201x版中考数学复习第4课时分式

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九年级数学总复习课件：第4课时分式

2x 1
【思路点拨】要使分式值为零，则分子为零且分母不为零，即x+1=0且2x-1≠0，解出x的值即可.
【解析】由题意得x+1=0且2x-1≠0，解得x=
-1，且x≠
12 ，经检验，当x=-1时，
x 1 2x 1
=0.
针对演练
1. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义
的是（ D ）
A. 1 2x 1
为__零__的__条__件__是__x__=_0_.
考点二分式的运算（高频考点）
1. 分式的加减
(1)同分母分式相加减，分母④_不__变__，把
分子相加减，即 a ± b = a b（c≠0）.如： cc c
x x 1
-
x 1 x 1
1 =⑤_x___1__.
(2)异分母分式相加减，先⑥__通__分____，变
正确吗？为什么？
答错：误_._分__式__值__为__零__的__条__件__是__：__分__子__为__0_且_
分__母__不__为__0_，___则___x_2_-_2x=0 ①
_______
____________________x_2_-_4_≠_0___②__，________
由__①__得__：__x_=__0_或__x_=_2_,由__②__得__x_≠_±__2_,_∴__原__分__式__值_
第一部分教材知识梳理
第一单元数与式
第 4 课时分式
中考考点清单
考点一分式的概念和性质
一般地，如果A，B表示两个整式，
定义
并且B中含有字母，那么式子 A B 叫做分式
分式有意当B≠0时，分式AB才有意义，例
1

中考数学一轮总复习第4课时分式(无答案) 苏科版

第4课时：分式【课前预习】（一）知识梳理1、分式的有关概念：①定义；②分式有意义的条件；③分式的值为0的条件．2、分式的基本性质：①约分；②最简分式；③通分；④最简公分母．3、分式的运算：①分式的乘除；②分式的加减；③分式的混合运算．（二）课前练习1. 下列有理式: x 1，()12x y +，y x y x --22，π2,3-x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是____ _______________.2、当x 时，分式x x -2有意义，当x 为时，分式3212-++x x x 的值为零. 3、不改变分式的值，把分式b a b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.4、约分:222axy y ax =_ ____ ，32)()(x y y x --=___ __, 11222-+-x x x =____ ___. 5、分式245a b c ，2310c a b 与252b ac -的最简公分母为_________；分式11,122-+x x x 的最简公分母为_________. 6、计算① xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122= ； ② 1111--+x x = .【解题指导】例1 计算： (1)112---x x x (2) x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (3) )212(112a a a a a a +-+÷--例2 化简求值：①（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1， ②222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+，其中210x x +-=．③先化简211()1122x x x x -÷-+-，1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．例3、已知22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= ,B= .【巩固练习】 1.要使分式212x x x -+-的值为零，则x 的取值为（） A.x =1 B. x =－1 C. x ≠1且x ≠－2 D.无任何实数2.将分式y x xy -中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小23、计算：（1）)3()42()(-62322b a b a ab -÷-⋅ （2）222+-+y y y （3）)11(122b a b a b a -++÷-4、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x【课后作业】班级姓名一、必做题： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（）A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（）A ．b a -B ．a ba - C ．a ba + D ．b -4.化简22422b a a b b a +--的结果是（）A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a +5.计算22()ab a b -的结果是（）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.分式111(1)a a a +++的计算结果是（）A ．11a +B ．1a a +C ．1aD ．1a a +7.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x xx x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的8、当x 时，分式12x -无意义；若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于．9、化简： 22a aa += ；=---b a bb a a _____________.10、计算：①(12-a )÷(1a 1-) ②2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭11、先化简aa a a a -+-÷--2244)111( ，再选取一个适当的a 的值代入求值.二．选做题：1、 a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2、某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了小时完成任务(用含a 的代数式表示)．3、设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于． 4、（1）若3a b +=0，求22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭；（2已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．5、观察下列格式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，… （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________；（2）探究()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+…__________；（用含有n 的式子表示）（3）若()()111117133557212135n n ++++=⨯⨯⨯-+…，求n 的值.。

2025年九年级中考数学一轮复习备考+专题三分式+课件+

讲解一：分式及其性质
知识复习
一、分式的有关概念
1.分式：如果 A, B表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式.
B
2.分式 A 有意义的条件：分母不能为 0，即 B 0.
B
3.分式 A 的值为 0 的条件：A 0且 B 0.
B
4.分式与整式的区别是分母中是否含有字母.
知识复习一、分式的有关概念【注意】（1）分式的值为零是在分式有意义的前提条件下才可以考虑的，若使分子等于零的数使分母为零，则必须舍去.
值是（ B ）
A． 1
B． 0
C．1
D．2
解析：由分母不为零得： x2 1 0, x 1 ∵代数式 x 的值是 0∴ x 0,综上： x 0故选：B
x2 1
命题形式2 根据分式的值为0的条件求字母的值 3.（2024·山东济南·中考真题）若分式 x 1 的值为 0，则 x 的值
2x
是1 ．
二、分式的通分与最简公分母
【注意】（1）只有一个分母时，这个分母就是最简公分母；（2）分母互为相反数时，每个分母都可作为最简公分母；（3）若有能约分的分式，则应化简后再找最简公分母.
知识复习
二、分式的通分与最简公分母【拓展延伸】（1）约分和通分的联系：约分和通分都是依据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. （2）约分与通分的区别：① 约分是针对一个分式来说的，约分可使分式变得简单；② 通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.
是 x≠3 ．
解析：∵式子 1 有意义，∴ x 3 0 ，解得： x 3．
x3
故答案为： x 3．

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

初中数学复习第四讲——整式与分式

初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本局部，代数式分为整式和分式讨论。

在实数X围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。

二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包括符号〕；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

4.整式：单项式、多项式统称为整式。

5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

6.同类项：所含的字母一样，且一样的字母的指数也一样的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

合并同类项的法如此：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变〔合并同类项，法如此不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。

7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法如此和合并同类项来完成整式的加减运算。

去括号法如此：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。

〔括号前面是“+〞号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。

〕8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

m n m+n a a =a •.〔m 、n 都是正整数〕9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mn a =a .〔m 、n 都是正整数〕10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn n ab =a b .〔n 为正整数〕11.整式的乘法：〔1〕单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。

