信号与系统课后答案 第2章 习题解

第2章 习 题
2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应
（1）0)(2)(3
)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt d
y ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dt
d y ；
（3）0)(2)(2
)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d
y ； （4）0)()(2
)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt
d
y ； （5）0)()(2)(2233=+
+t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22
===---y dt d y dt d y 。

（6）0)(4
)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt
d
y 。

解：
（1）微分方程的特征方程为：2
320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t t
h y t Ae Be --=+.
由(0)3,
(0)2d
y y dt
--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85t
t
y t e e
--=-.
（2）微分方程的特征方程为：2
40λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.
因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.
由(0)1,
(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2
A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1
()cos(2)sin(2)2
y t t t =+.
（3）微分方程的特征方程为：2
220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())t
h y t e A t B t -=+.
由(0)1,
(0)2d
y y dx
--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.
所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())t
y t e t t -=+.
（4）微分方程的特征方程为：2
210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.
因此该方程的齐次解为：()()t
h y t At B e -=+. 由(0)1,
(0)2d
y y dx
--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)t
y t t e -=+.
（5）微分方程的特征方程为：32
20λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()t
h y t A Bt C e -=++.
由2
2(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt
---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.
所以方程的零输入响应为:()5(34)t
y t t e -=-+.
（6）微分方程的特征方程为：2
40λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()t
h y t A Be -=+.
由(0)1,
(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22
A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22
t
y t e -=-.
2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。

（1）()()t u e t x t x t y t y dt
d
t y dt d t -==++),(3)(6)(5
)(22； （2）()()t u e t x t x t x dt
d
t y t y dt d t y dt d t 222),(4)()(2)(3
)(-=+=++； （3）
()()()t u e t x t x t x dt
d
t y t y dt d t 2,)()(3)(-=+=+； （4）()()t u t x t x t x dt
d
t y dt d t y dt d t y dt d =+=++),(8)(3)(8
)(4)(2233。

解：
（1）：
将()x t 带入到原方程得到：()22()5
()6()3t d d
y t y t y t e u t dt dt
-++=
特征方程为：2
560λλ++=，解得特征根 122, 3.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：23()t t
h y t Ae Be --=+.
可设其特解为:()t p y t ce -=,将()t p y t ce -=代入上述微分方程,有:
22()5()6()3t t t t
d d c
e ce ce e dt dt ----++=,解得特解为: 3()2
t p y t e -=.
可得完全解:233
()2
t
t t y t Ae Be e ---=++.
根据冲击函数匹配法，系统在0-t <<0+时的微分方程:
22()5
()6()3()d d
y t y t y t u t dt dt
++=∆,得到: 2'
2()()()()()()()()()d y t a t b t c u t dt d y t a t b u t dt y t a u t δδδ⎧=++∆⎪⎪
⎪
=+∆−−→⎨
⎪
=∆⎪
⎪⎩
'()()()5()5()6()3()a t b t c u t a t b u t a u t u t δδδ++∆++∆+∆=∆
从而有：''
(0)(0)0
(0)(0)0y y a y y b +=-+=⎧⎨
+=-+=⎩。

将233
()2
t
t t y t Ae
Be e ---=++代入得：
33023323022
A A
B B A B ⎧
=-++=⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨=⎪⎪---=⎩⎪⎩
故系统的零状态响应为：323
3()(3)()2
2
t
t
t y t e e e u t ---=+-
（2）。

将()()2t
x t e u t -=带入原方程得到：()222()3()2()()2t
d d y t y t y t t
e u t dt dt
δ-++=+
微分方程的特征方程为：2
320λλ++=，解得特征根121,2λλ=-=-，该方程的齐次解为：
2()t t h y t Ae Be --=+
可设其特解为:2()t p y t kte -=代入上述微分方程,解得特解为: 2()2t p y t te -=-. 可得完全解:22()2t
t t y t Ae
Be te ---=+-
根据冲击函数匹配法，系统在0-t <<0+时的微分方程:
22()3()2()()2()d d
y t y t y t t u t dt dt
δ++=+∆,得到:
2
2
()()()()()d y t a t b u t dt d y t a u t dt δ⎧=+∆⎪⎪⎨
⎪=∆⎪⎩
''''''
()()3()()2()(0)(0)1(0)(0)1
a t
b u t a u t t u t y y a y y b δδ+∆+∆=+∆−−→⎧+=-+=⎨+=-+=-⎩
将22()2t
t t
y t Ae
Be te
---=+-代入得：'''3
(0)2213(0)481A y A B B y A B =-⎧+=---=⎧−−→⎨⎨
=+=++=-⎩⎩
系统的零状态响应为：22()332t
t t y t e e te ---=-+-
（3）
将()x t 带入到原方程得到：
()2()3()()t d
y t y t t e u t dt
δ-+=- 特征方程为：30λ+=，解得特征根 2 3.λ=- 因此该方程的齐次解为：3()t
h y t Ce -=.
可设其特解为:2()t
p y t Ke -=,代入上述微分方程, 解得特解为: 2()t
p y t e
-=-.
可得完全解:32()()()t
t y t Ce e u t --=-.
根据冲击函数匹配法，系统在0-t <<0+时的微分方程:
()3()()()d
y t y t t u t dt
δ+=-∆,得到:
()()()
()()d
y t a t b u t dt
y t a u t δ⎧=+∆⎪⎨⎪=∆⎩
()()3()()()1,4a t b u t a u t t u t a b δδ+∆+∆=-∆−−→==-
从而有：''
(0)(0)11(0)(0)44
y y y y +=-+=⎧⎨
+=--=-⎩。

