14.2乘法公式优秀课件
合集下载
人教版数学八年级上册课件14.2乘法公式共25张PPT
练习：P11030-3
练习：
指出下列各式中的错误，并加以改正：
1) (-a-1)2 = -a2-2a-1; 2) (2a+1)2 =4a2+1; 3) (2a-1)2 =2a2 – 2a+1. 解：1) (-a-1)2
= [-(a+1)]2
= (a+1)2
= a +2a+1 2
2021/5/22
11
a
a2 ab
(a-b) 2=a2 - 2ab+b2
ab b ab a
(a-b)2
ab
2021/5/22
b
a
6
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.计算: (x+2y)2, (x-2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
1) 1022
2) 1992
3) 4982
4) 79.82
解：3) 4982 = (500-2)2
= 5002-2×500×2+22
= 250000-2000+4 = 248004
4)79.82 = (80-0.2)2
=802-2×80×0.2+0.22
= 6400-32+0.04
= 6368.04 2021/5/22
的2倍.
2021/5/22
17
1.(口答)运用完全平方公式计算：
1) (a+2b)2 2) (-a-2b)2
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
(1)括号前是“－”时，易出现符号错误. (2)混淆两个乘法公式而出错.
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
数学人教版初中二年级上册 乘法公式课件
问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍．
归纳总结
公式特点： （1）积为二次三项式,每一项都是二次项 （2）平方在两边，二倍在中间； （3）系数的绝对值为1,2,1； （4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项
式.
注意事项：1、与刚刚学过的平方差公式有区别，别混淆公式 2、别创造公式：
数形结合
问题4 能根据图1和图2中的面积说明完全平方公 式吗？
D
HC
b
bE
MG
a
a
a
b
图1
B
A
F a
b
图2
例题解析
例1 运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2；
（2）（y- 1 ）2 ． 2
解：（1）（4m+n）2=（4m）2+（2 4m） n+n2
=16m2+8mn+n2；
（2）（y- 1 ）2=y2-2 y 1 +（ 1 ）2
(ab)2 a2 b2 (a b)2 a2 b2
3、做题前要弄清 a b
4、公式的逆用
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2 +2 xy+y 2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
归纳总结
公式特点： （1）积为二次三项式,每一项都是二次项 （2）平方在两边，二倍在中间； （3）系数的绝对值为1,2,1； （4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项
式.
注意事项：1、与刚刚学过的平方差公式有区别，别混淆公式 2、别创造公式：
数形结合
问题4 能根据图1和图2中的面积说明完全平方公 式吗？
D
HC
b
bE
MG
a
a
a
b
图1
B
A
F a
b
图2
例题解析
例1 运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2；
（2）（y- 1 ）2 ． 2
解：（1）（4m+n）2=（4m）2+（2 4m） n+n2
=16m2+8mn+n2；
（2）（y- 1 ）2=y2-2 y 1 +（ 1 ）2
(ab)2 a2 b2 (a b)2 a2 b2
3、做题前要弄清 a b
4、公式的逆用
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2 +2 xy+y 2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
乘法公式课件PPT
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号 相反为b
平方差公式
即： （a+b)(a-b) a2 b2
小 平方差公式 结 即： （a+b)(a-b) a2 b2
平方差公式 的特点：
平方差，有特点； 一项同号一项反； 异号跟在同号后； 两数平方来相减。
作业：
1、教科书习题14.2第1题
14.2 乘法公式 1 .平方差公式
学习目标:
1、会推导平方差公式，并且懂得运用 平方差公式进行简单计算. 2、经历探索特殊形式的多项式乘法的 过程，发展符号感和推理能力，使学 生逐渐掌握平方差公式.
学习重点：
平方差公式的推导和运用，以及对平 方差公式的几何背景的了解.
学习难点：
平方差公式的应用.
顺着看：
反过来：
两数之和乘以差， 结果两数平方差。
两个数，平方差， 两数之和乘以差。
【课后检测】
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计
算的是(（2）（5）（6）)
（1）(x+1)(1+x) （2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)（4）(x2－y)(x+y2)； （5）(－a－b)(a－b)；（6）(c2－d2)(d2+c2).
解：(1) (2x−−33)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32
典 例
例2
计算:
分 (1) 102×98;
析 (2) (y+2)(y-2)–(y-1)(y+5) .
