§9.6第一型曲线积分的计算
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（3）求和
m f ( i , i )si 。
i 1 n
（4）取极限 令 d m ax{si } ，则 m lim f ( i , i )si 。
1 i n
d 0 i 1 n
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为 xoy 面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
4. 若空间光滑曲线 L的 参数方程为
x x ( t ) ， y y( t ) ， z z( t ) ( t ) ，则 ds x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t )dt ，
2 2 2 f ( x , y , z ) ds f [ x ( t ), y ( t ), z ( t )] x ( t ) y ( t ) z ( t )dt 。 L
f ( x , y ) 在 L 上有界。任取点列 M 1 , M 2 , M n 1 ，把 L 分
为 n 小 段 si ( i 1, 2, , n ) ， 同时也以 s i 表示第 i 小 段的弧长。任取 ( i , i ) s i ，作和式 f ( i , i )si ，
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 ( x )dx 。
a
b
若 L由 方程 x x( y ) (c y d ) 给出，则
2 ds 1 x ( y )dy 取 y 为 参 数，
2 f ( x , y ) ds f [ x ( y ), y ] 1 x ( y )dy 。 L c d
若 是平面区域 D，面密度函数为 f ( x , y ) ，则平面 薄片对 x 轴 、 y 轴 的转动惯量为
J x y 2 f ( x , y )d ， J y x 2 f ( x , y )d 。
D D
例 4．求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量 （设密度为 1） 。
L L L
2． kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds ( k为常数) ；
L L
3． f ( x , y )ds
L
L1
f ( x , y )ds
L1
L2
f ( x , y )ds , ( L L1 L2 ) 。
L2
简记为 f ( x , y )ds
J x ( y 2 z 2 )dV ， J y ( z 2 x 2 )dV ，
由对称性可知 J x J y J z ，于是
1 2 J z ( J x J y J z ) ( x 2 y 2 z 2 )dV 3 3
R 4 2 2 8 d sind d R 5 . 0 0 3 0 15
2 2 x y 2z 1 ： ， 0 z 1
z
3
x2 y2 z2 3
x 2 y 2 2z
1
x2 y2 z2 3 2 ： ， 1 z 3
x
o
y
z
形心在 z 轴上 ， x y 0 。
3
x2 y2 z2 3
J d 2 i mi
i 1
n
当 l 分别是 x 轴 ， y 轴 ，z 轴 时，则质点组分别 对 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 的转动惯量分别为
2 2 2 2 2 J x ( y 2 z ) m , J ( z x ) m , J ( x y i i i y i i i z i i )m i 。 i 1 i 1 i 1 n n n
，
Fx dFx ， F y dFy ， Fz dFz ，
由对称性知， F x F y 0 ，
Fz dV 3 ( x2 y2 z2 ) 2
km z
km
ห้องสมุดไป่ตู้
2
0
d d
2
3
4
z
3 0 2 ( z 2 ) 2
ds x 2 ( t ) y 2 ( t )dt ，
2 2 f ( x , y ) ds f [ x ( t ), y ( t )] x ( t ) y ( t )dt 。 L
2．若 L由 方程 y y( x ) (a x b) 给出，则
2 取 x 为 参 数， ds 1 y ( x )dx
i 1 n
设 d m ax{si } ，如果当d 0时 ，和式的极限总存在，
1 i n
则称此极限为 f ( x , y ) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作 f ( x , y )ds ，即
L
被积函数
L
f ( x , y ) ds lim
积分弧
f ( i , i )si 0
解：取球心为坐标原点，球半径为 R，轴 l 与 z 轴重合，
则球体所占有的空间闭区域为
{( x, y,z ) x 2 y 2 z 2 R2 },
所求转动惯量就是球体对 于 z 轴的转动惯量
J z ( x 2 y 2 )dV 。
为了简化计算，同时考虑球体 对x 轴 、 y 轴 的转动惯量
1 2
zdv zdv zdv
1 2
zdz
0
1
x 2 y 2 2 z
dxdy 1
3
3
zdz
2
x 2 y 2 3 z 2
dxdy
5 z( 2 z )dz z( 3 z )dz 0 1 3 5 1 5(6 3 5) 3 z zdv ， V 83 ( 6 3 5 ) 3 5(6 3 5) ∴形心的坐标为（0，0， ） 。 83
，密度 设质量连续分布的物体，占有 空 间 闭 区 域
函数为连续函数 f ( x , y ,z ) ，求该物体对 x 轴 ， y 轴 ，
