第四章 回转体表面的截交线

2.例题
1. 平面与圆柱相交所得截交线形状
两平行直线
圆
椭圆
截平面与圆柱轴线的倾角为θ，其交线的W投影 为椭圆，椭圆的长、短轴随θ的变化而变化
截平面与圆柱轴线成 45°时,投影为圆
2. 例题
[例题1] 求圆柱截交线
1'
2'(3')
解题步骤
1" 3" 2"
1. 分析 : 截平面为正垂面，所 得截交线为椭圆，其侧面投影 为圆，水平投影为椭圆； 2. 求出截交线上的特殊点 4" Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3. 求出若干个一般点 Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；
曲面立体截交线的性质
1.曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线， 或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形； 2.曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面 的共有线； 3.曲面立体的截交线上的点为立体表面和截平 面的共有点。
求截交线的方法步骤
特殊点
一、平面与圆柱相交
1.平面与圆柱相交所得截交线形状
2'
2"
12
3
5
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
2. 圆锥截交线的求法 3. 例题
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
椭圆
双曲线
抛物线
平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线
2. 求圆锥截交线上点的方法
3. 例题
[例题1] 求圆锥截交线
(7')4' (6')3' (8')5' 7"
4'(5')
6'(7')
5"
8' 7 8
7" 5 3 1
6"
8"
4. 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5.整理轮廓线。
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ Ⅳ
6 4
2
Ⅶ
Ⅷ
Ⅵ
[例题2]
4'(5')
求圆柱截交线
3' 5'
2" 3" 4'
解题步骤 1.分析:截交线的侧面投影为 圆的一部分，水平投影为椭 圆的一部分；
1'
PV1 PV2 PV3
2" y
4" PW1
5"
PW2 3" PW3
2 5 3
1 4 y
用辅助平面求共有点示意图
y
用水平面作为辅助平面求共有点
四、曲面立体相贯的三种基本形式
1. 两外表面相交； 2．外表面与内表面相交；
3．两内表面相交。
五、相贯线的变化趋势
1．两圆柱相贯线的变化趋势（一） 2．两圆柱相贯线的变化趋势（二）
2. 求圆球截交线点的方法 3. 例题
1. 平面与圆球相交所得截交线形状
圆
2. 求圆球截交线上点的方法
3. 例题
[例题1]
7'(8') 3'(4')
5'(6') a'(b')
求圆球截交线
c'(d')
2' 8" 4" d" 6" b" 1" a" 2" c"
解题步骤 1．分析 截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆；
2．求出截交线上的特 殊点Ⅰ、 Ⅱ；
1
2 3
3．求出各段圆弧； 4．判别可见性，整 理轮廓线。
[例题3]
求圆球截交线
[例题4]
求圆球截交线
四、 平面与组合回转体相交
[例题1]
分析并想象出物体的投影。
[例题2]
求出物体切割后的投影
4'(5') 2'(3')
3" 5"
4" 2"
5
3
4
2
[例题3]
1'(2')
2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、 1" Ⅱ、Ⅲ ； 3.求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4. 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性； 5. 整理轮廓线。
2 5 3
4
1
[例题3]
1'(2') 3'(4')
求圆柱截交线
解题步骤
2' 4'
1' 3'
1．分析:截交线的水平投影 为直线和部分圆，侧面投影 为矩形； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3 ．顺次地连接各点， 作 出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
2(4)
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅲ
1(3)
[例题4] 求圆柱截交线
解题步骤
1'(2')
2"
1" 1.分析:截交线的水平投影
为直线和部分圆，侧面投影 为矩形和两条线段；
3'(4')
4"
3"
2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3.顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性； 4. 整理轮廓线。
2(4)
1(3)
[例题5]
曲面立体相贯线的性质图例
二、求曲面立体相贯线的方法
1. 表面取点法
采用表面取点法的条件： 至少有一个立体是圆柱， 并且圆柱轴线垂直于某投 影面（这样投影积聚为圆 ）。
正交圆柱相贯线
2. 辅助平面法
三、 求相贯线的一般步骤
2．求作相贯线上的特殊点。
3．根据需要求出若干个一般点。
4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5．整理轮廓线。
解题步骤 1．分析 截平面为正垂面，截交 线为椭圆；截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ 、Ⅶ 、Ⅷ ； 3．求出一般点Ⅴ、Ⅸ； 4 ．光滑且顺次地连接各点 ，作出截交线，并且判别 可见性； 5．整理轮廓线。
6"
8"
8
6
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
3
4
[例题2] 求圆锥截交线
求圆孔截交线
4"
3" 2" 1"
1'(2')(3')(4')
5'(6')(7')(8') 8" 7"
