类比探究专题

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例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ．

（1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？

（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．

M

E

D

C

B

A

图2

A

B

C D

E M

图1

图3

A

B

C

D

E

M

例2 如图1，在ABC △中，AC BC =，120C ∠=︒，D 在BC 边上。

BDE

△为等边三角形，连接AE ，F 为AE 中点，连CF DF ，。

⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由； ⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90︒，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。

⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。

图1

A

B C D

E

F

F

D

C

B

A

E

图2

例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

G

C

F

A

F

A

图1 图2

例4 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．

（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

A

B

M

C

C

N

M

B

A

A

B

C

D

E

M

N

l

l

M

E

D

C

B

A

图1 图2 备用图 备用图

例5 在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠

EDB＝1

2∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

（1）当AB＝AC时（如图1），

①∠EBF＝_______°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当AB＝kAC时（如图2），求BE

FD的值（用含k

的式子表示）．

图1 图2

例6 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB 于点F，AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系．

（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系．

（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG 的数量关系．

（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．

C E

F

D A B G

图1

C

E

F

D A G 图2

E

F

D A

B

G

C 图3

例7 在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD=DP ．

（1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

图1

A

D N

P

E

C

B

M 图2

M B

C

E

P

N

D

A

图3

A D N

P

E

C

B

M

例8 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．

（1）求证：ABF COE △∽△； （2）如图2，当O 为AC 边中点，2AC

AB

=时，求

OF OE

的值；

（3）如图3，当O 为AC 边中点，

AC

n AB

=时，请直接写出

OF OE

的值．