人教A版选修2-2(一) 变化率问题、导数的概念作业
人教版高中数学选修2-2第一章1.1变化率与导数习题
2014年新田一中选修2-2课后作业（一）班级___________姓名___________学号___________1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )．A．4B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)22．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )．A．4B．4.1C．0.41D．33．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为( )．A．－4.8m/s B．－0.88m/sC．0.88m/s D．4.8m/s4．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )．A．0.40B．0.41C．0.43D．0.445．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于( )．A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)6．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．8．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．9．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．10．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )．A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )．A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )．A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s解析 物体运动在1.2s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A4．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．已知函数y ＝2x，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝13. 答案136．利用导数的定义，求函数y ＝1x2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx(x ＋Δx )2·x 2， ∴y ′＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x3，∴y′|x＝1＝－2.综合提高(限时25分钟)7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )．A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41.答案 B8．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于( )．A．f′(1) B．3f′(1)C.13f′(1) D．f′(3)解析根据导数的定义：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)，lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13f′(1)．答案 C9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．解析v初＝s′|t＝0＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.答案 310．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t＋Δt)－vt0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.答案相等11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解运动方程为s＝12at2.∵Δs＝12a(t＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝at0.由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，故at0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：课时作业1变化率问题 导数的概念含解析
7。已知函数y＝2x2－1图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于________。
解析： ＝ ＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
8。已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝ 处瞬时变化率是________。
解析：∵ ＝ ＝－Δx－3，
∴li ＝－3.
答案：－3
三、解答题(每小题10分，共20分)
所以 ＝ ＝ .
答案：A
4。某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋ (t单位是秒，s单位是米)，则它在4秒末瞬时速度为()
A. 米/秒B. 米/秒
C。8米/秒D. 米/秒
解析：∵ ＝
＝ ＝Δt＋8－ .
∴li ＝8－ ＝ .
答案：B
5。若f(x)在x＝x0处存在导数，则li ()
A。与x0，h都有关
9。求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近平均变化率。
解析：设自变量x在x＝2附近变化量为Δx，则y变化量Δy＝[(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋1]－(22－4＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
所以，平均变化率 ＝ ＝Δx＋2.
10。一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3 s时瞬时速度。
C。3 D。－3
解析：∵f′(1)＝li
＝li ＝a.
∵f′(1)＝3，∴a＝3.故选C.
答案：C
12。已知f(x)在x＝x0处导数为4，则li ＝________.
解析：li
＝li
＝2li
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
答案：8
13。已知s(t)＝5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒平均速度；
人教A版选修2-2 变化率与导数 课时作业
人教A 版选修2-2 变化率与导数 课时作业1.已知()f x 为可导函数，且)4(2f '=，则02()l )i (2mh f h f h h→--+=A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】B2.如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f +'=A ．12B ．1C ．2D ．0【答案】C【解析】易知(5)583f =-+=．由导数的几何意义知(5)1f '=-．故(5)(5)312f f +'=-=．故选C ．3.已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则yx∆∆等于 A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ．24()x x ∆+∆【答案】B【解析】因为2()21f x x =-，所以22(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =，则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故选B ．4.已知曲线2()y f x x ==在点P 处的切线斜率为k ，则当2k =时，点P 的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(1,1)D ．11(,)28--【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．5.已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为________________． 【答案】2【解析】由平均变化率的定义得(2)(0)512202f f --==-．6.若函数()f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y x =+，则000))lim((x f x f x x x∆→--∆=∆________________．【答案】2【解析】由题意可得0000(())lim ()2x f x f x x f x x ∆→--'∆==∆．7.设函数()f x 满足0(1)(1)lim1x f f x x→-+=-，则(1)f '=________________． 【答案】1【解析】由题意可得0(1)(1)(1)lim1x f x f f x→+-'==．8.曲线2()f x x=在点(2,1)--处的切线方程为________________． 【答案】240x y ++=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知21()2s t gt =，其中g ＝10m/s 2． （1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t ＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m /s)；（2）30.05(m /s)；（3）30(m /s)． 【解析】（1） 3.130.1(s)t ∆=-=，2211(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则1 3.0530.5(m /s)0.1s v t ∆===∆． （2） 3.0130.01(s)t ∆=-=，2211(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.300530.05(m /s)0.01s v t ∆===∆． （3）由瞬时速度的定义，可知222111(3)(3)(3)33()222s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t sv g t ∆→∆===∆瞬时．12．设函数1()(,)f x ax a b x b=+∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =． （1）求函数()f x 在0x x =处的导数； （2）求函数()f x 的解析式；（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）201()a x b -+；（2）1()1f x x x =+-；（3）证明见解析．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为20020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----． 令1x =得0011x y x +=-，则切线与直线1x =的交点为001(1,)1x x +-． 令x y =得021y x =-，则切线与直线y x =的交点为0021,1(2)x x --． 又直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为000001112|1||211|2222121x x |||x |x x +-⋅--=⋅-=--． 所以，所围成的三角形的面积为定值2．。
