =10，AO =6，则PB = ；（3）若PA =4，AO =3，则PO = ；PD = ；OA BD CE PD图10O PB A2.已知,如图10，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO 与⊙O 相交于点D ，且PA =4c m,PD =2cm.求半径OA 的长.现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA =5cm ，则锅盖的半径长是多少？ （引导学生连结OA 、OB 、OP ，利用切线长定理解答）第四环节 梳理小结，盘点收获活动内容：1、你的学习心得、体会是什么？2、你有哪些好的经验可推广？3、你还存在哪些困难、疑问？提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平P A B O分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标.第五环节 延伸思考，提升层次活动内容：这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究 .第六环节 推荐作业，巩固拓展活动内容：A 层：1.已知：如图5，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， （1）图中共有几对相等线段？（2）若AF =4，BD =6，CE =8，则△ABC 的周长是 ； （3）若AB =9，BC =15，AC=12，则AF = ，BD = ，CE = .第1题OFED CB A 第2题图2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线，交PA 及PB 于D 、E 两点，已知∠P =50°，PA=PB=6cm ，则∠DOE = ，△PDE 的周长是 . B 层：1、如图，过⊙O 外一点作⊙O 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点，C 为AB 上一点，设∠APB =α . 求证：∠ACB =α2190+︒.APCOA B PDOEC分析：本题主要运用切线的性质和圆周角定理及四边形的内角和进行解答. 2．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，PO 交AB 于E ，等式①AE =BE ；②AO 2=OE ·OP ；③∠OAB =21∠APB ；④PA =PB 中，成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个BOAPE。
切线长定理
班级：九年级 学生姓名：
使用时间： 1 月 7 日
1. 掌握切线长定理及其应用. 2. 通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问 【学习目标】 题后易于解决，从而树立解决问题的信心。
预习要求： 通过预习初步了解本节知识点，并根据个人能力初步完善探究案。学科组长组检 查组内各对子预习完成情况。
六、小结：（小组内总结组内成员完成了本节的哪些学习目标）
七、作业： A 组：
B 组:
我的收获
（学生）/
课后反思 （教师）
人贵有志，学贵有恒。
二、PPT 出示学习目标。 三、第一次“先学后教”—— 切线长定理 想一想：（动手操作验证） 经过圆外一点 P 的切线，你能画几条？试试看。
（2） 在这个图形中能找到相等的线段吗？说说你的理由。
学习不怕根基浅，只要迈步总不迟。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 做一做：（小组展示） 你能证明切线长定理吗？ 已知：如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点 求证：PA=PB
【重点】 切线长定理
【难点】 切线长定理的应用.
【学法指导】 合作交流，自主探究【课时安排】Fra bibliotek1 课时
总第 34 课时
预习案——课前自主学习
相关知识回顾： 1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，分别是什么？
一、情景引入：
探究案——课中合作探究
想一想：（小组讨论解决问题，比一比那个小组又快又准确）
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的切线之间有那些等量关系？
与同伴进行交流。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
切线长定理 导学案(有答案)
3.7切线长定理导学案班级：__________姓名：___________一、学习目标1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。
二、温故知新1.判断直线与圆相切有哪些方法？2.切线的性质是？（1）。
（2） .3.与三角形各边都的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫；这个三角形叫做。
4.内心的性质： .5.在⊿ABC中，∠A=50°（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .三、自主探究：阅读课本p94— 96探究（一）切线长的定义：1.如图（1），点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线。
