利用导数求参数的取值范围
最新利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例利用导数求参数范围举例例1.已知«Skip Record If...»(1)求ａ、ｂ的值及函数«Skip Record If...»的单调区间．(2)若对«Skip Record If...»恒成立，求ｃ的取值范围．解：(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2.已知函数«Skip Record If...»处取得极值(1)求函数«Skip Record If...»的解析式.(2)若过点«Skip Record If...»可作曲线y=«Skip Record If...»的三条切线,求实数m的取值范围.解:(1)求得«Skip Record If...»(2)设切点为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例3．已知«Skip Record If...»且«Skip Record If...»。
（1）设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的解析式。
（2）设«Skip Record If...»，试问：是否存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»在（«Skip Record If...»）上是单调递减函数，且在（«Skip Record If...»）上是单调递增函数；若存在，求出«Skip Record If...»的值；若不存在，说明理由。
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。
通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。
而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。
设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。
下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。
一、函数的单调性：1.1单调递增：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
例说高考题中的使用导数求参数范围
∴在[ln(3a), ln(4a)]上，
(x)
max
=
(ln(4a))
故原不等式成立，当且仅当
=
12a ln(
5
)
min
，
(ln(4a))
g
(
x)
ex a ex a
<
min
m
8a = g (ln(3a)) = ln( ) ，
<
g
点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得 简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃 而解。 二 与极值点的个数有关
∴ f (x) = 3x2 + 2x +t .
若 f ( x) 在区间(-1,1)上是增函数，则有 f ( x) ≥0
t ≥ 3x2 - 2x 在 (-1,1)上恒成立.
若令 g ( x) = 3x2 - 2x =-3( x 1 ) 2 - 1
33
在区间[-1,1]上， g ( x) = g (1) =5，故在区间(-1,1)上使 t ≥ g ( x) 恒成立，
例说高考题中的利用导数求参数范围
河北 高亚平
导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越 受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的 热点。在 04 年高考中，湖北、辽宁等地考查了这点；在 05 年的高考中，湖北、辽宁、湖 南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位 置上！
2
24
② 若 a >1，则 g ( x) 在(- 1 ,0)上为增函数，须使 g ( x) = 3x 2 a ＞0 在(- 1 ,0)上恒成立，
如何利用导数求参数的取值范围
即
解 （） １得 解（） ２得
；＿ ：４ ≤’
口 １ 口 一詈 ， ≥ 或 ≤ 口 丢． ≤
≥４ ｌ ， — ２ 等价 于 Ｖ ， ２ Ｏ ＋∞ ） Ｊ Ｘ Ｉ １ Ｘ ∈（ ， ，
ｆ（ ２ ＋４ ２ ｆ ｘ ） ４ ｘ ） ｘ ≥ （ １＋ ｘ． （） ３
令 ｇ（ 一， ） ｘ， ） （ ＋４ 则
ａ
即当 ∈［ ，］ ， （ 为减 函数． 而 ， Ｘ Ｏ １ 时 ｇ ） 从 当 ∈［ ，］ ０ １ 时有 ｇ ） ｇ １ ， （ ） ． （ ∈［ （ ） ｇ Ｏ ７
又 ｇ １一 １ ２ （） — ａ一 ３ ， Ｏ 一 一 ２ 即 ａ ｇ（ ） 口，
１
在√ ，ｏ上 调 减从 等 （ ［ ＋。 单 递 ．不 式 ）
＜ ｏ ，
厂（ ≤ Ｘ 不成 立 ； ）
令 ｇ （ 一０ 得 —ｅ 一１ ） ， 一 ．
当口 ≥０时 ， ＾ ） ｘ （ ） 令 （ ＝ａ ｆ ｘ ＋厂（ ） ｚ 一
，
当 ｚ ｅ 一 １时 ， ｚ ＞ ０ ｇ ｚ 为 增 ＞ 一 ｇ（ ） ， （ ）
函数 ；
当一 １ ＜ ＜ ｅ－ — １时 ， ｚ ＜ ０ ｇ（ ｎ １ ｇ（ ） ， ） 为 减 函数 ．
又 因 为
当口 ≥０时， （ ） ０ 故 ， ） （ ， ／ ｚ＞ ， （ 在 ｏ
＋。 ） 。 上单 调递 增 ；
当ｎ ≤一１ ， ｚ ｄＯ 故 ， 在（ ， 时 ／（ ） ， （ ） Ｏ
＋ｏ ） 单调 递 减 ； 。上
ｆ（ ） 一虿 ｏ－ ７
，
，）一，丢一 ４ （一 ３（）一． １ ，
（ － ｘ） ２
２ ４
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
如何利用导数求参数的取值范围公开课
f x x x 2a
' 2
2 函数 f x 在 , 上存在单调递增区间， 3 2 即导函数在 , 上存在函数值大于零的部分 3
2 3
1 2 2 2 f 2a 0 a 9 3 3 3
例8
解：
（2010新课标理） 设函数 f(x)= e x 1 x ax 2 .
（Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; （Ⅱ）若当 x≥0 时 f (x)≥0，求 a 的取值范围.
x
( x) e 1 2ax, 令h( x) f ( x), 则h( x) e x 2a f 1 （）a 1时 即 a 时 h( x) 0, 1 2a 1 ， ， 2
'
2
பைடு நூலகம்
问题 3：若函数 f ( x)在1， 单调递增， x ( x 1)( x 2 2ax 3)，求 a的范围 且经计算得 f
f x ( x 1)( x 2ax 3) 0在1， 恒 立 成
2
即x 2ax 3 0在1， 恒 立 成
间是函数单调递增（递减）区间的一个子区间即 （Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间； 可。 f ( x) 在区间 2 ， 1 内是减函数，求 a 的取值范围 （Ⅱ）设函数
( x) 3x2 2ax 1 f 2 当 a 3时 2 当 a ≤ 3 时， ≤ 0 ， f ( x) ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上递增
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
一个根小于K，一个 根大于K
导数求参数范围
导数求参数范围1．已知函数g（x）=aln x·f（x）=x3 +x2+bx（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=(),1(),1f x xg x x-<⎧⎨≥⎩，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2．已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数. （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。
3．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()x f x ke =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =，*1(),n n a f a n N +=∈，求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅+的整数部分.4．设函数()ln f x x ax =-.错误！未找到引用源。
（1）当0a >错误！未找到引用源。
时，求函数()f x 错误！未找到引用源。
在区间[]1,e 错误！未找到引用源。
内的最大值；（2）当1a =-错误！未找到引用源。
时，方程()22mf x x =错误！未找到引用源。
有唯一实数解，求正数m 的值.1试题分析：（1）先求函数的导数，因为在区间[]21，不单调，所以导函数的值不恒大于或小于0，即函数的最大值大于0，函数的最小值小于0，即不单调；（2）根据条件化简()()x a x x g 22++≥得，xx xx a ln 22--≤，[]e x ,1∈，求出x x x x t ln 22--=，[]e x ,1∈ 的最小值即可确定a 的范围,首先对函数求导，确定单调性，求出最值；（3）先假设曲线()x F y =上存在两点Q P ,满足题意，设出()()t F t P ,()0>t ，则()23,t t t Q +-，从而由POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形可建立关系式232()()0t F t t t ∴-++=，分情况求解即可． 试题解析：（1）由32()f x x x bx =++得2()32f x x x b '=++ 因()f x 在区间[1，2]上不是单调函数所以2()32f x x x b '=++在[1，2]上最大值大于0，最小值小于02211()323()33f x x x b x b '=++=++-max min ()16()5f x bf x b'=+'=+ ∴165b -<<- 4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x xa x x -≤- 6分令22(),([1,])ln x x t x x e x x -=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数，min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-． 8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 9分 不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=，232()()0t F t t t ∴-++= （*）， 是否存在P ，Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； 12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 14分 考点：1.利用导数求最大，最小值；2.导数的综合应用.2试题分析：（1）先求出()f x 的导函数即为()g x 的解析式，再求出()g x 的导函数()g x '，研究()g x '的值在[0,1]上的正负变化情况，得出()g x 的单调性，根据单调性求出()g x 在[0,1]上的最小值，因导数函数参数，故需要分类讨论；（2）设函数()f x 在区间(0,1)内有零点，利用(0)(1)f f ==0，判定出()f x 在[0,1]间的单调性，从而得出()g x 在[0,1]间的正负变化情况，得出()g x 在[0,1]上零点的个数，结合（1）的结论，得出()g x 在零点所在区间的端点的正负，列出关于a 的不等式，求出a 的范围.试题解析：（1）由2()1xf x e ax bx =---，有()'()2xg x f x e ax b ==-- 所以'()2xg x e a =-因此，当x ∈[0，1]时，'()[12,2]g x a e a ∈-- 当12a ≤时，'()0g x ≥，所以g(x)在[0，1]上单调递增 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b 当2ea ≥时，'()0g x ≤，所以g(x)在[0，1]上单调递减 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b 当122ea <<时，令g'(x)＝0，得x ＝ln(2a)∈(0，1)所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增 于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b 综上所述，当12a ≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b ； 当122ea <<时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b; 当2ea ≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是e －2a －b.（2）设x 0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x 0)＝0可知 f(x)在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减， 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负. 