6" 5"
4(8)
3(7)
2(6) 1(5)
[例题6]
1'
求圆柱截交线
解题步骤
4' 5' 3' 4" 1" 5" 1 ．分析 截交线为矩 形、椭圆及圆和直线 的组合；截交线的水 3" 平投影为已知，侧面 投影为矩形、椭圆和 直线的组合； 2．求出截交线上的特 殊点Ⅰ、Ⅱ 、Ⅲ 、Ⅳ ； 3．求一般点Ⅴ； 4 ． 顺次地连接各点 ，作出截交线，并且 判别可见性； 4 5．整理轮廓线。
c'
b
d
a
e
c
[例题3] 求圆锥截交线
2'( 3') a' 3"
解题步骤
1 ．分析 截平面为正垂 面侧平面，截交线为部 分椭圆和梯形的组合； 其水平投影为部分椭圆 和直线的组合，侧面投 影为部分椭圆和梯形的 组合； 2．求出截交线上的特殊 点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ ； 3．出一般点Ⅳ、Ⅴ ；
4'(5') 1'
3．圆柱与圆锥相贯线的变化趋势
圆柱相贯线的变化趋势（一）
两圆柱相贯线的变化趋势（二）
圆柱与圆锥相贯线的变化趋势
六、相贯线的特殊情况
(1) 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为 圆，并且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投 影反映圆的实形，其余投影积聚为直线。 (2) 外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线 为两条平面曲线—椭圆。 当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则 此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。
第四章 回转体表面的截交线和相贯线
§4.1 平面与回转体相交的截交线 §4.2 两曲面立体相交的相贯线
§ 4.1 平面与回转体相交的截交线
基本要求
平面与圆柱相交 平面与圆锥相交 平面与圆球相交 平面与组合回转体相交
基本要求
1. 掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆 球相交，求表面交线的方法。 2. 掌握回转体截交线的性质及求截交线的 方法。
5"
1"
4"
2"
5 1
3
4．光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且 判别可见性；
5．整理轮廓线。
a
4
2
[例题4] 求圆锥截交线
4' 4"
1' 2'( 3') 3" 1" 2"
3
1
2
4
[例题5] 分析圆锥切割后截交线投影的形式
[例题6]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
三、 平面与圆球相交
1. 平面与圆球相交所得截交线形状
y
y
a d c e
b y
y
[例题2] 求圆柱与圆锥的相贯线
解题步骤 1" 4' 3' 5' 2' y 1. 分 析 : 相 贯 线 的 侧面投影已知，可 利用辅助平面法求 共有点； 2.求出相贯线上的 特殊点Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ Ⅳ； 3.求出若干个一般 点Ⅴ； 4.光滑且顺次地连 接各点，作出相贯 线，并且判别可见 性； 5.整理轮廓线。
当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线 —椭圆
点击相应图形观看动画
[练习1] 补全三面投影
[练习2] 补全三面投影
[练习3] 补全三面投影
[练习4] 补全三面投影
[练习5]
补画正面投影。
主要内容
一、相贯线的性质 二、求曲面立体相贯线的方法
三、求相贯线的一般步骤
四、曲面立体相贯的三种基本形式 五、相贯线的变化趋势 六、相贯线的特殊情况 七、例题
一、相贯线的性质
1. 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线 上的点是两曲面立体表面的共有点。
2. 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形 状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空 间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。 图例
解题步骤
1．分析 截平面为正平面，截交线 为双曲线；截交线的水平投影和侧 面投影已知，正面投影为双曲线并 反映实形；
a' d' b' e'
a"
d"(e") b"( c")
2．求出截交线上的特殊点A、B、C； 3．求出一般点D、E； 4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
求顶针截交线的水平投影。
9'(10') 1' 7'(8') 2'(3') 4'(5') 6' 10" 3" 8" (5") 6" 9" 7" 2" (4") 1"
35 1 8 7 24 10 6 9
[例题4]
分析并想象出物体切割后的投影。
§ 4.2 两曲面立体相交的相贯线
基本要求
1. 掌握两回转体相贯线的性质与求法 2. 掌握相贯线可见性的判别方法 3. 掌握相贯线的特殊情况和作图
7" 3" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 5" Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ；
3．求出若干个一般点A、B、 C、D；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；
1'
6 b
4 8 d
5．整理轮廓线。
1
a 7 5 3
2
c
[例题2]
1'
求圆球截交线
2' 3' 2" 3"
解题步骤 1．分析 截平面为两 个侧平面和一个水平面 ，截交线为圆弧和直线 的组合；截交线的水平 投影和侧面投影均为圆 弧和直线的组合；
[例题1] 求两圆柱的相贯线
a' d' e' c' b'
a"(b")
解题步骤
1.分析 :相贯线的水平投影 和侧面投影已知，可利用 d"(e") 表面取点法求共有点；
c"
2.求出相贯线上的特殊点 A、 B、 C； 3.求出若干个一般点D、 E； 4.光滑且顺次地连接各点 ，作出相贯线，并且判别 可见性； 5.整理轮廓线。