2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程

专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。

【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。

2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。

3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。

【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。

【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：1nn aa-=。

5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。

中考数学复习方案第4课时分式课件湘教版

第4课时分式
第4课时┃分式
考点聚焦
考点1 分式的概念
分
定义
形如____AB____(A、B是整式，B中含有字母，且B≠0)的式子叫作分式
式的概
有意义的条件
分母不为0
念
值为0
的条件
分子为0，但分母不为0
考点聚焦
归类示例
回归教材
中考预测
第4课时┃分式
考点2 分式的基本性质
分式的基本性质
AB＝AB××MM，
第4课时┃分式
分式的乘除
分式的乘方
乘法法则
除法法则
法则
公式
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的
积做积的分母，即ab×dc＝__ba_dc_____
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置
后，与被除式相乘，即ab÷dc＝__ab______× ____dc____＝abdc(b≠0, c≠0, d≠0)
中考预测
第4课时┃分式
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．
(2)分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零．
(3)分式的值为正数的条件是分子与分母同号；分式的值为负数的条件是分子与分母异号．分式的值为正(负)数经常与不等式组结合考查．
考点聚焦
归类示例
回归教材
中考预测
第4课时┃分式
► 类型之二分式的基本性质的运用
命题角度： 1. 利用分式的基本性质进行通分； 2. 利用分式的基本性质进行约分．
[2012·义乌] 下列计算错误的是( A )
A.00..27aa＋－bb＝27aa＋－bb
B.xx32yy23＝xy

中考数学课件：第4课时分式

加减法
异分母:先通分，再按同分母分式加减法法则进行运算
f u fv g v __g_v_
ug fv ug gv gv
乘法除法
两分式相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘分式A÷B等于A·1 , 然后用分式乘法法B则
进行运算
f ?u gv
f ×u g ×v
f ? u f ?v g v gu
化简：
a2 +a - 6 缸a2 +6a +9 2a2 - 8a +8 2a - 4
(a - 2).
原式
=
(a +3)(a - 2) 2(a - 2)2
缸(a +3)2 2(a - 2)
(a - 2)
··········第一步
a +3 (a +3)2
=
?
······················第二步
2(a - 2) 2
a +3
2
=
2(a -
? 2)
(a +3)2
······················第三步
=
1
(a - 2)(a +3)
····························第四步
上述解法是第__二___步开始出现错误的，请写出正确的解题过程：
解：原式
=
(a +3)(a - 2) 2(a - 2)2
5. 通分：把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
6. 最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
考点2 分式的运算(高频考点)

中考数学专题复习四--分式方程和不等式

中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）；（3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是且系数的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a <）；当0a <时，b x a <（或b x a>）；当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为。

中考数学复习课《分式方程》说课稿

中考数学复习课《分式方程》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明.一、说教材1.教材的地位和作用本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.2.教学目标（1）知识目标：①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题.②掌握解分式方程的验根方法.（2）能力目标：会用去分母法解分式方程，体会化归思想.（3）情感目标：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心.3.教学重点：分式方程的解法和列分式方程解决实际问题.4.教学难点：列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根．二、学情分析学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.三、教学策略1、说教法教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决．教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学.2.说学法本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥．四、说教学过程。