故g(x)在区间(0，x 0)内存在零点， 同理，g(x)在区间(x 0，1)内存在零点所以，g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点 由（1）可知，当12a ≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点， 当2ea ≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点， 所以，122e a <<此时，g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在[ln(2a)，1]上单调递增因此，x 1∈(0，ln(2a))，x 2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b ＞0，g(1)＝e －2a －b ＞0 由f(1)＝0有a ＋b ＝e －1＜2有g(0)＝1－b ＝a －e ＋2＞0，g(1)＝e －2a －b ＝1－a ＞0 解得e －2＜a ＜1当e －2＜a ＜1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))， 若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x ∈[0，1])从而f(x)在区间[0，1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0 又g(0)＝a －e －2＞0，g(1)＝1－a ＞0故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各有一个零点x 1和x 2，由此可知，f(x)在[0，x 1]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在[x 2，1]上单调递增. 所以f(x 1)＞f(0)＝0，f(x 2)＜f(0)＝0 故f(x)在(x 1，x 2)内有零点综上所述，a 的取值范围是(e －2，1). 3【解析】 试题分析：（1）由题意可得'()2f x ax b =+，又根据()f x 在3x =处的切线方程为58y x =-，故可从切线斜率'(3)5f =与切点(3)3587f =⋅-=建立关于,a b 的方程组659317a b a b +=⎧⎨++=⎩，可解得11a b =⎧⎨=-⎩，从而2()1f x x x =-+；（2）由（1）及方程()x f x ke =，参变分离后可得：2(1)x k x x e -=-+，因此问题就等价于求使恰有两个不同的x ，满足2(1)x k x x e -=-+的k 的值，令2()(1)x F x x x e -=-+，可得'()(1)(2)x F x x x e -=---，从而当1x =时，()F x 取极小值1e，当2x =时，()F x 取极大值23e，因此可以大致画出()F x 的示意图，而问题则进一步等价于直线y k =与()F x 的图像恰有两个交点，通过示意图易得当1k e=或23k e =时满足题意；（3）通过题意可知，需求得S 的值夹在哪两个整数之间，由（1）2()1f x x x =-+，可得12(2)4213a f ==-+=，因此1312a =>，而21()1n n n n a f a a a +==-+， ∴22121(1)0n n n n n a a a a a +-=-+=->，∴11n n a a +>>，而将递推公式211n n n a a a +=-+可进一步变形为111111n n n a a a +=---，从而12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅+ 122320132014111111()()()111111a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-------1201411112111a a a =-<=---，又有1211242613721S a a >+=+=>，从而S 的整数部分为1. 试题解析：（1）∵2()1f x ax bx =++，∴'()2f x ax b =+, 由题意()f x 在3x =处的切线方程为58y x =-，则'(3)651(3)93135871f a b a f a b b =+==⎧⎧⇒⎨⎨=++=⋅-==-⎩⎩，∴2()1f x x x =-+； （2）由（1）2()1f x x x =-+，∴()x f x ke =即21x x x ke -+=，∴2(1)x k x x e -=-+，因此问题即等价于存恰有两个不同的x ，使，令2(1)x k x x e -=-+2()(1)x F x x x e -=-+，则'()(1)(2)x F x x x e -=---，∴()F x 在(1,2)上单调递增，在(,1)-∞，(2,)+∞上单调递减，∴当1x =时，()F x 取极小值1e ，当2x =时，()F x 取极大值23e，又当x →+∞时，()0F x →，当x →-∞时，()F x →+∞，因此可画出函数2()(1)x F x x x e -=-+的大致示意图如下，而问题就等价于直线y k =与()F x 的图像恰有两个交点，故要存在两个不同的x 满足()k F x =，则需1k e=或23k e =.（3）由（1）2()1f x x x =-+，∴12(2)4213a f ==-+=，∴1312a => 又∵21()1n n n n a f a a a +==-+，∴22121(1)0n n n n n a a a a a +-=-+=->， ∴11n n a a +>>由211n n n a a a +=-+,得11(1)n n n a a a +-=-,∴111111(1)1n n n n na a a a a +==----,即111111n n n a a a +=---， ∴12320131223201320141111111111()()()111111S a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-------1201411112111a a a =-<=---，又∵1211242613721S a a >+=+=>， 综上，12S <<，∴S 的整数部分为1.考点：1.导数的运用；2.数列与不等式综合. 4试题分析：（1）先求出导数方程()0f x '=的根，对此根与区间[]1,e 的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间[]1,e 上的单调性，从而求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）构造函数()()22g x x mf x =-，利用导数求出函数()g x的极值点2x =，并确定函数()g x 的单调性，得到()()2200g x g x '=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去22x 并化简得到222ln 10x x +-=，通过构造函数()2ln 1h x x x =+-并利用导数研究函数()h x 的单调性并结合()10h =，1=，从而求出m 的值.（1）()11axf x a x x-'=-=，0x >， 令()0f x '=错误！未找到引用源。
专题2.14 利用导数求参数范围(解析版)
第十四讲利用导数求参数范围【修炼套路】考向一利用单调性求参数【例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．【答案】a≤0【解析】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.【举一反三】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．【答案】a≤3【解析】因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.2.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a≥3时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数．3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．【答案】3【解析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3a3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【答案】（0,3）【解析】∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
