导数与函数的单调性
3.3.1 函数的单调性与导数
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
导数与函数单调性和最小值的关系
导数与函数单调性和最小值的关系导数是微积分中的重要概念，它与函数的单调性和最小值之间存在着密切的关系。
本文将探讨导数与函数单调性以及最小值之间的相互关系。
一、导数与函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
导数的存在性和符号可以揭示函数的单调性。
1.1 导数的存在性函数在某一点处的导数存在意味着函数在该点处的变化率存在。
如果函数在某一点处的导数存在，则说明函数在该点处具有切线，即函数在该点处局部近似为一条直线。
1.2 导数的符号导数的符号可以揭示函数在某一区间上的增减性。
假设函数在某一区间上的导数大于零，即导数为正，那么函数在该区间上是递增的；反之，如果导数小于零，即导数为负，那么函数在该区间上是递减的。
通过导数的符号，我们可以判断函数在不同区间上的单调性。
二、导数与函数的最小值函数的最小值是指函数在定义域上的最小取值。
导数可以帮助我们找到函数的最小值。
2.1 导数的零点函数在导数为零的点处可能存在最小值。
这是因为导数为零意味着函数在该点处的变化率为零，即函数在该点处的斜率为零。
这样的点可以是函数的最低点。
2.2 导数的符号变化函数在导数发生符号变化的点处可能存在最小值。
如果函数在某一点的导数由正变为负，那么函数在该点处可能具有最小值。
因为导数由正变为负，说明函数在该点的斜率从正向变为负向，即函数在该点附近由增加转为减少，可能达到了最小值。
综上所述，导数与函数的单调性和最小值之间存在着紧密的关系。
通过导数的存在性和符号，我们可以判断函数的单调性。
而导数的零点和符号变化可以帮助我们找到函数的最小值。
在微积分中，导数的应用不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以用来解决各种实际问题。
参考资料：1. Stewart, ___(2011). Calculus: ___.2. Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2009). Calculus. WileyGlobal ___.。
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
导数与函数的单调性ppt课件
x1x2 x1 - x2
x0x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论:
如果在某区间上f/(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f/(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（方法3:导数法）
解:函数的定义域为R, f/(x)=2x-4 令f /(x)>0,解得x>2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f /(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(－∞,2).
上是单调递增的，求a的取值范围. a 16
f
(x) 2x
a x2
0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a对任意x [2, )恒成立.
变式：(2已x3)知min函数a对f (任x)意xx2[2,a(a)恒 R成)立在.x (, 2] x
课外作业
教材P84页 习题4-1 第1题
步骤：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
. 2.求出函数的导数f/(x)
3.解不等式f/(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f/(x)<0,得函数单减区间.
例5：已知函数f (x) x2 a (a R)在x [2, ) x
解：函数的定义域为x>0, f/(x)=lnx+1.
当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。
在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。
一、导数的定义与意义导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗其中，h表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
二、导数与函数的单调性导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。
具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。
三、通过导数确定函数的单调性要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤：1. 求取函数的导数。
2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。
3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。
4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。
5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。
举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤：1. 求取导数：f'(x) = 2x2. 解方程 f'(x) = 0：2x = 0解得 x = 0。
3. 在数轴上画出导数的零点x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。
4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1，取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。
5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值：f(-1) = (-1)^2 = 1f(1) = (1)^2 = 1根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论：在小区间 (-∞，0) 上，函数递增；在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。
结论：函数f(x) = x^2 在整个定义域上都是递增的。
通过上述例子，我们可以看出导数与函数的单调性之间的联系。
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．辨明导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．注意：由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．1.如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数2．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调增区间是()A．(－1，1)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)3．已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f(1)，f()A．f(1)>B．f(1)>C．f(1)>D．f(1)4．(选修11P93练习T1(2)改编)函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________．考点一利用导数判断或证明函数的单调性(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.考点二求函数的单调区间已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.2.(2015·高考四川卷节选)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性．考点三已知函数的单调性求参数的范围(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下四个命题角度：(1)根据f (x )在区间A 上单调递增(减)，求参数的取值范围；(2)根据f (x )在区间A 上存在单调递增(减)区间，求参数的取值范围；(3)根据f (x )在区间A 上为单调函数，求参数的取值范围；(4)根据f (x )在区间A 上不单调，求参数的取值范围．(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)已知函数g (x )＝13x 3－12ax 2＋2x .①若g (x )在(－2，－1)内为减函数，求实数a 的取值范围；②若g (x )在区间(－2，－1)内不单调，求实数a 的取值范围根据函数单调性确定参数范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解.3.(1)(2016·九江第一次统考)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．(2)设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )则a 的取值范围为________．方法思想——分类讨论思想研究函数的单调性(2015·高考江苏卷节选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程1．(2016·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)2．已知函数f(x)＝2x3－6ax＋1，a≠0，则函数f(x)的单调递减区间为()A．(－∞，＋∞)B．(－a，＋∞)C．(－∞，－a)和(a，＋∞)D．(－a，a)x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的3．(2016·长春调研)已知函数f(x)＝12()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)>f(a)D．f(x)<f(a)5．(2016·郑州第一次质量预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜1的解集是()A．(－3，0)B．(－3，5)C．(0，5)D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)6．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是()A．