2024年中考数学复习-分式性质的拓展应用考点培优练习

分式性质的拓展应用考点培优练习考点直击1.分式定义：形如AB的式子叫分式，其中A，B是整式，且B中含有字母.(1) B=0时,分式无意义; B≠0时,分式有意义.(2) 分式的值为0:A=0,B≠0时,分式的值等于0.(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分.方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式.(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫作最简分式.分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式.(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫作分式的通分.(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积.(7)有理式：整式和分式统称有理式.2.分式的基本性质：(1)AB =A⋅MB⋅M(M是不为0的整式)；(2)AB =A÷MB÷M(M是不为0的整式)；(3)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.例题精讲例1若实数a，b，c满足条件1a +1b+1c=1a+b+c,则a,b,c中( )A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反的数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等【思路点拨】首先把等式去分母得到b²c+bc²+a²c+ac²+a²b+ab²+2abc=0，用分组分解法将上式左边分解因式得(a+b)(b+c)(a+c)=0,，从而得到a+b=0或b+c=0或a+c=0，根据相反数的定义即可选出选项.举一反三1 (湖北中考)已知分式x+y1−xy的值是a，如果用x，y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a，b ( )A. 相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为−1举一反三2 下列分式从左到右的变形一定正确的是 ( )A.b+xa+x =baB.b2a=b22abC.x−yx+y =y−xx+yD.−x−yx+y=−1举一反三3 要使1x+2=x−3x2−x−6成立，必须满足 ( )1A. x≠-2B.x≠−2且x≠3C. x≠3D.以上都不对例2 (南京统考)已知三个数x，y，z满足xyx+y =−2,yzy+z=43,xzx+z=−43,求xyzxy+yz+zx的值.【思路点拨】分式的分子是单项式，分母是多项式时，可以通过对等号两边同时取倒数来帮助运算.举一反三 4 已知代数式x⁴−x²+6x−8的值等于1，求代数式xx+1的值.举一反三5 已知xx2+x+1=13,求分式x2x4+x2+1的值.举一反三6 已知1x −1y=3,求分式2x−3xy−2yx−2xy−y的值.例3【探索】(1)若3x+4x+1=3+mx+1,则m=;(2) 若5x−3x+2=5+mx+2,则m= .【总结】若ax+bx+c =a+mx+c(其中a,b,c 为常数),则m=.【应用】利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值.举一反三7 已知x+1x =3,求x2x4+x2+1的值.11举一反三8 (西安统考)阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.在分式中，我们定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式；再如3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式).如x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1;再如x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+11=x+1+1x−1.解决下列问题：(1) 分式2x是 (填“真分式”或“假分式”)；(2)将假分式x−1x+2化为带分式：；(3)如果分式2x−1x+1的值为整数，那么整数x的值为 .过关检测基础夯实1.下列各式中2x ,a+2b2,a+bπ,a+1a,(x−1)(x+2)x+2,a+√bb，分式的个数是 ( )A. 2B. 3C.4D. 52.使分式x−1x2−3x+2有意义的x 的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x≠2C. x≠1且x≠2D.x可为任何数3.若分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0，则( )A. x=1或x=3B. x=3C. x=1D. x≠1且. x≠24.下列约分正确的是 ( )A.a9a3=a3 B.x+1x+1=0 C.x2+2x+1x+1=x+1 D.a2+b2a+b=a+b5.a5,n2m,12π,ab+1,a+b3,y5−1z中,分式有个.6.当分式1x−3有意义时，则 x 满足的条件是 .7.若分式x+1x−1的值为 0，则 x 的值是8.利用分式的基本性质填空：(1)3a5xy =()10axy(a≠0);(2)a+2a2−4=1().9.约分:(1)a3b3a2b+ab ;(2)x2−2x+1(x2+1)2−4x2.10. 通分: 2m−3,12(m+3).能力拓展11. 当分式62x−3的值为整数时，自然数x 的取值可能有 ( )A.3个B. 4个C.6 个D.8个12. 如果分式a2a+b中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值 ( ) A. 不变 B. 缩小 2倍C. 扩大 2倍D. 扩大 4 倍13. 设xyz≠0,且3x+2y—7z=0,7x+4y—15z=0,则4x2−5y2−6z2x2+2y2+3z2=¯.14.不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则a−23b12a+2b=15.x 取何值时，下列分式有意义：(1)x+22x−3;(2)6(x+3)|x|−12;(3)x+6x2+1.16. (1) 已知分式2x2−8x−2,x取何值时，分式的值为0?(2)x 为何值时,分式x2+23x−9的值为正数?17.已知实数a,b满足, 6ᵃ=2010,335ᵇ=2 010,求1a +1b的值.综合创新18. 设 a +b +c = abc(abc≠0),化简: a (1−b 2)(1−c 2)+b (1−c 2)(1−a 2)+c (1−a 2)(1−b )2aℎc= .19.若 x²+x −1=0,则x 4+(x−1)2−1x (x−1)的值为 .20.(舟山中考)给定下面一列分式(其中x≠ 0):x 3y,−x 5y2,x 7y3,−x 9y 4,⋯(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.4 分式性质的拓展应用【例题精讲】 1. B 解析: 1a+1b+1c=1a+b+c,去分母并整理得 b²c +bc²+a²c +ac²+a²b + ab²+2abc =0,即 (b²c +2abc +a²c )+(bc²+ac²)+(a²b +ab²)=0,∴c(a + b)²+c²(a +b )+ab (a +b )=0,(a +b ). (ac +bc +c²+ab )=0,(a +b )(b +c )⋅(a+c)=0,即a+b=0或b+c=0或a+c=0，则a ，b ，c 中必有两个数互为相反数.2. --4 解析：由已知条件可得x+y xy= −12,y+zyz=34,z+xzx=−34,即 1x+ 1y=−12,1y+1z=34,1z+1x=−34,三式相加得 2x+2y+2z=−12,∴1x+ 1y+1z=−14,∴xy+yz+zxxyz=−14, ∴xyz xy+yz+zx=−4.3.【探索】(1)1 (2)-13【总结】b-ac 【应用】x=2或x=0 解析：【探索】(1)将已知等式整理得3x+4x+1=3x+3+m x+1,即3x+4=3x+3+m,解得m=1;(2) 将已知等式整理得5x−3x+2=5x+10+m x+2,即5x-3=5x+10+m,解得:m=-13.【应用】4x−3x−1=4(x−1)+1x−1=4+1x−1,:x 为整数且4x−3x−1为整数,∴x-1=±1,∴x=21或x=0.【举一反三】1.B 解析：根据题意，用x ，y 的相反数代入这个分式,即 b =−x−y1−(−x )(−y )= −x+y 1−xy=−a,所以a ，b 互为相反数.2. D 解析:当a≠0且x=0时,等式才能成立，A 错误；当b≠0时，从左到右的变形才能成立，B 错误；分式从左不能变形到右,C 错误;−x−y x+y=−(x+y )x+y=−1,D 正确.3. B 解析:x+2≠0,解得x≠--2,又∵x²-x--6≠0,(x+2)(x -3)≠0,解得x≠-2且x≠3,则x≠-2且x≠3时,等式成立.4.7±√136解析： ∵x⁴−x²+6x −8=1, ∴x⁴−x²+6x −9=0,∴x⁴−(x −3)²= ,∴(x²+x −3)(x²−x +3)=0,∴x²+(x--3=0或 x²−x +3=0.当 x²−x +3=0时，方程无解；当 x²+x −3=0时,x=−1±√132.当 x =−1+√132时, xx+1=−1+√132−1+√132+1√131+√13= 7−√136;当 x =−1−√132时,xx+1=−1−√132−1−√132+1√131−√13=7+√136. 5. 13解析：由x x 2+x+1=13整理变形得1x+1+1x=13,从而得 x +1x=2.而 x 2+x 2x 4+x 2+1=1x 2+1+1x2,1x 2=(x +1x)2−2=2, 故x2x4+x2+1=13.6. 35解析：∵1x−1y=3,∴y−x=3xy,∴x−y=−3xy,∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2(x−y)+3xy(x−y)−2xy=2×(−3xy)+3xy−3xy−2xy=−3xy−5xy=35.7. 18解析：将x+1x=3两边同时乘x，得x2+1=3x,x2x4+x2+1=x2(x2+1)2−x2=x29x2−x2=18.8.(1) 真分式(2)1−3x+2(3)2或-4或0或-2解析：(3)2x−1x+1=2x+2−3x+1=2−3x+1.所以当x+1=3或-3或1或-1时，分式的值为整数.解得x=2或x=-4或x=0或x=-2.【过关检测】1. B 解析: a+2b2,a+bπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；a+√bb的分子不是整式，因此不是分式.2. C 解析: ∵x²−3x+2≠0即(x-1)(x-2)≠0,∴x-1≠0且x-2≠0,∴x≠1且x≠2.3. B 解析:∵分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0,∴x²−4x+3=0且(x--1)(x--2)≠0,∴x=3.4. C 解析:原式=a⁶,A错误;原式=1,B错误；该分式是最简分式，不需要约分，D错误.5.3 解析: n2m ,ab+1,y5−1z为分式.6. x≠3解析：由题意得x--3≠0，解得x≠3.7.-1 解析:由分式x+1x−1的值为0,得x+1=0且x-1≠0,解得x=-1.8.(1) 6a² (2)a-29.(1) 原式=a3b3ab(a+1)=a2b2a+1(2) 原式=(x−1)2(x2+1+2x)(x2+1−2x)=(x−1)2(x+1)2(x−1)2=1(x+1)210.2m−3=4(m+3)2(m+3)(m−3)12(m+3)=m−32(m+3)(m−3)11. B 解析:要使62x−3的值为整数，则2x-3只能取±1,±2,±3,±6,而x 是自然数,分析知2x-3可取±1或±3,对应得x为0,1,2,3.12. C 解析:∵分式a2a+b 中的a，b都同时扩大2倍, ∴(2a)22a+2b=2a2a+b,∴该分式的值扩大2倍.13.−116解析:∵xyz≠0,∴x≠0且y≠0且z≠0,{3x+2y−7z=0circle17x+4y−15z=0circle2②--①×2得7x-6x--15z+14z=0,∴x=z,将x=z代入①得3z+2y-7z=0,解得y=2x= 2z,原式=4z2−5×4z2−6z2z2+2×4z2+3z2=−22z212z2=−116.14.6a−4b3a+12b 解析a−23b12a+2b=6(a−23b)6(12a+2b)=6a−4b3a+12b.15.(1)x≠32(2)x≠±12 (3) x 为任意实数解析:(1)要使x+22x−3有意义,则2x-3≠0,解得x≠32.当x≠32时, x+22x−3有意义.(2)要使6(x+3)|x|−12有意义,则|x|-12≠0,解得x≠±12.当x≠±12时, 6(x+3)|x|−12有意义.(3)要使x+6x2+1有意义，则x²+1≠0.x为任意实数，x+6x2+1有意义.16.(1) -2 (2)x>3解析:(1)由2x2−8x−2=0,得2x²−8=0且x--2≠0,解得x=-2.当x=-2时,分式的值为0.(2)x2+23x−9的值为正数，得3x-9>0,解得x>3.当x>3时,分式x2+23x−9的值为正数.17. 1 解析: ∵6ᵃ=2010,335ᵇ=2010,∴6ᵃᵇ=2010ᵇ,335ᵃᵇ=2010ᵃ,∴6ᵃᵇ×335ᵃᵇ=2010ᵇ⁺ᵃ,(6×335)ᵃᵇ=2010ᵃ⁺ᵇ,∴ab=a+b,∴1a +1b=a+bab=1.18.4 解析:分子=a(1−b²−c²+b²c²)+b(1−c²−a²+a²c²)+c(1−a²−b²+a²b²)=(a+b+c)−ab(a+b)−bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc).∵a+b+c=abc,∴分子=abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)=abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)=abc+3abc=4abc.∴原式=4abcabc=4.19. 3 解析: ∵x²+x−1=0,∴x²=−(x−(1),x2+x=1,∴x4+(x−1)2−1x(x−1)=[−(x−1)]2+(x−1)2−1x(x−1)=2x2−4x+1x2+x−2x=2(1−x)−4x+11−2x=3(1−2x)1−2x=3.20.(1)任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y(2)观察这一列分式：①发现分母上是y¹,y²,y³,…,故第7 个式子的分母是y⁷.②发现分子上是x³, x⁵,x⁷,…,i故第7个式子的分子是：x¹⁵.③再观察符号，发现第偶数个分式为负，第奇数个分式为正.综上，第 7 个分式应该是x15y7.。

