福州一中2019-2020学年第一学期数学期中考试
2019-2020学年福建省福州九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析
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2019-2020学年福建省福州九年级上学期期中考试数学试卷
一．选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）在平面直角坐标系中，若点A 在第一象限，则点A 关于原点的中心对称点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（4分）方程x 2＝4的解是（ ）
A ．x ＝2
B ．x ＝﹣2
C ．x ＝0
D ．x ＝2或x ＝﹣2
3．（4分）抛物线y ＝﹣x 2+2019的对称轴是（ ）
A ．直线x ＝2019
B ．直线x ＝﹣2019
C ．x ＝﹣1
D ．y 轴
4．（4分）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于（ ）
A ．8
B ．4
C ．10
D ．5
5．（4分）袋子中有2019个黑球、1个白球，他们除颜色外无其它差别．随机从袋子中摸出
一个球，则（ ）
A ．摸到黑球、白球的可能性大小一样
B ．这个球一定是黑球
C ．事先能确定摸到什么颜色的球
D ．这个球可能是白球
6．（4分）如图，一支反比例函数y =k x 的图象经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，若
S △AOB ＝3，则k 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣6
D ．6
7．（4分）国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的
面积为（ ）。
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；{5}Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．32．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈<D ．{|0}x Z x ∈ 3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 34．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．326．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C．D．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．111．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =；14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有个；1523x +<的解集为．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．19．已知函数31()log 1xf x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42xtf x +对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：元素与集合之间不能用包含关系，故2{1⊆，2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈“，故{0}∅∈错误；Q ，∴Q ⊆错误；空集是任何非空集合的真子集，故{0}∅Ü正确．故选：B ．2．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈< D ．{|0}x Z x ∈ 【解答】解：{|4}U x Z x =∈ ，{|23}{0A x N x =∈-<= ，1，2，3}，{|0}{4}U A x Z x ∴=∈< ð．故选：C ．3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 3【解答】解：根据题意，函数()32x f x =-，若()320x f x =-=，解可得3log 2x =，即函数()f x 的零点为3log 2x =，故选：A ．4．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞【解答】解：函数1()(2)4f x ln x x =-+-中，令2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且4x ≠；所以函数()f x 的定义域是(2，4)(4⋃，)+∞．故选：D ．5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．32【解答】解：根据题意，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则f （3）0=，(f f （3）)(0)1f ==，同时有11,02()226,23x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪-+<⎩ ，则((f f f （3）))f =（1）32=；故选：D ．6．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩ ，在1(1,2--上为增函数，不符合题意；故选：A ．7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<【解答】解：5log 2(0,1)a =∈，0.9log 1.10b =<，0.921c =>．b a c ∴<<．故选：B ．8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞【解答】解：()f x 为定义在实数集上的偶函数，f ∴（3）(3)0f =-=，又()f x 在[0，)+∞上是增函数，则由(36)0x f -<可得，3363x -<-<，解可得，12x <<，故选：A ．9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，33()[()2()]||(2)||()f x x x ln x x x ln x f x -=-+--=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x →+∞，()f x →+∞，排除D ，故选：C ．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：函数()25x f x e x -=--是连续减函数，2(2)10f e -=->，(1)30f e -=-<，(2)(1)0f f ∴--< ，函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(2,1)--即(,1)m m +上，所以2m =-．故选：A ．11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【解答】解：设经过n 年后的投入资金为y 万元，则5000(120%)5000 1.2n n y =+=⨯，令5000 1.212800n ⨯>，即1.2 2.56n >，两边取对数可得81.2 2.56228220.408nlg lg lg lg >=-=-=，0.4085.160.079n ∴>≈，故第6年即2025年的投资开始超过12800万元．故选：C ．12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ 的图象如图：若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．由图象可知：122x x +=-；所以①不正确；341x x =所以②正确；由图象412x <<所以③正确；121x -<<-，221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈，所以123401x x x x <<④正确．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =16；【解答】解：由幂函数()a f x x =的图象过点(64,2)，则642a =，解得16a =．故答案为：16．14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个；【解答】解：{0M ⋃ ，2}{0=，2}，{0M ∴⊆，2}，又集合{0，2}的子集共有224=个，∴满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个．故答案为：4．1523x +<的解集为[0，1)．【解答】解：由于函数2x y =+的定义域为[0，)+∞，且是增函数，当0x =23x +<成立，当1x =时，23x y =+=，23x >的的解集为[0，1)，故答案为：[0，1)．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是1(,)2-∞-．【解答】解：由题意作出函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 的图象，关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根等价于函数()y f x =与2y m =-有两个不同的公共点，f （1）1=，由图象可知当21m ->，解得1(,2m ∈-∞-时，满足题意，故答案为：1(,2-∞-．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）当2m =时，{|23}B x x =-<<．∴{|2U C B x x =- 或3}x ，{|04}A x x =<< ，(){|34}U A C B x x ∴=< ．（2）由A B A = ，得B A ⊆，①当B =∅时，1m m -+ ，解得12m - ．②当B ≠∅时，由B A ⊆，得：0141m m m m -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩，解得102m -< ，综上，m 的取值范围是(-∞，0]．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．【解答】解：（1）原式3(0.25)40.25x x x ---===．（2）原式22362324224532()16183399log log log ⨯=-+-=-+-=-．19．已知函数31()log 1x f x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．【解答】解：（1） 31()log 1x f x x +=-，3311()log ()11x x f x log f x x x-+∴-==-=-+-，()f x ∴在(1,1)-上为奇函数；（2）()f x 在14[,25-上的单调递增，1()(12min f x f ∴=-=-，4()()25max f x f ==，()f x ∴在14[,25-上的值域[1-，2]．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩ ，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【解答】解：（1）()1000800G x x =+，24003200800,05()()()10004600,510x x x f x R x G x x x ⎧-+-∴=-=⎨-<⎩．（2）当05x 时，2()400(4)5600f x x =--+，故当4x =时，()f x 取得最大值5600；当510x < 时，()10004600f x x =-为增函数，故当10x =时，()f x 取得最大值10001046005400⨯-=．综上，当产量为4万台时，公司利润最大，最大利润为5600万元．21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42x t f x + 对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由00(0)2214f k k =+=+= ，得3k =；（2）由（1）得()232x x f x -=+ ，3()log 2ax g x ∴=，∴不等式()0g x >即3()log 02a x g x =>当1a >时，由3log 0log 12a a x >=，∴31232x x >∴<，2log 3x ∴<；当01a <<时，由3log 0log 12aa x >=，∴31232x x <∴>，2log 3x ∴>；故当1a >时，不等式()0g x >的解集2(,log 3)-∞；当01a <<时，不等式()0g x >的解集2(log 3，)+∞；（3）由（1）及()42x t f x + 得23242x x x t -++ ，2(2)423x x t ∴-⨯+ ，而22(2)423(22)1x x x -⨯+=--，∴当1x =时，2(2)423x x -⨯+取得最小值1-，1t ∴- ，∴()42x t f x + 对x R ∈恒成立时，t 的取值范围是(-∞，1]-．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>开口向上，对称轴方程为1x =；()f x ∴在[2，3]上单调递增；则f （2）441a a b =-+=，f （3）964a a b =-+=；所以3a =，1b =；（2）()1()36f x g x x x x==--；存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立；设2log t x =，[2x ∈，4]，则[1t ∈，2]；即1362t kt t-- 在[1t ∈，2]上有解；21123k t t∴-- ；设211()3h t t t =--，当[1t ∈，2]时，()h t 的最大值为14-；所以18k - ；故k 的取值范围：18k - ；。
2019-2020学年福建省福州市八县(市)一中高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)
则向量 t
t
ᦙ
． 故选：C．
10．函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，若其图象向左平移 个
单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ）
A．关于点（ ， ）对称
B．关于直线 x 对称
C．关于点（ ， ）对称
D．关于直线 x 对称
【解答】解：函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π， 则：ω＝2， 若其图象向左平移 个单位后得到：
∴当 x＜﹣1 时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
则 g（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，
∵函数 f（x）的定义域为 R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，
∴函数 f（x﹣1）的图象关于点（0，0）中心对称，
则函数 f（x﹣1）是奇函数，
-9-
令 h（x）＝g（x﹣1）＝xf（x﹣1）， ∴h（x）是 R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）递增， 由偶函数的性质得：函数 h（x）在（0，+∞）上递减， ∵h（1）＝f（0），∴不等式 xf（x﹣1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1）， 即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1， ∴不等式的解集是（﹣1，1）， 故选：C． 二、填空题：每小题各 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置上． 13．函数 f（x）＝xlnx+x 的单调递增区间是 （e﹣2，+∞） ． 【解答】解：函数 f（x）＝xlnx+x 的导数为 f′（x）＝2+lnx， 由 f′（x）＞0，即 2+lnx＞0，可得 x＞e﹣2， 可得 f（x）的递增区间为（e﹣2，+∞）， 故答案为：（e﹣2，+∞）． 14．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2+a7+a12＝12，则 S13＝ 52 ． 【解答】解：依题意，a2+a7+a12＝3a7＝12， 所以 a7＝4，
福州2019-2020八年级上学期期中数学试卷及答案
是.
三、解答题（共 86 分）
第 13 题
第 16 题
17．（8 分）如图， 等边三角形 ABC中，AD⊥ BC，垂足为 D，点 E在线段 AD上，∠ EBC=45°，
求∠ ACE的度数．
18．（ 8 分）（ 1）计算 4xy2 .( 2x2 yz3) (2xyz)3
（ 2）因式分解 x3﹣9x
19（ 8 分）如图， AB=CD ， DE⊥ AC ，BF ⊥AC ， E， F 是垂足， AE=CF ，求证： AB ∥CD．
八年级数学试卷第 2页（共 4 页）
20．（ 8 分）尺规作图：如图，已知直线 l 及其同侧两点 A，B. (1) 在直线 l 上求一点 O，使点 O到 A， B 两点距离之和最短； (2) 在直线 l 上求一点 P，使 PA＝ PB. ( 不写作图步骤 , 保留作图痕迹 ).