总结自己发现的结论:过圆上一点可以作圆的条切线(1) (2)2.如图（2）,过⊙O 外一点P ，画出⊙O 的所有切线。
切线长定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
3.切线与切线长的区别和联系?探究（二）切线长定理：1、如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．总结切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．2、如图，是轴对称图形吗？连结图3中的两个切点AB 交OP 于点C ，又能得出什么结论？并把它们分类。
相等的角有 ，相等的弧有 ，互相垂直的线段有 ，P全等的三角形有 。
探究（三）圆的外切四边形的性质如图，四边形ABGD 是⊙O 外切四边形，图中线段之间有哪些等量关系？说明理由总结:圆的外切四边形的两组对边的和 .四、随堂练习随堂练习1.(1)5 (2)8 (3)51.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB=12，PO=13，则AO= ；（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；（3）若PA=4，PD=2，则AO = ；2.已知如图，Rt△ABC 的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别例题1图FDO为D,E,F，求⊙O 的半径.3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？五.本课小结：1、切线长定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2022年初中数学精品《切线长定理》导学案
O B A P29.4 切线长定理学习目标：1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明〔重点〕3、会作三角形的内切圆〔重点〕学习重点：切线长定理学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：探究点一、切线长的定义：如下列图，过⊙O 外一点P ，画出⊙O 的所有切线.P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.区别 联系 切线切线长试一试：探究切线长定理：如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言表达为：∵ · O∴典例解析：例1：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求：〔1〕△PDE 的周长；〔2〕∠DOE 的度数.跟踪训练：1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ，与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，那么图中相等的线段有_______________________________________________________.第1题图 第3题图2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°.那么∠P=________.探究点二、三角形的内切圆〔一〕学前温故1．经过三角形三个顶点的圆叫做 ．外接圆的圆心叫做 .这个三角形叫做 .2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离 .〔二〕学习新知1．与三角形三边都相切的圆叫做 ，内切圆的圆心叫做 .这个三角形叫做 .2．三角形的内心到三角形的三边距离 .典例解析：例2：如图(1)，在△ABC 中，⊙I 是△ABC ∠FDE 与∠A 的关系，并说明理由． A E D F CB O分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．解：点拨：连接圆心和是常作的辅助线．例3：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；(2)假设a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．解：点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．稳固训练：1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的()．A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，那么∠BOC为________度．3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，假设∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(3＋1)，求⊙O的半径．4.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径. 〔1〕求证：AC∥OP︵〔2〕如果∠APC=70°，求 AC的度数5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺2.3 线段的长短学习目标：1.