中考数学专题04分式与分式方程-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题04.分式与分式方程一、单选题1．（2021·河北中考真题）由1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c 时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <2．（2021·湖南中考真题）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm 的光刻机难题，其中1nm 0.000000001m =，则7nm 用科学记数法表示为（） A ．80.710m ⨯B ．8710m -⨯C ．80.710m -⨯D ．9710m -⨯3．（2021·四川眉山市·中考真题）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（） A ．1a +B ．1a a+ C ．1a a- D ．21a a + 4．（2021·天津中考真题）计算33a ba b a b---的结果是（） A ．3B ．33a b +C ．1D ．6aa b- 5．（2021·山东临沂市·中考真题）计算11()()a b b a-÷-的结果是（）A ．ab-B ．a bC ．b a-D ．b a6．（2021·江西中考真题）计算11a a a+-的结果为（） A ．1B ．1-C ．2a a+D ．2a a- 7．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（） A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．()21x +8．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分式方程3111x x x +=--的解是（） A ．1x =B ．2x =-C ．34x =D ．2x =9．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义12a b a b⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（）A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =10．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（） A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x += C ．10021003 1.5x x += D ．10010021.53x x =+11．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程21133x x x-+=--的解为（） A ．2x =B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-12．（2021·重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．5B ．8C ．12D ．1513．（2021·重庆中考真题）关于x 的分式方程331122ax x x x--+=--的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组32122y y y a-⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-14．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（） A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x⨯=⨯- 15．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时16．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <-17．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（） A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定18．（2020·四川广元市·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的=6M -，则输入的m 为（）A ．3B ．1C ．0D ．-119．（2020·四川成都市·中考真题）已知2x =是分式方程311k x x x -+=-的解，那么实数k 的值为（） A ．3B ．4C ．5D ．620．（2020·四川遂宁市·中考真题）关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣321．（2020·浙江金华市·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（） A ．5B ．5-C ．2-D ．222．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知1x =，1y =，那么代数式()32x xy x x y --的值是（）A ．2B C ．4D ．23．（2020·河北中考真题）若a b ，则下列分式化简正确的是（）A ．22a a b b +=+B ．22a a b b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b = 24．（2020·贵州贵阳市·中考真题）当1x =时，下列分式没有意义的是（） A ．1x x+ B ．1x x - C ．1x x- D ．1x x + 25．（2019·河北中考真题）如图，若x 为正整数，则表示()2221441x x x x +-+++的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④26．（2019·湖南娄底市·中考真题）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate 20系列、荣耀Magic 2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗()97110nm nm m -=手机芯片．7nm 用科学记数法表示为( ) A ．8710m -⨯B ．9710m -⨯C ．80.710m -⨯D ．10710m -⨯27．（2019·湖北孝感市·中考真题）已知二元一次方程组1249x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22222x xy y x y -+-的值是（） A ．5-B ．5C ．6-D ．628．（2019·北京中考真题）如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（） A ．-3B ．-1C ．1D ．329．（2019·四川中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时．则货车上、下山的平均速度为（）千米/时． A ．1()2a b + B ．aba b+ C ．2a bab+ D ．2aba b+ 30．（2019·湖南益阳市·中考真题）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．x+2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1)D ．x+2＝3(2x ﹣1)31．（2019·广东中考真题）定义一种新运算：1an n nbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（）A ．-2B ．25-C ．2D ．25二、填空题目32．（2021·四川资阳市·中考真题）若210x x +-=，则33x x-=_________． 33．（2021·四川南充市·中考真题）若3n m n m +=-，则2222m n n m+=_________ 34．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数，则整数a =___________． 35．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 36．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．37．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________．38．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 39．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为_____. 40．（2020·湖北黄冈市·中考真题）计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________．41．（2020·山东滨州市·中考真题）观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a =====，根据其中的规律可得n a =________（用含n 的式子表示）．42．（2020·山东济宁市·中考真题）已知m+n=-3.则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是____________． 43．（2019·江西中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向行驶车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：_____________________．三、解答题44．（2021·湖北随州市·中考真题）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x =．45．（2021·山东菏泽市·中考真题）先化简，再求值：22221244m n n m m n m mn n--+÷--+，其中m ，n 满足32m n =-．46．（2021·湖北宜昌市·中考真题）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值．47．（2021·四川达州市·中考真题）化简求值：231041244a a a a a --⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，其中a 与2，3构成三角形的三边，且a 为整数．48．（2021·湖南株洲市·中考真题）先化简，再求值：2223142x x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =．49．（2021·四川成都市·中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中3=a ．50．（2021·四川资阳市·中考真题）先化简，再求值：222211111x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中30x -=．51．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值．52．（2021·四川遂宁市·中考真题）先化简，再求值：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数．53．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：214111x x x +-=--．54．（2021·陕西中考真题）解方程：213111x x x --=+-．55．（2021·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．56．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A ，B 两种型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比B 型机平均每小时多运送20件，A 型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？57．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫--÷⎪++⎝⎭，其中2x =-．58．（2020·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：222y y x y x y ⎛⎫- ⎪--⎝⎭÷2x xy y +，其中x +1，y 1．59．（2020·山西中考真题）（1）计算：321(4)(41)2⎛⎫-⨯---+ ⎪⎝⎭（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++ 2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 第一步 32132(3)x x x x -+=-++ 第二步 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++ 第三步26(21)2(3)x x x --+=+ 第四步26212(3)x x x --+=+ 第五步526x =-+ 第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．60．（2020·四川乐山市·中考真题）已知2yx=，且x y≠，求()x yx y x y x y+÷-+-22211的值．61．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）解方程：24111 xx x-=--62．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100≈1.4≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？63．（2020·湖南郴州市·中考真题）解方程：24111x x x =+--64．（2020·陕西中考真题）解分式方程：2312x x x --=-．65．（2019·台湾中考真题）市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF ，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率1100%SPF SPF⨯=-，其中1SPF ．请回答下列问题：（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF 应标示为多少？（2）某防晒产品文宣内容如图所示．请根据SPF 与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．66．（2019·河南中考真题）先化简，再求值：22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =67．（2019·湖北鄂州市·中考真题）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．2222444424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭.68．（2019·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：()()3322x y x y x xy y +=+-+ ；立方差公式：()3322()x y x y x xy y -=-++ ；根据材料和已学知识，先化简，再求值：22332428x x x x x x ++---，其中3x =．69．（2019·浙江杭州市·中考真题）化简：242142x x x 圆圆的解答如下：2224214224242xx x x x x x x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.祝你考试成功!祝你考试成功!。