z 轴 的转动惯量。
dV M ( x , y , z ) ，取包含点 M 的一体积微元
，
则质量微元为 dm f ( x , y ,z )dV ，点M 到 x 轴 的距离 为 y 2 z 2 ，于是点 M 处 的质量微元关于 x 轴 的转
y
M1
M2
M i 1
(i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
o
x
（1）分割 在 L上 任取点列 M 1 , M 2 , M n1 ，把L 分 为n 小 段
si ( i 1, 2, , n ) 。
（2）近似
( i , i ) si ，则第 i 小段的质量mi f ( i , i )si 。
x 2 y 2 2z
1
V dv dv dv
1 2
x
3
o
y
dz
0
1
x 2 y 2 2 z
dxdy 1
3
dz
x 2 y 2 3 z 2
dxdy
(6 3 5) ( 2 z )dz ( 3 z )dz , 0 1 3
2 2 dJ ( y z ) f ( x , y , z )dV ，从而 动惯量为 x
J x ( y 2 z 2 ) f ( x , y , z )dV ，
同理可得 J y ( z 2 x 2 ) f ( x , y , z )dV ，
J z ( x 2 y 2 ) f ( x , y , z )dV 。
x ( )cos ( ) 给出，则 3．若 L由 方程 ( ) 或 y ( )sin
取 为 参 数， ds 2 ( ) 2 ( )d
L
f ( x , y )ds f [( )cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d 。
dF 是 dV 对质量为 m 的质点的引力， M 的体积微元，
由万有引力定律得
dF
（ k 为引力常数） z x2 y2 z2
4
M
dV
km dV
∵ d F //OM ， OM x , y , z ，
dF dF OM km dV
OM ( x 2 y 2 z 2 ) 2
i 1
弧长元素 n
将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲 线积分：
f ( i , i , i ) s i L f ( x , y, z )ds dlim 0
i 1 n
。
二、第一型曲线积分的性质
1． [ f ( x , y ) g ( x , y )]ds f ( x , y )ds g ( x , y )ds ；
例 3．求空间立体 的 形心：
{( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 3, x 2 y 2 2 z } 。
x2 y2 z2 3 x2 y2 2 解： 两曲面的交线为 2 2 ， x y 2z z 1
L f ( x, y)ds 。
三、第一型曲线积分的计算法
1．设 f ( x , y ) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x ( t ) ，
y y( t ) ( t ) ，其中 x( t ) ， y( t ) 在 [,] 上有
2 2 x ( t ) y ( t ) 0 ，则 连续的一阶导数，且
三．物体对质点的引力
2 2 2 2 x y 4 x y 9 及 例 5．一空心柱体 由柱面 ，
平面 z 0 ， z 4 为界面组成，密 度 为 ，有一质量为 m 的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。
z
4
o
2
3
y
x
解：设 M ( x , y ,z ) 为空心柱体内 任一点，dV 为包含点
x, y,z 3
x
o
2
3
y
而 dF {dF x ,dF y ,dFz } ， ∴ dF x
km y dV ( x2
3 y2 z2 )2
km x dV ( x2
3 2 2 2 y z )
，
dF y
，
dFz
km z dV ( x2
3 y2 z2 ) 2
注：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关 于参数的定积分计算时，上限必须大于下限。
（2）对 f ( x , y )ds 来说， f ( x , y ) 是定义在 L 上的，
L
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数。
1
二．物体的转动惯量
设在 R 3 上 有 n 个质量为 m1 , m 2 , , m n 的质点组， 它们的坐标分别为 ( x i , y i , z i ) ( i 1, 2, , n ) ，这个 质点组绕着某一条直线 l 旋转，设这 n 个质点到直线 l 的距离分别是 d 1 , d 2 , , d n ，由力学可知，质点组 对直线 l 的转动惯量为
dz
2km (2 5 4). 故 F {0, 0, 2km ( 2 5 4)} .
§9.6
第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念和性质
1．曲线形物体的质量
设曲线形物体在 xoy 平面上占有可求长曲线 L， 其线密度为连续函数 f ( x , y ) ，求该物体的质量 m。
L
.
4. 当f ( x, y ) 1时,
Lds 等 于L的 长度.
5. 设 在 L 上 f ( x , y ) g( x , y ), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y )ds.
特殊地
L f ( x, y)ds L f ( x, y) ds.