掌握线段长短比拟的正确方法及表示方法；〔重点〕2.学会用尺规作图作一条线段等于线段；〔重点〕“两点之间线段最短〞的根本领实.〔重点〕学习重点：线段长短比拟的方法及表示方法.学习难点：如何引导学生从“数量〞的角度，引入到从“形〞的角度来分析两条线段的大小比拟.自主学习一、知识链接1.如图，点A、B、C、D在直线AB上，那么图中能用字母表示的共有条线段，有条射线，有条直线.2.以下说法正确的选项是A 画一条3厘米长的直线B 画一条3厘米长的射线C 画一条4厘米长的线段D 在直线，射线，线段中，直线最长二、新知预习互动探究议一议〔1〕你们平时是如何比拟两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比拟两条线段的长短吗？讨论后派一位代表上来说说你们的想法.〔2〕那如果是两个分别在两条不同的笔直的道路上跑的选手，我们又如何知道在规定的时间内，他们谁跑得更远呢？〔3〕任意的画出两条线段，你又该如何比拟这两条线段的长度大小呢？你能想到什么方法？【自主归纳】比拟两条线段的长短的方法：第一种方法：度量法，即用一把尺量出两条线段的长度，再进行比拟.a b解：量得a= ；b= ；∴a b.〔填﹤、﹥或﹦〕第二种方法：叠合法先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧，根据另一端落下的位置，来比拟.将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD 叠合.这时端点B有三种可能的位置情况:(1)点B落在C,D之间，线段AB_____线段CD,记作_______.AC B D(2)点B与点D重合，线段AB_____线段CD,记作______.A BC D(3)点B在线段CD的延长线上，线段AB_____线段CD,记作_______.AC D B想一想：如图，小明到小英家有四条路可走，有一天小明有急事找小英,你认为走哪条路最快？为什么?你能得到什么结论？【归纳】两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离.两点之间的所有连线中，线段最短.画一画作一条线段等于线段a：线段a, 作一条线段AB，使AB=a.步骤：1.画___________________;2.以_____为圆心，______为半径画弧，交________于_______.线段AB即为所求.三、自学自测1.试比拟线段AB、CD的长短.A B C D2.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应是_____________．四、我的疑惑_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：比拟线段的长短例1：为比拟线段AB 与CD 的大小，小明将点A 与点C 重合使两条线段在一条直线上，点B 在CD 的延长线上，那么〔 〕A. AB ＜CDB. AB ＞CDC.AB=CD D 以上都有可能【归纳总结】 用叠合法比拟线段的长短.【针对训练】用圆规比拟图中的四条线段，其中最长的是〔 〕探究点2：有关线段的根本领实例2：如下图，直线MN 表示一条铁路，铁路两旁各有一点A 和B ，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？【归纳总结】(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短〞．【针对训练】合作探究A . AB B . BC C . CD D . AD CB如图，AB+BC______AC，AC+BC________AB，AB+AC__________BC〔填“>〞“<〞或“=〞〕.二、课堂小结1.以下可以比拟长短的是〔〕A.2.七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一条适宜的方法〔〕A.把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳B.把两条绳子接在一起C.把两条绳子重合，观察另一端的情况D.没方法挑选3.以下判断错误的选项是〔〕A.任何两条线段都能度量长度B.因为线段有长短，所以它们之间能判断大小C.利用圆规配合尺子，也能比拟线段的大小D.两条直线也能比拟大小4.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比拟长短时，以下说法错误的选项是〔〕A.如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB<CDB. 如果A,C重合，B落在线段CD的内部，那么AB<CDC. 如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB＞CDD. 如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，那么AB＞CD5.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是〔〕6.下面线段中，_____最长，_____最短.①②③④7.如图，从甲地到乙地有四条道路，其中最短的路线是，最长的路线是。
初中数学 导学案1：切线长定理
切线长定理学习目标：1..通过操作经历切线长定理的探索过程。
2．会用切线长定理进行简单的推理论证和有关计算。