2024年九年级中考数学一轮复习课件第4课时分式(25张PPT)

2
,x , ,
1. 代数式 x, , 2
中，属于分式的是
5 π x 4
3 x x2
（ B ）
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.下列分式变形中，正确的是（ C ）
a a 3
a a3
a 3a
A.
B.
C.
b 3b
b b3
b b3
2
a a
D. 2
b b
mn
3.若把分式
a 3, b 1 .
六、分式化简求值
a 2b

a

2
b
a

b
解：原式

a b a 2b a b a b
2
a 2b a 2b

ab
ab
4b

,
ab
4
把 a 3, b 1 代入原式
=1.
3 1
基础提升
2 1
2
2 1 x 1
1
x2
x4
1 x
2
2

10.化简:
.
x 4 x 4x 4 x 2x
x4
六、分式化简求值
第一步:将括号内的异分母分式通分为同分母分式,分子合并同
类项,把括号去掉,简称去括号;
第二步:将分式中除号(÷)后面的除式分子分母颠倒,并把这个
式子前的“÷”变为“×”或“·”,简称除式变乘式;
第三步:计算分式乘法,将分式中的多项式因式分解再约去相同
因式;
六、分式化简求值
第四步:最后按照式子顺序,从左到右计算分式加减法,直到化

2024年全国各省市数学中考真题汇编专题4分式与分式方程(34题)含详解

专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x x x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -⎛⎫+÷ --+⎝⎭，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a aa a -+⎛⎫-÷⎪-⎝⎭，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224xx x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xx x x -⎛⎫+-÷+⎪+-⎝⎭，其中72x =-．专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=【答案】A【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘26x -，得()()152626263126x x x x x---⨯=-⨯---，整理可得：2625x -+=-故选：A ．2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．4【答案】C【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．根据零指数幂的运算性质进行计算即可．【详解】解：原式0(2)1=-=．故选：C ．3．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=D ．60601202x x -=【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度为()20km /h x +，根据题意可得：60601202x x -=+．故选：A ．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程12x =的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】4x ≠【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于0，∴40x -≠∴4x ≠．故答案为：4x ≠．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程1x 2=-的解为．【答案】x 3=【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程2x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()1321x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式1x -有意义的x 的取值范围是．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1.故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：11a a +-=++．【答案】118．（2024·江苏常州·中考真题）计算：11x x +=．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：212x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：21369x x x -⎛⎫+÷ ，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价0.3元/度【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为x 元/度，则峰时电价()0.2x +元/度，根据题意列出分式方24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：21121x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：22x x -，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x ⎛⎫-÷ ⎪．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，∵AB 与AD 的比是16:10，∴1.24160.8210a a +=+，解得：0.1a =，经检验0.1a =是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：2224x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】41x +，当1x =时，原式2=．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．【详解】解：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()()()()()()2212222x x x x x x x x x x +--+=÷-+-+()()()()()222222221x x x x x x x x x x -++-+=⋅-++()()()()()224221x x x x x x x -+=⋅-++41x =+，∵分式要有意义，∴()()()22010x x x x ⎧+-≠⎪⎨+≠⎪⎩，33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22324x x x -⎛⎫+-÷+ ⎪，其中2x =-．。

专题04分式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)