21．（ 8 分）已知：如图，△ ABC为等腰三角形， AB＝ AC，∠ ACE＝∠ ABD， BD＝ CE， 求证： (1) AD=AE； (2) 若∠ BAC＝ 60°△ ADE是等边三角形 . ,
2019/2020 学年第一学期期中考试
初二 数学试卷
【完卷时间： 120 分钟 总分： 150 分】
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．以下微信图标中不是轴对称图形的是 ( )
2．下列运算正确的是（
）
A ． a a3 a3 B ． (2a)3 6a3 C ． a6 a3 a9 D ． (a2 )3 ( a3) 2 0
八年级数学试卷第 3页（共 4 页）
24（ 10 分）下面是某同学对多项式 ( x 2 4 x 2)( x 2 4x 6) 4 进行因式分解的过程 . 解：设 x 2 4x y ， 原式 ( y 2)( y 6) 4 ( 第一步 )
2019-2020学年福建省福州市八县(市、区)一中高二(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知命题0:1p x ∃>，使得00lgx …，则p ⌝为( ) A ．1x ∀…，总有0lgx > B ．1x ∀>，总有0lgx > C ．01x ∃>，使得00lgx >D ．01x ∃…，使得00lgx >2．已知中心在原点的等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为，则双曲线C的焦距等于( )A ．2B ．C ．4D ．3．不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是( ) A ．61x -<<B ．132x -<<C ．30x -<<D ．132x -<<4．下列命题中正确的是(( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”B ．命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题C ．命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题D ．命题“若4a b +…，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题是真命题． 5．已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是( ) A ．221364x y+=B ．221364x y +=或221436x y +=C ．2213632x y +=D ．2213632x y +=或2213632y x +=6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =．用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．4345105a b c +-7．空间四边形ABCD 中若AB BD ⊥，CD BD ⊥，2AC =，1BD =，则(AC BD = )A ．12B ．1CD ．08．已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则||||PA PH +的最小值是( ) A ．13B ．12C ．11D ．109．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是( )A ．{}2πB ．{|}62ππαα剟 C ．{|}42ππαα剟 D ．{|}32ππαα剟10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线22(0)y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为( )A BC ．1+D ．1+11．已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△12PF F 的面积为( )A ．112B ．212C ．D ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．1) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13．命题“x R ∀∈，2210mx mx -+>”是真命题，则实数m 的取值范围为 ． 14．双曲线2244x y -=的一条弦恰被点(8,1)P 平分，则这条弦所在的直线方程是 ． 15．已知M 、N 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点，O 是坐标原点，且满足3MF FN =，|OMN S MN ∆=，则p 的值为 ．16．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒且1AA AB =，M 为侧棱1AA 的中点，E ，F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BE C F =，当E ，F 运动时，下列结论中正确的序号是 ．①在MEF ∆内总存在与平面ABCD 平行的线段； ②平面MEF ⊥平面11BCC B ； ③三棱锥1A MEF -的体积为定值； ④MEF ∆可能为直角三角形．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若命题p ：实数x 满足240x x -…，命题q ：实数x 满足(1)(1)0(0)x a x a a -+-->…． （Ⅰ）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C 的焦点坐标为，(0,，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）在圆223x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点．（Ⅰ）求证//AM 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小．20．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，C 上一3(,)2M m 点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=，QB PB μ=，求证：λμ+是定值．21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面)ABCE ． （Ⅰ）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）若PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1x =所得线段的长度C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知命题0:1p x ∃>，使得00lgx …，则p ⌝为( ) A ．1x ∀…，总有0lgx > B ．1x ∀>，总有0lgx > C ．01x ∃>，使得00lgx >D ．01x ∃…，使得00lgx >【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题0:1p x ∃>，使得00lgx …，则p ⌝为：1x ∀>，总有0lgx >．故选：B ．2．已知中心在原点的等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为，则双曲线C的焦距等于( )A ．2B ．C ．4D ．【解答】解：中心在原点的等轴双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为，可得a b ==，则2c ==， 可得双曲线C 的焦距为24c =． 故选：C ．3．不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是( ) A ．61x -<<B ．132x -<<C ．30x -<<D ．132x -<<【解答】解：由22530x x +-<，解得132x -<<． (3-，1)(62-Ü，1)，∴不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是61x -<<．故选：A ．4．下列命题中正确的是(( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”B ．命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题C ．命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题D ．命题“若4a b +…，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题是真命题． 【解答】解：A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”，故A 错误；B ．因为“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同或相反或至少有一个零向量”故原命题为假命题，逆否命题也是假命题，B 正确；C ．命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”的逆否命题是：若5a b +=，则3a =且2b =，是假命题，故C 错误；D ．命题“若4a b +…，则a 、b 中至少有一个大等于2”的逆命题为：“若a 、b 中至少有一个大等于2，则4a b +…”逆命题是假命题，故D 错误． 故选：B ．5．已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是( ) A ．221364x y+=B ．221364x y +=或221436x y +=C ．2213632x y +=D ．2213632x y +=或2213632y x +=【解答】解：根据题意，要求椭圆的长轴长为12，则212a =，即6a =， 又由两个焦点恰好将长轴三等分，则24c =，则2c =，则b ==若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为2213632x y +=， 若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为2213632y x +=， 则要求椭圆的标准方程为2213632x y +=或2213632y x +=， 故选：D ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =．用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．4345105a b c +-【解答】解：连接MN ，在△1A MN 中，11MN MA A N =+， M 是11A D 的中点，∴1111222A D AD MA b =-=-=-， 点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =． ∴111111144()55A N A C A A AB A D ==++ 144()()55AA AB AD c a b =-++=-++ ∴1114434()255105MN MA A N b c a b a b c =+=-+-++=+-，故选：D ．7．空间四边形ABCD 中若AB BD ⊥，CD BD ⊥，2AC =，1BD =，则(AC BD = )A ．12B ．1CD ．0【解答】解：因为AB BD ⊥，CD BD ⊥，所以0AB BD =，0CD BD =，则(AC BD AB BC =+ )(BD AB BD BC BD BC BD BD CD =+==+ 2)1BD BD ==． 故选：B ．8．已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则||||PA PH +的最小值是( ) A ．13B ．12C ．11D ．10【解答】解：化抛物线214y x =为标准形式24x y =， 得它的焦点为(0,1)F ，准线为:1l y =-，延长PH 交准线于G ，连接PF ，根据抛物线的定义，得： ||||||||1||||1PA PH PA PG PA PF +=+-=+-， ||||||PA PF AF +…，∴当且仅当P 、A 、F 三点共线时，||||||PA PF AF +=为最小值．||1213AF ==，||||PA PH ∴+的最小值为13112-=．故选：B ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是( )A ．{}2πB ．{|}62ππαα剟 C ．{|}42ππαα剟 D ．{|}32ππαα剟【解答】解：如图，分别以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，(P x ，0，0)(01)x 剟，并能确定以下几点坐标： 1(1,,1)2M ，1(0D ，0，1)，(0N ，1，1)2；∴111(1,,1),(0,1,)22PM x D N =-=-；∴10PM D N =； ∴1PM D N ⊥，∴2πα=．故选：A ．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线22(0)y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为( )A BC ．1+D ．1+ 【解答】解：双曲线的焦点坐标为(,0)c ，抛物线的焦点坐标为(2p，0)． 由题意得，2p c =，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴， 将x c =代入双曲线方程得到：2(,)b A c a，将A 的坐标代入抛物线方程得到422b pc a=，即4224440a a b b +-=．解得ba =，∴222222b c a a a -==+解得：1ca =+．故选：C ．11．已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△12PF F 的面积为( )A ．112B ．212C ．D ．【解答】解：由题意，12||||2||PF PF m -=，12||||2||PF PF a +=， 1||||||PF m a ∴=+，2||||||PF a m =-，椭圆222116x y a +=与双曲线22215x y m -=有共同的焦点，22165a m ∴-=+， 2221a m ∴-=，2222221222224(16)24224(16)11cos 2()4221m a a a a a F PF a m +---+--∴∠===-．12sin F PF ∴∠=∴△12PF F 的面积为121211||||sin 2122PF PF F PF ∠=⨯= 故选：C ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．1) 【解答】解：由题意可设(0,)B b ，(,0)F c ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 线段AB 中点为K ，且2CF FK =，可得F 为ABC ∆的重心，设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=，即有AB 的中点M 坐标，可得 12322x x c x +==，1222y y by +==-，由题意可得中点在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有0e <<．故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13．命题“x R ∀∈，2210mx mx -+>”是真命题，则实数m 的取值范围为 ：[0，1) ． 【解答】解：因为命题“x R ∀∈，2210mx mx -+>”是真命题，所以分两种情况讨论： ①当0m =时：不等式化简为10>，对x R ∀∈恒成立，符合题意． ②当0m ≠时：200,0440m m m m >>⎧⎧⎨⎨<-<⎩⎩即， 解得：01m <<． 综上所求：01m <…． 故答案为：[0，1)．14．双曲线2244x y -=的一条弦恰被点(8,1)P 平分，则这条弦所在的直线方程是 2150x y --= ．【解答】解：设所求弦的两个端点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则221144x y -=，222244x y -=，两式作差可得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=-+， ∴121212122824()421y y x x x x y y -+⨯===-+⨯⨯， 即AB 所在直线的斜率2k =．∴弦AB 所在直线方程为12(8)y x -=-，即2150x y --=．故答案为：2150x y --=．15．已知M 、N 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点，O 是坐标原点，且满足3MF FN =，|OMN S MN ∆=，则p 的值为 8 ．【解答】解：不妨设直线MN 的斜率0k >，过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为G ，H ，过N 作NK MG ⊥于K ，由3MF FN =，得||3||MF FN =，||3||MG NH ∴=， 1||2||2||||2MK NH NF MN ∴===，|||NK MN ∴==， 由13||||||2OMN OMF ONF S S S NK OF p MN ∆∆∆=+==，又||OMN S MN ∆，∴|||p MN MN ，得8p =． 故答案为：8．16．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒且1AA AB =，M 为侧棱1AA 的中点，E ，F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BE C F =，当E ，F 运动时，下列结论中正确的序号是 ①②③ ．①在MEF ∆内总存在与平面ABCD 平行的线段； ②平面MEF ⊥平面11BCC B ； ③三棱锥1A MEF -的体积为定值； ④MEF ∆可能为直角三角形．【解答】解：如图，对于①，因为1BE C F =，所以1BC 过平面11BB C C 的中心O ，连接MO ，因为M 为侧棱1AA 的中点，所以//MO 平面ABCD ，又因为MO ⊂平面MEF ，所以在MEF ∆内总存在与平面ABCD 平行的线段，故①对； 对于②，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒且1AA AB =，连接11A C ，AC ，则三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，则MO ⊥平面11BB C C ，因为MO ⊂平面MEF ，所以平面MEF ⊥平面11BCC B ，故②对；对于③，因为△1A ME 面积始终不变，点F 到平面1A ME 的距离不变，所以三棱锥1F A ME -的体积不变，即三棱锥1A MEF -的体积不变，故③对；对于④，若MEF ∆为直角三角形，则必是以EMF ∠为直角的直角三角形，但EF 的最大值为1BC ，而此时DE ，DF 的长大于1BB ，所以MEF ∆不可能为直角三角形，故D 错， 故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若命题p ：实数x 满足240x x -…，命题q ：实数x 满足(1)(1)0(0)x a x a a -+-->…． （Ⅰ）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由:(4)0p x x -…，得04x 剟， 当2a =时，由:(12)(12)0q x x -+--…，得1x -…或3x …， :1q x ∴-…或3x …． p q ∧为真命题，p ∴真且q 真，则0413x x x ⎧⎨-⎩或剟剠，解得34x 剟． ∴实数x 的取值范围为34x 剟；（Ⅱ）0a >，由:(1)(1)0q x a x a ⌝-+--<，得11(0)a x a a -<<+>． 设{|04}A x x =剟，{|11B x a x a =-<<+，0}a >． p 是q ⌝的必要不充分条件，B A ∴Ü． ∴1014a a -⎧⎨+⎩……，解得1a …． 又0a >，01a ∴<…． ∴实数a 的取值范围为01a <…．18．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，(0,，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）在圆223x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程． 