解: (1) 102×98 =(100+2)(100-2) = 1002-22 =10 000 – 4 = 9 996.
人教版八年级上册 14.2乘法公式(1) 课件 (共20张PPT)
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整
个括起来，再平方;
最后的结果 又要去掉括号。
生活实践，学以致用
⑴计算：1998×2002
⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘 密吗?
随堂练习
随堂练习
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的乘积 .
(3)(−x+1)(−x−1) ; (4)(−4k+3)(−4k−3) .
纠错练习
指出下列计算中的错误：
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 第二数被平方时，未添括号。 (2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4第一 数被平方时，未添括号。 (3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
3.（5+a）( ) =25-a²
本节课你的收获是什么？
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=x2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式对于；不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号，
个括起来，再平方;
最后的结果 又要去掉括号。
生活实践，学以致用
⑴计算：1998×2002
⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘 密吗?
随堂练习
随堂练习
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的乘积 .
(3)(−x+1)(−x−1) ; (4)(−4k+3)(−4k−3) .
纠错练习
指出下列计算中的错误：
(1) (1+2x)(1−2x)=1−2x2 第二数被平方时，未添括号。 (2) (2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4第一 数被平方时，未添括号。 (3) (3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2
3.（5+a）( ) =25-a²
本节课你的收获是什么？
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=x2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式对于；不符合平方差公式标准形式者， 要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号，
人教版八年级数学上册课件：14.2 乘法公式(1)
项式与多项式现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
（3） 51×49；
（4）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（2x-3）．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.2第1题．
（4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多 项式等；
（5）不能忘记写公式中的“平方”．
巩固平方差公式
例2 计算：
（1）（-y+2）（-y-2）-（y-1）（y+5）；
（2）102×98．
巩固平方差公式
练习2 运用平方差公式计算：
（1）（a+3b）（a-3b）；
（2）（3+2a）（-3+2a）；
（1）（3x+2）（3x-2）； （2）（-x+2 y）（-x-2y）．
解：（2） （-x+2 y）（-x-2 y） （a+b） （a-b）
=（-x）2 -（2 y）2 =x2 -4 y2. a2 - b2
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
（1）（2x+3a）（2x-3a）=（2x）2 -（3a）2 ； （2）（2a-3b）（2a-3b）=（2a）2 -（3b）2 ； （3）（x+2）（x-2）=x2 -2 ； （4）（-3a-2）（3a-2）=9a2 -4 ．
14.2 乘法公式 课件-人教版数学八年级上册
(5)(x+5)(x—5)十(x—3)(—3—x). 原式=x²—25+9—x²=—16.
知1 一 练
知 1一练
例2 计算：
(1)10.3×9.7;
(2)2022×2024—20232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式 进行计算.
(1)10.3×9.7;
知1 一 练
解：10.3×9.7 =(10+0.3)×(10-0.3) 10.3与9.7的平均数为10. =10²—0.32=100—0.09=99.91; 2022与2024的平均数
应用加法的交换律和结合律
=(m—2n)²—1²=m²—4mn+4n²—1;
(3)(2a+3b—1)(1—2a—3b);
知3 一 练
解：(2a+3b—1)(1—2a—3b) =(2a+3b—1) [一(2a+3b—1)]= 一[(2a+3b) 一1]2 =一[(2a+3b)²—2(2a+3b)+12] =一 (4a²+12ab+9b²—4a—6b+1)
知3 一讲
特别解读 1.添括号只是一个变形，不 改 变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
变符号，而不是只改变括号里第一项的符号. 3.添括号是否正确，可利用去括号检验。
知3 一 练
例5 (1)(2x—y+4)(2x+y-4); (2)(m—2n+1)(—2n—1+m); (3)(2a+3b—1)(1—2a—3b);(4)(3a—b+c)². 解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公 式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算.
知1 一 练
知 1一练
例2 计算：
(1)10.3×9.7;
(2)2022×2024—20232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式 进行计算.
