第十章 函数项级数
函数项级数、幂级数的概念
称为 x 的幂级数。
2 收敛半径和收敛区域
阿贝尔定理
(1)若幂级数 an xn 在某点 x x 0 ( x 0 0 ) 处收敛， n0
则它必在满足不等式 x x0 的一切点 x 处收敛，且绝对收敛；
(2)若幂级数 an xn 在某点 x x 0 ( x 0 0 ) 处发散， n0
S ( x ),
lim
n
Rn (
x)
0
.
二 幂级数的概念 1 定义
形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) an (x x0 )n
n0
的函数项级数，称为 ( x x0 ) 的幂级数。
特别地，当 x0 0 时， an xn a0 a1 x an xn n0
1. 若 l 0 ，则
(1) 如果
l x 1,(l 0) 即
x
1 l
时， an xn
n0
绝对收敛。
(2) 如果
l x 1即
x
1
时， an xn
发散。
l
n0
根据定义，有 R 1 . l
2. 如果 l 0 ，则 l x 0 ，这时 an xn 对任何 x n0
当 | x | R 时，可能收敛也可能发散；
正数 R 称为幂级数 a n x n 的收敛半径。 n0
收敛区域为: (R, R),(R, R],[R, R),[R, R] 其中之一.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理2.(幂级数收敛半径的求法)
对于幂级数 an xn ， n0
函数项级数知识点总结
函数项级数知识点总结
函数项级数是高等数学中的重要概念，它在微积分、数学分析以及其他数学领域中起着关键作用。
本文将对函数项级数的基本概念、性质以及应用进行总结和介绍。
函数项级数是由一列函数项组成的数列，通常表示为∑₀^∞(an·f_n(x))，其中an是实数或复数，f_n(x)是定义在某个区间上的函数。
在级数中，每一项都是函数项，通过求和操作得到级数的值。
函数项级数的收敛性是其中最重要的性质之一。
对于给定的函数项级数，我们可以通过求部分和序列Sn(x)来讨论其是否收敛。
如果序列Sn(x)收敛于某个函数
S(x)，我们称函数项级数收敛于S(x)。
否则，级数发散。
在函数项级数的收敛性上，我们有一些重要的判别法。
比如，比较判别法可以通过比较级数和已知的收敛级数或发散级数之间的大小关系来判断级数的收敛性。
如果级数的每一项都大于已知的发散级数，那么该级数也发散；如果级数的每一项都小于已知的收敛级数，那么该级数也收敛。
此外，还有比值判别法、积分判别法等常用的判别法。
函数项级数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们常常利用函数项级数来表示波动现象；在工程学中，函数项级数可以用于电路分析、信号处理等领域。
总结起来，函数项级数是高等数学中的重要概念，包括了收敛性判断和应用等多个方面。
对于学习和应用函数项级数的人来说，熟悉其基本概念和性质是非常重要的。
通过掌握相关的判别法和应用技巧，我们可以更好地理解和解决实际问题。
函数项级数和函数列一致收敛
函数项级数和函数列一致收敛函数项级数和函数列是数学中非常重要的概念。
在许多数学领域，我们经常会遇到这两个概念，并且它们在解决许多问题时发挥着重要的作用。
本文将介绍函数项级数和函数列的概念，并探讨它们之间的联系和应用。
首先，我们来看看函数项级数的概念。
一个函数项级数是指一系列函数的无穷和。
具体而言，给定一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，其中$f_n(x)$是一个函数序列。
我们可以将级数记为$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$。
函数项级数的收敛性是指$S(x)$是否存在有限的极限。
当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。
与之相对应的是函数列。
函数列是一系列函数的序列。
对于给定的$x$，函数列的极限是指当$n$趋向于无穷大时，函数序列中的每个函数在$x$处的极限都存在，并且这些极限构成了一个函数。
具体而言，给定一个函数列$(f_n(x))$，其极限为$f(x)$，可以表示为$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。
函数项级数和函数列之间存在着紧密的联系。
实际上，函数项级数可以看作是函数列的一种特殊情况。
考虑一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，我们可以构造一个函数列$(S_n(x))$，其中$S_n(x)$表示级数的部分和，即$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$。
函数列$(S_n(x))$就是函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$的部分和函数列。
一个重要的问题是函数项级数和函数列的收敛性之间的关系。
当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。
类似地，当函数列对于所有的$x$都收敛时，我们也说该函数列是一致收敛的。
可以证明，函数项级数的一致收敛性等价于其部分和函数列的一致收敛性。
也就是说，如果函数项级数收敛于函数$S(x)$，那么它的部分和函数列也收敛于$S(x)$。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
10-高等数学第十讲-函数项级数
D E 上的每一点函数列 f1, f2, , fn , 都收敛, 则我们称函数列{ fn}在 D 上收敛.记
作 lim n
fn (x)
f (x) , x D , f (x) 称为函数列{ fn}在 D 上极限函数, 或称为函数列{ fn}
在 D 上收敛与 f (x) .