人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.1变化率问题 有答案
人教a 版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.1变化率问题 有答案1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析：Δy ＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v －＝s （t ）tB.v －＝s （Δt ）ΔtC.v －＝Δs ΔtD.v －＝s （t ＋Δt ）Δt解析：v －＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt ＝Δs Δt .答案：C3．一运动物体的运动路程s (t )与时间x 的函数关系为s (t )＝－t 2＋2t ，则s (t )从2到2＋Δt 的平均速度为( )A ．2－ΔtB ．－2－ΔtC ．2＋ΔtD ．(Δt )2－2Δt解析：因为s (2)＝－22＋2×2＝0，所以s (2＋Δt )＝－(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＝－2Δt －(Δt )2， 所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt .答案：B4．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积的增加量ΔS 等于( )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B5．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝( ) A ．4 B ．4＋2(Δx )2 C ．4＋2ΔxD ．4x解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2×(Δx )2＋4×Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4. 答案：C 二、填空题6．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.答案：－297．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：因为Δx ＝1，所以2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.所以k AB ＝ΔyΔx ＝－16. 答案：－168．函数y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．解析：因为Δy＝1（x0＋Δx）2－1x20，所以y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率0为Δy Δx ＝1（x0＋Δx）2－1x20Δx＝－2x0＋Δx（x0＋Δx）2x20.答案：－2x0＋Δx （x0＋Δx）2x20三、解答题9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈时，平均增长率的大小．解：设f(x)＝2x在x∈时的平均增长率为k1，则k1＝f（2）－f（1）2－1＝2.设g(x)＝3x在x∈时的平均增长率为k2，则k2＝g（2）－g（1）2－1＝6.因为k1<k2，故当x∈时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率．10．若函数f(x)＝－x2＋x在(Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．解：因为函数f(x)在上的平均变化率为：Δy Δx ＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）Δx＝－4Δx＋Δx－（Δx）2Δx＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．B级能力提升1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①解析：Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.所以k 3＞k 2＞k 1＞k 4.答案：B2．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3003．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD //BE ，则AB AC ＝BE CD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝14×14－14×0＝72.所以f（x2）－f（x1）x2－x1＝7214＝14.即人离开路灯10 s内身影的平均变化率为14 .。
高中数学人教A版选修2-2 1.1 变化率与导数1.1.3 Word版含答案
1．1.3导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0 [3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→012＋Δx－12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx)＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→0limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0. 要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1y ＝x3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2变化率问题导数的概念课时作业
新高考人教A 版选修数学作业汇编课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－(12－1)m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )【006】A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知， v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx ＝( )【007】A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2×12－4)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx .]二、填空题6．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝ . [解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.[答案] 137.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-3所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是 .【008】图1-1-3[解析] ∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1. [答案] v 3>v 2>v 18．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是 ． [解析] 物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3Δt 2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2. [答案] 2 三、解答题9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.【009】[解] ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时平均速度．[解](1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝limΔt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2)v＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[能力提升练]1.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图1-1-4所示，则一定有()图1-1-4A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )【010】A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1)D ．f ′(3)C [lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13f ′(1)．]3．如图1-1-5所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 ．图1-1-5[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．[答案] [x 3，x 4]4．给出下列结论：①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f ′(t 0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v ＝v (t )描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为a ＝lim Δt →0v (t ＋Δt )－v (t )Δt .其中正确的结论序号为 ．[解析] ①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．[答案] ②③5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s) s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2(t ≥3)， ①29＋3(t －3)2(0≤t ＜3)， ② 【011】求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt－12.所以物体在t＝1处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1时的速度为－12 m/s.。
高中数学选修2-2人教A版作业及测试课时作业1变化率问题导数的概念含解析
C．6 D．－6
解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6.