导数求参数范围方法
导数求参数范围方法
1. 分离参数法！哇塞，就比如函数 f(x)=x^2+ax+1 ，已知它在某个区间上恒大于零，这时候我们就可以把参数 a 分离出来单独研究呀，这样不就能快速求出参数范围啦！
2. 端点值分析法嘞！想想看，对于函数 f(x)=e^x-mx 在某个区间有解
的问题，难道我们不应该重视端点值的情况吗？这可是关键哦！
3. 构造函数法也超好用呀！假如有个问题说函数 f(x)和 g(x)，要让它们满足某种关系时求参数，我们果断构造个新函数呀，就像在黑暗中找到了明灯！比如 f(x)=x^3+x，g(x)=mx+2，我们就可以通过构造来找思路呀！
4. 利用单调性来解决，哎呀呀，这就好比找到了通关密码！像函数
f(x)=lnx+ax 有单调性的情况，利用单调性来求参数范围不就容易多啦！
5. 极值点分析法别忘记呀！要是遇到函数 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 的极值问题，那极值点可太重要了，能让我们顺藤摸瓜找到参数范围呢！
6. 不等式法也不能小瞧哦！就好像生活中的小窍门一样，面对函数
f(x)≥g(x)恒成立求参数，用不等式法那简直妙不可言，比如f(x)=x^2+2x，g(x)=kx 这种情况呀！
7. 图像法简直是直观的利器呀！看着函数图像，就像看着地图找宝藏一样，一下子就能锁定参数范围啦！比如那个函数 f(。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一•已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 •参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R •⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值.⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上2例3•已知f(x) x3ax2bx c在x 与x 1时都取得极值3(1)求a、b的值及函数f (x)的单调区间.(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) C2恒成立，求c的取值范围.23. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2类型2 .参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.(1) 求f (x)的解析式•( 2)当x (0,m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9' 2(2) .f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3)由f (x) 0得X1丄必 3当x (0,1)时f (x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 93 3当x 』,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 03所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：4. 若不等式x4 4x3 ________________________________________ 2 a对任意实数x 都成立，则实数a的取值范围是___________________________________________________ .三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.例5•已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1, x 1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式.⑵若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y= f (x)的三条切线，求实数m的取值范围略解⑴求得f (x) x3 3x⑵设切点为M(x0,x3 3x0),因为f (x) 3x2 3所以切线方程为y m (3x2 3)(x 1),又切线过点M所以x3 3x0 m (3x2 3)(x01)即2x3 3x(2 m 3 0因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于X。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围导数是微积分中的重要概念之一，它可以用于求解函数的变化率、极值以及函数的图像性质等。
在求参数的取值范围时，通过导数可以帮助我们确定参数的有效取值范围。
首先，让我们回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以通过以下公式计算：f'(x0) = limit(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h这个公式表示了函数在x0处的切线的斜率。
如果导数大于0，则函数在该点处递增；如果导数小于0，则函数在该点处递减。
在解决参数的取值范围时，一种常见的方法是通过导数的正负性来确定。
具体而言，我们可以通过以下步骤来求解参数的取值范围：1.确定函数表达式：首先，我们需要确定待求参数所在的函数表达式。
这通常是一个关于自变量x和参数p的函数，如f(x;p)。
2.求导：接下来，我们对函数f(x;p)关于自变量x求导。
这将给出函数在每个点处的导数表达式，如f'(x;p)。
3.确定导数的正负性：根据导数的正负性，我们可以确定函数在每个点处的增减情况。
4.设置约束条件：根据问题的要求，我们可以确定一定的约束条件来限制参数p的取值范围。
这些约束条件可以是函数在一些点处递增或递减，或函数在一些区间内具有特定性质等。
5.解方程或不等式：最后，我们将约束条件与导数的正负性结合起来，解方程或不等式来确定参数p的取值范围。
实际问题中，求参数的取值范围也可能涉及到其他数学方法和定理，如最值问题、平均值定理等。
这些方法将在下面的具体例子中进行讨论。
例子1：确定函数f(x;p) = px^2 + 2x + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上递增。
1. 求导：对函数f(x;p)关于自变量x求导，得到f'(x;p) = 2px +22. 导数的正负性：由于希望函数在整个定义域上递增，所以导数f'(x;p)应当大于0。
解不等式2px + 2 > 0，得到p > -1所以参数p的取值范围为p>-1例子2：确定函数f(x;p) = px^3 + x^2 + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上的平均增加率大于0。
利用导数求参数取值范围的若干策略