即看见从圆外一点引了圆的两条切线能得到有关的直接结论与间接结论。
3．能掌握本节课的常见重点图形。
4.通过完成自主探究的5明白探索结论型的题目的思路是观察，猜想，证明。
5.通过完成自主探究的6明白几何题目可以用代数法（方程思想）解决。
学习过程：一自主探究，明确疑难。
1操作。
在一张纸上画一个⊙O，在⊙O上任取一点A，过点A作⊙O的切线PA，再沿直线PO将⊙O对折，设⊙O上与点A重合的点为B，然后将纸展开铺平，连接PB，OA，OB。
2提出问题。
由1可知道（1）OB是⊙O的一条半径吗？（2）PB是⊙O的一条切线吗？（3）经过点P的切线有几条？那么是不是过圆外一点可以引圆的两条切线？（4）你发现PA,PB的长有什么关系？（5）∠APO与∠BPO相等吗？（6）上述结论的理由是什么？3.掌握概念：点到圆的切线长。
如图1直线PA是过圆外一点P的圆的切线，点A是切点，则线段PA的叫做点P到圆的切线长。
图1 图2 图34 如图2，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线，，由1,2可以得到PA= ，∠APO=由此可以得到切线长定理：几何语言是∵∴5.小组合作交流：如图3，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线，A,B是切点，我们知道AP=BP，∠APO=∠BPO，你还可以推出哪些结论？（白板展示小组合作的要求）6小组合作交流：如图△ABC 的内切圆⊙O与BC， CA， AB 分别相切与点 D，E， F ，且BC=a AC=b AB=c 则BD=图4二交流展示，形成规律。
1.交流学习成果小组展示（语言及掌声鼓励与小组分数奖励）2.补充完善，揭示规律。
教师点拨（重点强调应用）1.切线长定理（直接结论2个与多个间接结论，有关的辅助线3条）2.自主探究的5明白探索结论型的题目的思路是观察，猜想，证明3.自主探究的6明白几何题目可以用代数法（方程思想）解决三运用规律巩固新知1.初步应用（1）如图5，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线，A,B是切点，∠APO=350，，则∠APB=PA=10 则PB= 。
导学案：圆-切线长定理
第8课时 切线长定理、三角形的内切圆修改者：杨佳容【学习目标】1.理解切线长定理的条件和结论. 2.会作三角形的内切圆，了解内切圆的一些特性.【学习重点】切线长定理的应用. 【学习过程】一、学习准备1.直线与圆的三种位置关系有： 、 、 .2.直线和圆有 交点时，这条直线叫做圆的切线.当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于 . 3.切线的性质：圆的切线垂直于 . 二、教材解读 1.切线长定理圆的切线上某一点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.如图1，PA ⊙O 的切线，A 为切点，则线段PA 就是点P 到⊙O 的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.已知：如图1，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， 求证：PA = PB ，∠OPA =∠OPB . 证明：， 即时练习1：如图2，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC = 20°，求∠P 的度数.2．三角形的内切圆 思考：有一张三角形的铁皮，如何在它上面截出一个面积最大的圆形铁皮？ 为了尽量应用这块铁皮，我们画出的圆与铁皮的边要刚刚相切才好.那么,会不会存在这样一个圆，它与这个三角形的三边都相切？如果存在，我们就可以最大化利用了这块三角形铁皮了.图1图2如图3，我们假设这样一个与三角形三边都相切的圆存在,我们看能不能找到它的圆心和半径.设点D 、E 、F 是切点，则有： OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ， 又根据切线长定理，则有：AD = AE ，BD = BF ，CF = CE ，而OD = OE = OF ，∴R t △ADO ≌Rt △AEO ，R t △BDO ≌Rt △BFO ，R t △CEO ≌Rt △CFO ， ∠DAO = ∠EAO ，∠DBO = ∠FBO ，∠ECO = ∠FCO ，∴AO 、BO 、CO 是△ABC 三条角平分线.∴圆心O 是就是三角形三条角平分线的交点，半径就是交点O 到三边的距离. 故存在这样的一个圆，它与三角形的三边都相切.定义：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点. 即时练习2：（1）如图4，⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，∠DOE =120°，∠EOF = 150°，则∠A = ，∠B = ，∠C = .（2）如图5，△ABC 的内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB = 5cm ，BC = 9cm ，AC = 6cm ，求AE 、BF 和CD 的长.