平面图与图的着色

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4.1 平面图
e6 F4
v 1 F1 e4 v4
e1
e5 F3
F2
e3
v2 e2 v3 (b)
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1 边界为：{e1 , e6 , e4 }
F3= v1 e1 v2 e2 v3 e5 v1 边界为：{e1 , e2 , e5 }
F2= v1 e5 v3 e3 v4 e4 v1 边界为：{e5 , e3 , e4 }
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不是极大平面图
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4.2 极大平面图
v1
v2
v5
v3
v4
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4.2 极大平面图
设有n个结点和m条边的极大平面图G具有以下性质： 性质1. G是连通的。 性质2. G不存在割边。 性质3. G的每个域的边界数都是3（极大平面图也称为
平面三角剖分）。 性质4. 3d=2m。
e3
i3 i4
dj
i5
e4
e1 e2 i2 i1
e3 i3i4
dj
i5
e4
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4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：这时，在域dj之外不可能存在边(i2, i4 ) 。 亦即i2和 i4 不相邻，但在域dj内加入边(i2, i4 )并 不影响G的平面性，得到矛盾。
F4= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
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4.1 平面图
v1
e1e6FF13ve4F42e3e5 F4
v2
e2
v3
(c)
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1 边界为：{e1 , e6 , e4 }
F3= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
e6 v4 e3
v2 e2 v3 v2
e2
v3
(a)
(b)
(c)
可平面图
平面图
平面图
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4.1 平面图
定义4.2 ：设G是一个平面图，由G的一个初级回 路围成的一个区域内如果不含任何结点及边， 就称为G的一个面或域。包含这个域的各边称 为该域的边界。 平面图G的外边的无限区域称为无限域或外部 区域，其他的域叫内部域。
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4.1 平面图
F0
F3
F1
e F5
e
F4
F2 e
T
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4.1 平面图
这样，加入G的m－n＋1条边，生成了m－n＋1 个新的域。加上无限域，共有d＝m－n＋2 个域。
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4.1 平面图
推论4.1 有n个结点和m条边的平面图G有k个连通支，
e1
e2 i2 i1
e3
i3 i4
dj
i5
e4
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4.2 极大平面图
性质4. 3d=2m。 证明：由性质2，每条边都是两个不同域的边界，
再由性质3即得。
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4.2极大平面图
定理4.2.1对有n个结点和m条边的极大平面图G，有 m＝3n－6， d＝2n－4
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4.1 平面图
定理4.1 设G是有n个结点和m条边的平面连通图， 则G的面的数目d是 d＝m－n＋2 （欧拉公式）
证明：设连通图G的支撑树是T。T包含n－1条边， 不包含回路，因此T只有一个无限域。
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4.1 平面图
F0
T
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4.1 平面图
由G是平面图，每加入一条余树的边e，它一定不与 其他边相交，即e一定在某个域的内部，把该域分成两 部分。
则 n－m＋ d＝k＋1。
e6
v 1 F1 e4 v4
v5
e1
e5 F2 F3
e3
v2 e2 v3
F7
ee712FF46ve8F105ee911
v6
e8
v7
推论4.2 对任一平面图G，恒有 n－m＋ d 2。
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4.1 平面图
定理4.2 设有n个结点和m条边的平面连通图G没
有割边，且每个域的边界数至少是t，则 m t(n－2)
4.1 平面图
定义4.1 ：若能把图G画在一个平面上，使任何 两条边都不相交，就称G可嵌入平面，或称G 是可平面图。 可平面图在平面上的一个嵌入称为平面图。
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4.1 平面图
v1 e4 v4 e1 e5 e6 e3 v2 e2 v3
e6
v 1 e4 v4
e1 e5
e3
v1 e1 e4 e5
F2= v1 e5 v3 e3 v4 e4 v1 边界为：{e5 , e3 , e4 }
F4= v1 e1 v2 e2 v3 e5 v1 边界为：{e1 , e2 , e5 }
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4.1 平面图
如果两个域有共同的边界，则称它们是相邻 的，否则是不相邻的。
如果边e不是割边，则e一定是某两个域的共 同边界。
t－2
证明：设G 有d个域，每个域的边界数至少是t，
且每条边都与两个不同的域相邻。因此td 2m。
代入欧拉公式：
2m m－n＋ 2
t
亦即
t(n－2)
m t－2
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4.2 极大平面图
定义4.3 ：设G是有n 3个结点的简单平面图， 若在任意两个不相邻的结点vi，vj之间加入边(vi， vj)，就会破坏图的平面性，则称G是极大平面 图。 极大平面图
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4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：由G是简单图，没有自环和重边，因此不
存在边界数为1和2的域。
假设G存在边界数大于3的域dj，不妨设dj是G
的内部域，域dj的边界为： dj = i1 e1 i2 e2 i3 e3 i4 e4 i5 …， 这里结点i1 ,i2 , i3 , i4互不相同。
e1 e2 i2 i1
e3 i3i4
dj
i5
e4
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4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：若结点i1和 i3 不相邻，则在域dj内加入边 (i1, i3 )后仍然是平面图，与G是极大平面图矛 盾，因此边(i1, i3 ) 一定存在于域dj之外。
e1 e2 i2 i1
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4.1 平面图
e6
v 1 F1 e4 v4 F7
v5
e1
e5 F3
F2
e3
v2 e2 v3 e7
ee813FF46ve8F115e1e012
v6
e9
Байду номын сангаасv7
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1与F2= v1 e5 v3 e3 v4 e4 v1相邻
共同边界为：e4 ，
割边e7 只是面F7的边界。