高等代数习题线性变换

所以 α + β ∈ W 。 (σ − λ ) n (kα ) = k ((σ − λ ) n α ) = 0 ， 所以 kα ∈ W ,W 是 V 的子空间。 又对于 α ∈ W (σ − λ ) n (σα ) = σ (σ − x ) n (α ) = σ (0) = 0
∴σ (α ) ∈ W
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
２
即 λE − B ( A − tE) = λE − ( A − tE) B ，也就是 ( λE − BA) + tB = ( λE − AB) + tB ，对 于每一个固定的 λ 值，上式两端是两个关于 t 的次数不超过 n 的多项式。当 t > t 0 时，它们的值相等，由于 t 的个数大于 n ，所以上式两个关于 t 的多项式恒等，当
∴ 存在 u ( x ), v( x ) 使 u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f 2 ( x ) = 1 ，从而有
u (τ ) f1 (τ ) + v (τ ) f 2 (τ ) = ε ∀α ∈ ker( f1 (τ ))
所以 u (τ ) f 1 (τ ) = ε （因为 f 2 (τ ) = 0 ） 得 α = 0 即 ker( f 1 (τ )) = {0}
第七章 线性变换
例 1. 在向量空间 R3 中，线性变换σ, τ 如下： σ (x1 , x2 , x3 )＝(x1 , x2 , x1 ＋x 2 ) τ (x 1 , x2 , x 3 )＝(x 1 ＋x2 －x 3 , 0, x3 －x 1 －x2 ) (1) 求στ, τσ, σ2 ； (2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ。 解: (1) στ ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 ) = ( x1 + x2 − x3 , 0, x1 + x2 − x3 ) = τ ( x1, x2 , x3 ) ,∴ στ = τ . τσ ( x1, x2 , x3 ) = τ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = (0,0,0) ,∴ τσ = 0
'
３
1 1 0 ∴ P = 1 0 1 1 − 1 − 1 5 −1 P AP = − 1 − 1
∴A
100
P
−1
1 1 1 1 = 2 − 1 − 1 3 − 1 2 − 1
100
5 −1 100 P A P = −1 − 1
试求σ＋τ, στ 在基 E11 , E12 , E21 , E22 下的矩阵。 又问σ 和τ 是否可逆？若可逆， 求其逆变换在同一基下的矩阵。 1 1 1 0 2 1 证明: (σ + τ ) E11 = E11 1 − 1 + − 2 0 E11 = − 2 0 = 2 E11 + E12 − 2 E21 + 0 E22 。 1 1 1 0 1 0 (σ + τ ) E12 = E12 + E = 12 1 − 1 − 2 0 0 − 2 = E11 + 0 E12 + 0 E21 − 2 E22 。 1 1 1 0 0 0 (σ + τ ) E21 = E21 1 − 1 + − 2 0 E21 = 1 1 = 0 E11 + 0 E12 + E21 + E22 。 1 1 1 0 0 0 (σ + τ ) E22 = E22 + E = 22 1 − 1 − 2 0 1 − = 0 E11 + 0 E12 + E21 − E22 。 所以 σ + τ 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵为 1 2 0 1 A= −2 0 0 −2 0 0 0 0 。 1 1 1 − 1
的特征根。
λ −1
解： （1） λE − A =
0
−2
0 0
λ + 1 − 1 = (λ − 1)( λ2 + λ − 1) = 0 −1 λ
∴ λ1 = 1, λ 2.. 3 =
−1 ± 5 为 A 的特征根。 2
（2） A −1 的特征根为 µ1 =
1 1 1+ 5 1− 5 ,µ2 = = , µ3 = λ1 λ2 2 2
u (τ ) f1 (τ )α = α
同理可证： ker( f 2 (σ )) = {0} 。
４
例 10.