定义 3(函数列{ fn (x)}在 D 上收敛于 f (x) N 的定义) 对每一个固定的 x0 D ,
就得到函数项级数 un (x) 在 D 上一致收敛于 S(x) .
| fn (xn ) f (xn ) | 0 ( n
) , 则函数列{ nf (x)}在数集 D 上非一致收敛.
3、函数项级数及其一致收敛性
(1) 函数项级数及其和函数
定义 5 设 un (x) 是定义在数集 E 上函数列，表达式 un (x) ， x E 称为定义在 E
n1
上的函数项级数.
330
若 x0
对
0 ,存在正整数 N ,当 n N 时,有 fn x0 f x0
D
上收敛与
f
(x)
，记作
lim
n
fn (x)
f (x) , x D 或 fn (x)
,我们称函数列{ fn x } 在 f (x) （ n ）, x D
.
说明 ①对每一个固定的 x0 D ，都存在一个正整数 N ，由于 D 中一般有无限个 x0 ，所以就对应于无限个正整数 N ，这无限个正整数 N 中可能找到最小的，也可能找不到
最小的.②定义中 的大小一般既与 N 的大小有关,又与 D 上所选取的 x 0大小有关.
（2）函数列收敛的判定方法
数列{ fn (x0 )}收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列{ f n(x)} 在 D 上的柯西收敛准则.
函数项数
满足不等式 x x 0 的点 x ，该级数都发散.
证明
(1) an x0 收敛, lim an x0 0,
n
n
n 0
n
高等数学（下）
M , 使得 an x0 M
n n n
n
( n 0,1,2,)
n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
2 n 1
收敛 .
x ＝－ 2 时 ,
an x
2 n 1
收敛 .
高等数学（下）
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为 R1和R2 ,
n n
R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
n 0
an x bn x n 0 n 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
n
a n x 收敛,即级数 an x 收敛;
n
n
n 0
n 0
高等数学（下）
(2) 假设当x x0时发散,
反设有一点x1 满足 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论， 则级数当 x x 0 时应收敛,
n
n
收敛区间( , ) .
收敛域也是 (,) .
高等数学（下）
1 n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim n a n n 1 n
n
2
n
1 1 1 1 ( , ) 0,1 收敛区间是 2 2 2 2 .
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
第2讲 一致收敛级数的判别和性质
k n1
m
uk ( a ) , m n N 1 ,
k n1
m
uk ( b ) , m n N 2 ,
令 N=max N 1 ,N 2 , 则 m n N 时 ,上 两 式 子 同 时 成 立 . 由 (*),有
m
k n1
b
i 1
k
i
,
k 1、、 2 3......,
（ 1） ak 单 调 ； （ 2） B k 有 界 ： k M ( k 1、、 B 2 3......);
则
a
k 1
p
Hale Waihona Puke kb k M a 1 2 a p ). （
定 理 (Abel判 别 法 ),若 a n (x) b n( x ),满 足
n=1
证 明 : 由 bn ( x )在 D 上 的 一 致 收 敛 性 , 对 任 给 0， N N ( )， 使得m n N时，
m
k n1
bk ( x ) , x D
应 用 A bel引 理 , 得
k n1
m
a k ( x ) bk ( x ) ( a n 1 ( x ) 2 a m ( x ) ) 3 M , x D
一、一致收敛的判别 定 理 （ 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 C au ch y 收 敛 原 理 ） .