将32()t t
y t Ce e --=-代入得：2C = 故系统的零状态响应为：32()(2)()t
t y t e e u t --=-
（4）
将()x t 带入到原方程得到：()3232()4()8
()3()8d d d
y t y t y t t u t dt dt dt
δ++=+ 特征方程为：32
480λλλ++=，解得特征根 1230,22,22i i λλλ==-+=-- 因此该方程的齐次解为：22()cos(2)sin(2)t t
h y t A Be t Ce t --=++.
可设其特解为:()p y t Dt =,代入上述微分方程,解得特解为: ()p y t t =. 可得完全解:22()cos(2)sin(2)t
t y t A Be t Ce t t --=+++.
根据冲击函数匹配法，系统在0-t <<0+时的微分方程:
()3232()4()8
()3()8d d d
y t y t y t t u t dt dt dt
δ++=+∆,得到: 3
3
2
2()()()()()d y t a t b u t dt d y t a u t dt δ⎧=+∆⎪⎪⎨⎪=∆⎪⎩
()()4()3()8()a t b u t a u t t u t δδ+∆+∆=+∆ 从而有：33(0)4d y dt +=-,2
2(0)3d y dt
+=。

将22()cos(2)sin(2)t
t y t A Be
t Ce t t --=+++代入得：
A=18, 3
8
B =-
由于方程不包含()y t 项，C 无法求出。

故系统的零状态响应为：213
()(cos(2)sin(2))88
t
y t e t t t C -=-++ 2-3 已知系统的微分方程为
()t x t y t y dt
d
=+)(2)(，求下列激励信号下系统的零状态响应。

（1）()()t u e t x t
2-=（2）()()t u e t x t 3-=（3）()()()t u e t u e t x t t 32--+=βα （4）()()
()T t u e t x T t -=--2
解： （1）：
带入后微分方程为：
()2()2()t d
y t y t e u t dt
-+= 特征方程为20λ+=，解得特征根2λ=-。

因此该方程的齐次解为：2()t
h y t Ce -=
设特解为2()t p y t kte -=,带入得2()t p y t te -=，零状态响应为:22()()()t
t y t Ce te u t --=-
由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从0-到0+时刻没有发生跳变，将
(0)0y +=带入得到C=0。

故系统的零状态响应为:2()()t y t te u t -=
（2）：
带入后微分方程为：
()3()2()t d
y t y t e u t dt
-+= 特征方程为20λ+=，解得特征根2λ=-。

因此该方程的齐次解为：2()t
h y t Ce -=
设特解为3()t
p y t ke -=,带入得3()t
p y t e
-=-，零状态响应为:23()()()t
t y t Ce
e u t --=-
由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从0-到0+时刻没有发生跳变，将
(0)0y +=带入得到C=1。

故系统的零状态响应为:23()()()t t y t e e u t --=-
（3）
带入后微分方程为：
()()23()2()t t d
y t y t e u t e u t dt
αβ--+=+ 先求出系统的冲激响应，易知2()t
y t Ae
-=，在00t -+<<时，设
()()()d
y t a t bu t dt
δ=+，()()y t au t =，代入方程解得：1,2a b ==-，
易求得：A=1，则：2()t
y t e
-=.系统的单位冲激响应为:2()()t
h t e u t -=
232()()*()(()())*(())t t t y t x t h t e u t e u t e u t αβ---==+
=223()()()t t t te u t e e u t αβ---+-
（4）：
带入后微分方程为：
()()2()2()t T d
y t y t e u t T dt
--+=- 特征方程为20λ+=，解得特征根2λ=-。

因此该方程的齐次解为：2()t
h y t Ce -=
设特解为2()()()t T p y t k t T e --=-,带入得2()()()t T p y t t T e --=-，零状态响应为:22()
()()()()t
t T y t Ce u t t T e u t T ---=+--
由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从T-到T+时刻没有发生跳变，将
()0y T +=带入得到C=0。

故系统的零状态响应为:2()()()()t T y t t T e u t T --=--
2-4 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号，首先判断起始点是否发生跳变，再求系统的零输
入响应、零状态响应和完全响应。

（1）()()()t u t x y t x t y t y dt d
===+-,10),()()(； （2）()()()()t u t x y t x t x dt
d t y t y dt d ==+=+-,20,2)()(3)(；
（
3
）
()()()()t u e t x y dt d
y t x t x dt d t y t y dt d t y dt d t ---===+=++3,00,20),(3)(2)(6)(5)(2
2； （4）()()()()t u e t x y dt d
y t x t x dt d t y t y dt d t y dt d t 222,10,10),()()(9)(6
)(---===+=++； （5）()()()()t u t x y dt
d
y t x t x dt d t y t y dt d t y dt d ===+=++--,10,10),(5)(3)(5)(2
)(22。

