实际问题中的数学模型

实际问题中的数学模型

命题点1 构造二次函数模型

例1 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝

⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )

A ．[4,8]

B ．[6,10]

C ．[4%,8%]

D ．[6%,10%]

答案 A

解 根据题意，要使附加税不少于128万

元，需⎝

⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4,8]．

命题点2 构造指数函数、对数函数模型 例2 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要

保留原面积的14

，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22

. (1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0

则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12

， 解得x ＝110112⎛⎫. ⎪⎝⎭

－ (2)设经过m 年剩余面积为原来的22

， 则a (1－x )m ＝22a ，即1

10211=22m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 即m 10＝12

，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．

若本例的条件不变，试计算：

今后最多还能砍伐多少年？

解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为

22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24

，

310211,22n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

≥即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年． 命题点3 构造“对勾函数”模型

例3 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为____．

答案 5 解 根据图像求得y ＝－(x －6)2＋11，

∴年平均利润y x

＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x

≥10，当且仅当x ＝5时等号成立． ∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.

(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高

度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝____米．

答案 2 3 解 由题意可得BC ＝18x －x 2(2≤x <6)， ∴y ＝18x ＋3x 2

≥218x ×3x 2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x 2

(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．

命题点4 构造分段函数模型

例4 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )

＝⎩⎪⎨⎪⎧

400x －12x 2，0400，

其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．

(1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数；

(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

解 (1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，

则y ＝

错误!

(2)当0

(x －300)2＋25 000，

故当x ＝300时，y max ＝25 000；

当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数， 故y <60 000－100×400＝20 000.

所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．

素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学

知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示.