【解答】解：（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>，且c =①，双曲线的渐近线方程为y =，即ab =②．又222a b c +=⋯③，由①②③可得1a b ==．得双曲线方程为：2212y x -=； （Ⅱ）设轨迹上任一点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为0(x ，0)y ， 则依题意可知D 点坐标为0(0,)y ，PD 的中点为M ，∴002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩， 点P 在圆223x y +=上运动，22003x y +=，得2243x y +=， 经检验所求方程符合题意， ∴点M 的轨迹方程为221334x y +=． 19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点．（Ⅰ）求证//AM 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小．【解答】解：方法一（Ⅰ）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ， O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形，//AM OE ∴OE ⊂平面BDE ，AM ⊂/平面BDE ，//AM ∴平面BDE（Ⅱ）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ， AB AF ⊥，AB AD ⊥，AD AF A =，AB ∴⊥平面ADF ，AS ∴是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS DF ⊥BSA ∴∠是二面角A DF B --的平面角在Rt ASB ∆中，6AD AF AS DF ==，AB =∴tan 60ASB ASB ∠=∠=︒， ∴二面角A DF B --的大小为60︒方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 设ACBD N =，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是、(0，0，1)，∴(NE =-， 又点A 、M 的坐标分别是、∴(AM=-∴NE AM=且NE与AM不共线，//NE AM∴又NE⊂平面BDE，AM⊂/平面BDE，//AM∴平面BDF（Ⅱ）AF AB⊥，AB AD⊥，AF AD A=，AB∴⊥平面ADF∴(AB=为平面DAF的法向量22(,,1)(2,2,0)0 NE DB=---=，∴22(,,1)(2,2,0)0NE NF=--=得NE DB⊥，NE NF NE⊥∴为平面BDF的法向量1cos,2AB NE∴<>=∴,AB NE的夹角是60︒即所求二面角A DF B--的大小是60︒20．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，C 上一3(,)2M m 点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=，QB PB μ=，求证：λμ+是定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得抛物线的准线为2px =-， 抛物线上一点3(,)2M m 到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得3222p+=，1p ∴=，∴抛物线的方程为22y x =，2322m =⨯，∴m =∴3(,2M ， （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时不符合题意，故直线l 的斜率k 必存在且不为0． 直线l 过点(1,0)P ，∴设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 当0x =时y k =-，∴点Q 坐标为(0,)k -， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22y kx k y x =-⎧⎨=⎩得22y y k k =-，整理得22200ky y k k --=≠，∴△2480k =+>，∴12122,2y y y y k+==-， ∴11(,)QA x y k =+，11(1,)PA x y =-QA PA λ=，1(x ∴，11)(1y k x λ+=-，1)y ， 11y k y λ∴+=，即11y k y λ+=，同理可得22y ky μ+=，∴121212121222()212y k y k y y k y y k k y y y y λμ+++++=+==+=-． 故λμ+是定值．21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面)ABCE ． （Ⅰ）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）若PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，∴四边形ABED 为菱形，BD AE ∴⊥，OB AE ∴⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OB OP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，AE ∴⊥平面POB ，又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知四边形ABED 为菱形，2AD DE ∴==， 在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，PAE ∴∆正三角形，∴OP =，同理OB =，PB =222OP OB PB ∴+=，OP OB ∴⊥，由（Ⅰ）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，由题意得，各点坐标为P ，(1A -，0，0)，B，C ，(1E ，0，0)，∴(0,3,3),(2,3,PB PC =-=，(2,0,0)AE =，设(01)PQ PB λλ=<<，)AQ AP PQ AP PB λ=+=+=， 设平面AEQ 的一个法向量为(n x =，y ，)z ， 则00n AE n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20)0x x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴(0n =，1，)1λλ-，设直线PC 与平面AEQ 所成角为,[0,]2πθθ∈，则||15sin |cos ,|5||||PC n PC n PC n θ=<>==，即=，化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ ．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1x =所得线段的长度C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．【解答】解：()I 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，b c ∴=，2a b =，当1x =时，22211(1)2y b a =-=，22a ∴=，21b =，∴椭圆的方程是2212x y +=． ()II 解法一：设0(P x ，0)y ，(0,)M m ，(0,)N n ， 由222212(1)1x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x =∴0[(0,22)x ∈-． 直线PM 的方程：00y m y m x x --=，化简得000()0y m x x y x m --+=． 又圆心(1,0)到直线PM 的距离为1，∴1=，22222000000()()2()y m x y m x m y m x m ∴-+=-+-+，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，同理有2000(2)20x n y n x -+-=．0022y m n x -∴+=-，002x mn x -=-，||||MN m n ∴=-==． 0(P x ，0)y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，||MN ∴===，∴()f x =[上单调递减，在(0,2-内也是单调递减， ∴()(0,1)(1,221)f x ∈-，当0x =时，||MN取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(，0)．解法二：由222212(1)1x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x =∴0[(0,22)x ∈-．设过点P 的圆的切线方程为y kx b =+，圆心(1,0)到直线PM 的距离为1，∴1=，化简得212b k b -=，212b y x b b -∴=+． 设0(p x ，0)y 则2000(2)20x b y b x --+=， 012022y b b x -∴+=-，01202x b b x -=-，12||||MN b b ∴=-==． 0(P x ，0)y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，||MN ∴∴===∴()f x =[0)上单调递减，在(0,2-内也是单调递减， ∴()(0,1)(1,221)f x ∈-，当0x =时，||MN取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(，0)．。
福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
福建省福州市八县一中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.3.已知幂函数的图象过（4，2）点，则（）A. B. C. D.4.设函数，若，则的值为（）A. 2B. 1C.D.5.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.6.已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则=（）A. 0B. 1C. 2D. 37.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A. B. C. D.8.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.9.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是( )A. B. C. D.11.已知，则下列各式一定．．正确的是（）A. B. C. D.12.已知函数，若且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.已知集合，则集合子集的个数为_______________14.计算：=_________________15.已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________16.如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：①函数存在“线性覆盖函数”；②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；③为函数的一个“线性覆盖函数”；④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则其中所有正确结论的序号是___________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合,(1)求；(2)若集合，且，求实数的取值范围．18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；（1）求函数在上的解析式并画出函数的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）（2）（ⅰ）写出函数的单调递增．．．．区间；（ⅱ）若方程在上有两个．．不同的实数根，求实数的取值范围。
福州名校2019-2020学年九年级上期期中考试数学试卷(含答案)
福州一中2019-2020学年度上期九年级期中考试数学试卷1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆B．等腰三角形C．平行四边形D．菱形2．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．12B．13C．310D．153．已知圆锥的底面半径为50cm,母线长为80cm,则此圆锥的侧面积为( )A．4000πcm2B．3600πcm2C．2000 πcm2D．1000πcm24．如图，点P为圆O外一点，PA为圆的切线，PO交圆O于点B，∠P=30°，OB=4,则线段BP的长为（）A．6B．C．4D．85．若二次函数y=ax2+bx+a2-3（a、b为常数）的图象如图所示，则a的值为（）A．1B C．D．-36．若正方形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R ∶a ＝…（ ）A ．1:1:B ．2C ．D 2:47．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）C.2D.128．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人9．已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）．A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++10．正方形ABCD 的边长为8，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM⊥MN.则AN的最小值是（ ）A ．8B ．C ．10D ．第II 卷（非选择题)二、填空题 11．一元二次方程x 2+x=0的根是 ．12．二次函数22(2)3y x =+-的顶点坐标是__________.13．点A(O ，3)，点B(4，0)，则点O(0，0)在以AB 为直径的圆____（填内、上或外）.14．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将 Rt △ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt △ADE ，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_____．15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.估计这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为_______.三、解答题16．（1）计算：2cos60tan30︒︒+︒（2）如图所示,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.①画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1;②求旋转过程中动点B所经过的路径长 (结果保留π）17．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．18．如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东37°方向上的B处,求此时轮船所在的B结果精确到0.1). 处与灯塔P的距离(sin53°=0.8，sin37°=0.6， 1.719．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上一点，∠EAF=45°．将△ABE绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG，连接EF，求证EF=FG．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=ca．21．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价﹣成本）22．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若32FDEF，求证：A为EH的中点．(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．24．如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求： PD+DQ 的最大值；②PD.DQ的最大值.参考答案1．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有10个小球，其中白球有2个，∴摸出一个球是白球的概率是210=15，故选：D．【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．3．A【解析】【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积=π×50×80=4000πcm2．故选：A．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．4．C【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【详解】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=4，∴AO=4，则OP=8，故BP=8-4=4．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．5．C【解析】【分析】根据图象可以知道二次函数y=ax2+bx+a2-3经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．【详解】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2-3=0，解得∵函数开口向下，a ＜0，∴故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】经过圆心O 作正方形一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠O=45°．OC 是边心距r ，OA 即半径R ．根据三角函数即可求解．【详解】作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．在中心的直角三角形的角为3604245︒÷÷=︒，∴内切圆的半径为 2a ，外接圆的半径为2，∴r R a =：：．故选B ．【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来． 7．D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD ，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB ，∴tan ∠DEB= tan ∠DAB=12， 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键． 8．C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：x （x-1）=55，化简得：x 2-x-110=0，解得：x 1=11，x 2=-10（舍去），故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.9．B【解析】试题分析：抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，即可看作把抛物线向下、向左平移2个单位，再根据“左加右减，上加下减”的规律分析即可。
2019-2020学年福建省福州市八县(市、区)一中高二上学期期中联考数学答案
又 a2 b2 c2 ③，由①②③ a 2,b 1……………………………………5 分
得双曲线方程为： y2 x2 1…………………………………………………………6 分 2
（Ⅱ）设轨迹上任一点 M 的坐标为 x, y ，点 P 的坐标为 x0, y0 ， 则依题意可知 D 点坐标为 0, y0 ……………………………………………………8 分
