利用导数求函数的极值

此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b＝－1，2－a＋b＝1，即 a＝0，b＝－1.
(ⅱ)当 a≥3 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减， 所以 f(x)在区间[0,1]的最大值为 f(0)＝b，最小值为 f(1)＝2－a＋b.
此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2－a＋b＝－1，b＝1，即 a＝4，b＝1.
①当 a≤0 时，f′(x)＝1－a＞0，即函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． x
②当 a＞0 时，令 f′(x)＝1－a＝0，可得 x＝1，
x
a
当
0＜x＜1时，f′(x)＝1－ax＞0；函数
f(x)的单调递增区间为
0，1 a
，
a
x
当
x＞1时，f′(x)＝1－ax＜0，单调递减区间为
1，＋∞ a
(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间[0,1]的最小值为－1 且最大值为 1？ 若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，说明理由．
解：(ⅰ)当 a≤0 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增， 所以 f(x)在区间[0,1]的最小值为 f(0)＝b，最大值为 f(1)＝2－a＋b.
当c＝6时，f′(x)=3x2-24x+36可知函数先增后减再增，函数在x ＝2处取得极大值
2.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极
小值为（） A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1
解：f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1
由
f′(x)＝0
在[½
,3]内有根，得
a＝x＋1x在[½
,3]内有解，又
x＋1∈[2,10]，所以
x3
2<a≤130，综上，a
的取值范围是(2,10] 3
练习：
1．已知函数 f(x)＝x(x－c)2 在 x＝2 处有极小值，则实数 c 的值为
。
解：f′(x)=3x2-4cx+c2, 由f′(2)＝0可得c＝2或6. 当c＝2时，f′(x)=3x2-8x+4可知函数先增后减再增，在x＝2处 取得极小值；
a (ⅲ)当 0＜a＜3 时，a/3<1 由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为 f 3 ＝－ a3 ＋b，
27
最大值为 b 或 2－a＋b. 若－ a3 ＋b＝－1，b＝1，则 a＝33 2，与 0＜a＜3 矛盾．
27
若－ a3 ＋b＝－1,2－a＋b＝1，则 a＝3 3或 a＝－3 3或 a＝0，与 0＜a＜3 矛盾．
.
a
x
综上可知，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
0，1
1，＋∞
当 a＞0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 a ，单调递减区间为 a
.
(2)①当 0＜1≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数， a
所以 f(x)的最小值是 f(2)＝ln 2－2a.
x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1
f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.
令 f′(x)＞0，解得 x＜－2 或 x＞1，所以 f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递增
利用导数求函数的极值、最值2
已知函数极值求参数的值或范围 例3、(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b ＝_ .
(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
f20 f '20
a23ab10 b6a30
解得b＝3,a＝1，或b＝9，a＝2，
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值， 而a＝2，b＝9满足题意， 故a－b＝－7.
令 g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3.由题意知，g(x)在(0，＋∞)内先减后增或先增后减
－a＋2＞0， 结合函数 g(x)的图像特征知， 2
a＋3≤0，
－a＋2≤0，
或2
a＋3＜0，
解得 a≤－3.
考点 2 用导数求函数的最值 例 1.函数 f (x) x3 3x a 在区间[0,3] 上的最大值、最小值分别为 M、N，则 M N
27
综上，当且仅当 a＝0，b＝－1 或 a＝4，b＝1 时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大
值为 1.
练习：已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)当 a＞0 时，求函数 f(x)在[1,2]上的最小值．
解: (1)f′(x)＝1－a(x＞0)， x
时，f′(x)＞0；当
x∈
0，a 3
时，f′(x)＜0.
a，＋∞
0，a
故 f(x)在(－∞，0)， 3
单调递增，在 3 单调递减．
－∞，a
a，0
若 a＜0，则当 x∈
3 ∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当 x∈ 3 时，f′(x)＜0.
－∞，a
a，0
故 f(x)在
3 ，(0，＋∞)单调递增，在 3 单调递减．
2
当 ln 2≤a＜1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，
当 0＜a＜ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(1)＝－a；
当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(2)＝ln 2－2a.
解：f(x)定义域[0,3] f 'x 3x2 3，令f 'x 0 ，解得 x=1 或 x=-1（舍去）
f’(x)>0,则 1≤x≤3,f(x)单调增. f’(x)<0,则 0≤x<1,f(x)单调减。
f(x)极小值 f(1)=-2-a,
f(0)=-a,f(3)=18-a, f(x)最大值为 18-a
②当1≥2，即 0＜a≤1时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数，
a
2
所以 f(x)的最小值是 f(1)＝－a.
③当 1＜1＜2，即1＜a＜1 时，
a
2
1，1
1，2
函数 f(x)在 a 上是增函数，在 a 上是减函数．
又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当1＜a＜ln 2 时，最小值是 f(1)＝－a；
令 f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，，在(－2,1)上单调递减，
所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1)＝－1.
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3．(2019·长春市质量监测)若函数 f(x)＝(x2＋ax＋3)ex 在(0，＋∞)内有
且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是
.
解：f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex，
(2)若函数 f(x)＝x3－ax2＋x＋1 在区间[½,3]上有极值点，则实数 a 的取值
32 范围是_____．
解：f′(x)=x2-ax+1
函数f(x)在区间[½ ,3]有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在
[½ ,3]内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a＜－2或a＞2.
例 2.(2019·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论 f(x)的单调性；
[解] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝a3.
若 a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若 a＞0
时，当
x∈(－∞，0)∪
a，＋∞ 3