（3）如图5，设△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的的周长为l 、面积为S ，求证：S =rl 21.A BCDEF O 图4图3 ABC DE FO A CB D E F O · 图5图5 ABCDE FO三、反思小结1、切线的性质：2、切线的判定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．弦切角的特征： 4. 切线长定理： 5. 三角形的“几心”知识回顾和整理：（1）三角形三个内角平分线的交点叫三角形的 心，它的特点是： 心到 距离相等；（2）三角形三条边的垂直平分线的交点叫三角形的 心，它的特点是： 心到 距离相等；（3）三角形三条中线的交点叫三角形的 心，它的特点是： .（4）三角形三条高的交点叫三角形的 心.ABCDEF O内心外心 ABC重心DEF 垂心A BCD E F OO ┐ ∥∥本课时达标检测一、基础巩固1．请你用尺规作图，作出三角形MNP 的内切圆.2.如图，△ABC 的内切圆⊙O 切AC 、AB 、BC 分别为D 、E 、F ，若AB = 9，AC = 7，CD = 2，求 BC 的长.二、知识拓展3．正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）. A. 2 B. 3 C.3 D. 234.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C = 90°，若AC = b ，BC = a ，AC = c ，则⊙O 的半径r 与a 、b 、c 的关系式为 .5. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的一条切线，过点C 另引一条⊙O 的切线交⊙O 于点D ，连接AD 、OC . 求证：AD ∥OC .三、能力提升6. △ABC 的周长为20cm ，面积为35cm 2，那么△ABC 的内切圆半径为 . 7．如图，PA 是⊙O 的切线，PO 的延长线交⊙O 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PC = 4.求弦CE 的长.ABC· O 5题图DM 1题图 APECO· 7题图C A BD FE O · 2题图 ABbCO· 4题图┐c a。
切线长定理的教案
切线长定理的教案教案标题：切线长定理的教案教学目标：1. 理解切线长定理的概念和原理2. 掌握利用切线长定理解决相关数学问题的方法3. 提高学生的数学推理和解决问题的能力教学内容：1. 切线长定理的定义和相关概念2. 切线长定理的证明和推导过程3. 切线长定理在实际问题中的应用教学重点和难点：1. 切线长定理的概念和原理是本节课的重点，需要学生理解和掌握2. 切线长定理的证明和推导过程可能是本节课的难点，需要引导学生进行逻辑推理和思维训练教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题引入切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣2. 讲解：介绍切线长定理的定义、原理和相关性质，引导学生理解和掌握3. 演示：通过具体的数学例题演示如何利用切线长定理解决相关问题，帮助学生掌握解题方法4. 练习：布置一些练习题，让学生独立或合作完成，巩固所学知识5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调切线长定理的重要性和应用价值教学手段：1. 板书：清晰地呈现切线长定理的定义、原理和相关性质2. 多媒体：利用多媒体展示相关图形和例题，直观地展示切线长定理的应用3. 互动讨论：通过提问和回答、小组讨论等方式，激发学生的思维，促进学习效果教学评价：1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，及时发现问题并进行指导2. 作业批改：对学生的作业进行批改，及时纠正错误，鼓励正确的解题方法3. 小测验：布置小测验检验学生对切线长定理的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导教学反思：1. 总结本节课的教学效果，分析学生的学习情况，及时调整教学策略2. 探讨教学中存在的问题和不足，寻求改进和提高的方法通过以上教学设计，可以有效地帮助学生理解和掌握切线长定理的相关知识，提高他们的数学推理和解决问题的能力。
切线长定理导学案 (1)
24.2.2切线长定理学案
学习目标：
1．理解切线长定理，并会用其解决有关问题；学习重点：切线长定理及其应用．
一．探索
1.作图，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线。
2.切线长. 辨析概念：切线和切线长是两个不同的概念, 切线是，不能；切线长是的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和，可以。
3．探究：（1）图中的线段P A 与PB 有什么关系？你能证明你的结论吗？
（2）∠APO与∠BPO之间有什么关系？你能证明你的结论吗？
证明：
4.切线长定理：
符号语言：
4.切线长定理的拓展：如图,PA,PB为☉O的切线,根据图形，你还可以得到什么结论？
二.应用巩固：
1.如图,从☉O外一点P引圆的两条切线PA,PB,切点
分别是A,B,如果∠APB=60°,线段PA=10,那么弦AB
的长是( )
A.10
B.12
C.5
D.102.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=30°.(1)求∠APB的度数.(2)当OA=3时,求切线长PA.