中考数学一轮复习学案04 分式考点课标要求考查角度1分式的概念①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；②会求分式值为零时x的值．考查分式的意义和分式值为零的情况．常以选择、填空题为主．2分式的运算①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．考查分式的基本性质和分式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．三个条件缺一不可：①是形如AB的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．特别说明：11aa-+也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合AB的形式．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，4aa就是分式．2．有意义的条件：分母B的值不为零(B≠0).3. 分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)【例1】（2022•怀化）代数式25x，1π，224x+，223x-，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】分式的定义【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式AB叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：22 4x+，1x，12xx++，整式有：25x，1π，223x-，分式有3个，故选：B．知识点1：分式的相关概念知识点梳理典型例题【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字．【例2】（2022•凉山州）分式13x+有意义的条件是（） A ．x ＝－3B ．x ≠－3C ．x ≠3D ．x ≠0【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3＋x ≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得： 3＋x ≠0， ∴x ≠－3，故选：B ．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【例3】（2022•广西）当x ＝时，分式22xx +的值为零．【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x ＋2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x ＋2≠0， ∴x ＝0且x ≠－2， ∴当x ＝0时，分式22xx +的值为零，故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．1．分式的基本性质：A A MB B M⨯=⨯，A A M B B M ÷=÷ （M 为不等于零的整式）． 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．知识点2：分式的基本性质知识点梳理3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．6. 变号法则：A A A AB B B B--=-=-=--．【例4】（3分）（2020•河北7/26）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（）A ．22a a b b+=+ B ．22a ab b-=- C ．22a ab b= D ．1212aa b b = 【考点】分式的基本性质【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵a ≠b ， ∴22a ab b+≠+，故选项A 错误； 22a ab b-≠-，故选项B 错误； 22a ab b≠，故选项C 错误； 1212aa b b =，故选项D 正确；故选：D ．【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【例5】若把分式3xyx y-（x ，y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（） A ．扩大3倍 B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的16典型例题【分析】若把分式3xyx y-（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．【答案】A．【例6】下列分式变形中，正确的是（）A．22a ba ba b+=++B．1x yx y-+=-+C．a amb bm=D．32()()n mn mm n-=--【例7】约分：2332415a ba b-=（）A．85baB．285ba-C．85ba-D．283ab11112242222(2)(2)(2)(2)x x B x x x x x x x x ---=+=-==-+-+-+-+-，故A ＝-B. 【答案】C ．1．分式的乘除法：（1）乘法法则：(0)a c acbd b d bd=≠；（2）除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc .(bcd ≠0)2．分式的加减法：（1）同分母分式相加减：a b a bc c c±±=(c ≠0) （2）异分母分式相加减：a b ±c d ＝ad ±bcbd.(bd ≠0)3. 分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (n 为整数，b ≠0)4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．【例9】（2022•济南）若m －n ＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（） A ．－2B ．2C ．－4D ．4【考点】分式的乘除法【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m －n 的值代入计算即可．【解答】解：原式()()2m n m n mm m n+-=⋅+ ＝2(m －n )．知识点3：分式的运算知识点梳理典型例题当m －n ＝2时．原式＝2×2＝4．故选：D ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．【例10】（2022•山西）化简21639a a ---的结果是（） A ．13a + B ．a －3 C ．a ＋3 D ．13a - 【考点】分式的加减法【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．【解答】解：21639a a --- 36(3)(3)(3)(3)a a a a a +=-+-+- 36(3)(3)a a a +-=+-3(3)(3)a a a -=+-13a =+，故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．【例11】（3分）（2021•包头14/26）化简：2211()422m m m m +÷=--+ ．【考点】分式的混合运算【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：原式2(2)(2)(2)(2)m m m m m -+=⋅++-2=12m m -=-．故答案为1．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【例12】（5分）（2021•重庆B 卷19（2）/26）计算：22293()211x x x x x x --÷++++．【考点】分式的混合运算【分析】先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：原式222(3)(3)3()(1)11x x x x x x x x +-+-=÷++++2(3)(3)3(1)1x x x x x +-+=÷++ 2(3)(3)1(1)3x x x x x +-+=⋅++ 31x x -=+．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．【例13】（6分）（2020•安徽17/23）观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-．第5个等式：921(1)2755⨯+=-．⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明．【考点】规律型：数字的变化类；列代数式【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n 表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【解答】解：（1）第6个等式：1121(1)2866⨯+=-；（2）猜想的第n 个等式：2121(1)22n n n n-⨯+=-+．证明：∵左边21221122n n n n n n n-+-=⨯==-=+右边， ∴等式成立．故答案为：1121(1)2866⨯+=-；2121(1)22n n n n-⨯+=-+．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．1. 分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．2. 分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．【例14】（2022•内蒙古）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x -+--÷--，其中x ＝3．【考点】分式的化简求值【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可．【解答】解：原式223(1)11(2)x x x x ---=⋅-- 2(2)(2)11(2)x x x x x +--=-⋅-- 22x x +=--，当x ＝3时，原式3232+=-- ＝－5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．【例15】（2022•菏泽）若a 2－2a －15＝0，则代数式244()2a a aa a --⋅-的值是．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．知识点4：分式的化简求值知识点梳理典型例题【解答】解：244()2a a a a a --⋅- 22442a a a a a -+=⋅- 22(2)2a a a a -=⋅- 22a a =-，∵a 2－2a －15＝0， ∴a 2－2a ＝15， ∴原式＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【例16】（2022•黄石）先化简，再求值：2269(1)11a a a a +++÷++，从－3，－1，2中选择合适的a 的值代入求值．【考点】分式的化简求值【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式23(3)11a a a a ++=÷++ 2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，由分式有意义的条件可知：a 不能取－1，－3，故a ＝2，原式11235==+．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例17】（3分）（2019·河北省13/26）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1+441x x x x +-++的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【考点】分式的加减法，化简求值．【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解：∵22(2)+44x x x ++﹣11x +＝22(2)(2)x x ++﹣11x +＝1﹣11x +＝1x x +又∵x 为正整数，∴12≤1xx +＜1 故表示22(2)+44x x x ++﹣11x +的值的点落在②故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅= 巩固训练C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a ba- C ．aa b+ D ．224aa b -7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )AB ．CD ．10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是． 11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是． 12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是． 13．（2022•襄阳）化简分式：ma mba b a b+=++ ． 14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- ． 15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = ．16．（2022•包头）计算：222a b aba b a b -+=-- ． 17．（2022•苏州）化简2222x xx x ---的结果是． 18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ ．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ ． 20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= ．21．（2022•黔西南州）计算：2x y yx y x y+-=-- ． 22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是． 23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- ． 24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- ． 25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x --⋅=+ ．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ ．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+． 29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-． 30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--；（2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+（2）22244(1)x x x x +++÷．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是． ②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 38．（2022•南通）（1）计算：22242a a aa a a -⋅+-+；（2）解不等式组：211418x x x x ->+⎧⎨-+⎩．39．（2022•西藏）计算：222242a a a a a a +⋅---． 40．（2022•兰州）计算：21()(1)x x x x ++÷．41．（2022•大连）计算：2224214424x x x x x x x -+÷--+-．42．（2022•十堰）计算：2222()a b b aba a a--÷+．43．（2022•常德）化简：231(1)22a a a a a +--+÷++． 44．（2022•陕西）化简：212(1)11a aa a ++÷--． 45．（2022•泰安）（1）化简：244(2)24a a a a ---÷--；（2）解不等式：5231234x x -+->． 46．（2022•江西）以下是某同学化简分式2113()x +-÷的部分运算过程：（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．47．（2022•甘肃）化简：22(3)3322x x x x x x ++÷-++．48．（2022•泸州）化简：22311(1)m m m m m-+-+÷． 49．（2022•重庆）计算：（1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．50．（2022•阜新）先化简，再求值：22691(1)22a a a a a -+÷---，其中4a =．51．（2022•辽宁）先化简，再求值：22221124()11x x x x x x x -+--÷-++，其中6x =． 52．（2022•福建）先化简，再求值：211(1)a a a-+÷，其中21a =+．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A ．222()2a b a ab b -=-+，故A 选项错误，不符合题意；2.(1)11B -==，故B 选项正确，符合题意；C ．1111a a a a a÷⋅=⨯=，故C 选项错误，不符合题意； D ．