若 L 是闭曲线，则 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线 积分记为
m f ( i , i )si 。
i 1 n
（4）取极限 令 d m ax{si } ，则 m lim f ( i , i )si 。
1 i n
d 0 i 1 n
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为 xoy 面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
4. 若空间光滑曲线 L的 参数方程为
x x ( t ) ， y y( t ) ， z z( t ) ( t ) ，则 ds x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t )dt ，
2 2 2 f ( x , y , z ) ds f [ x ( t ), y ( t ), z ( t )] x ( t ) y ( t ) z ( t )dt 。 L
f ( x , y ) 在 L 上有界。任取点列 M 1 , M 2 , M n 1 ，把 L 分
为 n 小 段 si ( i 1, 2, , n ) ， 同时也以 s i 表示第 i 小 段的弧长。任取 ( i , i ) s i ，作和式 f ( i , i )si ，
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 ( x )dx 。
a
b
若 L由 方程 x x( y ) (c y d ) 给出，则
2 ds 1 x ( y )dy 取 y 为 参 数，
2 f ( x , y ) ds f [ x ( y ), y ] 1 x ( y )dy 。 L c d
若 是平面区域 D，面密度函数为 f ( x , y ) ，则平面 薄片对 x 轴 、 y 轴 的转动惯量为
J x y 2 f ( x , y )d ， J y x 2 f ( x , y )d 。
D D
例 4．求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量 （设密度为 1） 。
L L L
2． kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds ( k为常数) ；
L L
3． f ( x , y )ds
L
L1
f ( x , y )ds
L1
L2
f ( x , y )ds , ( L L1 L2 ) 。
L2
简记为 f ( x , y )ds
J x ( y 2 z 2 )dV ， J y ( z 2 x 2 )dV ，
由对称性可知 J x J y J z ，于是
1 2 J z ( J x J y J z ) ( x 2 y 2 z 2 )dV 3 3
R 4 2 2 8 d sind d R 5 . 0 0 3 0 15
2 2 x y 2z 1 ： ， 0 z 1
z
3
x2 y2 z2 3
x 2 y 2 2z
1
x2 y2 z2 3 2 ： ， 1 z 3
x
o
y
z
形心在 z 轴上 ， x y 0 。
3
x2 y2 z2 3
J d 2 i mi
i 1
n
当 l 分别是 x 轴 ， y 轴 ，z 轴 时，则质点组分别 对 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 的转动惯量分别为
2 2 2 2 2 J x ( y 2 z ) m , J ( z x ) m , J ( x y i i i y i i i z i i )m i 。 i 1 i 1 i 1 n n n
，
Fx dFx ， F y dFy ， Fz dFz ，
由对称性知， F x F y 0 ，
Fz dV 3 ( x2 y2 z2 ) 2
km z
km
ห้องสมุดไป่ตู้
2
0
d d
2
3
4
z
3 0 2 ( z 2 ) 2
ds x 2 ( t ) y 2 ( t )dt ，
2 2 f ( x , y ) ds f [ x ( t ), y ( t )] x ( t ) y ( t )dt 。 L
2．若 L由 方程 y y( x ) (a x b) 给出，则
2 取 x 为 参 数， ds 1 y ( x )dx
i 1 n
设 d m ax{si } ，如果当d 0时 ，和式的极限总存在，
1 i n
则称此极限为 f ( x , y ) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作 f ( x , y )ds ，即
L
被积函数
L
f ( x , y ) ds lim
积分弧
f ( i , i )si 0
解：取球心为坐标原点，球半径为 R，轴 l 与 z 轴重合，
则球体所占有的空间闭区域为
{( x, y,z ) x 2 y 2 z 2 R2 },
所求转动惯量就是球体对 于 z 轴的转动惯量
J z ( x 2 y 2 )dV 。
为了简化计算，同时考虑球体 对x 轴 、 y 轴 的转动惯量
1 2
zdv zdv zdv
1 2
zdz
0
1
x 2 y 2 2 z
dxdy 1
3
3
zdz
2
x 2 y 2 3 z 2
dxdy
5 z( 2 z )dz z( 3 z )dz 0 1 3 5 1 5(6 3 5) 3 z zdv ， V 83 ( 6 3 5 ) 3 5(6 3 5) ∴形心的坐标为（0，0， ） 。 83
，密度 设质量连续分布的物体，占有 空 间 闭 区 域
函数为连续函数 f ( x , y ,z ) ，求该物体对 x 轴 ， y 轴 ，