利用导数求参数取值范围的若干策略贺凤梅(新疆伊犁巩留县高级中学ꎬ新疆伊利８３５４００)摘㊀要:在含参不等式恒成立问题中ꎬ经常需要借助导数求解参数的取值范围.解决这类问题通常需要用到函数与方程㊁转化与化归㊁数形结合以及分类讨论等数学思想.文章通过具体问题的研究ꎬ切实提升学生的解题能力和学科核心素养.关键词:导数ꎻ参数范围ꎻ策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－０００７－０３收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:贺凤梅(１９７９－)ꎬ女ꎬ湖北省随州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀题目呈现㊀(２０２２年山东数学模拟试题)已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬ(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.１总体分析本题第(１)问考查导数的几何意义ꎬ属于常规题.第(２)问则是利用导数研究不等式恒成立问题ꎬ求参数的范围.此问可以多视角解答ꎬ涉及隐零点㊁同构法㊁切线放缩㊁分类讨论㊁反函数法等多种策略.２试题解答第(１)问略解:易求得切点(１ꎬｅ＋１)ꎬ斜率ｋ＝ｆᶄ(１)＝ｅ－１ꎬ切线方程ｙ＝(ｅ－１)ｘ＋２ꎬ与两坐标轴交点(０ꎬ２)ꎬ(－２ｅ－１ꎬ０)ꎬ所求面积ｓ＝２ｅ－１.以下重点探讨第(２)问.视角１㊀隐零点.解法１㊀令ｇ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬａ>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘ.令ｇᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ０－１－１ｘ０＝０ꎬ得ａｅｘ０－１＝１ｘ０.①两边取自然对数ꎬ整理ꎬ得ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０.②因为ｇᵡ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ且ｘң０＋时ꎬｇᶄ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕ时ꎬｇᶄ(ｘ)ң＋ɕ.所以ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎻｘɪ(ｘ０ꎬ＋ɕ)时ꎬｇᶄ(ｘ)>０.因此ｇ(ｘ)在ｘ＝ｘ０处取得极小值ꎬ也为最小７值ꎬ即ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ａｅｘ０－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ－１.将①②代入整理得ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｘ０＋１ｘ０＋２ｌｎａ－２.显然ꎬ要使原不等式恒成立ꎬ必有ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｘ０＋１ｘ０＋２ｌｎａ－２ȡ２ｌｎａȡ０ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此解法通过构造函数ｇ(ｘ)ꎬ利用隐零点ｘ０表示出ｇ(ｘ)的最小值ꎬ借助基本不等式得出关于ａ的不等式ꎬ求解即得[１].视角２㊀同构.条件ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ即ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ȡ０(∗)在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.解法２㊀将(∗)式变形得ｅｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａȡｘ＋ｌｎｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘ.构造函数ｇ(ｔ)＝ｅｔ＋ｔꎬ求导得ｇᶄ(ｔ)＝ｅｔ＋１>０.所以函数ｇ(ｔ)＝ｅｔ＋ｔ在Ｒ上单调递增.由ｇ(ｘ－１＋ｌｎａ)ȡｇ(ｌｎｘ)ꎬ得ｘ－１＋ｌｎａȡｌｎｘ.即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬｘ>０ꎬ求导ꎬ得ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝１－ｘｘꎬｈ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ所以ｈ(ｘ)ȡｈ(１)＝０ꎬ故ｌｎａȡ０即可ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).视角３㊀同构＋切线放缩.解法３㊀将(∗)式变形ꎬ得ｅｘ－１＋ｌｎａ＋ｌｎｅｘ－１＋ｌｎａȡｘ＋ｌｎｘ.构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｌｎｘꎬｘ>０ꎬｇᶄ(ｘ)＝１＋１ｘ>０ꎬｇ(ｘ)单调递增.由ｇ(ｅｘ－１＋ｌｎａ)ȡｇ(ｘ)ꎬ得ｅｘ－１＋ｌｎａȡｘ.结合ｅｘȡｘ＋１ꎬ得ｘ－１＋ｌｎａȡｘ－１.所以ｌｎａȡ０ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).解法４㊀将(∗)式变形ꎬ得ａｅｘ－１－ｌｎｘａȡ１(ａ>０).所以ｅｘ－１ȡ１ａｌｎｅｘａꎬ即ｅｘȡｅａｌｎｅｘａ.亦即ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ(ｘ>０).构造函数Ｈ(ｘ)＝ｘｅｘꎬｘ>０ꎬＨᶄ(ｘ)＝(ｘ＋１)ｅｘ>０ꎬ所以Ｈ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.由Ｈ(ｘ)ȡＨ(ｌｎｅｘａ)得ｘȡｌｎｅｘａ＝１＋ｌｎｘ－ｌｎａꎬ易证ｘȡ１＋ｌｎｘꎬ所以ｌｎａȡ０即可ꎬ解得ａȡ１ꎬ即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀视角２中的三种解法均属于同构法ꎬ从解答过程可以知晓ꎬ根据不同的变形形式ꎬ得到有一定差异的同构函数ꎬ借助于函数的单调性ꎬ得出变量间的关系ꎬ进一步变形求解ꎬ问题也就迎刃而解了.当然ꎬ在解答的过程中ꎬ用到了ｅｘȡｘ＋１与ｘȡ１＋ｌｎｘ这两个有关切线放缩的不等式ꎬ作为解答题ꎬ需要简单证明方可使用[２].视角４㊀放缩＋极值.解法５㊀由已知条件ꎬ得ａｅｘ－１＋ｌｎａȡ１＋ｌｎｘ.易证ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｘȡ１＋ｌｎｘ.所以只需ａｅｘ－１＋ｌｎａȡｘ.构造函数φ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｘꎬ求导得φᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１.以下对ａ分情况讨论:(Ⅰ)当ａȡｅ时ꎬφᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ȡｅ ｅｘ－１－１＝ｅｘ－１>０在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬφ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｘȡｅ ｅｘ－１＋ｌｎｅ－ｘ＝ｅｘ－ｘ＋１>０(ｘ>０)ꎬ满足题意.(Ⅱ)当０<ａ<ｅ时ꎬ令φᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１＝０得ｘ－１＝－ｌｎａꎬ即ｘ＝１－ｌｎａꎬ显然φ(ｘ)在(０ꎬ１－ｌｎａ)上单调递减ꎬ在(１－ｌｎａꎬ＋ɕ)上单调递增.所以φ(ｘ)ȡφ(１－ｌｎａ)＝ａｅ－ｌｎａ＋２ｌｎａ－１ȡ０.所以ｌｎａȡ０即可ꎬ解得１ɤａ<ｅ.综上可得ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此解法通过不等式放缩ꎬ介入中间量ꎬ借助于极值求解也可以成功突破.