(1)10.3×9.7;
知1 一 练
解：10.3×9.7 =(10+0.3)×(10-0.3) 10.3与9.7的平均数为10. =10²—0.32=100—0.09=99.91; 2022与2024的平均数
应用加法的交换律和结合律
=(m—2n)²—1²=m²—4mn+4n²—1;
(3)(2a+3b—1)(1—2a—3b);
知3 一 练
解：(2a+3b—1)(1—2a—3b) =(2a+3b—1) [一(2a+3b—1)]= 一[(2a+3b) 一1]2 =一[(2a+3b)²—2(2a+3b)+12] =一 (4a²+12ab+9b²—4a—6b+1)
知3 一讲
特别解读 1.添括号只是一个变形，不 改 变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
变符号，而不是只改变括号里第一项的符号. 3.添括号是否正确，可利用去括号检验。
知3 一 练
例5 (1)(2x—y+4)(2x+y-4); (2)(m—2n+1)(—2n—1+m); (3)(2a+3b—1)(1—2a—3b);(4)(3a—b+c)². 解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公 式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算.
人教版八年级数学上册 14.2 乘法公式 课件
应选用“差”的完全平方公式，即（ − + 3）2 = (3 − )2 = (3)2 −2 ∙ 3 ∙ + 2 ;
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
14.2乘法公式课件(共3份)
知－导
知识点
2
平方差公式
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1、(a – b ) ( a + b) = a2－b2 2、(b + a )(－b + a ) = a2－b2
知2－讲
相同为a
适当交换 (a+b)(a－b)=(a)2－(b)2 合理加括号
C．2
D．－2
通过本课时的学习，需要我们掌握：
平方差公式: (a+b)(a－b)=a2－b2. 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b).
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
会出现－x2+4y2这样的错解.
知2－练
1
根据平方差公式填空：
9a2－4 ； (1)(－3a＋2)(－3a－2)＝(－3a)2－22＝________ 2x＋3 ＝4x2－9； (2)(2x－3)(________) (3)(________)(5 a＋1)＝1－25a2. 1－5a
知2－练
2 下列运算正确的是( C ) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个 多项式等等．
知2－讲
例2 运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x － 2);
(2) (－x+2y)(－x － 2 y). 分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22.
八年级数学上册 第十四章 乘法公式(第2课时)课件 (新版)新人教版
八年级 上册
14.2 乘法公式(gōngshì) （第2课时）
第一页，共19页。
课件说明 (shuōmíng)
• 本课是在学生已经学习(xuéxí)了平方差公式的基础上， 研
• 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 • 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习(xuéxí)
因式分 • 解、分式运算的重要基础．
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2=______.
你能发现什么(shén me)规律？
第四页，共19页。
归纳总结
问题2 你能用式子表示发现的规律吗？
完全(wánquán)平方公式： （a+b）2 =a2+2ab+b2；（a-b）2 =a2 -2ab+b2.
2
第十六页，共19页。
变式训练 (xùnliàn)
练习3 在下列多项式中，哪些可以写成完全平方
的形式？
（1） x2 -1 ；
×
（2） 1+16a2 ；
×
（3） x2 -4x+4 ；
√
（4） x2+xy+y2；
×
（5） 9x2 -3xy+ 1 y．2
√
4
第十七页，共19页。
归纳 (guīnà)小 结
改正(gǎizhè（ngx)-：y）2 =x2 -2xy+y2； （3）
第九页，共19页。
判定 (pàndìng) 正误练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应
当怎样改正？
（1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
14.2 乘法公式(gōngshì) （第2课时）
第一页，共19页。
课件说明 (shuōmíng)
• 本课是在学生已经学习(xuéxí)了平方差公式的基础上， 研
• 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 • 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习(xuéxí)
因式分 • 解、分式运算的重要基础．
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2=______.
你能发现什么(shén me)规律？
第四页，共19页。
归纳总结
问题2 你能用式子表示发现的规律吗？
完全(wánquán)平方公式： （a+b）2 =a2+2ab+b2；（a-b）2 =a2 -2ab+b2.