已知 M2 (F)的两个线性变换σ，τ 如下 σ (X)＝X
1 1 , 1 − 1
τ (X)＝
1 0 X, ∀X∈M2 (F)。 − 2 0
W 是 V 的不变子空间。
例 9. 设σ ,τ 是 n 维线性空间 V 的两个线性变换， f 1 ( x ), f 2 ( x ) 分别表示 σ ,τ 的特 征多项式，如果 f 1 ( x ), f 2 ( x ) 互素，证明 ker( f 1 (τ )) = ker( f 2 (σ )) = {0} 。 证明：Q ( f1 ( x ), f 2 ( x)) = 1
同理可证 στ 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。
σ ( E11 ) = E11 + E12 , σ ( E12 ) = E11 − E12 , σ ( E21) = 0 E11 + 0 E12 + E21 + E22 , σ ( E22 ) = 0 E11 + 0 E12 + E21 − E22 。所以 σ 在此基下的矩阵为：
5100 = 1 1
5100 = P
−1 1 P 1
故 A100
5100 5100 + 2 5100 − 1 5100 − 1 −1 1 100 100 100 = P 1 P = 5 − 1 5 + 2 5 − 1 3 100 100 100 1 5 −1 5 −1 5 + 2
1 ξ , 所以结论成立。 λ
例 4. 设 λ 1, λ2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同的特征根， X 1 , X 2 是分别属于 λ 1, λ2 的特 征向量。证明 X 1 + X 2 不是 A 的特征向量。 证：由已知条件 AX 1 = λ1 X 1 , AX 2 = λ 2 X 2 ，如果 X 1 + X 2 是 A 的一个特征向量， 那么
解 ：
−2
−2
∴A
λE − A = − 2 −2
λ − 1 − 2 = (λ − 5)( λ + 1) 2 − 2 λ −1
的 特 征 值 为
λ1 = 5, λ2 = λ3 = −1
λ1 = 5 的特征向量为 (1,1,1) , λ2 = λ3 = −1 的特征向量为 (1,0,−1)' , (0,1, −1)'
１
例 3. 设σ 是向量空间 V 的可逆线性变换，证明 (1) σ 的本征值一定不为 0； (2) 如果λ是σ 的本征值，那么
1 是σ－1 的本征值。 λ
证明: (1) 假设σ 有一本征值为 0, 则存在 ξ ≠０， ξ ∈ V, 使得 σ ( ξ )=0・ ξ = 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1 (σ (ξ ))=0, 即 ξ = 0.矛盾。 (2) 设λ是σ 的本征值, 由(1)得λ≠０，且有σ ( ξ )=λ ξ , ξ ≠０。 σ -1 (σ (ξ ))=λσ -1 (ξ ). 即 σ -1 (ξ )=
A( X 1 + X 2 ) = λ ( X 1 + X 2 ) ， 其 中 λ 是 A 的 一 个 特 征 根 ， 从 而
λ1 X1 + λ2X 2 = λX 1 + λX 2 ，即 ( λ − λ1 ) X 1 + (λ − λ2 ) X 2 = 0 ，但 X 1 , X 2 线性无关，故
λ − λ1 = 0, λ − λ 2 = 0 ，由此得 λ = λ1 =λ 2 ，与 λ1 ≠ λ2 矛盾，故 X 1 + X 2 不是 A 的
例 8. 设 σ 是实数域 R 上 n 维线性空间 V 的线性变换， λ ∈ R ，试证 V 的子集
W = {α ∈ V (σ − λ ) n α = 0} 是 σ 的不变子空间。
证：先证 W 是的 V 子空间，
∀α , β ,∈ W , k ∈ R ，因为 (σ − λ ) n (α + β ) = (σ − λ ) n α + (σ − λ ) n β ，
k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L ＋ k mσ (α m ) = 0 . 两 端 用 σ −1
作 用 得 :
k1α 1 + L ＋ k mα m = 0 . 由已知 α1 ,α 2 , L , α m 线性无关 , 所以 : k1 = k2 = L = k m = 0 . 故 σ (α1 ), σ (α 2 ),L , σ (α m ) 线性无关。
t = 0 时候，得 λE − BA = λE − AB ，即 AB 与 BA 有相同的特征多项式。
例 6. .设 f ( x ) = x12 + 2 x 11 − 2 x10 − 3 x 9 − 2 x 8 + 9 x 6 − 4 x 5 + x 4 − 6 x 2 + 11x ，