u
n=1
n
( x )在 D 上 一 致 收 敛 的 充 要 条 件 是 ：
对 任 给 0， N N ( )， 使 得 m n N 时 ， un 1 ( x ) un 2 ( x ) um ( x ) 对 一 切 x D成 立 。
函数项级数和幂级数(Word)
第十章 函数项级数引言 本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数1()n n u x ∞=∑。
类比数项级数，要解决的主要问题是：对什么样的x ，1()n n u x ∞=∑有意义，在有意义的条件下，对应的和函数1()()n n f x u x ∞==∑具有什么样的分析性质以及如何计算和函数。
§1 函数项级数及其一致收敛性一、 定义我们先给出函数项级数的定义。
给定实数集合X ，设()n u x ，(1,2,3)n =⋅⋅⋅是定义在X 上的函数，称无穷个函 数的和12()()()n u x u x u x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅为函数项级数，记为1()n n u x ∞=∑其中：()n u x 称为通项，1()()nn k k S x u x ==∑为部分和，也称{()}n S x 为1()n n u x ∞=∑的部分和函数列。
类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题，显然，这和x 点的位置有关，为此，先引入函数项级数的点收敛性。
定义1.1 设0x X ∈，若数项级数0()n u x ∑收敛，称1()n n u x ∞=∑在0x 点收敛。
否则，称1()n n u x ∞=∑在0x 点发散。
注、显然，1()n n u x ∞=∑在0x 点收敛，等价于函数列{()}n S x 在0x 点收敛，即数列0{()}n S x 收敛。
注、定义给出了函数项级数在一点的收敛性，也称点收敛性，进一步可以将点收敛性推广到区间或集合收敛性。
定义 1.2 若x X ∀∈， 1()n n u x ∞=∑收敛，则称1()n n u x ∞=∑在X 上收敛。
此时，x X ∀∈， 1()n n u x ∞=∑都有意义，记1()()n n S x u x ∞==∑，称()S x 为1()n n u x ∞=∑的和函数。
注、1()n n u x ∞=∑在X 上收敛是局部概念，等价于1()n n u x ∞=∑在X 中每一点都收敛。
第十章无穷级数小结
∑ |u
n=1
∞
n
| 收 敛 u n 敛 ∑ 收
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
补充定理 如果任意项级数
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + un +
un +1 lim =l n →∞ un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛,当l > 1时级数发散
命题3 命题3:不一致收敛的极限形式: 一致收敛的极限形式:
设函数序列{ Sn ( x )}在区间I 上收敛到极限函数S ( x ).若存在 点列xn ∈ X ( n = 1, 2,), 使得 lim[ Sn ( xn ) S ( xn )] = k ≠ 0,
n →∞
则{ Sn ( x )}在X 上不一致收敛.
若 u n > 0, 则称
∑1 u n 是 正 项 n=
∞
∞
级数
1.