0<a<34B．12<a<34C．a≥34D．0<a<127．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上的单调情况是________．8．(2016·石家庄二中开学考试)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2＋2)<f(3x)，则实数x的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．10．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．11．(2016·云南省第一次统一检测)已知函数f(x)＝ln x－x1＋2x.(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若f[x(3x－2)]<－13，求实数x的取值范围．1．(2016·河北省衡水中学模拟)已知函数f(x)x，a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a＝－1时，求证：f(x)在(0，＋∞)上为增函数．2．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．三年高考两年模拟1.(2016·全国Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin2x＋a sin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A.[－1，1]B.－1，13C.－13，13 D.－1，－132.(2016·江西赣中南五校模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x －π2，f′(x)·cos x＋f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2B.2C.f(0)>2D.f(0)>23.(2015·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是()A.＜1k B.＞1k－1C.＜1k－1D.＞kk－14.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)5.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)6，(2014·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1)7.(2015·陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A.－1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2，8)在曲线y＝f(x)上8.(2014·新课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件9.(2016·河南八市模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝12f(x)，则tan2x的值是()A.－23B.－43C.4 3D.3 410.(2015·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是()B.(1，2)D.(2，3)11.(2015·河北恒台模拟)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2015(x )＝()A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x12.(2016·河南郑州一模)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是()A.x ＋y ＋1＝0B.x ＋y －1＝0C.x －y ＋1＝0D.x －y －1＝013.(2016·福建漳州八校模拟)设函数f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (0)＝1，且3f (x )＝f ′(x )－3，则4f (x )>f ′(x )的解集为()14.(2015·黑龙江绥化模拟)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝(ln 2)f (ln 2)，c a ，b ，c的大小关系是()A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b15.(2015·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x ＞0，若a ＝12f b ＝－2f (－2)，c a ，b ，c 的大小关系正确的是()A.a ＜c ＜bB.b ＜c ＜aC.a ＜b ＜cD.c ＜a ＜b16.(2015·河北唐山模拟)已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝sin πx2＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1)).(1)求a ，b 的值和直线l 的方程.(2)证明：f(x)＞g(x).17.(2015·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求a的值.(2)讨论函数f(x)的单调区间.三年高考两年模拟1C2A3C4A5D6C7A8C9D10C11D12C13B14B15A3.(2016·山东，20)设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围.。
利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。
（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。
那么在这个区间内/y ≤0。
2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。
）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。
在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。
这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。
导数与函数的单调性
2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的递增区间是( )
A．(－∞，e)
B．(1，e)
C．(e，＋∞)
D．(e－1，＋∞)
解析：由 f(x)＝x·ex－ex＋1， 得 f′(x)＝(x＋1－e)·ex， 令 f′(x)>0，解得 x>e－1， 所以函数 f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．
题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x)
＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
③若 a<0，则由 f′(x)＝0 得 x＝ln－a2. 当 x∈－∞，ln－a2时，f′(x)<0； 当 x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)>0. 故 f(x)在－∞，ln－a2上单调递减， 在ln－a2，＋∞上单调递增．
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增； 当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
题组三 易错排查 6．函数 f(x)＝x3＋ax2－ax 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0 在 R 上恒成立，即 4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0， 即实数 a 的取值范围是[－3,0]． 答案：[－3,0]
7．若函数
导数与函数的单调性
第2节导数在研究函数中的应用知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.第1课时导数与函数的单调性考点一 求函数的单调区间【例1】 (经典母题)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0，解之得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).【迁移探究1】 若本例中函数f (x )变为“f (x )＝ln x －12x 2＋x ”，试求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝ln x －12x 2＋x ，且x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x. 令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去).由f ′(x )>0，得0<x <1＋52；由f ′(x )<0，得x >1＋52.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.【迁移探究2】若本例的函数变为“f(x)＝x22－a ln x，a∈R”，求f(x)的单调区间.解因为f(x)＝x22－a ln x，所以x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax＝x2－ax.(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a>0时，f′(x)＝（x＋a）（x－a）x，则有①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a).②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). 规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.【训练】已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝1 2x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝5 4.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－32(x>0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).