2018年考研数学三真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
1.下列函数中，在0x =处不可导的是（）。

A.()sin()f x x x =
B.()f x x =
C.()cos()
f x x =
D.()f x =2.已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()1
0,=⎰f x dx 则
A.当()0'<f x 时，102⎛⎫
<
⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫
<
⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫<
⎪⎝⎭
f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<
⎪⎝⎭
f 3.设(
)
(2
22222
22
11,,1,1π
π
π
π
ππ-
--++=
==++⎰⎰⎰x x x
M dx N dx K dx x e 则A.>>M N K
B.>>M K N
C.>>K M N
D.>>K N M
4.设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则()
A.
()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D.()()
000Q C Q C Q '=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭相似的为
A.111011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则
——印校园考研
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
A.()().
r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.
r A B r A r B =， D.()().
T
T
r A B r A B =7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，
则{0}P X <=A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
8.已知12,,,n X X X 为来自总体2
~(,)X N μσ的简单随即样本，11n
i i X X n ==∑
，
*S S =
=
A.
)
~()X t n S μ-
B.
)
~(1)X t n S μ--
C.*
)
~()X t n S μ-
D.
*
)
~(1)X t n S μ--二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线2
()2ln f x x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.
10.
arcsin x e =⎰
____________.11.差分方程25x x y y ∆-=的解为__________________.
12.设函数()f x 满足()()2()()f x x f x xf x x o x +∆-=∆+∆，且(0)2f =，则(1)f =____.13.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，
2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.
14.已知事件,,A B C 相互独立，且1
()()()2
p A p B p C ===
，则(|)p AC A B ⋃=________.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.1
lim ()2x x ax b e x →+∞
⎡⎤
+-=⎢⎥⎣⎦
,求,a b
16.求
2
,D
x dxdy D ⎰⎰
由y =
与y =y 轴围成
17.一根绳长2m,截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小，并求该最小值。

18.已知2
1cos 2(1)n
n n x a x x ∞
=-=+∑，求n a 19.数列{}1
1,0,1,1,2,...n n x x n n x x x e e n +>=-=，证明数列{}n x 收敛，并求lim n
n x →∞
20.（本题满分11分）
设实二次型2
2
2
1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++，其中a 是参数。

（1）求123(,,)0f x x x =的解（2）求123(,,)f x x x 的规范形21.（本题满分11分）
已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭可经初等列变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭
（1）求a
（2）求满足AP B =的可逆矩阵P
22.已知随机变量,X Y 相互独立，且1
(1)(1),2
P X P X Y ===-=服从参数为λ的泊松分布，Z XY =。

（1）求(,)
Cou X Z （2）求Z 的分布律
23.已知总体X 的密度函数为1(,),2x
f x e x σ
σσ
-=-∞<<+∞
1,2,...n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，σ为大于0的参数，σ的最大似然估计量为σ
∧
（1）求σ
∧
（2）求,E D σσ
∧∧。