答案：D
3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()
A. ＝ ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
14．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝ ＋ ＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解析：根据导数的定义，得
f′(100)＝li
＝li
＝liБайду номын сангаас
＝li
＝li
＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元．
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数y＝f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝()
A．4B．4Δx
C．4＋ΔxD．Δx
解析：∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，
∴ ＝ ＝4＋Δx.
答案：C
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()
答案：
7．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于________．
解析： ＝ ＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
人教A版选修2-2(一) 变化率问题、导数的概念作业 (2)
课时跟踪检测（一） 变化率问题 导数的概念层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝1－2x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为k 1，从x ＝－2到x ＝－1的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1＝k 2C ．k 1<k 2D ．不确定解析：选B 由平均变化率的几何意义知k 1＝k 2.2．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6 解析：选B 由已知，得s 3－s 23－2＝26，∴(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1.3．函数y ＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]的平均变化率为k 2，则( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选A ∵k 1＝x 0＋Δx 2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝x 20－x 0－Δx 2Δx ＝2x 0－Δx ，又由题意知Δx >0，故k 1>k 2.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( )A ．Δx －3B ．(Δx )2－3ΔxC ．－3D ．0 解析：选C f ′(0)＝lim Δx →0 0＋Δx 2－30＋Δx －02＋3×0Δx＝lim Δx →0 Δx 2－3Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3. 6.如图是函数y ＝f (x )的图象，回答下列问题．(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f 2－f 02－0＝12. (2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为f 4－f 24－2＝5－12＝2. 答案：(1)12 (2)2 7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 a 1＋Δx ＋4－a ＋4Δx＝a ，∴a ＝2. 答案：28．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．求函数y ＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝－12时该函数的平均变化率． 解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为 Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝[2x 0＋Δx 2＋3]－2x 20＋3Δx＝4x 0Δx ＋2Δx 2Δx ＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝－12时， 平均变化率为4×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 10．求函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数．解：根据导数的定义：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )＋1－3＝(Δx )2＋3Δx ，则Δy Δx ＝Δx 2＋3Δx Δx＝Δx ＋3， 所以f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋3)＝3， 即函数f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数为3.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx等于( ) A ．4 B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 解析：选C Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝21＋Δx 2－4＋2Δx ＝2Δx 2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.2．甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在4 s 末的瞬时速度为( )A.12316m/s B.12516 m/s C ．8 m/sD.674 m/s 解析：选B ∵Δs Δt＝4＋Δt 2＋34＋Δt －16－34Δt ＝Δt2＋8Δt ＋－3Δt 44＋Δt Δt ＝Δt ＋8－316＋4Δt ， ∴lim t →0 Δs Δt ＝8－316＝12516.4．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li mΔx →0 f Δx Δx ＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f 0＋Δx －f 0Δx ＝li m Δx →0 f Δx Δx＝－1. 5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7t 0＋Δt 2＋8－7t 20＋8Δt ＝7Δt ＋14t 0， 当lim Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1146．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值为________． 解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x2， 于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2. 答案：±27．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值． 解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx ＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx＝Δx24＋Δx 4＋Δx ＋2.∴Δy Δx ＝124＋Δx 4＋Δx ＋2. ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx4＋Δx ＋2 ＝12×4×4＋2＝116. ∴f ′(4)＝116. 当x ＝－1时，Δy Δx ＝f －1＋Δx －f －1Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx＝Δx －2， 由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0 (Δx －2)＝－2，∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx； (2)lim Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0＋5Δx Δx. 解：(1)lim Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx＝－m limΔx→0f x－mΔx－f x0－mΔx＝－mf′(x0)．(2)原式＝limΔx→0f x＋4Δx－f x0－[f x0＋5Δx－f x0]Δx＝limΔx→0f x＋4Δx－f x0Δx－limΔx→0f x＋5Δx－f x0Δx＝4limΔx→0f x＋4Δx－f x04Δx－5limΔx→0f x＋5Δx－f x05Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．。
高中数学 专题1.1.2 导数的概念 1.1.2 变化率问题练习(含解析)新人教A版选修2-2(2
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1.1。
2 导数的概念 1。
1。
2 变化率问题1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）A ．0>∆xB ．0<∆xC ．0=∆xD ．0≠∆x 【答案】D【解析】x ∆是自变量的改变量,他可以大于零也可以小于零，但不能等于零2。
如图，函数y ＝f （x ）在A ，B 两点间的平均变化率是（ )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】B3．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【答案】 C 【解析】 由定义,f ′(x 0）是当Δx 无限趋近于0时，错误!无限趋近的常数，故应选C 。
4．将半径为R 的球加热，若球半径增加R ∆,则球的体积增量V ∆等于（ ）A ．342RR ∆π B ．R R ∆24π C ．24R π D ．R R ∆π4【答案】B【解析】33233344434)(34R R R R R R R R V ∆+∆+∆=-∆+=∆πππππ5.一物体的运动方程是s ＝错误!at 2（a 为常数),则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是（ )A ．at 0B ．－at 0 C.错误!at 0 D ．2at 0【答案】A【解析】∵错误!＝错误!＝错误!aΔt＋at0，∴Δt趋于0时,错误!→at0。
人教A版选修 2-2 变化率与导数 课时作业
人教A 版选修2-2 变化率与导数 课时作业1.(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.2.已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8 解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋5.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋5. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝10. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.3. 如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.4.若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.5.已知f (x )＝ln xx 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x6.(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________． 解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2.答案：27.(2019·浙江金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x 2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)8.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________．解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2. 由已知图象可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12. 由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝3.故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316.答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －14.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝9 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝2. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－16.即y ＝4x －18或y ＝4x －10.8.已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)．由题意得⎩⎨⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0. 由⎩⎨⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[能力提升]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2019·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C ．22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎨⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.1.(2019·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x＋x e x，f ″(x )＝2e x＋x e x＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③2.(2019·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝cos πx ＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b ＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x ＋2x ，g ′(x )＝－πsin πx ＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝03.设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋3. ④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－2.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.4.