考点二 证明(判断)函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练】 (2015·全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 考点三 导数在函数单调性中的应用【例3】 (1)(2018·武汉模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f （e ）e ，b ＝f （ln 2）ln 2，c ＝f （－3）－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.c <a <b解析 设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2， ∵当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0.∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数.由f (x )为奇函数，知g (x )为偶函数，则g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－3)＝g (3)，∴g (3)<g (e)<g (ln 2)，故c <a <b .答案 D【训练】.已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( )A.f (2)>f (3)>f (π)B.f (3)>f (2)>f (π)C.f (2)>f (π)>f (3)D.f (π)>f (3)>f (2)(2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围.解 ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0. ∴h ′(x )＝1x －ax －2.若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min .(*)又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).②由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝（7x －4）（x －4）16x， ∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0， 当且仅当x ＝4时等号成立.(***)∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞. 规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.3.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.【训练】 (2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________.(2018·兰州模拟)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝（x －1）（x －2）x. 当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.∴f (x )的单调增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调减区间为(1，2).(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数，∴g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0恒成立.即x 2－2x －2a x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立. ∴x 2－2x －2a ≥0当x >0时恒成立，∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立.又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12. ∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立.又当a ＝－12，g ′(x )＝（x －1）2x当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0. 故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增.解析 因为f (x )＝1＋x －sin x ，所以f ′(x )＝1－cos x ， 当x ∈(0，π]时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π]上是增函数，所以f (π)>f (3)>f (2).答案 D9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.。
【高中数学】导数与函数的单调性
＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，
高中数学学科
f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)>0，得 x>
3或 x<－
3，∴函数
f(x) ＝ x3 － x
在
－∞，－
3 3
和
3
3
3，＋∞ 3
上单调递增；对于
D，f′(x)＝－1＋1＝－x－1，令
－∞，－4
即 f(x)的单调递增区间是
3 ，(0，＋∞)．
3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x
D．f(x)＝－x＋ln x
kπ－π，kπ＋π
解析：选 B 对于 A，f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是 4
4 (k∈Z)；对于 B，f′(x)
x
x
f′(x)>0，得
0<x<1，
∴
函数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 f′(x)的图象大致是( )
解析：选 A 设 g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数 f′(x)在 R
ax2
a
由 f′(x)＝ax－1<0，得 0<x<1，
ax2
a
1，＋∞
0，1
∴函数 f(x)在 a
上单调递增，在 a 上单调递减．
高中数学学科
综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
函数的单调性与导数
2 f '(x) 2a 3 x 因为函数在（0，1]上单调递增
2 f '(x)>0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x 1
x g(x)max g(1)=-1
a〉 -1
而g(x)
3
在（0， 1]上单调递增，
增例2：
1 已知函数（ f x） 2ax 2 ，x (0,1],若（ f x）在 x x (0 ,1]上是增函数，求a的取值范围.
o a b x o 若 f(x) 在D上是增函数或减函数， 则 f(x) 在D上具有严格的单调性。
a
b
x
D 称为单调区间
导数的几何意义: f ( x x ) f ( x ) 导数 f ( x ) lim 的几何意义是: x 0 x y 函数 y f ( x ) 的图象在 点 ( x, f ( x )) 处的切线的 f ( x ) 0 斜率.(如图)
分析：
f ( x )在此区间递减
当2 x 3时，f '( x ) 0;
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时 , 间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,
f ( x) 0, 可知 f ( x) 在此区
y
f ( x) 0.
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4
导数与函数的单调性、极值、最值
§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( √ )1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且x 在1附近的左边f ′(x )<0， x 在1附近的右边f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x 2的大小关系是__________________．(用“<”连接)答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2解析 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数， ∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1，∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a ≥0， 即f (x )在R 上单调递增，若a >0，令e x －a ≥0，则e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ，当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x 在x ∈(－2,3)上恒成立． ∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3<0在x ∈(－2,3)上恒成立， 即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1)(2,2a ) (2)(0,3]解析 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数， 在区间(2,2a )上是减函数．(2)∵f ′(x )＝3x 2－a ，f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0，∴a ≤3x 2，∴a ≤3. 又a >0，可知0<a ≤3.题型二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x .(1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值， 且极小值f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)>0.