解：
（1）
易知系统的齐次解：()t h y t Ae -=.零输入响应:0
(0)(0)1y y Ae -+===. 解得: ()t
zi y t e -=.
零状态响应:设()p y t B =,代入得:1B =.所以()1t
zs y t Ae -=+,
在00t -+<<时,设
()()d
y t u t dt
=∆,即:1,1A A -==-,所以:()1t zs y t e -=-+.
完全响应:()()(1)()()t t
zi zs y t y y t e e u t u t --=+=-++=
（2）
利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变。

将激励函数带入后得到：()()3()()2d
y t y t t u t dt
δ+=+
系统的齐次解：3()t h y t Ae -=.零输入响应:0(0)(0)2y y Ae -+===。

解得:3()2t
zi y t e -=.
零状态响应:设()p y t B =,代入得:23B =
.故32()()()3
t
zs y t Ce u t -=+。

利用冲击函数匹配法可知 (0)1y +=，即213C +=，13C =。

故312
()()()33
t zs y t e u t -=+
方程的完全解331
2
()()()()()23
3
t
t zi zs y t y t y t e
u t e --=+=++。

（3）
利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变。

系统的齐次解：23()t t
h y t Ae Be --=+.零输入响应:(0)2y A B =+=
(0)230d
y A B dt
-=--=.解得:23()64t t zi y t e e --=-.
零状态响应:设()t
p y t Be -=,代入得:32B =.233()2
t t
t zs y t Ae Be e ---=++,在00t -+<<时
,
22()5()6()6()3()d d
y t y t y t t u t dt dt
δ++=+∆设
22()()()d y t a t b u t dt δ=+∆,()()d
y t a u t dt
=∆, ()0y t =代入解得:6,27a b ==-.解得:2393()322
t t t zs y t e e e ---=-+.
方程的完整响应:232393()()(3)()6422
t t t t t
zi zs y t y y t e e e u t e e -----=+=-++-。

（4）
利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变
系统的齐次解：3()()t
h y t At B e -=+,零输入响应:由(0)1,
(0)1,d
y y dt
--==解得:4,1A B ==.3()(41)t
zi y t t e -=+.
零状态响应: 设2()t p y t Ce -=,代入得1C =-.32()(())()t
t zs y t At B e
e u t --=+-。

在00t -+
<<时,22()6
()9()()()d d
y t y t y t t u t dt dt
δ++=-∆, 则22()()()d y t a t b u t dt δ=+∆,()()d
y t a u t dt
=∆,()0y t =,解得:1,7a b ==-.得到:2,1A B ==.32()((21))()t
t zs y t t e e u t --=+-.
完整响应:323()()()(())()(41)t t t zi zs zs y t y y t y t At B e e u t t e ---=+==+-++
（5）
易知系统的齐次解：()(cos(2)sin(2))t
h y t e A t B t -=+,零输入响应:
由(0)1,(0)1,d
y y dt
--==解得:1,1A B ==.()(cos(2)sin(2))t zi y t e t t -=+
零状态响应:()p y t C =,解得:1C =.()(cos(2)sin(2))1t
zs y t e A t B t -=++
在00t -+<<时,22()2
()5()3()5()d d
y t y t y t t u t dt dt
δ++=+∆, 设22()()()d y t a t b u t dt δ=+∆,()()d
y t a u t dt
=∆ ,代入得:3,1a b ==-. 解得:1,1A B =-=.()(cos(2)sin(2))1t
zs y t e t t -=-++.
得到系统完整响应:
()(cos(2)sin(2))[(cos(2)sin(2))1]()t t y t e t t e t t u t --=++-++
2-5 求下列微分方程描述的系统的单位冲激响应)(t h
（1） )()(4)(t x dt d
t y t y dt d =+； （2） )(3)()(2)(3)(22t x t x dt d t y t y dt d t y dt d +=++；
（3）)()(4)(4
)(22t x t y t y dt d
t y dt d =++； （4）)(3)(3)()(2)(22t x t x dt
d
t x dt d t y t y dt d ++=+；
解： （1）
系统的齐次解为：4()t
h y t Ae -=，
在00t -+<<时，可设
()'()()()d
y t a t b t c u t dt
δδ=++∆，()()()y t a t b u t δ=+∆， 代入方程：解得：1,4,16a b c ==-=，易知:4A =-. 所以4()()4()t
y t t e u t δ-=- （2）
系统的齐次解为：2()t t
h y t Ae Be --=+，在00t -+<<时，
设22()'()()()d y t a t b t c u t dt δδ=++∆,()()()d y t a t b u t dt
δ=+∆,()()y t a u t =∆ 则: '()()()a t b t c u t δδ++∆+3(()())a t b u t δ+∆+2()a u t ∆='()3()t t δδ+ 解得:1,0,2a b c ===-,求得:2,1A B ==-,所以2()(2)()t t
y t e e u t --=-
（3）
易求得系统的齐次解为：2()()t
h y t At B e
-=+，
在00t -+<<时，设22()()()d y t a t b u t dt δ=+∆,()()d y t a u t dt
=∆,()0y t =,解得:1,4a b ==-
求得:1A =,0B =.
所以2()t
y t te -=
（4）
系统的齐次解为：2()t
h y t Ae -=,
在00t -+<<时，设
()''()'()()()d
y t a t b t c t d u t dt
δδδ=+++∆,()'()()()y t a t b t c u t δδ=++∆ 则''()'()()()2('()()())a t b t c t d u t a t b t c u t δδδδδ+++∆+++∆=''()3'()3()t t t δδδ++,
解得:1,1,1,2a b c d ====-,易求: 1A = 则:2()()()'()t
y t e u t t t δδ-=++
2-6 求下列微分方程描述的系统的单位阶跃响应)(t g
（1）()t x t x dt
d
t y t y dt d +=+)()()(； （2） )()(12)(7)(22t x dt d t y t y dt d t y dt d =++；
（3）)(2)(3)(10)(2
)(22t x t x dt
d
t y t y dt d t y dt d +=++； （4）)(5)(2)()(16)(8
)(22
3322t x t x dt
d t x dt d t y t y dt d t y dt d ++=++； 解： （1）
求得系统的齐次解为：()t
h y t Ae -=，设特解()p y t B =,解得:1B =
在00t -+<<时，设
()()()d
y t a t b u t dt
δ=+∆,()()y t a u t =∆, 得到:()()()()()a t bu t au t t u t δδ++=+∆, 解得:1,0a b ==,易求0A = 所以:()()y t u t = （2）
系统的齐次解为：34()t t
h y t Ae Be --=+，
在00t -+<<时，设:22()()()d y t a t b u t dt δ=+∆,()()d
y t a u t dt
=∆,()0y t =
即:()()7()a t bu t a u t δ++∆=()t δ,解得:1,7a b ==-,易求1,1A B ==- 所以:34()()()t
t y t e
e u t --=-
（3）
易求得系统的齐次解为:()(cos3sin 3)t
h y t e A t B t -=+,易知特解15
C =
在00t -+<<时，设:22()()()d y t a t b u t dt δ=+∆,()()d
y t a u t dt
=∆,()0y t =.
即:()()2()a t bu t a u t δ++∆=3()2()t u t δ+∆,解得:3,4a b ==-易求:1
14,515
A B =-=, 所以:1141
()(cos3sin 3)()()5155
t
y t e t t u t u t -=-+
+ （4）
系统的齐次解为:4()()t
h y t At B e
-=+.易求其特解:5
16
C =
设22()''()'()()()d y t a t b t c t du t dt δδδ=+++,
()'()()()d
y t a t b t cu t dt
δδ=++
()()()y t a t bu t δ=+,解得:1,6,32,155a b c d ==-==-,
解得:27101,416A B =
=-,所以:4271015
()()()41616
t y t t e t δ-=-++
2-7 因果性的LTI 系统，其输入、输出用下列微分－积分方程表示：
⎰∞∞---=+)()()()(5)(t x d t f x t y t y dt
d
τττ，其中 )(3)()(t t u e t f t δ+=-
求该系统的单位冲激响应)(t h 。