n =1
收 ∑ un(un > 0)收敛 部分和数列有界
∞
2. 比较判别法: ∑ un ( un > 0),
则
∑vn 收敛 n=1
∞
n =1
∑1 u n 收敛 n=
∞
∞
n =1
∑ v n (ν n > 0),
∞
un ≤ v n ,
部分和数列: Sn = ∑ui = u1 + u2 + + un
i =1
n
敛散性: 敛散性: 若
记为
n→ ∞
lim S n = S ,
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
函数项级数、幂级数的概念
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
【微积分】09-函数项级数
【微积分】09-函数项级数1. ⼀致收敛函数1.1 函数项级数 前⾯讨论了数列的极限和级数，它们都是对单点的逼近，现在我们把这些讨论扩展到函数对象。
设u_1(x),u_2(x),\cdots是同⼀定义域上的函数序列，则式（1）左被称为函数项级数，式（1）右是它的部分和函数。
如果S_n(x)处处收敛于S(x)，则S(x)称为函数项级数的和函数。
函数项级数问题的本质其实就是函数序列\{S_n(x)\}的问题，下⾯的叙述更多地是讨论函数序列\{f_n(x)\}的性质。
\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots;\quad S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)\quad\tag{1} 关于函数项级数（函数序列），我们更关⼼的不是它在单点的收敛条件，⽽是着重讨论和函数S(x)（极限函数f(x)）的分析性质。
主要包括它的连续性、可微性和可积性，以及这些分析性质与函数序列分析性质的关系，这样的讨论反过来可以⽤函数序列的分析性质来近似和函数的分析性质，这使得⽤简单函数模拟和研究复杂函数成为可能。
但要有这样的关系，函数序列还要满⾜⼀些条件。
⽐如函数序列x^n在[0,1]上都是连续的，但它们的极限函数在[0,1)上为0，但在x=1时为1，并不连续。
再看函数序列\dfrac{\sin{nx}}{\sqrt{n}}，它的极限函数恒为0，导数⾃然为0，但通项的导函数\sqrt{n}\cos{nx}在有理点极限却为⽆穷。
再⽐如函数序列2nxe^{-nx^2}，它在[0,1]上的极限函数恒为0，故积分也为0，但通项的积分却恒为1。
1.2 ⼀致收敛的判定 仔细观察上⾯分析性质不⼀致的例⼦，你会发现本质上是因为，函数序列在每⼀点并不是“同时”收敛于极限函数，这导致了函数序列与极限函数并不“相似”，从⽽也就不会有相同的分析性质。
为此我们定义⼀种类似⼀致连续的收敛，即对任意\varepsilon>0，当n⾜够⼤后总有式（2）成⽴，则称函数序列f_n(x)⼀致收敛于f(x)。
第十单元无穷级数
第十单元无量级数一、无量级数的观点与性质1 、无量级数：u n u1u2u n，简称级数。
此中u n称为通n 1项，也叫一般项。
nS n u i为级数的前n 项的部分和。
i 1收敛：发散：lim S nnlim S nn存在，且称 lim S n为级数的和。
n不存在。
数项级数：u n中的每项u n均为常数。
n 1函数项级数：u n中的项u n不全为常数。
n 12、基天性质性质 1、若u n收敛于，则ku n收敛于；n 1Sn 1kS若u n发散，k≠0，则ku n也发散。
n 1n 1性质 2、若u n与v n皆收敛，则(u n v n ) 也收敛。
n 1n 1n 1性质 3、在u n前方部分去掉或添上有限项，不改变级数的收敛性。
n 1性质 4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和。
性质 5、（收敛的必需条件）若u n收敛，则必有lim u n0 。
nn 1说明： lim u n 0 其实不可以保证u n必定收敛。
n n 1推论： lim u n0 ，则u n必然发散。
n n 1三个标准级数：（1）等比级数：ar n 收敛r1发散r1n0（2） p—级数：1收敛p 1发散p 1n 0 n p（3）调解级数：1发散0 nnn例1 若级数u n收敛，记 S n u i，则（Bn1i 1A. lim S n 0B. lim S n存在C. lim S n可能不存在n n n 和为a1 r）D. S n数列例 2 若级数u n收敛，则以下级数不收敛的是（B）n 1A.2u nB.(u n2)C. 2u nD.2u nn1n 1n 1n k例3 判断1的收敛性。
n1(2n1)( 2n1)解：因 u n11)1 (11)( 2n 1)(2n22n 1 2n1S n 1[(11111111)11) 2)()()(12n(12n 335572n121lim S n lim 1(11)1n n22n12因此，n 1 ( 2n11)收敛，且收敛于1。
第10章(2)函数项级数练习
第10章（2） 函数项级数§3 幂级数幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和∑∞=0n n nx a的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑nnxa 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n nxa 发散.证∑nn x a 收敛, {nn x a }有界.设|nn x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nn x a 和∑-n n x x a )(0的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ1=; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .证 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间: ) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.例1 求幂级数∑2n x n的收敛域 . ( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域:⑴ ∑∞=0!n n n x ; ⑵ ∑∞=0!n nx n .例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域 .Ex[1]P 50—51 1.二． 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n n n x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在] , [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一致收敛.Th 4 设幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证 nnn nn R x R a x a ⎪⎭⎫⎝⎛=.∑nnR a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn xa 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna , *)∑⎰∞==1n xnn dt t a *)*11,1∑∞=++n n n x n a*) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与∑nn xa 有相同的收敛半径 . ( 简证 )注: *) 和 **)与∑n nxa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nn x .2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. Th 6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .Th 7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则ⅰ>∑∑=n n nnx a xa λλ, λ , ||a R x <— 常数， 0≠λ.