故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型三 利用导数求函数的最值例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a<e2时，令g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－e k－1所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为 f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为 f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[4分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[5分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[6分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[10分] 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[12分] 答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型． (2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．方法与技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.A组专项基础训练(时间：45分钟)1．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)答案 D解析y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，故函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3,1)．2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3 答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)， 当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15 答案 A解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________． 答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)． 令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________． 答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173. 8．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 当a ＝0时，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意．所以a ∈(－1,0)．9．已知函数f (x )＝1x＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间． 解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．10．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )．若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0；若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0；若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减，∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1或x >1|D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数；又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．12．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)答案 D解析 令g (x )＝f (x )e x ， 则g ′(x )＝(f (x )e x )′＝f ′(x )e x －f (x )e x e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)，即f (1)e 1<f (0)1，f (2 016)e 2 016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．13．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.。
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导数与函数的单调性函数是数学中的重要概念，而导数是研究函数变化率的工具。
在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系。
一、导数的定义与计算方法导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，也即函数的切线斜率。
二、导数与函数的单调性函数的单调性指的是函数递增或递减的性质。
导数与函数的单调性之间有如下关系：1. 若在某一区间上，函数的导数恒大于零（即导数大于零），则该函数在该区间上是递增的。
这是因为导数大于零意味着函数的变化率始终为正，即函数逐渐增大。
2. 若在某一区间上，函数的导数恒小于零（即导数小于零），则该函数在该区间上是递减的。
这是因为导数小于零意味着函数的变化率始终为负，即函数逐渐减小。
3. 若在某一区间上，函数的导数恒为零（即导数等于零），则该函数在该区间上是常数函数。
这是因为导数为零意味着函数的变化率为零，即函数在该区间上不变化。
基于以上关系，我们可以通过计算函数的导数来确定其在某一区间上的单调性。
三、示例考虑函数f(x) = x^2，我们将通过求导的方式来分析其单调性。
1. 计算导数：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h= lim(h→0) [(x+h)^2 - x^2] / h= lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h= lim(h→0) (2xh + h^2) / h= lim(h→0) 2x + h= 2x2. 根据导数的计算结果，得知当2x > 0时，即x > 0时，函数f(x)的导数大于零，即函数递增；当2x < 0时，即x < 0时，函数f(x)的导数小于零，即函数递减。
综上所述，对于函数f(x) = x^2，其在负无穷到0的区间上递减，在0到正无穷的区间上递增。
最经典总结-导数与函数的单调性
最经典总结-导数与函数的单调性第11讲：导数与函数的单调性在高考中，了解函数的单调性与导数的关系以及利用导数研究函数的单调性是非常重要的。
多项式函数不超过三次的单调区间的求解也是常见的考点，通常占5~12分。
函数的单调性可以通过导数来判断。
如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0，则在这个区间上，函数y=f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0，则在这个区间上，函数y=f(x)是减少的。
导数与函数单调性的关系是：f'(x)>0（或f'(x)<0）是f(x)在(a,b)内单调递增（或递减）的充分不必要条件；f'(x)≥0（或f'(x)≤0）是f(x)在(a,b)内单调递增（或递减）的必要不充分条件（f'(x)=不恒成立）。
自测题：1.函数f(x)=x^3-6x^2的单调递减区间为( )A。
(0,4)B。
(0,2)C。
(4,+∞)D。
(-∞,0)解析：f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)，由f'(x)<0，得0<x<4，因此单调递减区间为(0,4)。
答案：A。
2.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是( )A。
先增后减B。
先减后增C。
增函数D。
减函数解析：f'(x)=-sinx-1<0，在(0,π)上是减函数，因此选D。
答案：D。
3.已知f(x)=x^3-ax在[1,+∞)上是增函数，则a的最大值是( )A。
1B。
2C。
3D。
4解析：f'(x)=3x^2-a≥0，即a≤3x^2，又因为x∈[1,+∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.答案：C。
题型一：判断或证明函数的单调性（基础拿分题，自主练透）例题：已知函数f(x)=ax^3+x^2(a∈R)在x=-处取得极值。
1.确定a的值；2.若g(x)=f(x)ex，讨论g(x)的单调性。
导数与单调性
已知单调性求参数
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已知单调性求参数时，特别注意“=”的处理.
已知单调性求参数 【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围. 【审题指导】f(x)是减函数，则必有f′(x)≤0， 可从f′(x)≤0入手，再检验使f′(x)=0时参数a的值是否符合题意.
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已知单调性求参数 【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围 【规范解答】函数的导数f′(x)=3ax2+6x-1. 由f′(x)=3ax2+6x-1≤0(x∈R)得 ≨a≤-3；
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(2)若Δ=12－8a2>0,
f 0 0 即 6 a 6 , 只需 , 2a 2 2 ＞0 23 即 1 a＜ 6 时在区间(-≦,0)上恒有f′(x)＞0, 2
即在(-≦,0)上是增函数, 综上所述 a (－,
6 ］［1, ). 2
a＞0 ， 0
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由例3得a∈(-≦,-3］，
≨函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是单调函数，则实数a的取值
范围是(-≦,-3］.
已知单调性求参数 【变式训练】设a为实数，函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0) 上是增函数，求a的取值范围. 【解析】≧f′(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式Δ=4a2－12a2 +12=12－8a2.
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分 析导数的正负. 函数的正负与导数的正负没有关系.