3
20．（本小题满分 12 分=5 分+7 分）
解：（Ⅰ）依题意得抛物线的准线为 x p ，…………………………………………1 分 2
抛物线上一点
M
3 2
,
m
到焦点的距离为
2
，由抛物线的定义可得
3 2
p 2
2
，
p 1 ，……………………………………………………………………………………2 分
AE BC 2, PAE 正三角形OP 3，同理 OB 3 PB 6 ,OP2 OB2 PB2 ,∴OP⊥OB，…………………………………………6 分
由（Ⅰ）可知 OP AE,OB AE ，以 O 为原点， OE,OB,OP 分别为 x 轴， y 轴，为 z
∴ q : x 1或x 3 …………………………………………………………2 分 p q 为真命题， p 真且 q 真
0 x
x4 1或x
3 3
x
4
………………………………………………4 分
∴实数 x 的取值范围为 3 x 4 ……………………………………………5 分
（Ⅱ）因为 a 0 ，由 q : (x 1 a)(x 1 a) 0 得1 a x 1 a a 0 …7 分
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 给出下列四个关系式：①√3∈R ；②Z ∈Q ；③0∈⌀；④⌀⊆{0}.其中正确的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知全集U ={−2,−1,0，1，2}，A ={y|y =|x|,x ∈U}，则∁U A =( )A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2} 3. 已知函数f (x )={3x −1,x ≤11+log 2x,x >1，则函数f(x)的零点为( ) A. 12，0B. −2，0C. 12D. 0 4. 函数f(x)=11−2x +lg(1+3x)的定义域是( ) A. (−∞ ,−13)B. (−13 ,12)∪(12,+∞)C. (12,+∞)D. (13 ,12)∪(12,+∞) 5. 已知f(x)=，则f[f(−3)]等于( ) A. 0B. πC. π2D. 9 6. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. y =x x+1B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 2 7. 已知x =log 52，y =log 2√5，z =3−12，则下列关系正确的是( ) A. x <z <yB. x <y <zC. z <x <yD. z <y <x 8. 设函数f(x)满足：①y =f(x +1)是偶函数；②在[1,+∞)上为增函数，则f(−1)与f(2)大小关系是( ) A. f(−1)>f(2) B. f(−1)<f(2) C. f(−1)=f(2) D. 无法确定9. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A. B.C. D. 10. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<411. 某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高25％，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆(参考数据：lg1.25≈0.097，lg1.3≈0.11，lg4≈0.60)( )A. 2021年B. 2022年C. 2023年D. 2024年12. 已知函数f (X )={log 5(1−x )(x −1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f (x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数y ﹦x a 的图象经过点(4,2)，则f(16)的值是___________．14. 已知集合A ={a,b}，B ={a,b ，c ，d ，e}，满足条件A ⊆M ⊆B 的集合M 的个数为______．15. 已知函数f(x)=12x +1−x ，则f(12)+f(−12)=__________，f(x)+f(1−2x)⩽1的解集为________． 16. 函数，若方程f(x)=a 恰有三个不同的解，记为x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|−3<2x +1<11}，B ={x|m −1≤x ≤2m +1}(1)当m =3时，求A ∩∁R B ；(2)若A ∪B =A ，求m 的取值范围．18. 求值：log 23⋅log 34+(log 224−log 26+6)23．19. 函数f(x)=(12x −1+12)x 3．(1)判断并证明f (x )的奇偶性；(2)求证：在定义域内f(x)恒为正．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知k∈R，函数f(x)=x−k(1)若f(f(x))=x−4，求实数k的值；(2)设函数g(x)=f(x)−√x+1，若g(x)≥0在区间[0,3]上恒成立，求实数k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m−1)x2+x+1，(m∈R)．(1)函数ℎ(x)=f(tanx)−2在[0,π2)上有两个不同的零点，求m的取值范围；(2)当1<m<32时，f(cosx)的最大值为94，求f(x)的最小值；(3)函数g(x)=√2sin(x+π4)+m+1，对于任意x∈[−π2,0]，存在t∈[1,4]，使得g(x)≥f(t)，试求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系及集合的特点，是基础题．利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系，逐一判断即可．【解答】解：①，元素与集合之间应用符号“∈，∉”，故√3∈R，正确；②，集合与集合之间是包含关系，故Z∈Q，错误；③，空集中没有一个元素，{0}有一个元素0，故0∈⌀，错误；④，空集是任何非空集合的真子集，故⌀⊆{0}，正确；其中正确的个数是2．故选B．2.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．【解答】解：当x≤1时，3x−1=0；解得，x=0；(舍去)；当x>1时，1+log2x=0，解得，x=12故函数f(x)的零点为0；故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数的定义域．由函数解析式有意义，得不等式组，求解．【解答】解：∵函数为f(x)=11−2x +lg(1+3x)，∴{1−2x ≠01+3x >0， ∴x >−13且x ≠12， ∴函数的定义域为(−13 ,12)∪(12,+∞)．故选B ． 5.答案：B解析：∵−3<0∴f(−3)=0∴f[f(−3)]=f(0)=π故选：B6.答案：B解析：解：A 中，y ==1−1x+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B 中，y =1−x 在R 上是减函数，∴在(−∞,0)上单调递减，满足条件；C 中，y =x 2+x 在(−∞,−12)上是减函数，在(−12,+∞)上是增函数，∴不满足条件；D 中，y =1−x 2在(−∞,0)上是增函数，∴不满足条件；故选：B ．根据基本初等函数在某一区间上的单调性质，判定各选项中的函数是否满足条件．本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题．7.答案：A解析：【分析·】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：x =log 52<log 5√5=12，y =log 2√5>1，z =3−12=√3∈(12,1)． ∴x <z <y ．故选：A ． 8.答案：A解析：【分析】本题重点考查学生对于函数性质的理解，属于中档题．【解答】由y =f(x +1)是偶函数，得到y =f(x)的图象关于直线x =1对称，∴f(−1)=f(3)，又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(−1)>f(2)，故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．【解答】解：因为f(0)=1+ln 2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln 2)，所以排除A 、B 、C ，故选D ．10.答案：C解析：【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．【解答】解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数，可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0，所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了函数模型的应用，考查了指数不等式和对数不等式，属于中档题．根据题意列出不等式，求解即可．【解答】解：设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过800万辆，根据题意，得260(1+25%)n>800，即1.25n>4013，两边取对数，得nlg1.25>lg4013，∴n>lg4−lg1.3lg1.25≈5.05，∴n=6，即2017+6=2023．∴该工厂到2023年的产量才能首次超过800万辆．故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．【解答】解：由基本不等式可得，x+1x −2≥0或x+1x−2≤−4；作函数f(x)={log5(1−x)(x<1)−(x−2)2+2(x≥1)的图象如下，①当a>2时，x+1x −2<−24或0<x+1x−2<1，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为4；②当a=2时，x+1x −2=−24或0<x+1x−2<1或x+1x−2=2，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；③当1<a<2时，−24<x+1x −2<−4或0<x+1x−2<1或1<x+1x−2<2或2<x+1x−2<3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为8；④当a=1时，x+1x −2=−4或0<x+1x−2<1或1=x+1x−2或x+1x−2=3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为7；⑤当0<a<1时，−4<x+1x −2<0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；⑥当a=0时，x+1x −2=0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为3；⑦当a<0时，x+1x −2>3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为2．故选B．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．根据幂函数的图象过点(4,2)，求出f(x)的解析式，再计算f(16)的值．【解答】解：∵幂函数f(x)=x a的图象经过点(4,2)，∴4a=2，解得a=12，∴f(x)=√x，∴f(16)=√16=4．故答案为4．14.答案：8解析：【解答】解：∵A={a,b}，B={a,b，c，d，e}，A⊆M⊆B，∴M={a,b}，{a,b，c}，{a,b，d}，{a,b，e}，{a,b，c，d}，{a,b，c，e}，{a,b，d，e}，{a,b，c，d，e}，共8个，故答案为：8．【分析】列举出满足条件的集合M ，从而判断其个数即可．本题考查了集合的子集和真子集的定义，是一道基础题．15.答案：1，(−∞,1]解析：【分析】本题主要考查了函数值的求解，以及利用函数的增减性解不等式，得出f(x)+f(−x)=1，将不等式变形是解题的关键.利用f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)以及函数单调性去掉函数f ，得到不等式求得解集．【解答】解：∵f (x )=12x +1−x ，∴f (x )+f (−x )=12x +1−x +12−x +1+x =12x +1+2x 1+2x =1， ∴f(12)+f(−12)=1．不等式f(x)+f(1−2x)≤1，即f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)，∴f(1−2x)≤f(−x)，显然f(x)在定义域R 上是减函数，∴1−2x ≥−x ，解得：x ≤1，∴f(x)+f(1−2x)≤1的解集为(−∞,1]．故答案为1，(−∞,1]．16.答案：(5π3−1,5π3)解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，难度一般．【解答】解：∵x 1,x 2,x 3是方程的三个不同的根，∴方程f(x)=a 有三个不同的解，∴1<a <2，设x 1<x 2<x 3，∵0<x <π，，，，结合图象可知：，∵1<2−x<2，∴−1<x<0，∴−1<x1<0，则x1+x2+x3∈(5π3−1,5π3)．故答案为(5π3−1,5π3)．17.答案：解：(1)由题意可知A={x|−2<x<5}，当m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，∴A∩∁R B={x|−2<x<2}；(2)∵A∪B=A，∴B⊆A．①若B=⌀，则m−1>2m+1，即m<−2；②若B≠⌀，则{m−1≤2m+1m−1>−22m+1<5，即−1<m<2，综上，m的取值范围是m<−2或−1<m<2．解析：(1)当m=3时，求出B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，即可求A∩∁R B；(2)若A∪B=A，则B⊆A，分类讨论求m的取值范围..本题考查集合的运算，考查集合关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.答案：解：原式=lg3lg2×2lg2lg3+(log2246+6)23=2+823=2+23×23=6．解析：本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质，属于基础题．利用对数的运算法则、指数幂的运算性质即可得出．19.答案：(1)解：判断得到f(x)是偶函数．证明：f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，对于任意x ∈{x|x ≠0}，有f(−x)=(12−x −1+12)(−x )3=−(2x 1−2x +12)x 3=(2x −1+12x −1−12)x 3=(12x −1+12)x 3=f(x)， 所以f(x)是偶函数；(2)证明：当x >0时，2x −1>0且x 3>0，所以f(x)=(12x −1+12)x 3>0，又因为f(x)是偶函数，所以当x <0时，f(x)>0也成立， 综上，在定义域内f(x)恒为正．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查恒成立问题的求解，考查转化思想，定义是研究函数基本性质的常用方法，要熟练掌握．(1)先求函数定义域，然后判断f(x)与f(−x)的关系，根据奇偶性的定义可作出判断；(2)先利用指数函数的性质证明x >0时f(x)>0，然后利用偶函数的性质证明x <0时f(x)>0．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5，当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ，即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)∵f(x)=x −k ，∴f(f(x))=f(x −k)=x −k −k =x −2k =x −4 ，∴2k =4 ，∴k =2；(2)由题得g(x)=f(x)−√x +1=x −k −√x +1，∵g(x)⩾0在区间[0,3]恒成立 ，∴x −k −√x +1⩾0在区间[0,3]恒成立，∴k ⩽x −√x +1在区间[0,3]恒成立，即k ⩽(x −√x +1)min ，令t =√x +1∈[1,2] ，则x =t 2−1，∴ℎ(t)=t 2−1−t =(t −12)2−54，∴ℎ(t)在区间[1,2]上为单调增函数，所以ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=−1，∴k ≤−1，∴实数k 的取值范围k ≤−1．解析：本题考查函数的解析式求法，以及不等式恒成立问题，属于中档题．(1)将f(x)=x −k 中x 换成x −k ，即可得到f(f(x))=x −k −k =x −4，求出k ；(2)将不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22.答案：解：(1)ℎ(x)=f(tanx)−2=(m −1)tan 2x +tanx −1，∵x ∈[0,π2)，tanx ∈[0,+∞)，令tanx =t ∈[0,+∞)， 则(m −1)t 2+t −1=0在[0,+∞)上有2个不同的实数根，于是{▵=1+4(m −1)>0t 1t 2=−1m−1≥0t 1+t 2=−1m−1>0，解得：34<m <1； 所以m 的范围为(34,1);(2)f(x)=(m −1)x 2+x +1，f(cosx)=(m −1)[cosx +12(m−1)]2+1−14(m−1)，∵1<m <32，∴0<2(m −1)<1，12(m−1)>1，−12(m−1)<−1，∴当cosx =1时，即x =2kπ，k ∈Z 时取最大值，f(cosx)max =f(1)=m +1=94，∴m =54， ∴f(x)=14x 2+x +1，∴f(x)min =0；(3)由题意得：g(x)min ≥f(t)有解，∵−π2≤x ≤0，−π4≤x +π4≤π4，∴−√22≤sin(x +π4)≤√22， ∴m ≤√2sin(x +π4)+m +1≤m +2，故g(x)min =m ，而f(t)=(m −1)t 2+t +1，t ∈[1,4]，由题意(m −1)t 2+t +1≤m 有解，当t =1时，不等式不成立，当t ∈(1,4]时，m ≤t 2−t−1t 2−1=1−t t 2−1， 令ℎ(t)=1−t t 2−1=1−1t−1t ，ℎ(t)在(1,4]递增， 故ℎ(t)max =ℎ(4)=1115，故m ≤1115，综上，m 的范围是(−∞,1115].解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(1)通过换元法以及二次函数的性质求出m的范围即可；(2)求出f(cosx)的解析式，根据函数的单调性求出f(cosx)的最大值，得到关于m的方程，求出m的值，从而求出函数的解析式，求出函数的最小值即可；(3)问题转化为g(x)min≥f(t)有解，求出g(x)的最小值，再分离参数m，根据函数的单调性求出m 的范围即可．。