解：将()()x t t δ=代入原方程得：
()5()()2()t d
y t y t e u t t dt
δ-+=+，若解出此方程的()zi y t ，即为系统的单位冲激响应()h t ，现在求()y t ：先设()5()()d
y t y t t dt
δ+=
解得：5'()()t h t e u t -=.()'()*(()2())t
h t h t e u t t δ-=+=517()()44
t t e e u t --+
2-8 有一LTI 系统对激励为)(3)(1t u t x =时的完全响应为)(6)(31t u e
t y t
-=，对激励为)
()(2t t x δ=时的完全响应为)()(2t t y δ=。

求下列各种响应。

(1) 该系统的零输入响应)(t y zi ； (2) 该系统的单位阶跃响应；
(3) 该系统的单位冲激响应；
(4) 系统的起始状态保持不变，求其对于激励为)()(3t u e t x t
-=的完全响应)(3t y 。

解：
设系统对激励为1()x t 的零状态响应为1zs y ,对激励为2()x t 的零状态响应为2zs y 对激励为3()x t 的零状态响应为3zs y ,又系统为LTI 系统,根据1()x t ,2()x t 易推知
1
2()3
zs zs y d y dt =. 又根据1()x t 完全解的结构,可设31()t zs y Ae u t -=,则: 2zs y =3()()3
t
A
Ae u t t δ--+. 又根据,对1()x t :31()6()t
zi zs y t y e u t -+=,对2()x t :2()()zi zs y t y t δ+=, 综合上述条件的:3126()()t
zs zs y y e u t t δ--=-,
得:33()(()())3
t t
A
Ae u t Ae u t t δ----+
=36()()t e u t t δ--,解得: 3A =所以313()t zs y e u t -=,
（1）33163()t t zi zs y e y e u t --=-=,（3）3()()3()t
h t t e u t δ-=-
（2）30
()()()t
t g t h d e u t ττ-=
=⎰
（4）对3()()t
x t e u t -=
零状态响应为：3zs y =3()*()h t x t =331
()()2
2
t
t e e u t --- 得到：333331()()()()3()2
2t
t t zi zs y t y t y e
e u t e u t ---=+=-+=391
()()22
t t e e u t --- 2-9 已知某LTI 系统在激励信号)()(1t u e t x t
-=下的零状态响应为)(1t y ，又已知该系统在
())()(2t u e t t x t -+=δ下的零状态响应为)()(221t u e t y t -+-，求该系统的单位冲激响应)(t h 。