导数与单调性的关系
【例1】设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则 导函数y=f′(x)可能为( D )
第三节 函数的单调性与导数(知识梳理)
第三节函数的单调性与导数复习目标学法指导了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 1.正确对函数求导是研究函数单调性的基础.2.利用函数的单调性与导数符号的关系是解决函数单调性问题的突破口.函数的单调性与导数1.函数y=f(x)在某个区间内可导(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数.2.单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不变号.1.概念理解(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;(2)判断函数的单调性时,个别导数等于零的点不影响所在区间内的单调性;(3)对函数划分单调区间时,需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点.2.与函数单调性相关的结论(1)f ′(x)>0(f ′(x)<0)⇒f(x)为增(减)函数;f(x)为增(减)函数⇒f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)(f ′(x)=0不恒成立). (2)可导函数f(x)在某区间(a,b)内,①若f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=f(x)g(x)在(a,b)内递增;②若f ′(x)g(x)-f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=()()f xg x 在(a,b)内递增;③若f ′(x)-f(x)>0,则函数F(x)=()e xf x 在(a,b)内递增;④若f ′(x)+f(x)>0,则函数F(x)=e x f(x)在(a,b)内递增.1.函数y=4x 2+1x 的单调增区间为( B ) (A)(0,+∞) (B)(12,+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,-12) 2.函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是( D ) (A)(-∞,1] (B)[1,+∞) (C)(-∞,0] (D)(0,+∞) 解析:因为f(x)=e x -x, 所以f ′(x)=e x -1,由f ′(x)>0,得e x -1>0,即x>0.所以函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是(0,+∞), 故选D.3.已知f(x)为R 上的可导函数,且∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x),则以下判断正确的是( B ) (A)f(2 020)>e 2 020f(0) (B)f(2 020)<e 2 020f(0) (C)f(2 020)=e 2 020f(0)(D)f(2020)与e 2 020f(0)大小无法确定 解析:设函数h(x)=()e xf x ,因为∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x), 则h ′(x)=()()2e e (e )'-x xx f x f x <0,所以h(x)在R 上单调递减, 所以h(2 020)<h(0),即()20202020e f <()00e f ,即f(2 020)<e 2020f(0),故选B.4.已知函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减,则a 的最大值是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为f(x)=ax-x 3, 所以f ′(x)=a-3x 2.因为函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减, 所以f ′(x)=a-3x 2≤0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a ≤3x 2在区间[1,+∞)上恒成立, 所以a ≤3.故选D.5.若函数f(x)=x 2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( D )(A)[-1,0] (B)[-1,+∞) (C)[0,3] (D)[3,+∞) 解析:由f(x)=x2+ax+1x,得f ′(x)=2x+a-21x =32221x ax x +-,令g(x)=2x 3+ax 2-1,要使函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数,则g(x)=2x 3+ax 2-1在x ∈(12,+∞)大于等于0恒成立,g ′(x)=6x 2+2ax=2x(3x+a),当a=0时,g ′(x)≥0,g(x)在R 上为增函数,则有g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3(舍); 当a>0时,g(x)在(0,+∞)上为增函数,则g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3;当a<0时,同理分析可知,满足函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数的a 的取值范围是a ≥3(舍). 故选D.考点一 利用导数研究函数的单调性[例1] 设函数f(x)=aln x+11x x -+,其中a 为常数,讨论函数f(x)的单调性.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).f ′(x)=ax+()221x +=()()22221ax a x ax x ++++,当a ≥0时,f ′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax 2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a 2=4(2a+1). ①当a=-12时,Δ=0,f ′(x)=()()221121x x x --+≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,f ′(x)<0, 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ③当-12<a<0时,Δ>0, 设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数g(x)的两个零点, 则x 1=()121a a -+++,x 2=()121a a -+-+. 由x 1=()121a a +-+=22121a a a ++-+>0.所以x ∈(0,x 1)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; x ∈(x 1,x 2)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; x ∈(x 2,+∞)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上可得,当a ≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-12<a<0时,f(x)在(0,()121a a a -+++),(()121a a a-+-+,+∞)上单调递减. 在(()121a a -+++,()121a a -+-+)上单调递增.(1)利用导数求函数单调区间的基本步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数.(2)一般需要通过列表,写出函数的单调区间,研究含参函数的单调性时,需注意依据参数取值对导数符号的影响进行分类讨论.考点二由函数的单调性确定参数的取值范围[例2] 已知函数f(x)=(ax3+4b)·e-x,则( )(A)当a>b>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(B)当b>a>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(C)当a<b<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增(D)当b<a<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增解析:f′(x)=(-ax3+3ax2-4b)·e-x=-a·e-x·(x3-3x2+4ba),当b<a<0时,ba >1,x3-3x2+4ba>x3-3x2+4,令h(x)=x3-3x2+4(x>0),则h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)递减,(2,+∞)递增,h(x)的最小值是h(2)=0,所以h(x)≥0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,故选D.