2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合A ={-1，0，1，2}，{|02}B x x =≤<，则A B =( )A ．{1,-0，1}B ．{0,1，2}C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【解析】由交集的概念直接运算即可． 【详解】解：{}A 1,0,1,2=-,{|02}B x x =≤<,{}0,1A B ∴⋂=.故选:C. 【点睛】本题考查了列举法,描述法的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题. 2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ） A ．12y x = B ．23y x =C ．4y x -=D ．13y x =【答案】B【解析】对于A ，12y x =定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以A 不具有奇偶性，不对； 对于B ，23y x =是过点()0,0，()1,1的偶函数，B 对； 对于C ，4y x -=定义域为{}|0x x ≠ 不过点()0,0，不对；对于D ，13y x =过点()0,0，()1,1但它为奇函数，不对； 故选B3．下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（ ）3230(1)()();1, 0||(2)()();1,0(3)()1().f x xg x x x x f x g x x x f x g x x ==>⎧==⎨-<⎩==和和和A ．（1）、 （2）B ．（2）C ．（1）、（3）D ．（3） 【答案】B【解析】试题分析：（1）()x x f =，()x x g =，所以不是同一函数，（2）()⎩⎨⎧-=11x f 00<>x x ，函数的三个要素一样，所以是同一函数，（3）()x f y =的定义域是R ,()x g y =的定义域是{}0≠x x ，定义域不同，所以不是同一函数． 【考点】函数的表示方法4．函数()234x x f x x--+=的定义域为（）A ．()(]1,00,1-⋃B ．(]1,1-C ．(]4,1--D ．[)(]4,00,1-【答案】D【解析】根据被开方式与分母的限制建立不等式组即可得到结果. 【详解】由函数的解析式可知：23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，解得：410x x -≤≤⎧⎨≠⎩， ∴函数()234x x f x x--+=的定义域为[)(]4,00,1-故选：D 【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于常考题型.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.5．函数 21()()1f x x R x=∈+的值域是． A ．(0，1) B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]【答案】B【解析】令21t x =+，根据1()f t t=单调性可以完成本题. 【详解】令21t x =+，则[)1+t ∈∞，又1y t =在[)1+t ∈∞，单调递减所以21()()1f x x R x=∈+值域为(]0,1，所以选择B 【点睛】考查函数值域问题，可以将函数合理转化变成我们熟悉的函数，根据单调性来求值域. 6．函数()1(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】讨论1a >和01a <<,结合函数的单调性和定点范围利用排除法进行排除即可. 【详解】解：若1a >,则函数()f x 为增函数,此时,C ，D 不成立,()()1010,1f a=-∈,则A,B 不成立; 若01a <<,则函数()f x 为减函数,此时A,B 不成立,()1010f a=-<,则D 不成立,故C 有可能. 故选:C. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数单调性和()0f 是否对应,结合排除法是解决本题的关键,属于基础题.7．已知函数()11(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过点A ，下列函数图象不经过点A( )A ．12y x =-+B ．21y x =-+C ．131y x-=+D ．12x y -=【答案】D【解析】令10x -=求得()f x 图象恒过点A 的坐标,再验证选项中的函数是否过点A. 【详解】解：函数()11x f x a-=+中,令10x -=,解得1x =,()0112y f a ==+=,所以()f x 的图象恒过点A(1,2);对于A,1x =时,1122y =-+=,则函数图象过点A; 对于B,1x =时,1212y =-+=,则函数图象过点A; 对于C,1x =时,13112y -=+=,则函数图象过点A; 对于D,1x =时,1121y -==, 则函数图象不过点A.故选:D. 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的问题,属于基础题. 8．“()20a b c -⋅>”是“a b >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用不等式的性质,结合充分条件和必要条件的概念判断即可得出答案. 【详解】解：由()20a b c -⋅>,得20c >,a b ∴>,则()20a b c -⋅>是a b >的充分条件;反之,由a b >,得()20a b c -⋅≥,则()20a b c -⋅>是a b >的不必要条件;∴“()20a b c -⋅>”是“a b >”的充分不必要条件.故选:A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题. 9．若()14f x x=,则不等式()()816f x f x >-的解集是( )A ．162,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]0,2C ．[)2,+∞D ．()0,∞+【答案】A【解析】由幂函数()14f x x =的定义域和单调性得出不等式组08160816x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪>-⎩,解不等式组即可得出答案.【详解】 解：由()14f x x=得()f x 是定义在[)0,+∞上的增函数,则由不等式()()816f x f x >-得()()082082x x x x ⎧≥⎪-≥⎨⎪>-⎩,解得:162x 7≤<. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性的应用,属于基础题,本题易错点是不考虑定义域. 10．已知函数()21f x mx mx =++的定义域是一切实数，则m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤【答案】D【解析】试题分析：因为函数()21f x mx mx =++的定义域是一切实数，所以当0m =时，函数()1f x =对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D. 【考点】函数的定义域.11．已知函数()()()211,121,1a x a x f x a x x ⎧--≤⎪=⎨⎪+>⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(),1-∞-B ．(),4-∞-C ．(]1,4--D ．(],4-∞-【答案】D【解析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】解：若函数()f x 在R 上为减函数,则10101112a a a a a ⎧⎪-<⎪+<⎨⎪⎪--≥+⎩, 即114a a a <⎧⎪<-⎨⎪≤-⎩,解得4a ≤-, 即实数a 的取值范围是(],4-∞-, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了分段函数单调性的应用,深刻理解分段函数单调性的性质是解决本题的关键,是常考题型,属于基础题.12．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ） A ．[1,)+∞ B ．(0,1]C ．[2,)+∞D ．(0,)+∞【答案】A【解析】不妨设，12x x >，任意[)()()121212,1,,1,f x f x x x x x -∈+∞>∴-可得()()1122f x x f x x ->-，可得()f x x -在[)1,+∞上递增，()221f x x ax x -=-+的对称轴01,11a x a a>⎧⎪=∴⎨≤⎪⎩，得1a ≥，故选A.二、填空题13．已知函数()212f x x x -=-，则()2f =______．【答案】3【解析】推导出函数()212f x x x -=-,()()231f f =-,由此能求出结果.【详解】解：函数()212f x x x -=-,()()22313233f f ∴=-=-⨯=.故答案为:3. 【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数性质的应用,考查运算求解能力,属于基础题. 14．已知函数()35bf x ax x=++，且()79f =，则()7f -=______． 【答案】1【解析】由已知可得()377597b f a =++=,从而可求377ba +,然后代入()7f -即可求解. 【详解】 解：()35bf x ax x=++, ()377597bf a ∴=++=,3747b a ∴+=,由()337777b b a a ⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭, 则()37754517b f a ⎛⎫-=-++=-+= ⎪⎝⎭.故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.15．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则a =______．【答案】14【解析】由已知分段函数表达式可看出在分段定义域上均为单调增函数,则可得0111a a <<⎧⎨+≥⎩或0111a a <+<⎧⎨≥⎩,分别讨论a 的值,利用()()1f a f a =+求出a 的值即可. 【详解】解：由()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩可得在分段定义域上函数均为单调增函数,当()0,1a ∈,[11,)a +∈+∞时,得()0,1a ∈,由()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,()()1f a f a =+,可得2a a =,解得14a =; 当[)1,a ∈+∞,()10,1a +∈时解得a 无解. 故答案为:14. 【点睛】本题考查了分段函数的应用,考查分类讨论思想以及计算能力,属于基础题. 16．给出以下四个命题：①若集合{},A x y =，{}20,B x =，A B =，则1x =，0y =；②若函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数()21f x +的定义域为()1,0-； ③若函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞； ④命题“R x Q ∃∈ð，3x Q ∈”的否定是“x Q ∀∈，3x Q ∉”其中正确的命题有______.(只填序号) 【答案】①②【解析】直接利用集合的元素的性质,函数的定义域的求法,函数的图象,命题的否定的应用求出结果. 【详解】解：①若集合{},A x y =,{}20,B x =,当A B =,所以:20x xy=⎧⎨=⎩与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，则2x x y ⎧=⎨=⎩解得1x =,0y =;故正确.②若函数()f x 的定义域为()1,1-,则1211x -<+<,解得10x -<<,所以函数()21f x +的定义域为()1,0-;故正确.③利用函数()1f x x=的图象,单调递减区间是(),0-∞和()0,∞+;故错误. ④命题“R x Q ∃∈ð,3x Q ∈”的否定是“R x C Q ∀∈，3x Q ∉”,故错误.故答案为:①② 【点睛】本题考查的知识要点:集合的元素的性质的应用,函数的定义域的求法和应用,函数的图象单调性的应用,命题的否定的应用,主要考查学生的转换能力及思维能力,属于基础题型.三、解答题 17．计算：()21303227101(2)(23)(2)(0.25)927π-----+；()2已知13x x -+=，求1122x x -+．【答案】（1）38948;（2）5 【解析】()1利用指数幂的运算性质即可得出;()2利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出.【详解】解：()1原式21332225641()1()()9274--=--+5918316=--+ 38948=; ()123x x -+=,112122()25x x x x --∴+=++=,又11220x x-+>,11225x x-∴+=.【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．()1现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数()f x 的图象，并根据图象写出函数()f x 的增区间；()2写出函数()f x 的解析式和值域．【答案】（1）递增区间是()1,0-，()1,+∞，图像见解析（2）()222,0{|1}2,0x x x f x y y x x x ⎧+≤=≥-⎨->⎩， 【解析】() 1由函数为偶函数,图象关于y 轴对称,故直接补出完整函数()f x 的图象即可,再由图象直接可写出()f x 的增区间;()2直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.【详解】解：()1因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数()f x 的递增区间是()1,0-,()1,+∞.()2设0x >,则0x -<,所以()22f x x x -=-,因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()f x f x -=,所以0x >时,()22f x x x =-,故()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 由图像可得值域为{|1}y y ≥-. 【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.19．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂ð；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）[)1,2 【解析】() 1根据集合运算定义直接进行计算即可;()2由“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得集合CA ,再结合集合的包含关系,求出a 的取值范围即可. 【详解】 解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ³,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得C A ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,故a 的取值范围是[)1,2. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合与充分必要条件的转化关系,属于基础题. 20．已知函数[]21(),3,51x f x x x -=∈+. (1)判断()f x 在区间[]3,5上的单调性并证明； (2)求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 在[]3,5上为增函数，证明见解析； （2）()f x 的最大值为32，最小值为54。
2019-2020学年福建省福州市八县(市)一中高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年福建省福州市八县（市）一中高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3，5，7}，B ={x|x 2−7x +10≤0}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 已知复数1z =−5i ，则z .等于( )A. −i5B. i5C. −15D. 153. 已知函数f(x)=14x +2，若函数y =f(x +m)−14为奇函数，则实数m 为( )A. −12B. 0C. 12D. 14. 已知a =2−13，b =log 213，c =，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a5. 设平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为非零向量，则“a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0”是“b ⃗ =c ⃗ ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件按6. 函数f(x)=2x +2−xx的图象大致为( )A.B.C.D.7. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(−x)=f(x +32)，f(2015)=2，则f(−2)+f(−3)=( )A. −1B. 1C. −2D. 28. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bcosC +ccosB =√2acosC ，则角C 为( )A. π6 B. π4 C. π3D. π29. 在△ABC 中，D 点为边BC 中点，记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2(a ⃗ +b ⃗ )B. 2(a ⃗ −b ⃗ )C. 12(a⃗ −b ⃗ ) D. 12(a⃗ +b ⃗ ) 10. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，若将f(x)的图象向右平移π6个单位后关于原点中心对称，则( )A. ω=2,φ=π3B. ω=2,φ=−2π3 C. ω=2,φ=π6D. ω=2,φ=2π311. 已知3a +2b =2(a >0,b >0)，则ab 的最小值是( )A. 4B. 5C. 6D. 712. 已知定义在R 上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R 上恒成立，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为( )A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 2−5x +2lnx ，则f(x)的单调递增区间为________14. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 6+a 7=18，则S 12= ______ .(考点：数列的性质) 15. 若x ，y 满足约束条件{x −2y −2⩽0x −y +1⩾0y ⩽0，则z =3x +2y 的最大值为______．16. 已知函数f(x)={x +2,0⩽x <1,2x +12,x ⩾1,若a >b ⩾0，且f(a)=f(b)，则bf(a)的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在等差数列{a n }中，a 1=−8，a 2=3a 4．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =4n(14+a n)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =7255，求n 的值．)18.已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)的值；(Ⅰ)求f(π8(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间．19.已知函数f(x)=e x，g(x)=lnx．(1)求函数y=g(x)在点A(1,0)处的切线方程；(2)已知函数ℎ(x)=f(x−a)−g(x+a)(a>0)区间(0,+∞)上的最小值为1，求实数a的值．20.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a(n∈N∗)．(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(3n+1)a n，求数列{b n}的前n项和T n．21.如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．(Ⅰ)求ℎ(用θ表示)(Ⅱ)求AB+BC的最大值．22.已知函数f(x)=xln(x+a)，a∈R．(1)若f(x)不存在极值点，求a的取值范围；(2)若a≤0，证明：f(x)<e x+sin x−1．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：A解析：解：∵1z =−5i，∴z=i5，∴z.=−i5，故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数奇偶性的应用以及指数方程的求解，根据g(x)=f(x+m)−14为奇函数，利用g(0)=0建立方程关系是解决本题的关键．解：设g(x)=f(x+m)−14，则g(x)的定义域为R，∵g(x)=f(x+m)−14为奇函数，∴g(0)=f(m)−14=0，即f(m)=14m+2=14，即4m+2=4，∴4m=2，解得m=12，故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．