ⅱ>∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.ⅲ> (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.3. 和函数的性质: Th 8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;ⅳ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a .注:当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n nx a在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a 在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a , ……+++=+x a n a n x fn n n 1)()!1(!)(.注: 由系1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='== 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.验证 所给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x . ⇒ )(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入, ⇒ 02=-'-''y y y .例6 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x . ,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x .⎰∑⎰∑∞=∞=+++++++=+==-=-x n xn n n n n x x x n x dt t dt t x 00001211211111ln ,)1,1(-∈x§4 函数的幂级数展开一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式和Maclaurin 公式. Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式:Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= ,（只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x fn 存在）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x fθ1<<θ.积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有)(x R n ⎰-=+x x n n dt t x t f n 0))((!1)1(.Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项 )(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f, 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可 写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n nx.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点,是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外,函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.⑵ 若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.3． 函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式. 4. 可展条件: Th 1 (必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .Th 3 (充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x ⅰ> 按x 幂; ⅱ> 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 (, 1) 0 (=-'='f f 46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f0)()4(==== n ff.所以,ⅰ> 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. ⅱ> 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x .二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式. 为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开. 1. =xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=xa ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .2. =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.3. 二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, mx )1(+为多项式, 展开式为其自身;m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=nx n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅见教材.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.):当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如 取1-=m , 得 +-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112， ) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得 +⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x .] 1 , 1 (-∈x . 事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰=+=+xt dt x 01)1ln( ∑⎰∞==-00) 1 (n x n ndt t ∑∞=++-011) 1 (n n nn x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ) 1 , 1 (-∈x . 