解： 由题211()()2()d
x t x t x t dt
=
+, 又系统为LTI 系统,所以211()()2()d
y t y t y t dt
=+. 代入整理得:211()4()()t d y t y t e u t dt -+=,解得:24111
()()()22
t t y t e e u t --=-, 因
21()()()x t x t t δ-=,得系统的冲激响应21()3()()t h t y t e u t -=-+,
所以:242241113
()(3())()()()2
222
t
t t t t h t e
e e u t e e u t -----=--+=-+ 2-10 已知某LTI 系统在激励信号)()(1t u e t x t
-=下的零状态响应为)(1t y ，又已知该系统在
)()(22t u e t x t -=下的零状态响应为)()(21t u e t y t -+-，求该系统的单位冲激响应)(t h 。

（提示：由于)(),(21t x t x 不是简单的各阶导数及其线性组合关系，所以不能用2-9题的方法。

但根据条件
知道有
()t h t u e t y t *)()(1-=
(p2-10-1) ()t h t u e t u e t y t t *)()()(221--=+-
(p2-10-2)
即
()()t h t u e t u e t h t u e t t t *)()(*)(22---=+- (p2-10-3) []
()t h t u e t u e t u e t t t *)()()(22---+=
(p2-10-4)
对式子(p2-10-4)求两次导数，并利用卷积的微分性质有
()()[]()t h t u e t u e t t u e t t t t *)(2)(2)(222-----=-δδ
(p2-10-5) ()()()()[]()t h t u e t u e t t t u e t t t t t *)(4)(3'2)(42'22---++-=+-δδδδ
(p2-10-6)
通过将式(p2-10-4)，(p2-10-5)，(p2-10-6)乘上适当的常数再相加，可以消去方程右端)(),(2t u e t u e
t t
--这些
普通函数和()t h
的卷积项。

具体来说，就是假设(p2-10-4)，(p2-10-5)，(p2-10-6)三个式子乘的系数分别是
c b a ,,，则要求
⎩⎨
⎧=+-=+-0
420
c b a c b a (p2-10-7)
可以得到一个解
1,3,2===c b a 。

将式(p2-10-4)，(p2-10-5)，(p2-10-6)分别乘以1,3,2，再相加得到
()()()()[]()t h t t t t *3'2'δδδδ+=+
(p2-10-8)
即
()()()()t t t h t h dt
d
δδ+=+'32
(p2-10-9)
上述过程实际上是一个重建微分方程的过程。

）
解：
微分方程的建立参看上述提示。

对于()()()()t t t h t h dt
d
δδ+=+'32
系统的齐次解为：32
()t h t Ae -=，在00t -+<<时，
设
()'()()()d
h t a t b t c u t dt
δδ=++∆,()()()h t a t b u t δ=+∆, 解得:11,,24a b ==-,求得:1
4
A =-,所以3211()()()24t h t t e u t δ-=-
2-11 利用上节的方法求解本题。

有一LTI 系统对激励为)()(1t u t x =时的完全响应为
)(2)(1t u t y =，对激励为()t u e t x t 22)(--=时的完全响应为()t u e t y t 222)(-=。

求
（1）该系统的零输入响应)(t y zi ； （2）该系统的单位冲激响应；
（3）系统的起始状态保持不变，求其对于激励为)()(3t u e t x t
-=的完全响应)(3t y
解：
易知 2()()()*()zi u t y t u t h t -=,222()()()*()t t
zi e u t y t e u t h t ---=- ,
将两式相减:222()2()[()()]*()t t
u t e u t u t e u t h t ---=+, 两边求导得:224()[2()2()]*()t
t
e u t t e u t h t δ--=-,
将原式乘2,与求导后的方程式相加得:2()[()()]*()u t t u t h t δ=+, 将方程式求导:2()['()()]*()t t t h t δδδ=+
即:
()()2()d
h t h t t dt
δ+=,易解得:()2()t h t e u t -=, 易求得对1()x t 的零状态响应为:1()()*()2(1)()t
zs y t h t x t e u t -==-
(1)1()()()zi zs y t y t y t =-=2()t
e u t -
(2)即()2()t
h t e u t -=
(3) )(3t y =2()t
e u t -+2()*()t
t
e u t e u t --=(22)()t
t
e te u t --+ 2-12 已知某一LTI 系统对激励)(t x 的零状态响应()⎰
∞
----=
t
t zs d x e t y τττ)2()(
求该系统的单位冲激响应。

解：
()()*()()()zs y t x t h t x h t d τττ∞
-∞
==-⎰Q
在本题中：
()
()
()()222()(2)(2)()()()(2)()(2)()t
t t zs t p p zs t zs y t e
x d e
x u t d y t e
x p u t p dp
y t e u t x dp
ττττττττττ
ττ∞
-----∞
-∞
∞
----=-∞
∞
---=-∞
=-=--−−−−→=--−−−→=--⎰⎰⎰⎰令令p
故()
2()(2)t h t e u t --=-。

2-13 零起始状态电路如题图2-13所示，求该电路的单位冲激响应。

若激励为()()t u e t v t
S -=，求
响应()t v o 。

()t v o +-
(t i s ()
t v o
题图 2-13 题图 2-14
解：
设此电路的电流为()s I t ,易知: ()s I t =()s v t -0()v t ，根据KVL 有
L s v v v Ω+=，即001[()()]5[()()]()s s s d
v t v t v t v t v t dt
⨯
-+-= 整理得:00()5()()4()s s d d
v t v t v t v t dt dt +=
+ 易解得:5()()()t
h t t e u t δ-=-,
0()v t =531
()*()[]()44
t t s h t v t e e u t --=+
2-14 零起始状态电路如题图2-14所示，求该电路的单位冲激响应。