解题的关键是借助指数函数和对数函数的单调性得出a, b,c与0，1这样的特殊值的大小关系，从而得出答案． 【解答】 解： ，，，∴c >a >b ， 故选C ．5.答案：B解析： 【分析】根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量的数量积是解决本题的关键，比较基础． 【解答】解：若b ⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0成立，必要性成立，若a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0得，a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，则b ⃗ =c ⃗ 不一定成立，充分性不成立． 故“a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0”是“b ⃗ =c ⃗ ”的必要而不充分条件， 故选：B ．6.答案：D解析： 【分析】本题考查函数图象，考查函数的奇偶性，属于简单题． 依题意，函数f(x)=2x +2−xx为奇函数，排除A ，C ，又x >0时，f(x)>0，排除B ，即可求得结果．【解答】解：函数f(−x)=−2x +2−xx =−f(x)，得函数为奇函数，排除A ，C ，又x >0时，f(x)>0， 排除B ， 故选D ．7.答案：C解析：解：由f(x)为奇函数可得f(−x)=−f(x)， 再由条件可得−f(x)=f(32+x)，所以，f(3+x)=f[32+(32+x)]=−f(x +32)=f(x)， 则函数f(x)的最小正周期是3， f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=2， 即有f(−2)=−f(2)=−2， f(−3)=f(0)=0， 则f(−2)+f(−3)=−2． 故选C ．由已知得f(3+x)=f(x)，所以f(2015)=f(671×3+2)=f(2)=2.运用奇函数的性质f(0)=0，f(−2)=−f(2)，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和周期性的定义和性质，考查函数值的求法，属于中档题．8.答案：B解析： 【分析】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理化简已知等式，再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，根据sin A 不为0，求出cos C 的值，即可确定出C 的度数． 【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinCcosB =sin A cos C ，即sin(B +C)=sin A cos C ，变形得：sinA =sin A cos C ，∵sinA ≠0，∴cosC =，∴由C ∈(0,π)，可得∠C =．故选B ．9.答案：D解析：解：△ABC 中，D 点为边BC 中点，记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a ⃗ +b ⃗ )， 故选：D ．根据向量的加减的几何意义即可求出本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题10.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．【解答】解：∵函数f(x)的最小正周期是π，∴T=2πω=π，解得ω=2，即f(x)=2sin(2x+φ)，将其图象向右平移π6个单位后得到y=2sin[2(x−π6)+φ)]=2sin(2x−π3+φ)，若此时函数关于原点对称，则−π3+φ=kπ，k∈Z即φ=π3+kπ，k∈Z∵0<φ<π，∴φ=π3，故选A．11.答案：C解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵3a +2b=2(a>0,b>0)，∴2=3a +2b≥2√3a⋅2b，化为ab≥6，当且仅当a=3，b=2时取等号．∴ab的最小值是6．故选：C．12.答案：D解析：解：定义在R上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R上恒成立，可知函数f(x)是减函数，函数y=f(|x|)是偶函数，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得x<−1，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：D．利用函数的导数判断函数的单调性，结合不等式转化求解即可．本题考查函数的导数判断函数的单调性，不等式的解法，考查计算能力．13.答案：(0,12)和(2,+∞)解析： 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是求导，结合导数的概念求解单调区间． 【解答】解：由题f′(x )=2x −5+2x =2x 2−5x+2x(x >0)，令f′(x)>0可得{2x 2−5x +2>0x >0,∴x ∈(0,12)∪(2,+∞)，故所求函数单调递增区间为(0,12)和(2,+∞)， 故答案为(0,12)和(2,+∞)．14.答案：108解析：解：在等差数列{a n }中，由a 6+a 7=18，得a 1+a 12=a 6+a 7=18， ∴S 12=(a 1+a 12)×122=182×12=108．故答案为：108．由已知结合等差数列的性质求得a 1+a 12，然后代入等差数列的前n 项和得答案． 本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．15.答案：6解析： 【分析】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x −2y −2⩽0x −y +1⩾0y ⩽0，作出可行域如图中阴影部分：，由z =3x +2y 得y =−32x +12z ， 作出直线y =−32x 并平行移动结合z 的几何意义，可知当直线y =−32x +12z 经过点A 时，z 取得最大值， 由{x −2y −2=0y =0得{x =2y =0，故点A(2,0)，∴z max =3×2+0=6． 故答案为6．16.答案：[54,3)解析： 【分析】画出函数f(x)={x +2,0⩽x <1,2x +12,x ⩾1,的图象，利用已知a >b ⩾0，且f(a)=f(b)，可得b 、f(a)的取值范围，进而得出bf(a)的取值范围． 【解答】解：画出函数f(x)={x +2,0⩽x <1,2x +12,x ⩾1,的图象， 要使a >b ⩾0，且f(a)=f(b)， 令b +2=2+12，计算得出b =12， 所以12≤b <1．则bf (a )=bf (b )=b 2+2b =(b +1)2−1． 因为12≤b <1，所以54≤bf (a )<3， 所以答案为[54,3)．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2=−8+d ，a 4=−8+3d ， ∵a 2=3a 4，∴−8+d =3(−8+3d)，解得d =2， ∴a n =−10+2n ； (2)∵b n =4n(14+a n )=4n⋅(2n+4)=1n −1n+2，∴T n =(1−13)+(12−14)+⋯+(1n+1n+2)=1+12−1n+1−1n+2=7255，解得n =9．解析：本题主要考查了等差数列的通项公式和裂项相消法求和，属于基础题． (1)根据等差数列的通项计算即可；(2)求出数列{b n }的通项公式，根据裂项相消法即可得到结果．18.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=2cos 2x −cos(2x +π2)=2cos 2x +sin2x=1+cos2x +sin2x=√2sin(2x +π4)+1所以f(π8)=√2sin(π4+π4)+1=√2+1 (Ⅱ)因为f(x)=√2sin(2x +π4)+1 所以T =2π2=π又y =sinx 的单调递减区间为(2kπ+π2,2kπ+3π2)，(k ∈Z)所以令2kπ+π2<2x +π4<2kπ+3π2解得kπ+π8<x <kπ+5π8所以函数f(x)的单调减区间为(kπ+π8,kπ+5π8)，(k ∈Z)解析：(Ⅰ)通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求f(π8)的值；(Ⅱ)直接利用正弦函数的周期的求法，以及三角函数的单调性直接求函数f(x)的单调递减区间． 本题考查两角和的正弦函数与二倍角公式的应用，三角函数的周期的求法，单调区间的求法，考查计算能力．19.答案：解：(1)g ′(x)=1x ，g′(1)=1，则函数y =g(x)在点A(1,0)处的切线方程为y =x −1；……………(4分)(2)ℎ(x)=f(x −a)−g(x +a)=e x−a −ln(x +a)(a >0)，ℎ′(x)=e x−a −1x+a ，∵e x−a 在区间(0,+∞)上单调递增，1x+a 在区间(0,+∞)上单调递减，存在唯一的x 0∈(0,+∞)， 使得ℎ′(x 0)=e x 0−a −1x+a=0，即e x 0−a =1x 0+a(∗)，……………(7分)函数ℎ′(x)=e x−a −1x+a 在(0,+∞)上单调递增，∴x ∈(0,x 0)时,ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；x ∈(x 0,+∞)时,ℎ′(x)>0，单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−a −ln(x 0+a)，由(∗)式得， ∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)=1x 0+a−ln(x 0+a)，……………(9分)1x 0+a−ln(x 0+a)=1，显然x 0+a =1是方程的解，又∵y =1x −lnx 是单调减函数，方程1x 0+a−ln(x 0+a)=1有且仅有唯一的解x 0+a =1，把x 0=1−a 代入(∗)式得，e 1−2a =1，∴a =12，所求实数a 的值为12.…………………………(12分)解法2：ℎ(x)=f(x −a)−g(x +a)=e x−a −ln(x +a)(a >0)，ℎ′(x)=e x−a −1x+a ， ∵e x−a 在区间(0,+∞)上单调递增，1x+a 在区间(0,+∞)上单调递减，存在唯一的x 0∈(0,+∞)， 使得ℎ′(x 0)=e x 0−a −1x+a=0，即e x 0−a=1x 0+a(∗)，……………(7分)函数ℎ′(x)=e x−a −1x+a 在(0,+∞)上单调递增，∴x ∈(0,x 0)时,ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；x ∈(x 0,+∞)时,ℎ′(x)>0，单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−a −ln(x 0+a)，由e x 0−a =1x 0+a 式得x 0−a =−ln(x 0+a)，∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−a −ln(x 0+a)=1x 0+a+x 0−a≥2√1x 0+a⋅(x 0+a)−2a =2−2a ，(当且仅当x 0+a =1时ℎ(x 0)=2−2a)，由2−2a =1得a =12，此时x 0=12，把a =12,x 0=12代入(∗)也成立，∴实数a 的值为12.…………………………(12分)解析：(1)求出导函数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．(2)化简函数的解析式，求出导函数，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后推出a 的范围即可．解法2：ℎ(x)=f(x −a)−g(x +a)=e x−a −ln(x +a)(a >0)，ℎ′(x)=e x−a −1x+a ，判断函数的单调性，求解函数的最小值，利用基本不等式转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)∵6S n =3n+1+a(n ∈N ∗)，∴当n =1时，6S 1=6a 1=9+a ；当n ≥2时，6a n =6(S n −S n−1)=2×3n ， 即a n =3n−1， ∵{a n }为等比数列，∴a 1=1，则9+a =6，a =−3， ∴{a n }的通项公式为a n =3n−1．(2)由(1)得b n=(3n+1)3n−1，∴T n=b1+b2+⋯+b n=4×30+7×31+⋯+(3n+1)3n−1，①3T n=4×31+7×32+⋯+ (3n−2)3n−1+(3n−1)3n，②∴①−②得：−2T n=4+32+33+⋯+3n−(3n+1)3n，∴T n=(6n−1)⋅3n+14．解析：(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得：∠ADC=360°−(90°+120°+60°+θ)=90°−θ…1分在△ACD中，ADsin∠ACD =ACsin∠ADC…3分∴AC=27cosθsin60°=18√3cosθ…4分又∠CAD=30°+θ，且0<θ<60°，∴ℎ=AC⋅sin∠CAD=18√3cosθsin(30°+θ)，(0<θ<60°)…6分(Ⅱ)在△ABC中，AB=ACsinθsin120°=18sin2θ，…7分BC=ACsin(60°−θ)sin120°=36cosθsin(60°−θ)=9√3+9√3cos2θ−9sin2θ…8分∴AB+BC=9√3+9√3cos2θ+9sin2θ=9√3+18sin(2θ+60°)…10分∵0<θ<60°，…11分∴当θ=15°时，AB+BC取到最大值9√3+18…12分．解析：(Ⅰ)由已知k可求∠ADC=90°−θ，在△ACD中，由正弦定理可求AC的值，又∠CAD=30°+θ，且0<θ<60°，由ℎ=AC⋅sin∠CAD即可得解．(Ⅱ)在△ABC中，由正弦定理分别求出AB，BC，将AB+BC表示成9√3+18sin(2θ+60°)，由正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，正弦函数的图象和性质的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．22.答案：解：(1)f(x)的定义域为(−a,+∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设g(x)=ln(x+a)+xx+a ，则g′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2．[1]当−2a≤−a，即a≥0时，gˈ(x)>0，所以g(x)在(−a,+∞)上单调递增；又g(1)=ln(1+a)+11+a>0，g(e−2−a)=−1−e2a<0，即g(1)g(e−2−a)<0，所以g(x)在(−a,+∞)上恰有一个零点x0，且当x∈(−a,x0)时，fˈ(x)=g(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fˈ(x)=g(x)>0；所以f(x)在(−a,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以x0是f(x)的极小值点，不合题意，[2]当−2a>−a，即a<0时，令gˈ(x)=0，得x=−2a，当x∈(−a,−2a)时，gˈ(x)<0，当x∈(−2a,+∞)时，gˈ(x)>0；即g(x)在(−a,−2a)上单调递减，在(−2a,+∞)上单调递增．①当g(−a)=ln(−a)+2≥0，即a≤−e−2时，fˈ(x)=g(x)≥g(−2a)≥0恒成立，即f(x)在(−a,+∞)上单调递增，无极值点，符合题意．②当g(−2a)=ln(−a)+2<0，即−e−2<a<0时，g(1−a)=1−a>0，所以g(−2a)g(1−a)<0，所以g(x)在(−2a,+∞)上恰有一个零点x1，且当x∈(−2a,x1)时，fˈ(x)=g(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，fˈ(x)=g(x)>0；即f(x)在(−2a,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，所以x1是f(x)的极小值点，不合题意．综上，a的取值范围是(−∞,−e−2]；(2)因为a≤0，x>−a，所以x>0，f(x)=xln(x+a)≤xlnx，要证明f(x)<e x+sinx−1，只需证明xlnx<e x+sinx−1，当a<x≤1时，因为e x+sinx−1>0，xlnx≤0，所以xlnx<e x+sinx−1成立；当x>1时，设g(x)=e x+sinx−xlnx−1，则gˈ(x)=e x−lnx+cosx−1，−sinx，设ℎ(x)=gˈ(x)，则ℎ′(x)=e x−1x因为x>1，所以ℎˈ(x)>e−1−1>0，所以ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=e+cos1−1>0，即gˈ(x)>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)>=e+sin1−1>0，即xlnx<e x+sinx−1，综上，若a≤0，则f(x)<e x+sinx−1解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出a的范围即可．(2)设g(x)=e x+sinx−xlnx−1，根据函数的单调性证明即可．。
2019-2020学年福建省福州市八县(市、区)高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 设全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5}，集合A ＝{1, 2, 4}，集合B ＝{2, 5}，则(∁U A)∩B 等于（ ） A.{3} B.{3, 5} C.{3, 4, 5} D.{5}2. 下列函数与函数y ＝x 表示同一个函数的是（ ） A.y =(x 2)12B.y ＝lg 10xC.y ＝e ln xD.y ＝x 2⋅x −13. 利用二分法求方程log 3x ＝5−x 的近似解，可以取得一个区间（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4)4. 函数f(x)=√x−1lg (2−x)的定义域是（ ） A.(1, 2) B.[1, 2) C.(1, 2] D.[1, 2]5. 已知a ＝log 231.2，b ＝(23)−0.8，c ＝1.2−23，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.b <a <c6. 已知a >0且a ≠1，函数y =a x 与y =log a (−x)的图象可能是( )A. B. C. D.7. 有下列各式：①(√a n)n =a ；②x −34=√(1x)43；③a 34⋅a 43=a ；④√a 2+b 24=√a +b其中正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.38. 已知集合A ＝{x|ax −3＝0}，B ={x ∈N|−2≤log 12x <−1}，且A ⊆B ，则实数a的所有值构成的集合是（ ）A.{0,1,34}B.{0,1,43}C.{1,34}D.{1,43}9. 已知f(x +1)是偶函数且在[0, +∞)上是单调递增，且满足f(2)＝0，则不等式f(2x −1)≥0的解集是（ ） A.(−∞, 0]∪[1, +∞) B.(−∞,12]∪[32,+∞) C.[32,+∞) D.(−∞,−32]∪[32,+∞)10. 已知函数f(x)={a −x ,x <−1(1−2a)x +3a,x ≥−1，对任意的x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，总有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,14]B.(0,12)C.[14,12)D.(12,1)11. 已知函数f(x)=|(12)x −2|+b 的两个零点分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则下列结论正确的是（ ）A.−2<x 1<−1，x 1+x 2>−2B.−2<x 1<−1，x 1+x 2>−1C.x 1<−2，x 1+x 2>−2D.x 1<−2，x 1+x 2>−112. 若函数f(x)＝lg (x 2−(2a −1)x +a 2+1)的定义域为R ，且当x >12时，f(1−x)<f(x)，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−34,+∞)B.(−∞, 1)C.(−34,1]D.(12,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）设f(x 3)＝ln x ，则f(e)＝________13 ．