2
第十六页，共19页。
变式训练 (xùnliàn)
练习3 在下列多项式中，哪些可以写成完全平方
的形式？
（1） x2 -1 ；
×
（2） 1+16a2 ；
×
（3） x2 -4x+4 ；
√
（4） x2+xy+y2；
×
（5） 9x2 -3xy+ 1 y．2
√
4
第十七页，共19页。
归纳 (guīnà)小 结
改正(gǎizhè（ngx)-：y）2 =x2 -2xy+y2； （3）
第九页，共19页。
判定 (pàndìng) 正误练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应
当怎样改正？
（1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》PPT课件
填一填
ab 1x –3 a a1 0.3x 1
a2–b2 12–x2 (–3)2–a2 a2–12 ( 0.3x)2–12
探究新知
做一做
口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=__b_2_–_a_2 ___. (2)(a–b)(b+a)= __a_2_–_b_2____. (3)(–a–b)(–a+b)= _a_2_–_b_2___. (4)(a–b)(–a–b)= __b_2_–_a_2___.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
巩固练习
3. 先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2. 解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1) =9–x2+2x2–2 =7+x2 当x=2时， 原式=7+22 =7+4=11
巩固练习
1. 利用平方差公式计算： (1)(3x–5)(3x＋5)； (3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
(2)(–2a–b)(b–2a)；
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25； (2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2； (3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
探究新知
素养考点 1 利用平方差公式计算
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y).
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4； (2) 原式= (–x)2 – (2y)2
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
八年级数学上册第十四章14.2《乘法公式》PPT课件
课堂检测
基础巩固题
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x)
D．(x＋y)(–x–y)
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于( A ) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1
D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的 正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1_0____．
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
课堂检测
拓广探索题
1. 已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3， (1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4 (1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝__1_–_x_n_+_1 _；(n 为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝___–_6_3___； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n_＋_1_–_2__(n为正整数)； ③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_x_1_0_0–_1___；
问题2： 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四章整式的乘法与因式分解
14.2乘法公式
第1课时平方差公式
1 课堂讲解 平方差公式的特征
平方差公式 利用平方差公式简便计算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？ (a + b)( m + n) =am +an +bm +bn
知识点 1 平方差公式的特征
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
(a+ b)(a －b) = a2 － b2
解：(1) (3x+2)(3x － 2) = (3x)2 － 22 = 9x2 － 4；
(2) (－x+2y)(－x － 2 y) =(－x ) 2 － (2y ) 2 =x2 － 4y 2.
知2－讲
你还有其他的 计算方法吗？
2－讲
符合平方差特点的，紧扣公式特征，找出公式中 的“a”和“b”，用平方差公式直接进行计算，注意 作为“a”项的符号为“－”号时，在计算中要连同它的 符号一起作为底数，例如上题中的（2）题，结果可能 会出现－x2+4y2这样的错解.
知2－讲
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个 多项式等等．
知2－讲
例2 运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x － 2); (2) (－x+2y)(－x － 2 y).
分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22.
知1－导
平方差公式： (1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2 =
a2-b2 . (2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 平方差 . (3)符号语言：(a+b)(a-b)= a2-b2 .
知1－讲
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一 项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的 平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
知2－练
1 根据平方差公式填空： (1)(－3a＋2)(－3a－2)＝(－3a)2－22＝__9_a_2_－__4_； (2)(2x－3)(__2_x_＋__3__)＝4x2－9； (3)(_1_－__5_a___)(5a＋1)＝1－25a2.
2 下列运算正确的是( C ) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
知识点 2 平方差公式
知2－导
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1、(a – b ) ( a + b) = a2－b2 2、(b + a )(－b + a ) = a2－b2
相同为a
适当交换
(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2
知3－练
知3－练
2 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 平方差公式:
(a+b)(a－b)=a2－b2. 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差.
平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b).
1 运用平方差公式计算： (1) (a+3b)(a － 3b); (2) (3+2a)(－ 3+2a); (3) 51 × 49; (4) (3x+4)(3x － 4)－(2x+3)(3x － 2).
解：(1) a2－9b2； (2) 4a2－9； (3) 2499； (4) 3x2－5x－10.
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数 相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或多项 式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
知1－讲
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的特征. (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(b＋2a)(2a－b)； (3)(－x＋2y)(－x－2y)； (4)(x＋2y)(－x－2y)．
知1－导
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x + 1)(x － 1)=
; (2) (m+2)(m－2) =
;
(3)(2 x + 1)(2 x － 1) =
.
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a－b的多项
式相乘.由于
(a+b) (a－b) =a2 － ab + ab －b2= a2 －b2.
知2－练
知识点 3 利用平方差公式简便计算
知3－导
学习了平方差公式之后，我们可利用平方差公 式进行简便运算.