验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.5. =+-+-= 753753x x x x arctgx ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x .11 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x n n n n n dt t dt t t dt arctgx 00002022)1()1(1 =∑∞=++-012,12) 1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立. 例4 展开函数1431)(2+-=x x x f .解 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∑∑∞=∞=+0013211131321)(n n n n n x x x x x f ∑∞=+<-=0131 || , ) 13 (21n n n x x .例5 展开函数x e x x f )1()(+=.解 =+=x x xe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x=+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nnx n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n n x x n n.。
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1第十章函数项级数§ 1 函数项级数的一致收敛性(1)一、本次课主要内容点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。
二、教学目的与要求使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
三、教学重点难点函数列一致收敛的概念、性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置P68 1（5）（7）2 一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义.例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且例2 .用“”定义验证在内.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .（1）..（2）.（3）设为区间上的全体有理数所成数列. 令, .（4）. , .（5）有, ,. （注意.）二. 函数列的一致收敛性:3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但.的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义.在数集D上一致收敛,Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列,.( 介绍另一种形式.)证 ( 利用式),……,有.易见逐点收敛. 设令，推论1 在D上, ，.D , 使推论2 设在数集D上, . 若存在数列在数集D上非一致收敛 .应用系2 判断函数列―在数集D上的最值点.. 证明函数列在R内一致收敛.例44. 证明在R内, 但不一致收敛.例5,在点处取得极大值证显然有,. 由系2 , 不一致收敛.例6 . 证明在内, .内成立.在由系1 , ……上的函数列例7 对定义在区间上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.证明: , 但在, 就有. 因此, 在上有证时, 只要. ,, , 因此 , 该函数列在上不一致收敛.. 考查函数列在下列区间上的一致收敛性:例8例9 考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .该例的结果说明什么问题 ?5 教学后记：6第十章函数项级数§ 1 函数项级数的一致收敛性（2）一、本次课主要内容函数项级数一致收敛性。
二、教学目的与要求使学生理解函数项级数一致收敛性概念。
掌握函数项级数一致收敛性的判断。
三、教学重点难点函数序列一致收敛性的判别方法。
四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置P68 1（9）（11），P69 57一. 函数项级数及其一致收敛性:, 前项部分和函数列，收敛1．函数项级数及其和函数：点，收敛域, 和函数, 余项.内的函数项级数( 称为几何级数 )例1 定义在的部分和函数列为, 收敛域为.2.一致收敛性: 定义一致收敛性.在区间D上一致收敛, ,Th2 ( Cauchy准则 ) 级数对D成立.推论级数在区间D上一致收敛, , .Th3 级数在区间D上一致收敛,.例2 证明级数在R内一致收敛 .=, 则时证令8R成立. ……对在区间上一致收敛；但在内非例3 几何级数一致收敛.上 , 有证在区间, . 一致收敛 ;内 , 取, 有而在区间, .非一致收敛.( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零,非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛 , 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 .二.函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:9Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数定义在区间D上, 是收充分大时, 对D有|, 则在D上一致敛的正项级数.若当收敛 .证然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数 , 则级数在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数 , 级数在区间D上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例 3 判断函数项级数和在R内的一致收敛性 .是区间上的单调函数. 试证明 : 若级例 4 设都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致数与收敛 .简证 ,留为作业. .……2. Abel判别法:10在区间上收敛; ⅱ> 对每个, 数列Th 5 设ⅰ> 级数单调 ; ⅲ> 函数列在区间上一致收敛 ., 有. 则级数( [1]P43 )3.Dirichlet判别法:的部分和函数列在区间上一致Th 6 设ⅰ> 级数有界;ⅱ> 对于每一个, 数列单调; ⅲ> 在区间上函数列在区间上一致收敛 .一致收敛于零. 则级数在区间上的一致收敛性.例5 判断函数项级数解记. 则有ⅰ> 级数收敛;, ↗；ⅲ> 对ⅱ> 对每个和单调收敛于零 . 试证明 : 级数在区间例6 设数列上一致收敛.证在.11的部分和函数列在区间上一致有界 . 取可见级数, . 就有级数的部分和函数列在区间上一致有界, 而函数列在区间上一致收敛.收敛于零.由Dirichlet判别法,级数单调收敛于零的条件下, 级数在不包含其实 , 在数列习题课设,, . 且,例1―|对成立, 则函数列{}若对每个自然数有|在例2证明函数列在区间上非一致收敛., . 讨论函数列{}的一致收敛性.例3― 0|. 可求得解 0, . |.函数列{设函数在区间上连续 . 定义. 试证例4}在区间上一致收敛于零.12有界 . 设在区间上||.证法一由||;|;||.|注意到对, .0, , .证法二.有界. 设在区间上||. 把函数在点展开成具Lagrange型余项的,就有,, , .所以 , 0, , .设. 且, . 令例513, ,. …….和, 有 , 则函数列试证明: 若对{取, 使时, 有. 于是对任何自然数证对和, 有.由Cauchy收敛准则 , 函数列{}在区间上一致收敛 .例6 设在数集在数集在数集上有界 ) 设在上有||.证( 先证函数对,有 |||,|< . 即函数在数集上有|界.( 次证函数列{}在数集上一致有界 ) 时, 对,有|取易见对即函数列{14 教学后记：15第十章函数项级数§ 2 一致收敛级数的判别与性质（1）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的柯西收敛准则和一致收敛级数的性质。