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围.(2)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.1.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,3] (B)(1,3)(C)(-∞,3) (D)[3,+∞)解析:因为f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,由f(x)=x3-ax可得f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,所以f′(1)=3-a≥0,所以a≤3.故选A.2.已知函数 f(x)=(x-1)e x-aln x在[12,3]上单调递减,则a的取值范围是( A )(A)[9e3,+∞) (B)(-∞,9e3](C)[4e2,+∞) (D)(-∞,4e2]解析:f′(x)=xe x-ax ≤0在[12,3]上恒成立,则a≥x2e x在[12,3]上恒成立,令g(x)=x2e x,g′(x)=(x2+2x)e x>0,所以g(x)在[12,3]上单调递增,故g(x)的最大值为g(3)=9e3.故a ≥9e 3. 故选A.考点三 单调性的应用[例3] (1)已知函数f(x)与其导函数f ′(x)满足f(x)+xf ′(x)>0,则有( )(A)f(1)>2f(2) (B)f(1)<2f(2) (C)2f(1)>f(2) (D)2f(1)<f(2) (2)已知函数f(x)=ln x x ,则( ) (A)f(x)在x=e 处取得最小值1e (B)f(x)有两个零点(C)y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 (D)f(4)<f(π)<f(3)解析:(1)设F(x)=xf(x),则F ′(x)=f(x)+xf ′(x)>0,所以函数F(x)=xf(x)为增函数,所以F(2)>F(1),即2f(2)>f(1).故选B. (2)因为函数f(x)=ln x x ,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=21ln x x .令f ′(x)>0,得0<x<e,即函数f(x)在(0,e)上为增函数; 令f ′(x)<0,得x>e,即函数f(x)在(e,+∞)上为减函数. 所以当x=e 时,函数f(x)max =1e,故排除A; 当x →0+时,f(x)→-∞,当x →+∞时,f(x)→0+,故排除B;因为f(12)+f(32)=1ln212+3ln232=2ln 12+23ln 32=ln[14×2332⎛⎫ ⎪⎝⎭]≠0; 所以y=f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故排除C; 因为e<3<π<4;所以f(4)<f(π)<f(3).故选D.利用单调性比较两数大小或证明不等式要恰当的构造函数,然后求导,利用单调性求解.1.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( A ) (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞) 解析:令g(x)=()f x x ,则g ′(x)=()()2xf x f x x '-,由题意知,当x>0时,g ′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数. 因为f(x)是奇函数,f(-1)=0, 所以f(1)=-f(-1)=0,所以g(1)=()11f =0,所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又因为g(-x)=()f x x --=()f x x --=()f x x =g(x), 所以g(x)是偶函数,所以当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 故选A.2.(2019·宁波市高考模拟)若关于x 的不等式(1x )λx≤127有正整数解,则实数λ的最小值为( A ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:本题考查导数在研究函数中的应用.由(1x)λx≤127,则两边取对数, 得λxln x ≥3ln 3存在正整数解, 则λ>0,故ln x x ≥3ln 3λ. 记函数f(x)=ln x x , 则由f ′(x)= 21ln -x x 知,函数f(x)在(0,e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减,注意到2<e<3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系, 因为f(2)=ln 22=f(4)<f(3),故f(3)=ln 33≥3ln 3λ,即λ≥9,故选A.函数单调性的讨论与证明[例题] (2015·四川卷节选)已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x 2-2ax-2a 2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性. 解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),① g(x)=f ′(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+a x),②所以g ′(x)=2-2x +22a x =22112224x a x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③ 当0<a<14时, g(x)在区间(0,114a -- ),(114a +-,+∞)上单调递增,在区间(114a--,114a +-)上单调递减;当a ≥14时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.④规范要求:步骤①②③④要准确齐全.温馨提示:(1)研究函数单调性只能在定义域内研究,故步骤①不可缺少;(2)第③步判断导数的符号时,对a 的分类标准要准确,并且单调区间不能出错.[规范训练1] (2015·天津卷节选)已知函数f(x)=nx-x n ,x ∈R,其中n ∈N *,且n ≥2.讨论f(x)的单调性.解:由f(x)=nx-x n ,可得f ′(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n ∈N *,且n ≥2. 下面分两种情况讨论:①当n 为奇数时,令f ′(x)=0,解得x=1或x=-1. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减, 在(-1,1)上单调递增. ②当n 为偶数时,当f ′(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增; 当f ′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减. 所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减.[规范训练2] 已知函数f(x)=ax 2-ln x,a ∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当n ∈N *时,证明:2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).解:(1)因为f ′(x)=2ax-1x (x>0), ①当a ≤0时,总有f ′(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间;②当a>0时,令2ax-1x >0,解得.故时,f ′(x)>0,所以f(x)在,+∞)上单调递增.同理f(x)在上单调递减.(2)由(1)知当a>0时,f(x)min 2)=12-12ln(12a ), 若f(x)min =0,则12-12ln(12a )=0,此时,a=12e , 因为f(x)≥f(x)min =0,所以f(x)=12e x 2-ln x ≥0,当n ∈N *时,取x=1+n n ,有()221+n n>2eln(1+n n ),所以2221+2232+2243+…+()221+n n>2e[(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+(ln(n+1)-ln n)]故2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).类型一 求单调区间1.