3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，.求：△PEF的周长。
4.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N，P．求证：AB+CD=AD+BC．
5.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,过A,B两点分别作☉O 的切线,两切线交于点P.若已知☉O的半径为1,求△PAB的周长
·
P。
切线长定理教案优秀教案-2024鲜版
2024/3/27
04
CATALOGUE
教学过程设计
15
导入新课
2024/3/27
01
回顾圆的性质和相关定理，为切 线长定理的学习做铺垫。
02
通过实例或问题导入，如“如何 证明从圆外一点引圆的两条切线 长相等？”，激发学生的学习兴 趣。
16
新课学习
讲解切线长定理的内容，包括定理的 条件和结论。
6
02
CATALOGUE
教学内容与重点难点
2024/3/27
7
教学内容
切线长定理的定义和性质
阐述切线长定理的基本概念，包括切 线、切点、切线长等，并解释其性质 ，如切线长与半径的垂直关系等。
切线长定理的证明
切线长定理的应用
通过实例演示切线长定理在解决几何 问题中的应用，如计算线段长度、角 度等。
25
THANKS
感谢观看
2024/3/27
26
切线长定理教案优秀教案
2024/3/27
1
CATALOGUE
目 录
2024/3/27
• 教学目标与要求 • 教学内容与重点难点 • 教学方法与手段 • 教学过程设计 • 教学评价与反馈 • 作业布置与拓展延伸
2
2024/3/27
01
CATALOGUE
教学目标与要求
3
知识与技能目标
掌握切线长定理的基本概念和 性质，理解切线长定理的几何 意义。
针对学生的不同水平，设计不同 难度的练习题，以满足不同学生
的需求。
鼓励学生相互讨论和合作，共同 解决练习中的问题。
18
课堂小结
总结本节课所学的切线长定理及其证明 方法。
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切线长定理
赵晓娟
学生姓名组别评价等级
【学习目标】
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理。
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。
【学习重难点】
重点：切线长定理及应用是教学重点。
难点：切线长定理的灵活运用是教学难点。
【使用说明及学法指导】
（1）组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；（2）以“观察——猜想——证明——剖析——应用
——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动
式教学。
【课前预习案】
【温故知新】
1、已知△ABC，作△ABC的内心，说出它的性质
2、切线的定义是________________ ___________________。
3、切线的性质是 ____________ ___________________。
4、切线的判定是______________________________________________________。
【提出疑惑】
【课内探究案】
环节一、观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A、
B，我们把线段PA，PB的长叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不
能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
C
B
A
2、观察
观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
猜想图中PA是否等于PB．
4、动手操作，验证猜想。
利用圆的对称性进行折叠，看PA、PB能否重合。
5、证明猜想，形成定理．
6、归纳：切线长定理：
7、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP
交⊙O于点D，E，交AB于C.
图中相等的线段有
相等的角有
相等的弧有：
全等的三角形有
相似三角形有
适时训练
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____
（2）若PO=10，AO=6，则PB=____
（3）若PA=4，AO=3，PO=____PE=_____.
（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
环节二、切线长定理的应用
例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，
A和B是切点，PA=10，∠P=500，F是优弧AB上一点。
求：（1）∠AFB的度数；
（2）如图，若CD是⊙O的切线，切于点E，求⊿PCD的周
长和∠COD的度数。
巩固练习
如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。
（2）若△PCD周长=10，则PA=____。
（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，
则∠A MB=____
例2、求证：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
已知：
求证：
巩固练习：
如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E 、D、F，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。
三、课堂小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习了哪些内容，你还有哪些疑惑？
（2）应注意哪些概念之间的区别?
O
H
G
F
E
D
C
B
A
B A C
E D
O F
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法． 四、当堂检测
1、从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为（ ）． A ．93 B ．9（3-1） C ．9（5-1） D ．9
2、如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°， 则∠ACB=（ ）．
A ．60°
B ．75°
C ．105°
D ．120°
(1) (2) (3) (4)
3．如图2，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线CD 分别相交于C 、D 两点，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．
4．如图3，边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________．
5．如图4，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是
_______．
6． 如图6，四边形ABCD 四条边都和⊙O 相切，且AB ＝16，CD ＝1 则四边形ABCD 的周长为（ ）
A ．50
B ．52
C ．54
D ．56
7、如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，
BF=3，且△ABC 的面积为6．则内切圆的半径r= ．
8、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 、BF 切⊙O 于A 、B ，EF 切⊙O 于C. 求证：OE ⊥OF
B
A C
E D O
F
B
A
C
B A
C D
P
O
B
A
C
P O D
C
B A （6）。