(2019·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋10和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋10)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋10)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝10x ＋7. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋10x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋10＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝7.②由f′(x)＝10得－6x2＋6x＋10＝10，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝10x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝10x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝10x＋7.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念
1.1.1变化率问题1.1.2 导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率0函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？ΔyΔx 有什么几何意义？答 Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx ＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)Δt，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx . 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝ lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9⎝⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5，∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案 －12解析 f′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
高中数学选修2-2课时作业3：1.1.1 变化率问题_1.1.2 导数的概念
1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念一、基础过关1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为()A．－6 B．Δx－6C．－2 D．Δx－2[答案]B[解析]设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx，所以ΔyΔx＝Δx－6，所以函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()A．0 B．1C．2 D．Δx[答案]A[解析]ΔyΔx＝1－1Δx＝0.3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s[答案] A[解析] 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．48[答案] B[解析] ∵s ′(1)＝lim t →1 s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定[答案] B[解析] 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．6．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. [答案] －12[解析] Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 7．求函数f (x )＝x ＋2x在x ＝1处的导数． 解 由导数定义得Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋21＋Δx－3＝(Δx )2－Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx －11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 Δx －11＋Δx＝－1. 二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.[答案] 2.1 2.001[解析] ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ， ∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．[答案] 3[解析] v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0. 11．分别求下列函数的导函数及在x ＝1处的导数．(1)y ＝4x 2；(2)y ＝1x－x . 解 (1)∵Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ∴Δy Δx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2]＝－8x 3，∴y ′|x ＝1＝－8.(2)∵Δy ＝1x ＋Δx －x ＋Δx －1x ＋x ＝(1x ＋Δx －1x)＋(x －x ＋Δx ) ＝－Δx x (x ＋Δx )＋－Δx x ＋x ＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1x (x ＋Δx )＋－1x ＋x ＋Δx， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[－1x (x ＋Δx )＋－1x ＋x ＋Δx ] ＝－(1x 2＋12x)， ∴y ′|x ＝1＝－(1＋12)＝－32. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．设函数f (x )在x ＝x 0处的导数为A ，试求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )2Δx. 解 (1)原式＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－(－Δx )＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－A . (2)原式＝lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0＋5Δx )2Δx＝2lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0)4Δx －52lim Δx →0 f (x 0＋5Δx )－f (x 0)5Δx ＝2A －52A ＝－12A .。
2020年高中数学人教A版选修2-2 课时作业《变化率问题 导数的概念》(含答案解析)