若激励为
()()()()11---=t u t t tu t i S ，求响应()t v o 。

解：
由节点电流定理得00()()5()2s v t d i t v t dt =+,整理得:00()1()()105
s v t d
v t i t dt += 其单位冲激响应:0.11()()5
t
h t e u t -=
, ()t v o =()*()s h t i t =0.11[()(1)()]5t tu t e u t ---0.1(1)1
[(1)(1)(1)(1)]5
t t u t e u t --------
2-15 电路如题图2-15所示，0=t 以前开关位于“1”，已进入稳态，0=t 时刻，1S 与2S 同时自
“1”转至“2”，求输出电压)(t v 的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应分量。

()t v +
-
题图 2-15
解：
设经过电感的电流为1()i t ,则:
1()()2v t i t =
,1()()l d v t l i t dt =,1()()()c d v t c i t v t dt =+,()()c c d
i t c v t dt
= 根据KCL:1()()()s c i t i t i t =+,代入得:22()2()()2()s d d
v t v t v t i t dt dt
++=
得齐次解:()()()t h y t At B e u t -=+,
零输入响应:开关位于”1”稳定后,(0)10v =,因为()0c i t =,所以()0c d
c v t dt
=,易求得零输入响应:()(1010)t zi y t t e -=+,
开关位于”2”时，()3()s i t u t =,零状态响应: ()()()()t zs y t At B e u t Bu t -=++ 易求得零状态响应:()(66)()6()t zs y t t e u t u t -=--+, 完全响应:()(66)()6()(1010)t t y t t e u t u t t e --=--+++
2-16 已知电路如题图2-16所示，0<t 时，开关位于“1”且已达到稳态，0=t 时刻，开关由位
置“1”打到位置“2”。

（1） 从物理概念判断 )0(-i , )0(-'i 和 )0(+i , )0(+'i
（2） 写出+≥0t t 时间内描述系统的微分方程表示，求)(t i 的完全响应；
（3） 写出一个方程式，可在∞<<∞-t 时间内描述系统，根据此式利用冲激函数匹配原
理判断-0时刻和+0时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。

解： （1）
到达稳态后,电容相当于短路,而电路状态稳定,不会再发生变化,所以:
(0)0,'(0)0i i --==,开关由”1”到”2”后:电容电压不会发生跳变,(0)10c v =,(0)0i +=,
所以电感的电压应为-9伏,又()l d
v l i t dt
=;易知,'(0)i +=-9. （2）
由电路易得系统微分方程:222()()()()2()t d d
i t i t i t t e u t dt dt
δ-++=-零输入响应为:0,
零状态响应为:2[)2]()3
t t e e u t ----。

（3）
系统方程为'''2()()()9()2()t y t y t y t t e u t δ-++=--。

理应冲击函数匹配法有：
'''
9()()()7()()a y t a t b u t b y t a u t δ=-⎧=+∆⎧−−→⎨⎨==∆⎩⎩
即'
()y t 从0-到0+有-9的跳变，()y t 没有跳变。

2-17 设系统的微分方程表示为
)()(6)(5)(22t u e t y t y dt
d t y dt d t -=++ 求使完全响应为)()(t u C
e t y t
-=时的系统起始状态)0(-r 和)0(-'r ，并确定常数C 的值。

解：
求得方程的零状态响应为:231
1
()()()2
2
t t
t zs y t e e e u t ---=-+ 易知方程的零输入响应为: 23()()()t
t zi y t Ae
Be u t --=+
因为完全响应为)()(t u Ce t y t
-=，故11
1,,22
A B C ==-=
,有零输入响应的系数求法得
'1(0)2
12
3(0)
2
A B r A B r --
⎧
+==⎪⎪⎨
⎪--==-⎪⎩ 2-18 已知某
LTI 系统的单位冲激响应为()t h 1，当输入为()t x 1时的零状态响应为
()()()[]2--=t u t u t t y
求当冲激响应和激励信号分别为以下各组信号时的零状态响应，并画出各个响应对应的波形。

(1) ()()()()t h t h t x t x 113,== (2) ()()()()t h t h t x t x -=-=11, (3) ()()()()1,211-=+=t h t h t x t x (4) ()()()()t h t h t x t x -=-=11,3
(5) ()()()()()1,2111-=+-=t h t h t x t x t x (6) ()()()()t h t h t x dt d
t x 112,==
(7) ()()()()t h dt
d
t h t x t x 11,=
= (8) ()()()()t h dt
d
t h t x dt d t x 11,==
解:(1)()3[()(2)]x t t u t u t =-- （2）()[()(2)]x t t u t u t =----+
（3）()(1)[(1)(1)]x t t u t u t =+--+ （4）
（5）()(1)[(1)(3)](1)[(1)(1)]x t t u t u t t u t u t =-----++--
（6）()2[()(2)()(2)]x t u t u t t t δδ=--+--（7）()()(2)()(2)x t u t u t t t δδ=--+--
（8）()()(2)'()'(2)x t t t t t δδδδ=--+--
2-19 已知有一LTI 系统，起始状态不知道，在激励为()t x 时的完全响应为(
)()t u t e
t
2sin 23+-，激
励为()t x 2时的完全响应为(
)()t u t e
t
2sin 23+-，求
（1）起始状态不变，当激励为()1-t x 时的完全响应，并指出零输入响应和零状态响应；
（2）起始状态是原来的两倍，激励为()t x 2时的完全响应。