但因为定义域的限８定ꎬ需对ａ进行分类讨论ꎬ再取两种情况的并集ꎬ此处易出现纰漏ꎬ值得大家重视.再给一例ꎬ感兴趣的读者可以自行求解或查阅.已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－２－ｌｎｘ.若ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｌｎｘ－ａｘꎬ讨论ｇ(ｘ)的单调性.(提示:此题需分ａɤ１ｅ２与ａ>１ｅ２进行求解ꎬ你发现了吗?)视角５㊀分类讨论.解法６㊀由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬａ>０ꎬ对ａ进行分类讨论:(Ⅰ)当０<ａ<１时ꎬ易得ｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<１ꎬ不满足ｆ(ｘ)ȡ１.(Ⅱ)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１－１ｘꎬｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎻｘɪ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)单调递增.所以ｆ(ｘ)ȡｆ(１)＝１ꎬ满足题意. (Ⅲ)当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡｅｘ－１－ｌｎｘꎬ易证ｅｘ－１ȡ(ｘ－１)＋１＝ｘꎬｘȡ１＋ｌｎｘꎬ所以ｆ(ｘ)ȡｆ(１)＝１ꎬ满足题意.综上可得ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此解法属于对ａ进行分类讨论求解ꎬ通过推理和论证ꎬ符合就要ꎬ不符合则舍去.难点在于找参数ａ的分类界限ꎬ这需要通过日积月累的训练方能达成.视角６㊀反函数.解法７㊀由已知ꎬ得ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１.所以ａｅｘ－１ȡｌｎｘ－ｌｎａ＋１.令ｙ＝ａｅｘ－１ꎬ则ｘ＝ｌｎｙａ＋１＝ｌｎｙ－ｌｎａ＋１.所以ｙ＝ａｅｘ－１与ｙ＝ｌｎｘ－ｌｎａ＋１互为反函数ꎬ只需ａｅｘ－１ȡｘ即可ꎬ整理得ａȡｘｅｘ－１.令Ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ－１＝ｅｘｅｘꎬ求导ꎬ得Ｇᶄ(ｘ)＝ｅ(１－ｘ)ｅｘ.所以Ｇ(ｘ)在(０ꎬ１)单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)单调递减.㊀则Ｇ(ｘ)ɤＧ(１)＝１ꎬ故ａȡ１.即ａɪ[１ꎬ＋ɕ).评注㊀此法确实很巧妙ꎬ能通过变形㊁观察和求解得出不等式两边对应函数恰好互为反函数ꎬ利用凸凹反转ꎬ借助于临界的切线得出大小关系ꎬ化繁为简.３试题链接题１㊀(２０１０年高考新课标卷理科)设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｘ－ａｘ２ꎬａɪＲ.若当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬ求ａ的取值范围.题２㊀若不等式ａｘ－ｌｎｘȡａ(２ｘ－ｘ２)对∀ｘɪ[１ꎬ＋ɕ)恒成立ꎬ求ａ的取值范围.导数问题博大精深ꎬ对于学生而言ꎬ基础知识和基本理论易于学懂ꎬ但是ꎬ受众多关联知识和高数背景的限制ꎬ很多导数问题难以突破.对于高校来讲ꎬ导数是学生深造学习的重要基础.基于此种原因ꎬ高考一直重点考查导数ꎬ因此我们有必要多花时间和精力研究导数ꎬ总结规律ꎬ提炼解法ꎬ积累经验ꎬ创新思路ꎬ在比较和不断尝试中增长技能.这类参数问题入口宽ꎬ结果唯一ꎬ研究它就是对导数的全面理解和应用ꎬ这对我们的学习大有裨益.参考文献:[１]李文东.利用导数解决含参不等式取值范围问题的策略[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(４):１２－１６. [２]余铁青.从一道导数大题谈参数分类讨论的依据[Ｊ].数理化学习ꎬ２０２２(０３):７ꎬ２１.[责任编辑:李㊀璟]９。
利用导数求参数取值范围的几种类型
利用导数求参数取值范围的几种类型类型1. 与函数单调性有关的类型 例1.已知0a>，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。
(1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由； (2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。
解：（1）'2()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。
所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。
（2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ⇔≥，递减'()f x ⇔0≤在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。
类型2：与极值有关的类型例2：．(创新拓展)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0的两个根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点， 所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，∵f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点，∴f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a ，又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0.得a ∈[1,9]，即a 的取值范围为[1,9]．类型3. 与不等式有关的类型例3.（2008安徽高考题理20）设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围解：（1）'22ln 1()ln x f x x x +=-，'1()0,f x x e==若则，列表如下：x1(0,)e 1e1(,1)e(1,)+∞'()f x+ 0—— ()f x单调增极大值1()f e单调减单调减所以的单调增区间为，单调减区间为（3） 在12axx >两边取对数，得1ln 2ln a x x >由于01x <<所以1ln 2ln a x x>① 由（1）的结果知，当(0,1)x ∈时，1()()f x f e e≤=-。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在数学中，导数是一个非常重要的概念，用于刻画函数在其中一点的变化率。
利用导数求参数的取值范围，常常用于优化问题、最值问题等等。
下面我将从几个典型的例子入手，详细介绍如何利用导数求参数的取值范围。
首先，我们考虑一个简单的一元函数的例子。
假设有一个函数f(x)，它的导数f'(x)在一些区间内恒大于0。
那么我们可以推知，在这个区间内，f(x)是递增的。
反过来，如果f'(x)在一些区间内恒小于0，那么f(x)在该区间是递减的。
利用这一点，我们可以通过求导数的方式来确定参数的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x) = ax^2 + bx + c(x > 0)在0到正无穷的取值范围。
我们可以先计算导函数f'(x) = 2ax + b。
由于题目中没有给定a的取值范围，我们要通过导数f'(x)来确定a的取值范围。
首先，我们要求f'(x)大于0。
这意味着2ax + b大于0。
当a大于0时，方程2ax + b = 0没有实数解，所以我们要求a小于0。