2020年高中数学人教A 版选修2-2 课时作业《变化率问题 导数的概念》一、选择题1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线2.设函数y=f(x)=x 2-1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03.设函数f(x)在点x 0附近有定义，且有f(x 0＋Δx)-f(x 0)=aΔx＋b(Δx)2(a ，b 为常数)，则( )A ．f′(x)=aB ．f′(x)=bC ．f′(x 0)=aD ．f′(x 0)=b4.如果质点A 按照规律s=3t 2运动，则在t 0=3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．815.已知f(x)=x 2-3x ，则f′(0)=( )A ．Δx -3B ．(Δx)2-3ΔxC ．-3D ．06.已知函数f(x)=2x 2-4的图象上一点(1，-2)及邻近一点(1＋Δx，-2＋Δy)，则Δy Δx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx)27.甲、乙两人走过的路程s 1(t)，s 2(t)与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲=v 乙D ．大小关系不确定8.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足li m Δx→0 f Δx Δx=-1，则f′ (0)=( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．29.已知f(x)=2x ，且f′(m)=-12，则m 的值等于( ) A ．-4 B ．2 C ．-2 D ．±2二、填空题10.设f(x)=ax ＋4，若f′(1)=2，则a=________.11.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．12.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．13.已知函数f(x)=-x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t=________.14.一物体的运动方程为s=7t 2＋8，则其在t=________时的瞬时速度为1.三、解答题15.质点按规律s(t)=at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t=2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．16.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x>0，1＋x 2，x≤0，求f′(4)·f′(-1)的值．17.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．答案解析1.答案为：D ；解析：当f(x)=b 时，瞬时变化率li m △x －0 Δy Δx =li m △x －0 b －b Δx=0，所以f(x)的图象为一条直线．2.答案为：A ；解析：Δy Δx =f 1.1－f 11.1－1=0.210.1=2.1.3.答案为：C ；解析：f′(x 0)=li m △x －0 f x 0＋Δx －f x 0Δx=li m △x －0 (a ＋b·Δx)=a.4.答案为：B ；解析：∵s(t)=3t 2，t 0=3，∴Δs =s(t 0＋Δt)-s(t 0)=3(3＋Δt)2-3·32=18Δt＋3(Δt)2.∴Δs Δt=18＋3Δt.∴li m △x －0 Δs Δt =li m △x －0 (18＋3Δt)=18，故应选B.5.答案为：C ；解析：f′(0)=li m △x －0 0＋Δx 2－30＋Δx －02＋3×0Δx=li m △x －0 Δx 2－3Δx Δx=li m △x －0 (Δx -3)=-3.故选C.6.答案为：C ；解析：Δy Δx =f 1＋Δx －f 1Δx =21＋Δx 2－4＋2Δx =2Δx 2＋4Δx Δx=2Δx＋4.7.答案为：B ；解析：设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t)在[0，t 0]上的平均变化率v 甲=k AC ，s 2(t)在[0，t 0]上的平均变化率v 乙=k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．8.答案为：B ；解析：∵f(x)图象过原点，∴f(0)=0，∴f′(0)=li m Δx→0 f 0＋Δx －f 0Δx =li m Δx→0 f Δx Δx=-1，∴选B.9.答案为：D ；解析：f′(x)=li m △x －0 f x ＋Δx －f x Δx =-2x 2，于是有-2m 2=-12， m 2=4，解得m=±2.10.答案为：2；解析：∵f′(1)=li m △x －0f 1＋Δx －f 1Δx =li m △x －0 a 1＋Δx ＋4－a ＋4Δx=a ，∴a=2.11.答案为：v 1＜v 2＜v 3；解析：v 1=k OA ，v 2=k AB ，v 3=k BC ，由图象知k OA ＜k AB ＜k BC .12.答案为：28π3； 解析：∵Δy =43π×23-43π×13=28π3，∴Δy Δx =28π32－1=28π3.13.答案为：-2；解析：∵Δy =f(1)-f(t)=(-12＋1)-(-t 2＋t)=t 2-t ，∴Δy Δx =t 2－t 1－t =-t.又∵Δy Δx=2，∴t=-2.14.答案为：114； 解析：Δs Δt =7t 0＋Δt 2＋8－7t 20＋8Δt =7Δt＋14t 0，当li m Δx→0 (7Δt＋14t 0)=1时，t=t 0=114.15.解：∵Δs =s (2＋Δt)-s(2)=[a(2＋Δt)2＋1]-(a×22＋1)=4aΔt＋a(Δt)2，∴Δs Δt=4a ＋aΔt， ∴在t=2时，瞬时速度为li m △x －0 Δs Δt=4a,4a=8，∴a=2.16.解：当x=4时，Δy =-14＋Δx ＋14=12-14＋Δx =4＋Δx－224＋Δx =Δx 24＋Δx 4＋Δx＋2. ∴Δy Δx =124＋Δx 4＋Δx＋2. ∴li m Δx→0 Δy Δx =li m Δx→0 124＋Δx 4＋Δx＋2=12×4×4＋2=116.∴f′(4)=116. 当x=-1时，Δy Δx =f －1＋Δx －f －1Δx =1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx=Δx -2， 由导数的定义，得f′(-1)=li m Δx→0(Δx -2)=-2， ∴f′(4)·f′(-1)=116×(-2)=-18.17.解：位移公式为s=12at 2， ∵Δs =12a(t 0＋Δt)2-12at 20=at 0Δt＋12a(Δt)2， ∴Δs Δt =at 0＋12aΔt，∴li m Δx→0 Δs Δt =li m Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12aΔt =at 0， 已知a=5.0×105m/s 2，t 0=1.6×10-3s ，∴at 0=800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
2014-2015学年 高中数学 人教A版选修2-2 第一章导数及其应用课后作业
)
12．若函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，求 a 的值.
A．1
B．－1
1 C． 2
8．若曲线 y＝2x2－4x＋P 与直线 y＝1 相切，则 P＝________. π 9．设 P 为曲线 C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为 0，4，则点 P 横坐标 三、探究与拓展 13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) 2 t≥3 ① 3t ＋2 s＝ 2 29＋3t－3 0≤t<3 ② 求： （1）物体在 t∈[3,5]内的平均速度； （2）物体的初速度 v0； （3）物体在 t＝1 时的瞬时速度. 的取值范围为________. 10．求过点 P(－1,2)且与曲线 y＝3x2－4x＋2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线.
一、基础过关 1．当自变量从 x0 变到 x1 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 A．在[x0，x1]上的平均变化率 C．在 x1 处的变化率 B．在 x0 处的变化率
D．以上都不对 ( D．7＋2(Δx)2 ) ) 三、探究与拓展 13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢 又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比 较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡峭程度 吗？
11．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10.求： （1）它们的交点； （2）抛物线在交点处的切线方程.