z 轴 的转动惯量。
dV M ( x , y , z ) ，取包含点 M 的一体积微元
，
则质量微元为 dm f ( x , y ,z )dV ，点M 到 x 轴 的距离 为 y 2 z 2 ，于是点 M 处 的质量微元关于 x 轴 的转
y
M1
M2
M i 1
(i ,i )
Mi
L
M n1
A
B
o
x
（1）分割 在 L上 任取点列 M 1 , M 2 , M n1 ，把L 分 为n 小 段
si ( i 1, 2, , n ) 。
（2）近似
( i , i ) si ，则第 i 小段的质量mi f ( i , i )si 。
x 2 y 2 2z
1
V dv dv dv
1 2
x
3
o
y
dz
0
1
x 2 y 2 2 z
dxdy 1
3
dz
x 2 y 2 3 z 2
dxdy
(6 3 5) ( 2 z )dz ( 3 z )dz , 0 1 3
2 2 dJ ( y z ) f ( x , y , z )dV ，从而 动惯量为 x
J x ( y 2 z 2 ) f ( x , y , z )dV ，
同理可得 J y ( z 2 x 2 ) f ( x , y , z )dV ，
J z ( x 2 y 2 ) f ( x , y , z )dV 。
x ( )cos ( ) 给出，则 3．若 L由 方程 ( ) 或 y ( )sin
取 为 参 数， ds 2 ( ) 2 ( )d
L
f ( x , y )ds f [( )cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d 。
dF 是 dV 对质量为 m 的质点的引力， M 的体积微元，
由万有引力定律得
dF
（ k 为引力常数） z x2 y2 z2
4
M
dV
km dV
∵ d F //OM ， OM x , y , z ，
dF dF OM km dV
OM ( x 2 y 2 z 2 ) 2
i 1
弧长元素 n
将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲 线积分：
f ( i , i , i ) s i L f ( x , y, z )ds dlim 0
i 1 n
。
二、第一型曲线积分的性质
1． [ f ( x , y ) g ( x , y )]ds f ( x , y )ds g ( x , y )ds ；
例 3．求空间立体 的 形心：
{( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 3, x 2 y 2 2 z } 。
x2 y2 z2 3 x2 y2 2 解： 两曲面的交线为 2 2 ， x y 2z z 1
L f ( x, y)ds 。
三、第一型曲线积分的计算法
1．设 f ( x , y ) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x ( t ) ，
y y( t ) ( t ) ，其中 x( t ) ， y( t ) 在 [,] 上有
2 2 x ( t ) y ( t ) 0 ，则 连续的一阶导数，且
三．物体对质点的引力
2 2 2 2 x y 4 x y 9 及 例 5．一空心柱体 由柱面 ，
平面 z 0 ， z 4 为界面组成，密 度 为 ，有一质量为 m 的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。
z
4
o
2
3
y
x
解：设 M ( x , y ,z ) 为空心柱体内 任一点，dV 为包含点
x, y,z 3
x
o
2
3
y
而 dF {dF x ,dF y ,dFz } ， ∴ dF x
km y dV ( x2
3 y2 z2 )2
km x dV ( x2
3 2 2 2 y z )
，
dF y
，
dFz
km z dV ( x2
3 y2 z2 ) 2
注：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关 于参数的定积分计算时，上限必须大于下限。
（2）对 f ( x , y )ds 来说， f ( x , y ) 是定义在 L 上的，
L
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数。
1
二．物体的转动惯量
设在 R 3 上 有 n 个质量为 m1 , m 2 , , m n 的质点组， 它们的坐标分别为 ( x i , y i , z i ) ( i 1, 2, , n ) ，这个 质点组绕着某一条直线 l 旋转，设这 n 个质点到直线 l 的距离分别是 d 1 , d 2 , , d n ，由力学可知，质点组 对直线 l 的转动惯量为
dz
2km (2 5 4). 故 F {0, 0, 2km ( 2 5 4)} .
§9.6
第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念和性质
1．曲线形物体的质量
设曲线形物体在 xoy 平面上占有可求长曲线 L， 其线密度为连续函数 f ( x , y ) ，求该物体的质量 m。
L
.
4. 当f ( x, y ) 1时,
Lds 等 于L的 长度.
5. 设 在 L 上 f ( x , y ) g( x , y ), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y )ds.
特殊地
L f ( x, y)ds L f ( x, y) ds.
若 L 是闭曲线，则 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线 积分记为