解：
设激励为()t x 时的完全响应为()zs y t
由题意得:3()()(2sin 2)()t zi zs y t y t e t u t -+=+,3()2()(2sin 2)()t
zi zs y t y t e t u t -+=+
两式相减得:3()(sin 2)()t
zs y t e
t u t -=-+,易得:3()3()t zi y t e u t -=
(1) 当激励为()1-t x 时,易解得:3(1)
1()(sin 2(1))(1)t zs y t e
t u t --=-+--,
零输入响应不变3()3()t
zi y t e u t -=,
完全响应:3(1)
31()(sin 2(1))(1)3()t t y t e
t u t e u t ---=-+--+
(2) 32()2()2()(42sin 2)()t
zi zs y t y t y t e
t u t -=+=+
2-20 求下列各函数)(1t f 与 )(2t f 的卷积 )(*)(21t f t f
（1）)()(),()(321t u e
t f t u t f t
-==
（2）)()(),()(21t u t f t tu t f ==
（3）()2)()(),()(21--==t u t u t f t tu t f （4）)2()(),1()(21+=-=t u t f t tu t f （5）)45cos()(),2()(21ο
+=-=t t f t t f ωδ
（6）)2()1()()],1()()[1()(21---=--+=t u t u t f t u t u t t f （7）)1()1()(),cos()(21--+==t t t f t t f δδω （8）)(sin )(),()(221t tu t f t u e
t f t
==-
解: (1)3121()()*()(1)()3t f t f t f t e u t -==
- (2)2121
()()*()()2
f t f t f t t u t == (3)2211()()(2)(2)22f t t u t t u t =+-- (4)2
1()(1)(1)2
f t t u t =++
(5)()cos((2)45)(2)f t t u t ω=-+-o
(6)
220,11
1,1222
()31,23220,3t t t f t t t t t -∞<<⎧⎪⎪-<<⎪=⎨⎪+-<<⎪⎪<<+∞⎩
(7) ()[cos((1))cos((1))]()f t t t u t ωω=+--
(8) 2211()
(sin cos )()333
t
f t t t e
u t -=-+
2-21 求下列两组卷积，并注意相互间的区别
（1）)1()()(--=t u t u t f ，求)()()(t f t f t s *= （2）)2()1()(---=t u t u t f ，求)()()(t f t f t s *= 解：
（1）0,0,01()2,120,2t t t s t t t t <⎧⎪≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎪>⎩ （2）0,22,23()4,340,4
t t t s t t t t <⎧⎪-≤<⎪
=⎨-≤≤⎪⎪>⎩
易知把（1）中的()s t 向右平移两个单位，即得到（2）中的()s t 。

2-22 已知)1()1()(1--+=t u t u t f ，)5()5()(2-++=t t t f δδ，)2
1
()(3+=t t f δ求解并画出下列各卷积波形
（1）)()()(211t f t f t s *= （2）)()()()(2212t f t f t f t s **=
（3）)()]}5()5()][()({[)(2213t f t u t u t f t f t s *--+*= （4）)()()(314t f t f t s *= 解：
（1）)()()(211t f t f t s *==(6)(4)(4)(6)u t u t u t u t +-++---
（2）
2()(11)(9)2[(1)(1)](9)(11)s t u t u t u t u t u t u t =+-++⨯+--+---
（3）3()s t =2()(10)(9)(1)(1)(9)(10)s t u t u t u t u t u t u t =+-+--+++---
（4）41331()()()()()22
s t f t f t u t u t =*=+--
2-23 令
()()()53---=t u t u t x 和()t u e t h t 3)(-=
（1） 求()()()t h t x t y *=，（2）求()()()t h t x dt
d
t g *=，
（3）()t g 和()t y 是什么关系？ 解：
（1）3(3)3(5)11
()[1](3)[1](5)33t t y t e u t e u t ----=-----
（2）()()()3((3)(5))'*()t d
g t x t h t u t u t e u t dt
-=*=---
=3(3)3(5)(3)(5)t t e u t e u t -------
（3）'()()g t y t =
2-24 假设
()⎩⎨
⎧≤≤=其他
,01
0,1t t x 和 ()()10,/≤<=ααt x t h （1）求出并画出()()()t h t x t y *=
（2）若
()t y dt
d
仅含三个不连续点，α值是多少？ 解：（1）易解得：1α=0,0,0(),1
1,110,1t t t y t t t t t αααααα<⎧
⎪≤<⎪⎪
=≤<⎨⎪+-≤≤+⎪+<<∞
⎪⎩ （2）由条件易知：1α=
2-25 设∑∞
-∞
=--*
=k t
k t t u e t )3()()(y δ，证明在区间30≤≤t 上有t
Ae
t r -=)(，并求出A 值。

证明:当30≤≤t 时:0y()()(3)t
k t e u t t k δ-=-∞
=*
-∑=0
(3)
(3)t k k e
u t k --=-∞
-∑= 0
3t
k
k e
e
-=-∞
∑
=311t
e
e ---=t
Ae -,得:3
11A e
-=- 2-26 对题图2-26所示的各组函数，计算卷积积分)()(21t f t f *, 并粗略画出)(1t f 与)(2t f 卷积的波形。