例3 计算： (1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5); (2)102 × 98.
解：(1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5); =y2 － 22 － ( y2+4y － 5) =y2 － 4 － y2 － 4y+5 = － 4y +1;
解： (1)满足；(2)满足；(3)满足；(4)不满足．
1 下列计算能运用平方差公式的是( D )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D. ( 2 m2－ 3 n3)(－ 2
3
4
3
m2－ 3 n3) 4
知1－练
知1－练
2 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的 是( A ) A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a) C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b)
(2) 102 × 98=(100+2) (100 － 2) = 1002 － 22 = 10 000 － 4 =9 996.
知3－讲
知3－讲
运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到 这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行 比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利 用平方差公式可求解．
14.2乘法公式
第1课时平方差公式
1 课堂讲解 平方差公式的特征
平方差公式 利用平方差公式简便计算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？ (a + b)( m + n) =am +an +bm +bn
知识点 1 平方差公式的特征
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
(a+ b)(a －b) = a2 － b2
解：(1) (3x+2)(3x － 2) = (3x)2 － 22 = 9x2 － 4；
(2) (－x+2y)(－x － 2 y) =(－x ) 2 － (2y ) 2 =x2 － 4y 2.
知2－讲
你还有其他的 计算方法吗？
2－讲
符合平方差特点的，紧扣公式特征，找出公式中 的“a”和“b”，用平方差公式直接进行计算，注意 作为“a”项的符号为“－”号时，在计算中要连同它的 符号一起作为底数，例如上题中的（2）题，结果可能 会出现－x2+4y2这样的错解.
知2－讲
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个 多项式等等．
知2－讲
例2 运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x － 2); (2) (－x+2y)(－x － 2 y).
分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22.
知1－导
平方差公式： (1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2 =
a2-b2 . (2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 平方差 . (3)符号语言：(a+b)(a-b)= a2-b2 .
知1－讲
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一 项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的 平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
知2－练
1 根据平方差公式填空： (1)(－3a＋2)(－3a－2)＝(－3a)2－22＝__9_a_2_－__4_； (2)(2x－3)(__2_x_＋__3__)＝4x2－9； (3)(_1_－__5_a___)(5a＋1)＝1－25a2.
2 下列运算正确的是( C ) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
知识点 2 平方差公式
知2－导
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1、(a – b ) ( a + b) = a2－b2 2、(b + a )(－b + a ) = a2－b2
相同为a
适当交换
(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2
知3－练
知3－练
2 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 平方差公式:
(a+b)(a－b)=a2－b2. 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差.
平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b).
1 运用平方差公式计算： (1) (a+3b)(a － 3b); (2) (3+2a)(－ 3+2a); (3) 51 × 49; (4) (3x+4)(3x － 4)－(2x+3)(3x － 2).
解：(1) a2－9b2； (2) 4a2－9； (3) 2499； (4) 3x2－5x－10.
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数 相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或多项 式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
知1－讲
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的特征. (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(b＋2a)(2a－b)； (3)(－x＋2y)(－x－2y)； (4)(x＋2y)(－x－2y)．
知1－导
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x + 1)(x － 1)=
; (2) (m+2)(m－2) =
;
(3)(2 x + 1)(2 x － 1) =
.
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a－b的多项
式相乘.由于
(a+b) (a－b) =a2 － ab + ab －b2= a2 －b2.
知2－练
知识点 3 利用平方差公式简便计算
知3－导
学习了平方差公式之后，我们可利用平方差公 式进行简便运算.
例3 计算： (1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5); (2)102 × 98.
解：(1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5); =y2 － 22 － ( y2+4y － 5) =y2 － 4 － y2 － 4y+5 = － 4y +1;
解： (1)满足；(2)满足；(3)满足；(4)不满足．
1 下列计算能运用平方差公式的是( D )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D. ( 2 m2－ 3 n3)(－ 2
3
4
3
m2－ 3 n3) 4
知1－练
知1－练
2 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的 是( A ) A．(2a＋b)(－2a＋b) B．(a＋2)(2＋a) C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b2)(a2－b)
(2) 102 × 98=(100+2) (100 － 2) = 1002 － 22 = 10 000 － 4 =9 996.
知3－讲
知3－讲
运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到 这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行 比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利 用平方差公式可求解．