二、教学目的与要求使学生掌握判别函数的一致收敛性。
深刻理解函数项级数一致收敛的判别方法。
三、教学重点难点函数项级数一致收敛的判别方法的选择与使用。
四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置P82 1（4）（6）（8）（10）16一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:Th 1 设在上,且对,函数在上连续 ,在证( 要证 : 对当|时, . )在点估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数也可以任意小 . ……上. 若在上间断，则函数列{}在推论设在上一致收敛和所有}, 有註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{即极限次序可换 .2. 可积性:Th 2 若在区间上函数列{}一致收敛 , 且每个在上连续. 则有.证设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此可积. 我们要证. 注意到在上成立., 可见只要17在上(R )可积”代替条件“Th2的条件可减弱为: 用条件“在关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:Th 设{}是定义在区间上的函数列. 若{}在上收敛且一致可积 , 则其极限函数在上( R)可积 , 且有.3. 可微性：Th 3 设函数列{}定义在区间上, 在某个点收敛. 对上连续可导, 且由导函数构成的函数列{}在上一致收敛, 则函数列{.，. , .证设对, 注意到函数连续和+, 就有+ （对第二项交换极限与积分次序）+ +.估计 |+―――| + |,可证得.|18.即. 亦即求导运算与极限运算次序可换.教学后记：19第十章函数项级数§ 2 一致收敛级数的判别与性质（2）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的连续性定理，逐项积分定理和DiNi定理二、教学目的与要求使学生理解函数项级数的性质。
三、教学重点难点函数像级数一致收敛的性质的使用。
四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置P83 820二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:例1P40例3证明函数在区间内连续.例2在区间内闭一致收敛.)对，有证( 先证，；又，在一致收敛.( 次证对上一致收敛; 又函数连续, 在区间论 , 在区间上连续,在点连续. 由点的任意性, 在区间, . 计算积分.例3时, 级数的部分和有界 . 由Dirichlet判别法推得级可见数收敛 . 同理可得级数数收敛 .教学后记：21第十章函数项级数§ 3 幂级数一、本次课主要内容幂级数概念收敛半径以及性质。
二、教学目的与要求使学生理解掌握幂级数的收敛半径了解幂级数在收敛半径内的性质与使用。
三、教学重点难点幂级数的性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置P92 1（6）（7）（8）（9），P93 4（1）22幂级数的一般概念. 型如和的幂级数 . 幂级数由系数数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域:1.收敛半径、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.}有界. 设||, 有证收敛, {|, 其中..2.收敛半径 R的求法., 若, 则Th 2 对于幂级数时; ⅲ>时.ⅰ>时,;ⅱ>的次数是一致证, ( 强调开方次数与的).……由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.23幂级数的收敛区间: .幂级数的收敛域: 一般来说 , 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1 求幂级数的收敛域 .例2 求幂级数的收敛域 .⑴; ⑵.: 令, 则化为幂级数.设该幂级数2. 复合幂级数，则级数的收敛区间由不等式确的收敛区间为定.可相应考虑收敛域.特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数 , 该级数中,为第项的系数 .例4 求幂级数的收敛域 .解是缺项幂级数 .24. 时,. 收敛区间为通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.例5 求级数的收敛域 .解令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散时级数收敛. 因此当且仅当,性结果, 当且仅当即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.例6 求幂级数的收敛半径 .解.二．幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛 .证, 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数在上一致收敛. 因此 , 幂级数在区间内闭一致收敛.25Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或)在区间( 或)上一致收敛 .收敛,则幂级数在区间上证. 收敛 , 函数列递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛 .的收敛域为(时 , 该幂级数即在区易见 , 当幂级数间上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设,*) 和 **)仍为幂级数. 我们有命题1 *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 )值得注意的是，*) 和 **)与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数.2. 幂级数的运算性质:26和在点的某邻域内相等是指：它们定义两个幂级数在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题2 ,.(由以下命题4系2)和的收敛半径分别为和,命题3 设幂级数, — Const ，.ⅰ>ⅱ> +, .ⅲ> ()(), , .3. 和函数的性质:命题4 设在(内. 则ⅰ>或收敛, 则在点( 或ⅱ> 若级数, 在点可微且有;ⅲ> 对27ⅳ>对, 在区间上可积, 且.收敛时, 无论级数在点收敛与否,均有当级数. 这是因为: 由级数收敛, 得函数左连续, 因此有.在点推论1 和函数, …….任意次可导.由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是, 则有推论2 若例7 验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为., 代入,.28 教学反思：29第十章函数项级数§ 4 函数的幂级数展开（1）一、本次课主要内容泰勒级数与余项公式。