然后，我们要求f'(x)在x > 0时恒大于0，即对所有的x > 0，2ax + b > 0。
这表明a也必须小于0才能满足这个条件。
因此，我们可以得出结论，a小于0。
至于b和c，没有给出取值范围的要求，所以可以是任意实数。
接下来，我们考虑一个多元函数的情况。
同样地，我们希望通过求导数来确定参数的取值范围。
假设有一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax + by + c。
我们可以分别计算f对x和y的偏导数f_x和f_y。
如果f_x和f_y的取值范围有限，那么我们可以据此确定a和b的取值范围。
举个例子来说明。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2 + ax +by + c在整个二维平面的取值范围。
我们计算f对x和y的偏导数，得到f_x = 2x + a和f_y = 2y + b。
导数中求参数的取值范围
导数中求参数的取值范围导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，经常需要根据导数的特性来求解参数的取值范围。
下面我们将讨论几种常见的求解参数取值范围的方法。
一、导数的符号在其中一点的导数的符号能够告诉我们函数在该点的增减性。
具体地，如果导数大于零，则函数在该点是增函数；如果导数小于零，则函数在该点是减函数；如果导数等于零，则函数在该点取得极值（可能是极大值或极小值）。
1.寻找函数的增减区间要求解参数的取值范围，首先需要找到函数的增减区间。
具体步骤如下：（1）找到函数的导数；（2）将导数求零，即找到导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；（3）根据导数的符号可知道函数增减的情况。
2.判断函数的极值是否为最值找到函数的极值点并不一定能够得到最值。
我们可以使用二阶导数的符号来判断函数的极值是否为最值。
具体来说，如果二阶导数大于零，说明该极值点为函数的极小值；如果二阶导数小于零，说明该极值点为函数的极大值；如果二阶导数等于零，无法判断该极值点的大小。
3.列出函数的不等式当我们已经找到了函数的增减区间和极值点以后，可以通过列出函数的不等式来求解参数的取值范围。
比如，如果我们需要找到函数在一些区间上的最大值，可以列出函数在该区间上的不等式，并且将该区间的端点带入函数进行比较，最终求解出参数的取值范围。
二、导数的连续性导数的连续性是求解参数取值范围的另一个重要条件。
在一些点处，如果函数的导数存在且连续，则函数在该点处具有可导性。
如果函数在一些点处不可导，那么该点就是一个临界点。
1.求解临界点为了找到可能的临界点，我们需要计算函数的一阶导数和二阶导数，并求解出导数为零或不存在的点。
通过这些点，我们可以判断参数的取值范围。
2.判断导数的连续性对于一般的函数而言，一阶导数存在且连续的点称为可导点。
如果函数在一些点的导数不连续，那么该点为不可导点。
针对不可导点，我们需要观察其特点，并结合其他条件来进行求解。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。
在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。
下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。
一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。
如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。
1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。
如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。
二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。
1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。
然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。
三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。
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(2)由(1)可知 f(x)＝x3－x2－x＋c. 则 f′(x)＝3x
2
1 －2x－1＝3x＋3(x－1)，列表如下：
x f′(x) f ( x)
1 －∞，－ 3
1 －3 0 极大 值
1 － ，1 3
与逻辑联结词有关的求参数范围问题
【例 2－2】 (2014· 湖北八市联考改编)定义在 R 上的函数 g(x) 及二次函数 h(x)满足： 2 g(x)＋2g(－x)＝e ＋ex－9，h(－2)＝h(0)＝1 且 h(－3)＝－2.
x
(1)求 g(x)和 h(x)的解析式； (2)对于∀x1，x2∈[ －1,1] 均有 h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成 立，求 a 的取值范围．
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【训练 2】 (2014· 洛阳模拟)已知函数 f(x)＝x3－3ax＋b 在 x＝2 处的切线方程为 y＝9x－14. (1)求 a，b 的值及 f(x)的单调区间； (2)令 g(x)＝－x2＋2x＋m， 若对任意 x1∈[0,2] ， 均存在 x2∈[0,2] ， 使得 f(x1)＜g(x2)．求实数 m 的取值范围．
e 的取值范围为2，＋∞.
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法二
设 g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，则 g′(x)＝2a－ex，
且 x1，x2 是方程 g(x)＝0 的两个根， 当 a≤0 时，g′(x)＜0 恒成立，g(x)单调递减，方程 g(x)＝0 不可能有两个根； 当 a＞0 时，由 g′(x)＝0 得 x＝ln 2a， 当 x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当 x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， e ∴gmax(x)＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a＞0，解得 a＞2. 故a
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热点二 与函数极值、最值有关的求参数范围问题 [ 微题型 1] 与极值点个数有关的求参数的取值范围
【例 2－1】 已知函数 f(x)＝ax2－ex，a∈R，f′(x)是 f(x)的导 函数(e 为自然对数的底数)．若 f(x)有两个极值点 x1，x2，求实 数 a 的取值范围．
第4讲 利用导数求参数的取值范围
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高考定位
由含参函数的单调性、极值、最值求参数的取值范
围是近几年高考命题的重点，试题难度较大．
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热点一 已知函数的单调性求参数的取值范围 【例 1】 (2014· 杭州模拟)设函数 f(x)＝x2＋ax－ln x(a∈R)． (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数 a 的取值范围．
解 (1)由 f(x)＝x3＋ax2－x＋c， 得 f′(x)＝3x2＋2ax－1.