幂函数f(x)＝x α的图象经过点(2,18)，则函数y ＝log a (x −α)+2(a >0且a ≠1)的图象恒过的定点A 的坐标为________．已知函数f(x)为奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则当x <0时，f(x)＝________．已知函数f(x)＝2019x −2019−x +1，则不等式f(2x −1)+f(2x)>2的解集为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）计算：（1）lg 5⋅lg 20−lg 2⋅lg 50−lg 25；（2）(179)−12−(√3−1)ln 1+log 3√34+5log 153．已知集合A ={x|18<2x+1<64}，B ={x|−3<x <6}，C ={x|m −1≤x ≤2m +1}，(m ∈R )． (1)求集合A ∪B ；(2)若C ⊆(A ∩B)，求实数m 的取值范围．设函数f(x)与g(x)的定义域是{x|x ∈R 且x ≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x x−1．（1）求f(x)与g(x)的解析式；（2）求f(12)+f(13)+f(14)+f(2)+f(3)+f(4)的值．为响应习主席提出的“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为36m 2，2019年4月底测得蒲草覆盖面积为54m 2，蒲草覆盖面积y （单位：m 2）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)与y ＝mx 2+n(m >0)可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若省环保局在2018年年底投放了11m 2的蒲草，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，求蒲草覆盖面积达到320m 2的最小月份？ （参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意的实数m 、n 均有f(m +n)＝f(m)+f(n)−1，且当x >0时，f(x)>1．（1）用定义证明f(x)的单调性．（2）求满足不等式f(x)+f(x−2)>2的x的取值范围．已知函数f(x)=log2(4x+1)−kx是偶函数．(1)求实数k的值；(2)设函数g(x)=log(m⋅2x−2m)，若方程f(x)−g(x)=0只有一个实数根，求实数2m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】A12.【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 【答案】 13【答案】 (−2, 2) 【答案】 −x 2+1x【答案】(14, +∞) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】lg 5⋅lg 20−lg 2⋅lg 50−lg 25＝(1−lg 2)(1+lg 2)−lg 2⋅(2−lg 2)−(2−2lg 2)， ＝1−lg 22−2lg 2+lg 22+2lg 2−2， ＝−1；(179)−12−(√3−1)ln 1+log 3√34+5log 153，=(916)12−(√3−1)0+14log 33+5log 513，=34−1+14+13=13． 【答案】解：(1)A ={x|18<2x+1<64}={x|−3<x +1<6} ={x|−4<x <5}， B ={x|−3<x <6}，则A ∪B ={x|−4<x <6}. (2)A ∩B ={x|−3<x <5}， 若C ⊆(A ∩B)，则当C =⌀时，即m −1>2m +1得m <−2时，成立； 当C ≠⌀时，即m ≥−2时，要使C ⊆(A ∩B)，则{m ≥−2，2m +1<5，m −1>−3，得{m ≥−2，m <2，m >−2，得−2<m <2.综上，m 的取值范围是{m|m <−2或−2<m <2}. 【答案】根据题意，f(x)+g(x)=xx−1，则f(−x)+g(−x)=−x−x−1=xx+1，又由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则f(−x)+g(−x)＝f(x)−g(x)=xx+1， 联立两式解可得：f(x)=x 2x 2−1，g(x)=xx 2−1；由（1）的结论，f(x)=x 2x 2−1，则f(1x )=1x 21x 2−1=11−x 2=−1x 2−1，则有f(x)+f(1x)=x 2x 2−1+−1x 2−1=1，则f(12)+f(13)+f(14)+f(2)+f(3)+f(4)=f(12)+f(2)+f(13)+f(3)+f(14)+f(4)＝3．【答案】若选择模型y ＝ka x ，则{ka 3=36ka 4=54，解得a =32，k =323， 故函数模型为y =323⋅(32)x ．若选择模型y ＝mx 2+n ，则{9m +n =3616m +n =54，解得m =187，n =907，故函数模型为y =187x 2+907．把x ＝0代入y =323⋅(32)x 可得y =323， 把x ＝0代入y =187x 2+907可得y =907，∵ |323−11|<|907−11|，故选择模型y =323⋅(32)x 更合适．令323⋅(32)x ≥320，可得(32)x ≥30，两边取对数可得x lg 32≥lg 30， 即x ≥lg 30lg 32=lg 3+1lg 3−lg 2=0.48+10.48−0.30≈8.2，故蒲草覆盖面积达到320m 2的最小月份为2019年9月．【答案】证明：∀x 1>x 2，x 1−x 2>0，所以f(x 1−x 2)>1，f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1−x 2+x 2)−f(x 2)＝f(x 1−x 2)+f(x 2)−1−f(x 2)＝f(x 1−x 2)−1>0，所以f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(−∞, +∞)上单调递增； 令m ＝n ＝0，f(0)＝2f(0)−1，所以f(0)＝1，因为f(x)+f(x −2)>2，所以f(x)+f(x −2)−1>1，即f(x +x −2)>f(0)， 解得x >1，综上：x 的取值范围(1, +∞)．【答案】解：(1)根据题意，f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)， 则f(−1)=f(1)，即log 25−k =log 2(14+1)+k ，解得：k =1. 故k 的值是1.(2)方程f(x)−g(x)=0只有一个实数根，即log 2(4x +1)−x =g(x)=log 2(m ⋅2x −2m)， 亦即log 24x +12x=log 2(m ⋅2x −2m)， 则m =2x +2−x 2x −2只有一个实数根，设2x −2=t ，则2x =t +2(t >−2)， ∴ m =t+2+1t+2t=t 2+4t+5t 2+2t=1+2t +5t 2+2t=1+1t 2+2t 2t +5=1+42t+5+52t+5−6，令μ=2t +5，μ>1， 则m =1+4μ+5μ−6，则4m−1+6=μ+5μ，作出y =μ+5μ(μ>1)的图象如下图所示，由图象可知，4m−1+6=2√5或4m−1+6≥6， ∴ m =−√5+12或m >1．。
2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72} D. {x|0<x ≤72} 2. 下列幂函数为偶函数的是( )A. y =x 13B. y =x 12C. y =x 23D. y =x 323. x ∈R ，则f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A. f (x )=1，g(x)=x 0B. f(x)=x ，g(x)=√x 2C. f(x)=x,g(x)=√x 33D. f(x)=x 2−9x+3，g(x)=x −3 4. 已知f(x)=log a (3−x)x−2，则函数f(x)的定义域为( )A. (−∞,3)B. (−∞,2)∪(2,3]C. (−∞,2)∪(2,3)D. (3,+∞)5. 函数f (x )=1−x 21+x 2的值域是( )A. [−1,1]B. [−1,1)C. (−1,1]D. (−1,1)6. 函数y =−cosx x的图像可能是( )A.B.C.D.7. 已知函数f(x)=a x−1(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，则点A 为( )A. (0,−1)B. (0,1)C. (−1,1)D. (1,1)8. 已知平面α⊥平面β，α∩β=ι，a ⊂α，b ⊂β，则“a ⊥ι”是“a ⊥b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 关于函数f(x) =x 43，下列说法正确的是( )A. f(x)的值域为RB. f(x)在其定义域上为增函数C. f(x)为偶函数D. f(x)的定义域为[0,+∞)10. 若函数f(x)=log 2(mx 2−mx +1)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0,4)B. [0,4)C. (0,4]D. [0,4]11. 设函数f(x)={2x ,x <2,x 2,x ≥2,若f (a +1)≥f(2a −1)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,2]C. [2,6]D. [2,+∞) 12. 已知a >0，函数f(x)=x 3−ax 在[1,+∞)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A. (3,+∞)B. (0,3]C. (−∞,−3)D. (−∞,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)满足关系式f(x)−2f(−x)=x 2+x ，则f(3)=_________． 14. 已知函数f(x)=ax 5−bx 3+cx +3，且f(2)=1，则f(−2)=___．15. 已知函数f(x)={|log 2x|,(0<x <4)−12x +6,(x ≥4)，若函数y =f(x)的图象与y =k 的图象有三个不同的公共点，这三个公共点的横坐标分别为a ，b ，c ，且a <b <c ，则c −ab 的取值范围是______． 16. 命题：“∃x ∈Q ，x 2−8=0”的否定是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简计算：(1)4a 23b−13÷(−23a −13b −13)；(2) (23)−2+(1−√2)0−(338)23+√(3−π)2．18. 已知．(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的值域．<0},B={x|(x−a)(x−a2−2)<0}19.已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−3(1)当a=1时，求(∁U B)∪A；2(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)=x．x−1(1)用函数单调性定义证明f(x)=x在(1,+∞)上是单调减函数．x−1(2)求函数f(x)=x在区间[3,4]上的最大值与最小值．x−121.已知函数f(x)=ax2+x−a，a∈．(1)若函数f(x)的最大值大于17，求实数a的取值范围；8(2)解不等式f(x)>1(a∈).22.设函数f(x)是定义在[−1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[−1,0)时，f(x)=x3−ax(a∈R)．(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值1？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x≤4}；∴A∩B={0,1，2，3}．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查幂函数及函数的奇偶性，属于基础题．根据题意逐项进行判断即可得到结果．【解答】解：对于A，函数y=x13为奇函数，故A错误；对于B，函数y=x12定义域为[0,+∞)，则函数没有奇偶性，故B错误；3为偶函数，故C正确；对于C，函数y=x23=√x2对于D，函数y=x32定义域为[0,+∞)，则函数没有奇偶性，故D错误；故选C．3.答案：C解析：对于A，当x=0时，f(0)=1,g(0)=0，两函数值域不同，不表示同一函数，故A错误；对于B，g(x)=√x2=|x|，值域为[0,+∞),f(x)=x的值域为R，故B错误；3=x=f(x)，表示同一函数，故C正确；对于C，g(x)=√x3对于D，f(x)=x2−9的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x−3的定义域为R，故D错误．x+3本题考查了同一函数的性质，要求两函数的对应法则和定义域完全相同，从而求得答案．4.答案：C解析：解：要使函数有意义，则{3−x >0x −2≠0，即{x <3x ≠2，即x <3且x ≠2， 即函数的定义域为(−∞,2)∪(2,3)， 故选：C ．根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了函数的定义域与值域，属于基础题，将函数转化为f(x)=2−(1+x 2)1+x 2=21+x 2−1，进而求得答案． 【解答】 解：函数f (x )=1−x 21+x 2可以转化为，f(x)=2−(1+x 2)1+x 2=21+x 2−1，x ∈R ，∵1+x 2≥1，故0<21+x 2≤2，故−1<21+x 2−1≤1， 故函数f (x )=1−x 21+x 2的值域为(−1,1]．故选C ．6.答案：A解析： 【分析】本题考查已知函数的解析式选图象，可以用排除法，属于中档题． 【解答】 解：因为y =−cosx x，所以函数奇函数，排除B ；当x =π6,y =−√32π6=−3√3π<0，排除C ；当x →0+,y →−∞，排除D ． 故选A ．7.答案：D解析：【分析】本题考查指数函数的图象变换，函数图象的平移满足“左加右减、上加下减”的原则，属于一般题． 由指数函数图象的性质结合函数图象的平移得答案． 解析：解：∵f(x)=a x 过定点(0,1)，而f(x)=a x−1的图象是把f(x)=a x 的图象向右平移1个单位得到的， ∴f(x)=a x−1过定点(1,1)， 故选：D ．8.答案：A解析：解：由面面垂直的性质得当a ⊥l ，则a ⊥β，则a ⊥b 成立，即充分性成立， 反之当b ⊥l 时，满足a ⊥b ，但此时a ⊥l 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ⊥l ”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：A ．根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本题的关键．9.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的单调性、函数的定义域、函数的值域及函数的奇偶性，根据题意逐项进行判断即可得到结果． 【解答】解：f (x )=x 43=√x 43，因此函数的定义域为R ，值域为[0,+∞) ，f (−x )=√(−x )43=√x 43=f (x )，因此函数为偶函数． 故选C ．10.答案：B解析： 【分析】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．属于中档题．根据题意可得出，不等式mx 2−mx +1>0的解集为R ，从而可看出m =0时，满足题意，m ≠0时，可得出{m >0Δ=m 2−4m <0，解出m 的范围即可．【解答】解： ∵函数f (x )=log 2(mx 2−mx +1)的定义域为R ， ∴mx 2−mx +1>0在R 上恒成立，①当m =0时，有1>0 在R 上恒成立，故符合条件； ②当m ≠0时，由{m >0Δ=m 2−4m <0 ，解得0<m <4， 综上，实数m 的取值范围是[0,4)． 故选B ．11.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了分段函数的单调性的判断，利用单调性求解参数问题．属于基础题．根据题意，判断分段函数f(x)的单调性，即可求解． 【解答】解：函数f(x)={2x ,x <2,x 2,x ≥2,是在定义域为R 上的增函数．∵f(a +1)≥f(2a −1)， ∴a +1≥2a −1，解得：a ≤2． 故得实数a 的取值范围是(−∞,2]． 故选B ．12.答案：B解析：由于函数在已知区间上增函数，故导数恒大于等于零，即f′(x)=3x 2−a ≥0在[1,+∞)上恒成立，所以a ≤(3x 2)min ,a ≤3.已知a >0，所以0<a ≤3．13.答案：−8解析： 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．推导出f(x)=−x 2+x3，由此能求出f(3)的值． 【解答】解：∵函数f(x)满足关系式f(x)−2f(−x)=x 2+x ，∴{f (x )−2f (−x )=x 2+x f (−x )−2f (x )=x 2−x, 解得f(x)=−x 2+x3， ∴f(3)=−32+1=−8． 故答案为−8．14.答案：5解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性问题，属于基础题． 构造奇函数，利用函数奇偶性求解． 【解答】解：令g (x )=f (x )−3=ax 5−bx 3+cx ， 所以g (−x )=−ax 5+bx 3−cx =−g (x )， 所以g (x )=f (x )−3为奇函数， 所以g (2)+g (−2)=0， 所以f (2)−3+f (−2)−3=0， 所以f (−2)=5．15.答案：(7,11)解析：解：画出函数f(x)={|log 2x|,(0<x <4)−12x +6,(x ≥4)的图象，由题意可得|log 2a|=|log 2b|，由a <b ，可得log 2a +log 2b =0，即ab =1，由6−12x =2，可得x =8， 由6−12x =0，可得x =12， 由a <b <c ，可得8<c <12， 则c −ab ∈(7,11)． 故答案为：(7,11)．画出f(x)的图象，结合和对数的运算性质可得ab =1，8<c <12，即可得到所求范围． 本题考查分段函数的图象和应用，考查数形结合思想方法，以及运算能力，属于中档题．16.答案：∀x ∈Q,x 2−8≠0解析： 【分析】本题考查特称命题的否定.利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x ∈Q ，x 2−8=0”的否定是∀x ∈Q,x 2−8≠0， 故答案为∀x ∈Q,x 2−8≠0．17.答案：解：(1)原式=(−4×32)a 23−(−13)b −13−(−13)=−6a ； (2)原式=94+1−(32)2+π−3=π−2．解析：(1)本题考查了指数幂的运算性质，利用指数幂的运算性质即可得出，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(2)本题考查了指数幂运算，熟练掌握公式正确解题是解题的关键，属于易错题．18.答案：解：(1)∵f(log 2x)=ax 2−2x +1−a ，a ∈R ．设t =log 2x ，则x =2 t ， ∴f(t)=a(2t )2−2·2t +1−a ，∴f(x)=a(2x )2−2·2x +1−a(2)设2x =m(m >0)，则g(m)=am 2−2m +1−a(m >0)， 当a <0时，1a <0，g(m)在(0,+∞)上单调递减，g(0)=1−a ， ∴ g(m)的值域为(−∞,1−a)；当a =0时，g(m)=−2m +1，g(m)在(0,+∞)上单调递减，g(0)=1−a ， ∴ g(m)的值域为(−∞,1) ；当 a >0时，1a >0，g(m)在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增， ∴g(1a )=1−a −1a，∴g(m)的值域为[1−a −1a ,+∞) ，综上，当a ≤0时f(x)的值域为(−∞,1−a)， 当a >0时f(x)的值域为[1−a −1a ,+∞)．解析：本题考查了用换元法求函数解析式的问题，也考查了分类讨论求函数值域的问题． (1)利用换元法求出f(x)的解析式； (2)讨论a 的取值，求出f(x)的值域．19.答案：解：(1)当a =12时，A ={x|2<x <3}，B ={x|12<x <94}，故(∁U B)∪A ={x|x ≤12或x >2}；(2)A ={x|2<x <3}，B ={x|(x −a)(x −a 2−2)<0}={x|a <x <a 2−2}，a 2+2−a =(a −12)2+74>0，推出a 2+2>a ， ∵q 是p 的必要不充分条件，∴A ⊊B ，故{a ≤2a 2+2≥3⇒{a ≤2a 2≥1⇒a ∈(−∞,−1]∪[1,2]．解析：(1)代入a 的值，求出集合A ，B ，求出(∁U B)∪A 即可；(2)根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了集合的包含关系，考查转化思想，是一道常规题．20.答案：解：(1)证明：设x 1，x 2为区间(1,+∞)上的任意两个实数，且1<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 1−1−x 2x 2−1=x 2−x 1(x 1−1)(x 2−1)，因为1<x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，x 1−1>0，x 2−1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2).故函数f(x)=x x−1在(1,+∞)上为单调递减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)=x x−1在[3,4]上为单调递减函数，所以在x =3时，函数f(x)=x x−1取得最大值32；在x =4时，函数f(x)=x x−1取得最小值43．解析：本题考查函数单调性的判断与证明以及利用函数单调性求最值，考查运算能力，属于基础题．(1)运用单调性的定义，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；(2)由函数的单调性得到最值．21.答案：解：(1)若函数f(x)的最大值大于178，则{a <0−4a 2−14a >178,解得a ∈(−2,−18).(2)不等式f(x)>1可化为ax 2+x −a −1>0，即(x −1)(ax +a +1)>0，当a <0时，可化为(x −1)(x +a+1a )<0， ∴当−a+1a >1，即−12<a <0时，解集为{x|1<x <−a+1a }， 当−a+1a =1，即a =−12时，解集为⌀， 当−a+1a <1，即a <−12时，解集为{x|−a+1a <x <1}．当a =0时，可化为x −1>0，解集为{x|x >1}．当a >0时，可化为(x −1)(x +a+1a )>0， 此时−a+1a <1，解集为{x|x <−a+1a ，或x >1}．解析：本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．(1)若函数f(x)的最大值大于178，则{a <0−4a 2−14a >178，解得不等式组即可得到实数a 的取值范围；(2)不等式f(x)>1可化为ax 2+x −a −1>0，即(x −1)(ax +a +1)>0，分当a <0时，当a =0时和当a >0时三种情况，结合二次函数的图象和性质，可得答案．22.答案：解：(1)设x ∈(0,1]，则−x ∈[−1,0)，f(−x)=−x 3+ax ，f(x)为偶函数，f(x)=−x 3+ax ，x ∈(0,1](2)f′(x)=−3x 2+a ，∵x ∈(0,1]⇒−3x 2∈[−3,0)，又a >3，∴a −3x 2>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0,1]上为增函数．(3)当a >3时，f(x)在(0,1]上是增函数，f max (x)=f(1)=a −1=1⇒a =2．(不合题意，舍去)当0≤a ≤3时,f′(x)=a −3x 2,令f′(x)=0,x =√a 3.如下表：∴f(x)在x =√3处取最大值−(√3)3+a √3=1，⇒a =√4<3⇒x =√3<1， 当a <0时，f′(x)=a −3x 2<0，f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]无最大值，∴存在a =√2743,使f(x)在(0,1]上有最大值1．解析：(1)先由函数是偶函数得f(−x)=f(x)，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到[−1,0)时，f(x)=x 3−ax 即可求出在(0,1]上，函数的解析式．(2)先求导函数，然后利用导数的符号确定函数f(x)在(0,1]上的单调性；(3)讨论a ，分别利用导数研究函数在(0,1]上的最值，然后建立等式关系，解之即可．本题主要考查了解析式的求解以及函数的单调性，同时考查了利用导数研究函数在区间上的最值，属于中档题．。
2019-2020学年福建省福州市七年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年福建省福州市七年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：中国增长7.5%，德国增长1.3%，法国增长﹣2.4%，英国增长﹣3.5%．其中增长最少的国家是（）A．中国B．德国C．法国D．英国3．（3分）壮丽七十载，奋进新时代.2019年10月1日上午庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行，超20万军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国70华诞，其中20万用科学记数法表示为（）A．20×104B．2×105C．2×104D．0.2×1064．（3分）单项式﹣5πxy2x3的系数是（）A．﹣5B．﹣5πC．5πD．65．（3分）下列四个单项式中，能与ab2合并同类项的是（）A．a2b2B．ba2C．ab2D．2ab6．（3分）若|a|＝a，则a是（）A．负数B．正数C．非负D．非正数7．（3分）下面对单项式﹣m2描述正确的是（）A．﹣m的平方B．m2的平方的相反数C．m与2的积的相反数D．m的相反数的平方8．（3分）若2019×14＝m，则下列代数式表示2019×15的是（）A．m+1B．2019m+2019C．m+15D．m+20199．（3分）在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则根据以上信息所列方程正确的是（）A．3x+2x＝32B．3（11﹣x）+3（11﹣x）+2x＝32C．3（11﹣x）+2x＝32D．3x+2（11﹣x）＝3210．（3分）若a、b、c为有理数，满足a+b+c＝0，abc≠0且a＞|c|＞﹣b，则b、c两个数与0的大小关系是（）A．b＞0，c＞0B．b＜0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜0二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）比较大小：﹣﹣（填“＜”、“＝”、“＞”）．12．（3分）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘微在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，根据刘徽的这种表示法，图1表示的数值为：（+1）+（﹣1）＝0，则可推算图2表示的数值是（直接写出结果）．13．（3分）点A、B在数轴上，且两点间的距离为2．若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是．14．（3分）有一批树苗．若每人种10棵，则余下6棵；若每人种12棵则缺6棵．参与种树的人数是．15．（3分）已知a，b互为相反数，则a+2a+3a+…+99a+100a+100b+99b+…+3b+2b+b＝．16．（3分）在如图所示的3×3方阵图中，处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的3个数之和都相等．现方阵图中已填写了一些代数式（其中每个代数式都表示一个数），位于第3行第1列的数是．三、解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）计算：（1）10﹣（﹣9）+（﹣8）+2（2）（125）÷5+18．（8分）先化简，再求值：（4a2﹣2a﹣1）﹣2（3a2﹣a+1），其中a＝﹣2．19．（8分）从某一批次的袋装食品中抽取20袋，若每袋食品以500克为标准质量，分别用正、负数表示超过或不足的部分，记录如下：（1）这20袋食品中质量最大的比质量最小的多克？（2）求这20袋食品一共有多少克？20．（8分）已知a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|a﹣b|．21．（8分）一些数学问题的研究可以经历观察、探究、发现、证明等过程．下面是对一个问题的部分研究过程：【观察】0.＝，0.＝，0.是否也能写成分数的形式？【探究1】设0.＝x，由0.＝0.555…可知，10x＝5.555…，所以10x﹣x＝5．解方程，得x＝于是，得0.＝．所以，0.能写成分数的形式【探究2】仿照上面的方法，尝试将0.写成分数的形式．【发现】．请你完成【探究2】的部分，并用一句话概括你的发现．22．（12分）观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…在上面三行数的第n列中，从上往下的三个数分别记为a，b，c，观察这些数的特点，根据你所得到的规律，解答下列为问题．（1）用含n的式子分别表示出a，b，c；（2）根据（1）的结论，若a，b，c三个数的和为770，求n的值．2019-2020学年福建省福州市七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【解答】解：的倒数是2，故选：A．2．【解答】解：∵﹣3.5%＜﹣2.4%＜1.3%＜7.5%，∴增长最少的国家是英国．故选：D．3．【解答】解：20万＝200000＝2×105．故选：B．4．【解答】解：单项式﹣5πxy2x3的系数是：﹣5π．故选：B．5．【解答】解：同类项才能合并，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，所以C能与ab2合并同类项．故选：C．6．【解答】解：当|a|＝a时，a≥0，即a是非负数；故选：C．7．【解答】解：单项式﹣m2，是m2的平方的相反数．故选：B．8．【解答】解：∵2019×14＝m，∴2019×15＝2019×（14+1）＝2019×14+2019＝m+2019．故选：D．9．【解答】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．10．【解答】解：∵足a+b+c＝0，abc≠0且a＞|c|＞﹣b，∴a＞0，b＜0，c＜0．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝，∴﹣＜﹣，故答案为：＜．12．【解答】解：3根正放的小棍表示+3，4根斜放的小棍表示﹣4，∴图2表示的数值为：（+3）+（﹣4）＝﹣1，故答案为：﹣1．13．【解答】解：﹣3﹣2＝﹣5﹣3+2＝﹣1故点B表示的数是﹣5或1．故答案为：﹣5或1．14．【解答】解：设参与种树的人数为x，∴10x+6＝12x﹣6，∴x＝6，故答案为：615．【解答】解：a+2a+3a+…+99a+100a+100b+99b+…+3b+2b+b＝0．16．【解答】解：设左上角的数字为a，a+（x+2）+（﹣4x）＝a+3+2解得，x＝﹣1，设第三行第一列的数为b，第三行第二列的数是c，则3+（x+2）+c＝b+c+（﹣4x）故3+（﹣1+2）＝b+[﹣4×（﹣1）]，解得，b＝0，故答案为：0．三、解答题（共6小题，满分52分）17．【解答】解：（1）原式＝10+9﹣8+2＝13；（2）原式＝（125+）×+＝25．18．【解答】解：原式＝4a2﹣2a﹣1﹣6a2+2a﹣2＝﹣2a2﹣3，当a＝﹣2时，原式＝﹣8﹣3＝﹣11．19．【解答】解：（1）根据题意及表格得：10﹣（﹣20）＝30（克），答：质量最大的比质量最小的多30克；故答案为：30；（2）由表格得：（﹣20）×4+（﹣5）×1+0×3+2×4+3×5+10×3＝﹣80+（﹣5）+0+8+15+30＝﹣32，则500×20﹣32＝9968（克）．答：这次抽样检测的总质量是9968克．20．【解答】解：由题意可得，a＜b＜0，a+b＜0，a﹣b＜0，故|a|﹣|a+b|+|a﹣b|＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a+a+b﹣a+b＝﹣a+2b．21．【解答】解：【探究2】设0.0.＝x，由0.＝0.6363…，得100x＝63.6363…，所以100x﹣x＝63，解方程得：x＝．于是0.＝．【发现】任何无限循环小数都可以写成分数的形式，故答案为：任何无限循环小数都可以写成分数的形式．22．【解答】解：由题意可知，第一行数的规律为﹣（﹣2）n，第二行每个数是第一行数对应列的数加2，即第二行数的规律为﹣（﹣2）n+2，第三行每个数是第一行数对应列数除以（﹣2），即第三行数的规律为﹣（﹣2）n﹣1；（1）a＝﹣（﹣2）n，b＝﹣（﹣2）n+2，c＝﹣（﹣2）n﹣1；（2）∵a，b，c三个数的和为770，∴﹣（﹣2）n﹣（﹣2）n+2﹣（﹣2）n﹣1＝770，3×（﹣2）n﹣1+2＝770，∴n＝9．。
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A．
B．
C．
D．
3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）
D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 C（3，﹣1）,则 C 关于 x 轴，y 轴的对称点的坐标分别为
（1）点 M 在 AC 的垂直平分线 a 上，且使得△BCM 的周长最小，在图中画出点 M 的位
置；
（2）P，Q 是两个动点，其中点 P 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 AOB 按照 A﹣O﹣
B 的路线运动，点 Q 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 BOA 按照 B﹣O﹣A 的路线运动，
运动过程中，点 P 和 Q 同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为 t
A．11cm
B．7.5cm
C．11cm 或 7.5cm D．以上都不
对
7．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12
B．（2a）2＝2a2 C．（a3）2＝a9 D．（﹣2×102）3＝﹣8×106
8．图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
9．如图，∠AOB＝150°，OP 平分∠AOB，PD⊥OB 于点 D，PC∥OB 交 OA 于点 C，若
（1）用含 m 的式子表示点 D 的坐标，并说明理由； （2）在点 C 运动的过程中，判断 OF 的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明 理由； （3）过点 C 作 CG⊥BD，垂足为点 G，求讨论 BF,DF,CG 之间的数量关系式,并证明你的结 论．
附加题（本题 10 分）若你能做完仍有余力,请完成以下各题. 在平面直角坐标系中，已知点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO 与 x 轴正方向的夹角为 150°，且 a2﹣b2+a﹣b＝0．
秒．
①当 t＝4 时，△OPQ 的面积为
；
②直线 l 经过原点 O，且 l∥AB，过点 P，Q 分别作 l 的垂线段，垂足为 E，F．当△OPE
与△OQF 全等时，求 t 的值．
25．（本题 14 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A（0，4）与点 B 关 于 x 轴对称，点 C（m，0）为 x 轴的正半轴上一动点．以 AC 为边作等腰直角三角形 ACD， ∠ACD＝90°，点 D 在第一象限内．连接 BD，交 x 轴于点 F．
图1
图2
23．（本题 10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE 垂直平分 AB．
（1）若 AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE 的周长；
（2）若∠A＝40°，求∠EBC 的度数．
24．（本题 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（6，0），B（0，8），C（﹣2，0）．
（）
A．（3，1），（﹣3，﹣1）
B．（﹣3，1），（﹣3，﹣1）
C．（3，1），（1，3）
D．（﹣3，﹣1），（3，1）
5．如果关于 x 的二次三项式 x2+bx+9 是完全平方式，那么 b 的值为（ ）
A．3
B．±3
C．6
D．±6
6．若等腰三角形的周长为 26cm，一边为 11cm，则腰长为（ ）
（1）试判断△ABO 的形状,并说明理由； （2）如图 1，若 BC⊥BO，BC＝BO，点 D 为 CO 的中点，AC、BD 交于 E， 求证：AE＝BE+CE； （3）如图 2，若点 E 为 y 轴的正半轴上一动点，以 BE 为边作等边△BEG，延长 GA 交 x 轴于点 P，问：AP 与 AO 之间有何数量关系？试证明你的结论．
11．3mn2•(-2mn)=
；
3
23× +)的结果为
.
13．已知△ABC 中, AB=2, ∠C＝40°,请你添加一个适当的条件,使△ABC
的形状和大小都是确定的.你添加的条件是
.
14．若 a2+b2=6,ab=2,则(a-b)2=
.
15．已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，S△ABC= 3，对角线 BD 平
分∠ABC，E 是 BC 的中点，P 是对角线 BD 上的一个动点，则 PE+PC 的最小值为
.
16．阅读材料:
通过整式乘法的学习,我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的
方法,例如利用图甲可以对平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2 给予解释.图乙中的△ABC 是一个
直角三角形, ∠C＝90°,人们很早就发现直角三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2 的关系,我国
18．（每小题 4 分,共 8 分）因式分解： （1）x3﹣9x；
（2）（2a﹣b）2+8ab．
19．（本题 8 分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy3-2x2y2）÷xy，其中 x＝1，y＝2．
20．（本题 8 分）已知：如图，AB∥ED，点 F、C 在 AD 上，AB＝DE，AF＝DE， 求证：BC＝EF．
汉代“赵爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系.
请回答:下列几何图形中,可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 填写图序号）
（直接
三、解答题(共 86 分,请把答案写在答题卷上!)
17．（每小题 4 分,共 8 分）计算:
（1）（12x4﹣6x3）÷3x3
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
福州一中 2019-2020 学年度第一学期期中考试
初二数学试卷
(完卷 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分,请把答案写在答题卷上!)
1．下列哪个组条件不能判定三角形全等（ ）
A．AAS
B．SAS
C．AAA
D．SSS
2．中国传统服装历史悠久，下列服装图案中，为轴对称图形的是（ ）
PD＝3，则 OC 的长为（ ）
A．3
B．3 3
C．6
D．7.5
10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（2，0），B（0，2），若点 C 在 x 轴上方，CO＝CB，
且△AOC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题(每题 4 分,共 24 分,请把答案写在答题卷上!)
21．（本题 8 分）如果 x,y 满足等式 x2+y2-2x+4y+5=0,求 x+y 的值.
22．（本题 10 分）尺规作图（不写过程,保留做图痕迹）: 如图,福州森林公园景区内有一块三角形绿地 ABC, AB、AC 表示两条相交的小路. （1）如图 1,现在要在小路 AB 上建一个休息点 M,使它到 A、C 两个点的距离相等.请在图中 确定休息点 M 的位置; （2）如图 2，现要在三角形绿地 ABC 的内部建一个休息点 N.设计时要求该休息点 N 到两条 公路 AB，AC 的距离相等，且到小路交叉处 A 点的距离为 1000 米．若要以 1：50000 的比 例尺画设计图，①直接写出设计图纸中线段 AN 的长度;②在图中作出休息点 N 的位置.