233611()28ab a b -=-，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算． 2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．【解答】解：原式112a a ++=+ 22a a +=+ 1=．故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．巩固训练解析3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可．【解答】解：422a a +-+ 24422a a a -=+++ 22a a =+．故选：B ．【点评】本题考查了分式的加减法，把2a -看成分母是1的分数进行通分是解题的关键． 4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的基本性质，把等式111()v f f u v=+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【解答】解：111()v f f u v=+≠， 111f u v =+， 111u f v =-， 1v fu fv -=， fvu v f=-．故选：C ．【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅=C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=【考点】合并同类项；分式的混合运算【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可．【解答】解：3332a a a +=，故A 错误，不符合题意； 2111aa b a b b b b÷⋅=⋅⋅=，故B 错误，不符合题意； 22222(1)21111a a a a a a a ---===----，故C 正确，符合题意； 3326()b b a a=，故D 错误，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a b a- C ．aa b+ D ．224aa b- 【考点】分式的混合运算【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+，再根据分式的运算法则进行计算即可；【解答】解：11()a b a b +÷+-★2a b=+， ∴被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+ ()()2a b a b a ba b a b -+++=⋅+- 212a a b =⋅- aa b=-；故选：A ．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②【考点】数轴；分式的化简求值【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．【解答】解：原式22(2)(2)2(2)x x x x x +-=-++ 2222x x x x -=-++ 2(2)2x x x --=+222x x x -+=+22x x +=+ 1=，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】分式的化简求值【分析】根据x 和y 互为倒数可得1xy =，再将11()(2)x y y x+-进行化简，将1xy =代入即可求值．【解答】解：x 和y 互为倒数，1xy ∴=， 11()(2)x y y x +-1212xy xy=-+-21121=⨯-+- 2121=-+-2=．故选：B ．【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．9．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )A B ．C D ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由223a b ab +=，得出2()5a b ab +=，2()a b ab -=，由0a b >>，得出a b +a b -=可得出答案．【解答】解：2221111()()a b a b+÷-2222222()a b b a a b a b +-=÷ 22222()()()a b a b a b b a b a +=⋅+- a ba b+=--， 223a b ab +=，2()5a b ab ∴+=，2()a b ab -=， 0a b >>，a b ∴+a b -=a b a b +∴-===-，故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键． 10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 2x ≠ ．【考点】分式有意义的条件【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．【解答】解：分母不等于0，分式有意义，20x ∴-≠，解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 1x ≠ ．【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件可知10x -≠，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：10x -≠，解得：1x ≠，故答案为：1x ≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 2 ．【考点】分式的值【分析】把1a =代入分式计算即可求出值．【解答】解：当1a =时，原式1121+==．故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022•襄阳）化简分式：ma mb a b a b+=++ m ．【考点】分式的加减法【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式ma mb a b +=+ ()m a b a b +=+ m =，故答案为：m ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- 2 ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式221a a -=- 2(1)1a a -=- 2=．故答案为：2【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = 201182．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：13111311123222212a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 25511131234242212222a ===⨯+-⨯⨯⨯++； 37711131345602331232a ===⨯+-⨯⨯⨯++； ⋯，2111131(1)(2)2122n n a n n n n n n +==⨯+-⨯++++，当12n =时，原式11111113111(1...)(...)(...)22312231323414=++++++++-⨯+++ 201182=，故答案为：201182．【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．16．（2022•包头）计算：222a b ab a b a b-+=-- a b - ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．【解答】解：原式222a ab b a b-+=- 2()a b a b-=- a b =-，故答案为：a b -．【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．17．（2022•苏州）化简2222x x x x ---的结果是 x ．【考点】分式的加减法【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．【解答】解：原式222x x x -=- (2)2x x x -=- x =．故答案为：x ．【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ 2 ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++ 242a a +=+ 2(2)2a a +=+ 2=，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ 1 ．【考点】分式的加减法【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式532x x +-=+ 22x x +=+ 1=．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= 2 ．【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．【解答】解：原式22x xy xy x xy++-=， 2xy xy=， 2=．故答案为：2．【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．21．（2022•黔西南州）计算：2x y y x y x y+-=-- 1 ．【考点】分式的加减法【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．【解答】解：原式2x y y x y +-=- x y x y -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 13x + ．【考点】分式的加减法【分析】先通分，再加减．【解答】解：原式23(3)(3)(3)(3)x x x x x x +=-+-+- 23(3)(3)x x x x --=+-3(3)(3)x x x -=+- 13x =+．故答案为：13x +．【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- 2- ．【考点】分式的加减法【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．【解答】解：原式2211x x x =--- 221x x -=- 2(1)1x x --=- 2=-，故答案为：2-．【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- 1 ．【考点】分式的加减法【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x--⋅=+ 1x - ．【考点】分式的混合运算【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：211(1)1x x x--⋅+11(1)(1)1x x x x x +-+-=⋅+ (1)(1)1x x x x x+-=⋅+ 1x =-，故答案为：1x -．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ 2a a + ．【考点】分式的混合运算【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：223424432a a a a a a --⋅+++-+ 23(2)(2)2(2)32a a a a a a -+-=⋅++-+ 2222a a a -=+++ 2a a =+，故答案为：2a a +．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．【考点】合并同类项；分式的化简求值【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为1-，求出相应的x 的值即可．【解答】解：314x x -+-344x x x -+-=- 14x=-，当114x =--时，可得5x =，检验：当5x =时，40x -≠，∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+．【考点】分式的加减法；因式分解-运用公式法【分析】（1）应用因式分解-运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．【解答】解（1）21(1)(1)a a a -=-+；（2）21111211111a a a a a a -+=+=-++++．【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解-运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解-运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-．【考点】有理数的混合运算；分式的加减法【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．【解答】解：（1）原式9128()466=-⨯⨯- 91846=⨯⨯3=；（2）原式1(1)(1)(1)x x x x --+=+- 221x -=- 221x =-．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n 的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：1111(1)n n n n =+++；（2）111(1)n n n +++ 1(1)(1)n n n n n =+++ 1(1)n n n +=+ 1n=， ∴1111(1)n n n n =+++．【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．【考点】分式的加减法【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．【解答】解：原式213(1)(1)(1)(1)x x x x x x x +-=++-+- 221(1)(1)x x x x -+=+- 2(1)(1)(1)x x x -=+-11x x -=+．【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-．【考点】单项式乘多项式；平方差公式；分式的加减法【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）()()(2)x y x y y y +-+-2222x y y y =-+-22x y =-；（2）原式22(2)2(2)(2)m m m m m m +--=÷+-+ 2222m m m +=⋅+- 22m =-．【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--；（2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．【考点】解二元一次方程组；分式的混合运算【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【解答】解：（1）52(2)23m m m m -+-⋅-- 245223m m m m ---=⋅-- (3)(3)223m m m m m -+-=⋅-- 3m =+；（2）43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ②2⨯得：4106x y -=-③，①-③得：99y =，解得1y =，把1y =代入①得：413x -=，解得1x =，故原方程组的解是：11x y =⎧⎨=⎩．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--．【考点】零指数幂；分式的混合运算；实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．【解答】解：（1）原式5121=+-⨯512=+-4=；（2）原式(3)(3)3a a a a a =÷+-- 3(3)(3)a a a a a -=⨯+- 13a =+．【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+ （2）22244(1)x x x x +++÷．【考点】负整数指数幂；实数的运算；分式的混合运算【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）202211(1)3|()3--+-1333=++4=；（2）22244(1)x x x x +++÷ 222(2)x x x x +=⋅+ 2x x =+．【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；（2）利用分式的混合运算来做即可．【解答】解：（1）原式211=-=（2）原式211()()a a a a a a=-÷- 211a a a a -=⨯- 1(1)(1)a a a -=-+ 11a =+．【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步 22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点】分式的混合运算；通分【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅-- 22242x x x x -+-=⋅- 22(2)(2)2x x x -=⋅+- 12x =+．【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．38．（2022•南通）（1）计算：22242a a a a a a -⋅+-+；。