()a
()b
(c
)] ()
d
()e
t
()f
题图 2-26
0t
10t
()
t f 21
()
t f 11
2
12
4
3
1
-()
g
解： （a ）
()(315)[(5)(4)](39)[(4)(3)]
(66)[(1)()](66)[()(1)](39)[(3)(4)](315)[(4)(5)]
y t t u t u t t u t u t t u t u t t u t u t t u t u t t u t u t =++-++--+-++++-+-+--+----+-+---
（b ）
()[()(1)](21)[(1)(2)]3[(2)(3)]
(29)[(3)(4)](5)[(4)(5)]
y t t u t u t t u t u t u t u t t u t u t t u t u t =--+----+---+-+---+-+---
1
2
3
4
5
1234
（c ）
()1(1)()t y t e u t -=+-
1
2
3
4
5
1234-1
（d ）
()2(1
cos )[()(1)]2[cos(1)cos ][(1)(2)]
2[1cos(1)][(2)(21)]
y t t u t u t t t u t u t pi t u t pi u t pi =---+------------
（e ）()[1cos(1)](1)y t t u t =---
（f ）
(){1cos[(3)]}[(3)(23)]i y t t i u t i u t i π∞
==------∑
2134
（g ）
211
()[()(1)][(2)(1)(2)][(1)(2)]22
y t t u t u t t t t t u t u t =--+--+----
2-27 设LTI 系统起始状态为零，在输入为()t x 时的零状态响应()t y zs 如题图2-27(a)所示。

（1）求系统的单位冲激响应并画出波形。

（2）当输入为题图2-27(b)所示各信号时，画出输出响应波形。

()
a
题图
2-27
t
2
()
b 0
t
()
t x 23
21
()
t x 1112
0t
()
t x 3t
e
2-0t
()
t f 61
π
21
-π
t
2
()
t x 41()()()[]
π2sin --t u t u t 0t
1()
t x 51
2
4
3
1
-
解：（1）()2[()(1)]h t u t u t =--
2
1
3
4
5
20
1
当输入为1()x t 时：
()2[()(1)]2[(1)(2)](26)[(2)(3)]y t t u t u t u t u t t u t u t =--+---+-+---
当输入为2()x t 时：
()2[()(2)](28)[(2)(4)]y t t u t u t t u t u t =--+-+---
当输入为3()x t 时：
22(1)()(1)()(1)(1)t t y t e u t e u t ---=----
当输入为4()x t 时：
()(22)[(1)(2)]2(2)y t t u t u t u t =----+-
当输入为5()x t 时：
(){(4(2)6)[((2)1)((2)2)](4(2)10)[((2)2)((2)3)]}
2[()(1)]
i y t t i u t i u t i t i u t i u t i t u t u t ∞
==--+-----+-------+--
∑
当输入为6()x t 时：
()2(1cos )[()(1)]2[cos(1)cos ][(1)(2)]
2[1cos(1)][(2)(21)]
y t t u t u t t t u t u t pi t u t pi u t pi =---+------------
2-28 题图2-28所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统的冲激响应分别为：
)()(1t u t h =（积分器） )1()(2-=t t h δ（单位延时器） )()(3t t h δ-=（ 倒相器）
题图 2-28
求系统总的冲激响应。

解：1123()()*[()()*()*()]y t x t h t h t h t h t =+=()*[()()*(1)*()]x t u t u t t t δδ--
=()*[()(1)]x t u t u t --，()()(1)h t u t u t ∴=--
2-29 已知LTI 系统框图如题图2-29所示，各子系统的冲激响应分别为：
()1)()(1--=t u t u t h ，)()(2t u t h =，)()(3t t
h δ=，
求总系统的冲激响应()t h 。

题图 2-29
解:
231()()*[()()]*())y t x t h t h t h t =+=()*[()(1)]()*[()(1)]*()x t u t u t x t u t u t u t --+--
将()()x t t δ=带入得到：
()[()(1)][()(1)]*()()[()(1)]h t u t u t u t u t u t u t t u t u t =--+--=+--
2-30 已知系统的冲激响应 )()(2t u e
t h t
-=
（1）若激励信号为)2()]2()([)(-+--=-t t u t u e t x t
βδ，式中β为常数，试确定零状态响应
)(t y ，要求系统在2>t 的零状态响应为零，试确定β值应等于多少？
若激励信号表示为)2()]2()()[()(-+--=t t u t u t f t x βδ，式中)(t f 为任意t 函数，要求系统在
2>t 的零状态响应为零，试确定β值应等于多少？并验证（1）
解:
易求系统的零状态响应:
(1) ()()*()zs y t h t x t =2()*[(()(2))(2)]t t
e u t e u t u t t βδ--=--+-
=2(2)
t e
β--+22(1)t
e
e -- (在2>t 时) =0,易求:4
2e e β--=-
(2)
222(2)()()*()
()*{()[()(2)](2)}()*{()[()(2)]}(2)
zs t t t y t h t x t e u t f t u t u t t e u t f t u t u t e u t βδβ----==--+-=--+-
因系统在2>t 的零状态响应为零有
2
22
222(2)
4
()()0t t f e d e f e d e e ττττττββ---+=−−→=-
⎰⎰
带入验证4
2e
e β--=-。