函数y=12x 2-ln x 的单调递减区间为( B ) (A)(-1,1] (B)(0,1] (C)[1,+∞) (D)(0,+∞)解析:由题意知函数的定义域为(0,+∞), 又由y ′=x-1x≤0,解得0<x ≤1.故选B. 2.已知函数f(x)=-x 3-3x+2sin x,设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则( D )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(b)<f(c)<f(a) (C)f(c)<f(b)<f(a) (D)f(a)<f(b)<f(c) 解析:因为f(x)=-x 3-3x+2sin x,所以f ′(x)=-3x 2-3+2cos x ≤-3x 2-3+2=-3x 2-1<0, 所以,函数y=f(x)在R 上单调递减, 因为a=20.3>20=1,0<0.32<0.30,即0<b<1,c=log 20.3<log 21=0,则a>b>c, 因为函数y=f(x)在R 上单调递减, 因此,f(a)<f(b)<f(c),故选D.3.设函数f(x)=13x 3-2a x 2+bx+c(a>0),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1,则函数f(x)的单调减区间为 . 解析:f ′(x)=x 2-ax+b,由题意得()()01,00,f f ⎧=⎪⎨'=⎪⎩即1,0.c b =⎧⎨=⎩ 则f ′(x)=x 2-ax=x(x-a)(a>0), 由f ′(x)<0得,0<x<a,所以函数f(x)的单调减区间为(0,a). 答案:(0,a)类型二 由导数求单调区间的应用4.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ′(x),f(0)=0.若对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,则使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为( D )(A)(-∞,0) (B)(-∞,1) (C)(-1,+∞) (D)(0,+∞)解析:构造函数:g(x)=()1e xf x -,g(0)=()001ef -=-1. 因为对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,所以g ′(x)=()()1e xf x f x '+-<0,所以函数g(x)在R 上单调递减,由f(x)+e x <1化为g(x)=()1e xf x -<-1=g(0),所以x>0.所以使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为(0,+∞). 故选D.5.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=92,则不等式f(lg x)<1lg x+4的解集为( D )(A)(10,100) (B)(0,100)(C)(100,+∞) (D)(1,100)解析:令g(x)=f(x)-1x ,则g′(x)=f′(x)+21x>0,g(x)在(0,+∞)上递增,而g(2)=f(2)-12=4,故由f(lg x)<1lg x+4,得g(lg x)<g(2),故0<lg x<2,解得1<x<100,故选D.6.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( B )(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析:设m(x)=f(x)-(2x+4),因为m′(x)=f′(x)-2>0,所以m(x)在R上是增函数.因为m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,所以m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).故选B.7.如图所示是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象,下列四个结论:①f(x)在区间(-3,1)上是增函数;②f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数;③x=1是f(x)的极大值点;④x=-1是f(x)的极小值点.其中正确的结论是( D )(A)①③(B)②③(C)②③④(D)②④解析:由题意,-3<x<-1和2<x<4 时,f′(x)<0;-1<x<2和x>4时,f′(x)>0,故函数y=f(x)在(-3,-1)和(2,4)上单调递减,在(-1,2)和(4,+∞)上单调递增,x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点,故②④正确,故选D.8.设函数f(x)=1x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的2取值范围是( A )(A)(1,2] (B)[4,+∞)(C)(-∞,2] (D)(0,3](x>0),解析:f′(x)=x-9x当x-9≤0时,有0<x≤3,x即f(x)在(0,3]上是减函数.由题意知10,13,a a ->⎧⎨+≤⎩解得1<a ≤2.故选A. 9.若函数f(x)=13x 3-32x 2+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a 的值为 .解析:因为f(x)=13x 3-32x 2+ax+4,所以f ′(x)=x 2-3x+a,又函数f(x)恰在[-1,4]上单调递减, 所以-1,4是f ′(x)=0的两根, 所以a=(-1)×4=-4. 答案:-410.若函数f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是 .解析:因为f(x)=12ax 2+xln x-x,其中x>0, 则f ′(x)=ax+ln x.由于函数y=f(x)存在单调递增区间,则∃x>0, 使得f ′(x)>0,即∃x>0,a>-ln x x ,构造函数g(x)=- ln x x , 则a>g(x)min .g ′(x)=2ln 1-x x ,令g ′(x)=0,得x=e.当0<x<e 时,g ′(x)<0;当x>e 时,g ′(x)>0.所以,函数y=g(x)在x=e 处取得极小值,亦即最小值,则g(x)min =g(e)=-1e , 所以,a>-1e.答案:(-1e,+∞) 11.已知函数f(x)=x 3+3x 对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x ∈ .解析:由题意得,函数的定义域是R,且f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x 3+3x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数,又f ′(x)=3x 2+3>0,所以f(x)在R 上单调递增, 所以f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<-f(x)=f(-x), 由f(x)递增知:mx-2<-x,即mx+x-2<0,则对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立, 等价于对任意的m ∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,所以220,220,x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩解得-2<x<23, 即x 的取值范围是(-2,23). 答案:(-2,23)。
导数与函数单调性的关系
一、利用导数判断函数的单调性
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递增． (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内单调递减． (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．
例1、已知函数f(x)=x-kln x，常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数，求k的取 值范围.
值点,f'(1)=0⇒k=1,经检验k=1为所求,∴f'(x)=1- 1 .令f'(x)>0⇒x∈(1,+
x
∞),再令f'(x)<0⇒x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调 递减区间是(0,1).
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(2)∵函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,∴g'(x)=2x-k(1+ln x)≥0
三、解答题
17.已知函数f(x)=x-kln x,常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围.