百色市中考数学《第4课时：分式》精讲精练

第4课时分式百色中考命题规律与预测近五年中考考情中考预测年份考查点题型题号分值预计将很可能在选择、填空题中考查分式的有关概念及运算，也会在解答题中考查分式的化简求值，与“解方程与不等式”轮流考查.分式的化简求值：整体代入求值解答题20 6分分式有意义的条件填空题139分分式的化简求值：整体代入求值解答题20未单独考查分式的化简选择题11 3分最简公分母选择题89分分式的化简求值：给定值求值解答题20百色中考考题感知与试做分式的有关概念1.（·百色中考）若分式1x－2有意义，则x的取值范围是x≠2Ｗ.2.（·百色中考）下列三个分式12x2，5x－14（m－n），3x的最简公分母是（ D ）A.4（m－n）xB.2（m－n）x2C.14x2（m－n）D.4（m－n）x2分式的化简求值3.（·百色中考）已知a2＝19，求2a＋1－2aa2－1－118的值.解：∵a2＝19，∴2a＋1－2aa2－1－118＝2（a－1）－2aa2－1－118＝－2a2－1－118＝－219－1－118＝－16.核心考点解读分式的有关概念1.分式：形如AB（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式，其中A叫分子，B叫分母.2.（1）分式AB无意义时，B ＝0 ；（2）分式AB有意义时，B ≠0；（3）分式AB的值为零时，A ＝0 且B ≠0；（4）分式AB的值为正时，A，B 同号，即{A>0，B＞0或{A<0，B ＜0；（5）分式A B 的值为负时，A ，B 异号，即{A>0，B ＜ 0或{A<0，B ＞ 0. 3.最简分式：分子与分母只有公因式 1 的分式. 4.有理式：整式和分式统称为有理式. 分式的基本性质5.分式的基本性质：a·m b·m ＝ a b ，a÷m b÷m ＝ a b（a ，b 是整式，且m ≠0）. 6.通分的关键是确定几个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子、分母的最大公因式 .分式的运算7.分式的运算法则（1）分式的加减：b a ±c a ＝ b±c a， b a ±d c ＝ bc±ad acＷ. （2）分式的乘除：b a ·d c ＝ bd ac ，b a ÷d c ＝ bc adＷ. （3）分式的乘方：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝（ab －1）n ＝ a n b n Ｗ. 8.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算括号里面的.分式运算的结果要化成整式或最简分式.【方法点拨】1.分式化简的一般步骤：（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；（2）除法转化为乘法；（3）分子、分母能因式分解的先分解因式；（4）约分；（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母；②分子合并同类项；（6）得出代数式.2.分式化简求值是在分式化简的基础上，代入数字求代数式的值.特别强调：不要把分式的化简与解分式方程的变形弄混淆，不能将分母去掉.1.（·武汉中考）若分式5x ＋2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ D ） A.x ＞－2 B.x ＜－2C.x ＝－2D.x ≠－22.（·百色中考适应性演练）若分式x －1x ＋1的值等于0，则x ＝（ D ） A.±1 B.－1 C.0 D.13.（·百色中考）化简2x x 2＋2x －x －6x 2－4的结果为（ C ） A.1x 2－4 B.1x 2＋2x C.1x －2 D.x －6x －24.（·贵港中考）若分式2x ＋1的值不存在，则x 的值为－1 Ｗ.5.（·百色中考）先化简，再求值：2a －2b a 2－2ab ＋b 2＋1a －b ，其中a ＝2－1，b ＝ 2.解：原式＝2（a －b ）（a －b ）2＋1a －b＝2a －b ＋1a －b ＝3a －b. 当a ＝2－1，b ＝2时，原式＝32－1－2＝－3.典题精讲精练分式的有关概念例1 若分式x ＋12－x有意义，则x 满足的条件是（ C ） A.x ≠－1 B.x ≠－2C.x ≠2D.x ≠－1且x≠2【解析】根据分式有意义即分母不等于0，列不等式求解即可.由题意，得2－x≠0，解得x≠2.【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零.分式的运算与求值例2 （·百色中考）已知a ＝b ＋2 018，求代数式2a －b ·a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2÷1a 2－b2的值. 【解析】先根据分式的乘除法则把原式进行化简，再把a ＝b ＋2 018变形整体代入进行计算即可.【解答】解：原式＝2a －b ·（a －b ）（a ＋b ）（a ＋b ）2·（a －b ）（a ＋b ）＝2（a －b ）.∵a ＝b ＋2 018，∴a －b ＝2 018，∴原式＝2×2 018＝4 036. ,1.（·宁波中考）要使分式1x －1有意义，x 的取值应满足 x≠1 Ｗ.2.（·桂林中考）若分式x 2－4x ＋2的值为0，则x 的值为（ C ） A.－2 B.0 C.2 D.±23.下列分式中，最简分式是（ C ）A.x 2＋xy x 2＋2xy ＋y 2 B.2x ＋8x 2－16C.x 2＋1x 2－1D.x 2－9x 2＋6x ＋94.（·百色中考）当a ＝2 014时，求a 2＋2a a －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a －1的值. 解：原式＝a （a ＋2）a －1÷a 2a －1＝a （a ＋2）a －1·a －1a 2 ＝a ＋2a . 当a ＝2 014时，原式＝2 0162 014＝1 0081 007. 5.（·眉山中考）先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）÷x （2x －1）（x ＋1）2＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2. ∵x 2－2x －2＝0， ∴x 2＝2x ＋2＝2（x ＋1），则原式＝x ＋12（x ＋1）＝12.请完成精练本第5页作业。

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2019版中考数学复习第4课时分式
【课前展练】
1．代数式21,,,13x x a x x x π+
中，分式的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2. 当x ______时，分式11
x x +-有意义；当x ＝______时，分式2x x x -的值为0． 3．化简216312
m m --得；当1m =-时，原式的值为。

4. 若分式2ab a b
+的a ,b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（） A .是原来的20倍 B. 是原来的10倍 C.是原来的
110倍 D .不变 5.计算()21111m m m
+÷•--的结果是 . 【要点提示】
理解分式的概念，会运用分式的基本性质进行分式的加、减、乘、除、乘方运算。

【考点梳理】
1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称 A B
为分式．若B≠0，则 A B 有意义；若 B=0，则 A B 无意义；若 A=0且B≠0，则 A B
＝0. 2．分式的基本性质：,(0)A A M A A M M B B M B B M
⨯÷==⨯÷其中是不等于的整式 3. 约分：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程叫做分式的通分.
5．分式的运算
（1）乘法法则：
a c ac
b d bd
•= （2）除法法则：a c a d ad b d b c bc ÷=•=
（3）分式的乘方：()n
n n a a n b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正整数（4）加减法法则：① 同分母的分式相加减
② 异分母的分式相加减
（5）分式的混合运算
【典型例题】
例1 （1）当x 时，分式x
-13无意义；（2）当x 时，分式3
92--x x 的值为零例2 已知分式235x x x a
--+，当2x =时，分式无意义，则a = ;当 6a <时，使分式无意义的x 的值共有个。

例3 先化简，再求值：
(1)（
212x x -－2144x x -+）÷222x x
-，其中x ＝1．
⑵ ()()22
22,2, 1.y x y x x y x y x y x y x y
--++÷==--+其中
例4 已知22
34460,111x x x x x x x x -+⎛⎫+-=+-÷ ⎪--⎝⎭满足方程求的值。

例5 若2310
x x
-+=，则
2
421
x
x x
++
的值为。

【小结】本节主要考查分式的运算，分式的运算应运用分式的基本性质进行化简，运算时尽量将分子、分母分解因式，便于约分或通分，结果要化成最简分式。

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201x版中考数学复习 第4课时 分式