平衡中的临界和极值问题

②、将物体以一初速度置于斜面上，如tg<μ，则物体减速，最后静止；如tgθ=μ，则物体保持匀速运动；如tgθ>μ，则物体做加速运动。

F 因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何

运动的一个条件。

练习：如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面

上，上表面水平。今在其上表面加一竖直向下的力F 。

则物体：

A、保持静止；

B、向下匀速运动；

C、向下加速运动；

D、三种情况都要可能。

【解答】A。

【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，

分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜

面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面

间动摩擦因数为μ（μ

要使物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围．

【解析】以B为研究对象，由平衡条件得

T=m B g

再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：

N=mgcosθ

T-f m-mgsinθ=0

f m=μN

或：T+f m-mgsinθ=0

f m=μN

综上所得，B的质量取值范围是：

m（sinθ-μcosθ）≤m B≤m(sinθ+μcosθ)

说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势．【例2】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠

竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，

用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面．

【解析】以球为研究对象，如图所示。有

N1sinθ=G

N1cosθ=N2

sinθ=(R-h)/R

再以整体为研究对象得：N2=F

即F=√h(2R-h)·G/(R-h)

说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统又平衡．

【例3】如图所示，重为G

面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ3，物体做匀速直线运动。求牵引力F 和方向角θ。

Fcos θ-μN=0 ① Fsin θ+N-G=0 ② 由①、②消去N 得：

F=μG ／(cos θ+μsin θ)

令tg φ=μ，则cos θ+μsin θ=√ ∴ F=

当θ=φ时，cos(θ-φ)取极大值1 F min = =G/2

tg φ=μ=1／√3 φ=300

∴ θ=300

的大小随θ的变化而变化，要求F 将N 与f 合成为一全反力R 。tg ΦN 变化会一个起f 变、R 变，但R 物体处于平衡状态，R 、F 、G 构成一封闭三角形。由图法可知，当F 最小。

此时，θ=Φ=arctg(1/√3)=300 F min =Gsin Φ=G/2

点评：解决多力平衡问题的一种方法。 摩擦角：tg φ=f/N=μ，φ称为摩擦角。不变的情况下，f 与N 但此合力的方向不变。

练习：如图，重为G 的木块，在力F μ，F 时，不论推力F 度。

()

φθμμ-+cos 12G 21μμ+G

【分析】F斜向下，可分解为竖直分力F1和水平分力F2。F1的作用是增大摩擦力f，F2使物体运动。如α较大，则F1较大，F2较小，增加的f大于F2，物体无法运动，产生“自锁”现象。只有α小于某一值时，才能推动木块。

【解】木块受力如图。

由平衡条体有：Fcos α=μ(G+Fsin α)

F=μG ／(cos α-μsin α)

其中tg φ=1/μ

∴ 当α=φ=arctg1/μ时，F →∞

三、能力训练

A 组

1．如图所示，平台重600N ，滑轮重不计，要使系统

保持静止，人重不能小于： （B ）

A ．150N

B ．200N

C ．300N

D ．600N

2、放在斜面上的物体，受到一个与斜面平行的外力作用，当这个外

力的大小分别为60N 和10N 时，物体都能保持匀速直线运动，当这个物体在取消上述外力作用后沿斜面自静止下滑时，则它受到摩擦力的大小可能是： （B ）

A ．35N

B ．25N

C ．10N

D ．0

3．如图所示，定滑轮光滑，货物质量为m ，滑轮离

地面高度为4m ，人拉绳处距地面lm ，若人对地面最大

静摩擦力为mg/2，则要匀速提升货物，人离货物的水平

距离应不大于______m ．

B 组

4．物体A 重为100N ，B 重为20N ，A 与水平面

最大静摩擦力为30N ，整个系统处于静止状态，如图

所示，这时A 受摩擦力大小为_____N 。如果逐渐增

大B 重量而保持系统静止，则B 的重力最大值为

______N ．

解：20N ，30N

5．如图所示，重20N 的物体静止在倾角为θ=300

的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧

连接，设物体所受最大静摩擦力为12N ，则弹簧的弹

力为（弹簧与外面平行）； （D ）

①可能为零

②可能为22N ，方向沿斜面向上 ())

sin(1sin cos cos sin 122αφμμαφαφμμ-+=-+=G G

③可能为2N，方向沿斜面向上

④可能为2N，方向沿斜面向下

A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④

【解析】先假设物体有向下滑的可能性，由平衡条件判得T=2N，向下；再假设物体有向上滑的可能性，由平衡条件判得T=22N，向上．