【解析】(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=1- k ,因为x=1是函数f(x)的一个极
x
变式训练 2、(2014·兰州模拟)已知函数 f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)． (1)当 a＝3 时，求函数 f(x)在21，2上的最大值和最小值； (2)当函数 f(x)在21，2上单调时，求 a 的取值范围．
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A．[ ，1]∪[2，3）
B．[－1， ]∪[ ， ]
C．[ ， ]∪[1，2）
D．（ ，－1]∪[ ， ]∪[ ，3）
小结
利用导数求函数单调区间的一般过程：
先求函数f(x)的定义域 求出导数 f ' (x)
判断 f ' (x)的正负
例2 求函数f (x) x ln x 1的单调区间
解：函数的定义域为 0,, f (x) ln x 1
当ln x 1 0时，解得x 1 .则f (x)的 e
单调递增区间是(1 ,) e
当ln x 1 0时，解得0 x 1 .则f (x)的 e
单调递减区间是(0, 1) e
解不等式f ' (x)>0 得函数单调递增区间
解不等式f ' (x)<0 得函数单调递减区间
规范写出单调区间
试画出函数f (x)图像的大致形状.
yA y f (x)
B
o 2 3x
变式练习1：已知函数f(x)的导函数 f '( x) 的图像如下图
所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是 ( A )
变式练习 2：函数 y f (x) 在定义域 ( 3 ,3) 内的图像如图所示．
2
记 y f (x) 的导函数为 y f '(x) ，则 f '(x) 0 的解集为（ A ）
一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，
若 f (x1) f (x2 ) ，则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x)在这个区间上单调递减.
引例：讨论函数 y x2 4x 3的单调性
（法一：定义法）解：取x1 x2 R, f (x1) f (x2 ) (x12 4x1 3) (x22 4x2 3) (x1 x2 )(x1 x2 ) 4(x1 x2 ) (x1 x2 )(x1 x2 4) 则当x1 x2 2时，x1 x2 4 0, f (x1) f (x2 ) 则y f (x)单调递减 当2 x1 x2 , x1 x2 4 0, f (x1) f (x2 ) 则y f (x)单调递增 综上y f (x)单调递增区间为(2,) y f (x)单调递减区间为(,2)
率为0,即导数为0.函 数在该点单调性发生 改变.
猜测下面一般性的结论:
如果在某区间上 f (x) 0,则f(x)为该区间上增函数;
如果在某区间上 f (x) 0 ,则f(x)为该区间上减函数.
深入思考，揭示本质
问题 1：我们回到单调性定义，以增函数为例，观察 x1 x2 ， f (x1) f (x2 ) 的正负符号，如何用数学式子表示？
练习：求下列函数的单调区间.
(1) f (x) x ln x
(2) f (x) ex x 1
思考交流 函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据
导数信息来画函数的简图呢？ 例3、已知函数f (x)的导函数f ' (x)满足下列信息：
当x 2时，f '( x) 0; 当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3时，f '( x) 0；当x 3或x 2时，f '( x) 0.
设函数f ( x)在定义域内的某个区间(a, b)上可导, f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增
，
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
思考
如果在某个区间内恒有 f '( x) 0，则 f ( x) 是什么函数？
函数f ( x) 为常函数.
引例： 讨论函数 y x2 4x 3的单调性
同号，可以用 ( f (x1 ) f (x2 ))( x1 x2 ) 0表示.
问题2：还可以用其他方法表示吗？ f (x1 ) f (x2 ) 0 x1 x2
问题3：结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什 么联系呢？
平均变化率 y 0 ，就是区间内任取两点的平均变化率大 x
于零，也就是割线斜率大于 0.
问题4：既然是“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近， 大家觉得可以得到什么. 瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点 处的导数都大于零.
f (x1) f (x2 ) 0 f '(x) 0 f (x)为增函数 x1 x2
小结
函数单调性与其导数正负的关系：
知识回顾
问题1．导数的定义与几何意义是什么.
y
f (x x) f (x)
f '(x)= lim lim
x x0
x0
x
几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0),
就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.
问题2．函数单调性的定义是什么？
（法二：图像法） y x2 4x 3 y
0
2
x递增区间：2,源自递减区间： ,2自主探究
问题：用单调性定义讨论函数单调性 虽然可行，但比较麻烦;如果函数图象 也不方便作出来时.是否有更为简捷的 方法呢？
讨论下面函数的导数及其单调性
(1) y f (x) x (2) y f (x) 2x 5 (3) y f (x) 3x 4
（方法3:导数法）
解：函数的定义域为 R，函数导数为 f ( x) 2x-4
令f (x) 0,解的x 2,则f(x)的
单调递增区间为2,
再令f ( x) 0,解得x 2,则f(x)的
单调递减区间为 ,2
例1：求函数 f (x) 2x3 3x2 36 x 16的单调区间
f (x) 1，增 f (x) 2，增 f (x) 3，减
自主探究
观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：
y
0 ....2
. ..
小结:该函数在区间
,2上递减,切线
斜率小于0,即其导数
为负,在区间 2,
上递增,切线斜率大 于0,即其导数为正.
x 而当x=2时其切线斜