2
6．过曲线 y＝f(x)＝x2＋1 上两点 P(1,2)和 Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当 Δx＝0.1 时，割线的斜率 k＝ ________. 二、能力提升 7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，则________跑得快． 8．将半径为 R 的球加热，若半径从 R＝1 到 R＝m 时球的体积膨胀 28π 率为 ，则 m 的值为________． 3 1 9． 在 x＝1 附近， 取 Δx＝0.3， 在四个函数①y＝x， ②y＝x2， ③y＝x3， ④y＝ 中， 平均变化率最大的是________． x π π π 10．求函数 y＝sin x 在 0 到 之间和 到 之间的平均变化率，并比较它们的大小． 6 3 2
人教A版选修2-2导数及其应用常考题型：变化率问题、导
变化率问题、导数的概念【知识梳理】1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx为割线AB 的斜率，如图所示．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 定义式lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢 定义式 lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx记法 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0实质 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率题型一、求函数的平均变化率典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解] 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f(3＋Δx)－f(3)Δx＝(3＋Δx)2－32Δx＝6＋Δx；若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193，由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．【类题通法】求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0.【对点训练】求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－x30Δx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝194.题型二、求瞬时速度典例]一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段0,0＋Δt]，即0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，0lim t ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， 0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(－1－Δt )＝－1，∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 【类题通法】1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．【对点训练】一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝12t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A ∵Δs Δt ＝12(2＋Δt )2－12×22Δt ＝12Δt ＋2，∴0limt ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→⎝⎛⎭⎪⎫12Δt ＋2＝2，故选A.题型三、求函数在某点处的导数典例] (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt； ②求t 1＝4时的导数． 解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 0limt ∆→11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1. ②0limt ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48. 【类题通法】1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)求极限0limx ∆→Δy Δx. 2．瞬时变化率的变形形式 0limx ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝0limx ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．【对点训练】求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－()1－1＝Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，所以函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.。
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课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念
一、题组对点训练
对点练一 函数的平均变化率
1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )
2－1
＝a ＝3.
2．若函数f (x )＝－x 2
＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，
则Δy Δx ＝( )
A ．3
B ．－3
C ．－3－(Δx )2
D ．－Δx －3
解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2
，
∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )
2
Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝
1
x
在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．
解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝
1
1＋Δx －1
＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )
(1＋1＋Δx )1＋Δx
＝
－Δx
(1＋1＋Δx )1＋Δx
， ∴
Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx
. 对点练二 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3
－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A ．1
B ．3
C ．－1
D ．0 答案：B
5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
＝(t 0＋Δt )3
－2－(t 3
0－2)Δt ＝3t 2
0Δt ＋3t 0(Δt )2
＋(Δt )3
Δt
＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
.
因为lim Δt →0 [3t 2
0＋3t 0Δt ＋(Δt )2
]＝3t 2
0，故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 2
0 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s ，求t 0的值．
解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt
＝3t 2
0Δt ＋3t 0(Δt )2
＋(Δt )3
Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
，
因为lim Δt →0 [3t 2
0＋3t 0Δt ＋(Δt )2
]＝3t 2
0. 所以由3t 2
0＝27，解得t 0＝±3， 因为t 0>0，故t 0＝3，
所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
等于( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C ．1
3f ′(1) D ．f ′(3)
解析：选A lim Δx →0
f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
＝f ′(1)．
8．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝lim Δx →0
a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)
Δx
＝a ，∴a ＝3.
9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．
解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
，而
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12
，所以f ′(1)＝1
2.
二、综合过关训练
1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)
h
( )
A ．与x 0，h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．
2．函数y ＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )
A ．k 1>k 2
B ．k 2<k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20
Δx
＝2x 0＋Δx ；
k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2
Δx
＝2x 0－Δx .
因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，
W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )
A ．两机关节能效果一样好
B ．A 机关比B 机关节能效果好
C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大
D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A 机关所对应的图象比较陡峭，B 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关比B 机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2
，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )
A ．7 m/s
B ．6 m/s
C ．5 m/s
D ．8 m/s
解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2
－(1－3＋32
)
Δt ＝5＋Δt ，
∴lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象，则
(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为
f (1)－f (－1)1－(－1)
＝
2－12
＝1
2
. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋32
，－1≤x ≤1，
x ＋1，1<x ≤3.
所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)
2－0
＝
3－
32
2＝3
4
. 答案：(1)12 (2)3
4
6．函数y ＝－
1
x
在点x ＝4处的导数是________．
解析：∵Δy ＝－
1
4＋Δx
＋14
＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx
24＋Δx (4＋Δx ＋2)
.
∴
Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2)
. ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1
24＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝
1
2×4×(4＋2)＝1
16
.
∴y ′|x ＝4＝116
. 答案：
116
7．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2
(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．
解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2
)
Δt
＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0
s (2＋Δt )－s (2)
Δt
＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2
－(3×2－4)
Δt
＝lim Δt →0 －(Δt )2
－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．。