2 2 2 2 2 当 x＝3时，得 a＝f′3＝3×3 ＋2a×3－1，
解之，得 a＝－1.
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(2)由(1)知 f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2] 上单调递增， ∵f(0)＝2＜f(2)＝4，∴f(x)max＝4. 又 g(x)＝－x2＋2x＋m 在区间[0,2] 上，g(x)max＝g(1)＝m＋1， 由已知对任意 x1∈[0,2] ，均存在 x2∈[0,2] ，使得 f(x1)＜g(x)2， 则有 f(x)max＜g(x)max. 则 4＜m＋1，∴m＞3. 故实数 m 的取值范围是(3，＋∞).
1 0 极小 值
(1，＋∞) ＋ ↗
＋ ↗
－ ↘
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1 所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)和(1，＋∞)；
1 f(x)的单调递减区间是－3，1.
(3)函数 g(x)＝(f(x)－x3)· ex＝(－x2－x＋c)· ex， 有 g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex ＝(－x2－3x＋c－1)ex， 因为函数 g(x)在 x∈[ －3,2] 上单调递增， 所以 h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0 在 x∈[ －3,2] 上恒成立． 只要 h(2)≥0，解得 c≥11，所以 c 的取值范围是[11，＋∞)．
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解
(1)f′(x)＝3x2－3a，
8－6a＋b＝4， 即 12－3a＝9.
f2＝4， 由已知，得 f′2＝9，
解之，得 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 故函数 f(x)在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞) 上单调递增．
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1 (2)f′(x)＝2x＋a－x . ∵f(x)在区间(0,1]上是减函数， ∴f′(x)≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立， 1 即 2x＋a－x ≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立， 1 ∴a≤x－2x 对任意 x∈(0,1]恒成立． 1 令 g(x)＝x－2x， ∴a≤g(x)min， 易知 g(x)在(0,1]单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.
(4)∃x1∈[a ， b] ， ∀ x2∈[c ， d] ， 有 f(x1)≥g(x2) 成 立
⇔f(x)max≥g(x)max.
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解 法一 若 f(x)有两个极值点 x1，x2，则 x1，x2 是方程 f′(x) ＝0 的两个根．
x e f′(x)＝2ax－ex＝0，显然 x≠0，故 2a＝ x . x x － 1 e e 令 h(x)＝ x ，则 h′(x)＝ x2 . x
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若 x＜0，则 h(x)单调递减，且 h(x)＜0. 若 x＞0，当 0＜x＜1 时，h′(x)＜0，h(x)在(0,1)上递减， 当 x＞1 时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)min＝h(1) ＝e. ex 要使 f(x)有两个极值点，则需满足 2a＝ x 在(0，＋∞)上有两个 e 不同解，故 2a＞e，即 a＞2， 故a
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规律方法
(1)当 f(x)不含参数时，可通过解不等式 f′(x)>0(或
f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间． (2) 已 知 函 数 的 单 调 性 ， 求 参 数 的 取 值 范 围 ， 应 用 条 件 f′(x)≥0[ 或 f ′(x)≤0，x∈(a，b)] 恒成立，解出参数的取值范 围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是 f′(x)不恒等于 0 的参数的范围．
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解
2 (1)∵g(x)＋2g(－x)＝e ＋ex－9，①
x
－x
2 1 x g(－x)＋2g(x)＝e ＋ －x－9， 即 g(－x)＋2g(x)＝2e ＋ex－9， ② e 由①②联立解得：g(x)＝ex－3. ∵h(x)是二次函数，且 h(－2)＝h(0)＝1， 可设 h(x)＝ax(x＋2)＋1. 由 h(－3)＝－2，解得 a＝－1， ∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x2－2x＋1. ∴g(x)＝ex－3，h(x)＝－x2－2x＋1.
e 的取值范围是2，＋∞.
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规律方法
极值点的个数，一般是使 f′(x)＝0 方程根的个数，
一般情况下导函数若可以化成二次函数， 我们可以利用判别式 研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究．
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[ 微题型 2]
解 (1)a＝1 时，f(x)＝x2＋x－ln x(x＞0)， 1 2x－1x＋1 ∴f′(x)＝2x＋1－x ＝ ， x
1 1 x∈0，2，f′(x)＜0，x∈2，＋∞，f′(x)＞0， 1 1 ∴f(x)的减区间为0，2，增区间为2，＋∞.
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【训练 1】 已知函数 f(x)＝x ＋ax －x＋c，且 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间；
3
2
2 a＝f′3.
(3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)· ex，若函数 g(x)在 x∈[ －3，2] 上单调 递增，求实数 c 的取值范围．
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含参数的不等式恒成立、存在性问题 (1)∀x1∈[a ， b] ， ∃ x2∈[c ， d] ， 有 f(x1)≥g(x2) 成 立
⇔f(x)min≥g(x)min；
(2)∀x1∈[a ， b] ， ∀ x2∈[c ， d] ， 都 有 f(x1)≥g(x2) 成 立 ⇔f(x)min≥g(x)max； (3)∃x1∈[a ， b] ， ∃ x2∈[c ， d] ， 有 f(x1)≥g(x2) 成 立 ⇔f(x)max≥g(x)min；