第十章 函数项级数

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第十章函数项级数

§ 1 函数项级数的一致收敛性(1)

一、本次课主要内容

点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。

二、教学目的与要求

使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函

数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。

三、教学重点难点

函数列一致收敛的概念、性质

四、教学方法和手段

课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置

P68 1（5）（7）

2 一．

函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：

收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.

1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“

”定义.

例1 对定义在

内的等比函数列, 用“”定义验

证其收敛域为

, 且

例2 .用“”定义验证在内.

例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .

（1）.

.

（2）.

（3）设

为区间上的全体有理数所成数列. 令

, .

（4）. , .

（5）

有, ,

. （注意

.）

二. 函数列的一致收敛性:

3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项

的解析性质

是否必遗传给极限函数

能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但

.

的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研

究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质

能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收

敛加强为所谓“整体收敛”的结果.

定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义.

在数集D上一致收敛,

Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列

,

.

( 介绍另一种形式.)

证 ( 利用式)

,……,有.

易见逐点收敛. 设

令

，

推论1 在D上

, ，.

D , 使

推论2 设在数集D上, . 若存在数列

在数集D上非一致收敛 .

应用系2 判断函数列

―在数集D上的最值点.

. 证明函数列在R内一致收敛.

例4

4

. 证明在R内, 但不一致收敛.

例5

,在点处取得极大值

证显然有

,

. 由系2 , 不一致收敛.

例6 . 证明在

内, .

内成立.

在

由系1 , ……

上的函数列

例7 对定义在区间

上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.

证明: , 但在

, 就有. 因此, 在上有

证时, 只要

. ,

, , 因

此 , 该函数列在

上不一致收敛.

. 考查函数列在下列区间上的一致收敛性:

例8

例9 考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .

该例的结果说明什么问题 ?

5 教学后记：

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第十章函数项级数

§ 1 函数项级数的一致收敛性（2）

一、本次课主要内容

函数项级数一致收敛性。

二、教学目的与要求

使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函数项级数一致收敛性的判断。

三、教学重点难点

函数序列一致收敛性的判别方法。

四、教学方法和手段

课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置

P68 1（9）（11），P69 5

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一. 函数项级数及其一致收敛性:

, 前项部分和函数列，收敛

1．函数项级数及其和函数：

点，收敛域, 和函数, 余项.

内的函数项级数( 称为几何级数 )

例1 定义在

的部分和函数列为, 收敛域为

.

2.一致收敛性: 定义一致收敛性.

在区间D上一致收敛, ,

Th2 ( Cauchy准则 ) 级数

对D成立.

推论级数

在区间D上一致收敛, , .

Th3 级数在区间D上一致收敛,

.

例2 证明级数在R内一致收敛 .

=, 则时

证令

8

R成立. ……

对

在区间上一致收敛；但在内非

例3 几何级数

一致收敛.

上 , 有

证在区间

, . 一致收敛 ;

内 , 取, 有

而在区间

, .

非一致收敛.

( 亦可由通项

在区间内非一致收敛于零,非一致收

敛.)

几何级数

虽然在区间内非一致收敛 , 但在包含于内的任

何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何

级数

在区间内闭一致收敛 .

二.函数项级数一致收敛判别法:

1.M - 判别法: